ПРОГРЕССИЯНЫҢ ҚОСЫНДЫЛАРЫН ЕСЕПТЕУДЕ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ӘДІСТЕРІН ҚОЛДАНУ

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 14 бет
Таңдаулыға:

Ақтөбе облыстық мамандандырылған физика-математикалық мектеп-интернат

ПРОГРЕССИЯНЫҢ ҚОСЫНДЫЛАРЫН ЕСЕПТЕУДЕ
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ӘДІСТЕРІН ҚОЛДАНУ

Секциясы: Математика

Дайындаған: Акимгереева Шадияра 10 класс
Саламатова Фарида 10 класс

Ғылыми жетекшісі: Иманчиев Асқарбек Ермекұлы
Физика-математика ғылымдарының кандидаты, Қ.Жұбанов атындағы АӨУ доценті
Жетекшісі: Таңатарова Ұштап Бақтығалиқызы, Арызахметов Еркебулан Алтынбекулы
Математика пәні мұғалімдері

2021 жыл
Аннотация
Ғылыми зерттеудің мақсаты: Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қосындыларын табудың геометриялық жолдарын табу, прогрессияларды зерттеу әдістері кеңейту.
Гипотезасы: Тұрақты айырымды прогрессиялардың қосындыларын табуда геометрияның негізгі ұғымдары ұзындық, аудан, көлем сынды ұғымдармен геометрияның кеңінен қолданылатын теоремаларды ұштастырып, қосындылауға пайдалану. Жобамыздағы басты гипотеза ретінде, кез-келген арифметикалық, геометриялық бірінші ретті және одан реті жоғары прогрессиялардың қосындыларын табуға геометрия әдістерін пайдалануға болатындығы.
Зерттеу барысында, алдымен арифметикалық прогрессияның қосынды формуласын геометриялық жолмен алған болатынбыз. Бұл тұста, Фалес теоремасы, пропорционал кесінділер туралы теоремалар сынды геометриялық белгілі тұжырымдар қолданылды, ал келесі кезекте геометриялық прогрессия қосындысын алу барысында аудан ұғымдары кеңінен қолданылды. Осылайша жұмыста табиғаттары басқа болғанмен математиканың бөлімдерінің бір-бірімен тығыз байланысы айқын байқалды.
Зерттеу нәтижелерін олимпиадалық есептерді шешу барысында, прогрессияның визуалды көрсету мүмкіндігін ашады.

Abstract
The purpose of the research: to find geometric ways to find the sum of arithmetic and geometric progressions, to expand the methods of studying progressions.
Hypothesis: The use of the basic concepts of geometry in the combination of the most widely used theorems of geometry, such as length, area, volume, in finding the sum of constant differential progressions. The main hypothesis of our project is that geometric methods can be used to find the sum of any arithmetic, geometric first order and higher progressions.
In this case, geometrically known concepts such as Thales' theorem, theorems on proportional segments were used, and then the concept of area was widely used in obtaining the sum of geometric progressions. Thus, in the work, despite the different nature, it is clear that the sections of mathematics are closely related to each other.
The results of the study reveal the possibility of visual representation of progress in solving Olympic problems.

Бұл жұмыста арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың n алғашқы мүшелерін қосындылаудың геометриялық жолдары жайлы зерттеу жүргізіледі.
1. Осындай геометриялық прогрессияның мүшелерін алудың қызықты геометриялық жолын көрсетейік: a, a2, a3, a4, ... .
Ox және Oy өзара перпендикуляр екі түзуді құрайық.
О нүктесінен Ох осінің бойындмен ОА = 1 кесіндісін, ал Оу осінің бойымен ОВ = а кесіндісін кейінге қалдырамыз.
Біз А нүктесін В нүктесімен АВ кесіндісімен байланыстырамыз және В нүктесінен осы перпендикулярды қалпына келтіреміз. Бұл перпендикуляр Ох осін С нүктесінде қиып өтеді; осы нүктеден перпендикулярды ВС ға қайтадан қалпына келтіріңіз және т.б.

OС = a2, ОД = а3, ОЕ = а4 және т.б екенін дәлелдейік
Тік бұрыштың төбесінен гипотенузаға дейінгі перпендикуляр теоремасы бойынша бізде
ОА x ОС= (ОВ)2, яғни OC = a2
ОВ x ОД = (ОC)2, яғни OD = a3,
OC x OE = (OD)2, яғни OE = a4, және т.c.c.
2. Геометриялық жолмен берілген геометриялық прогрессияның тағы бір мысалын қарастырайық.
ға тең сүйір AOB бұрышын алыңыз
ОА = 1. болсын А нүктесінен АВ перпендикулярын ОВ түзуіне түсірейік, онда ОС = cos.
СDOA жүргізейік, содан кейін бізде екі ұқсас үшбұрыш болады: OCAOC және ADS. Ұқсастықтан
біз алатын үшбұрыштар ОДОС=ОСОА ОА = 1, OC = cos екенін ескере отырып, OD = cos2 аламыз.
Перпендикулярларды DE, EF және т. біз OE = cos3, OF = cos4 және т.б.

Сонымен, бізде cos, cos2, cos3, cos4, ... тізбегі бар ... Егер орнына кез келгенін алсақ мәні болса, онда біз сәйкес сандық тізбекті аламыз. Мысалы:
=PI4: cosPI4, (cosPI4)2, (cosPI4)3, (cosPI4)4, ... немесе √22, 12, √24, 14, √28,...

3. ВОА -ның үшкір бұрышын алыңыз, -ге тең. Осыдан ACOB, CDOA, CRAB, KHOB, HMAB және т.б. жүргіземіз.

Үшбұрыштардың ұқсастығынан OAC және ASD ADAC=ACOA алды. ОА = 1, АС = sinα, екенін ескере отырып CK = АD= sin2α аламыз.

∆СНК мен ∆СКА ұқсастығынан біз HKKC =KCAC алдық. ∆OСA мен ∆СKA ұқсастығынан біз КСАС =АСАО алдық. Соңғы екі теңдіктен бізде HKCK=ACAO бар.
OA = 1, CK = sin2α, AC= sinα, бізде НК = sin3α бар. Сол сияқты,НМ = sin4α және т.б.
Сонымен, бізде sinα, sin2α, sin3α, sin4α, ... прогрессиясы бар.
4. Паскаль үшбұрышының әрбір көлденең сызығындағы сандар геометриялық прогрессияның мүшелері болатын есеп, қызықты болып табылады. Шын мәнінде:
1 = 20
1 + 1 = 21
1 + 2 + 1 = 22
1 + 3 + 3 + 1 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24
... ... ...
Бізде b1 = 1 бірінші мүшесі мен q = 2 еселігі бар геометриялық прогрессия пайда болады.
5. Шеңберді (4 -сурет) тең доғалардың белгілі бір санына AM, MN, NP, HQ және т.б. бөлінсін.
A, M, N, P, Q нүктелері және т.б. шеңбердің радиусы болатын кесінділер арқылы О нүктесіне қосамыз. А нүктесінен АМ` перпендикулярын ОМ радиусына түсірейік; М` нүктесінен M`N` перпендикулярын түсіреміз және т.д.

Пайда болған AM`N`P`Q` ... сынық сызықтардың ұзындықтары қайсыбір геометриялық прогрессияның қосындысына тең болатынына көзіміз жетеді. Мысалы, шеңбер радиусын 1-ге тең деп алып, ал шеңберді алдымен 6, сонан соң, 8, одан кейін 12 бөлікке бөлетін болсақ, сынық сызықтардың геометриялық прогрессия қосындысын беретінін байқаймыз.
Нұсқау ретінде сізге бұл үзік сызықтың ұзындығы AM`A1A2A3A4... үзік сызығының ұзындығына тең болатынын ескергеніміз жөн. Алдымен AM`, A1A2, A3A4, ... және A1M`, A3A2, A5A4, ... сегменттерінің ұзындықтары бірдей еселігі бар геометриялық прогрессия мүшелерін құрайтынын алдын-ала дәлелдеп алуымыз қажет. Шеңбер 6 тең доғаға бөлінсе, прогрессияның қосындысы 3 болады, 8 тең бөлікке бөлінген жағдайда (1 + 2), 12 тең доғаға бөлінген жағдайда - (2 + 3) болатынын ескереміз.
Бірінші жағдайда бізде бірінші мүшесі b1 = 32 геометриялық прогрессия болады және q1 = 12 еселігі, екінші жағдайда b1 =22, q2 = 12, үшінші жағдайда b1 = √22, q3 =32, осындай геометриялық прогрессиялар пайда болады.

Кемімелі геометриялық прогрессия
Кемімелі геометриялық прогрессияның алғашқы екі мүшесі берілсін. Оның басқа мүшелерін геометриялық түрде қалай табуға болатынын көрсетейік.
Прогрессияның бірінші мүшесіне тең AB` кесіндісін саламыз . А және В нүктелері арқылы біз O нүктесінде қиылысатын Ox және Oy кез-келген түрде алынған екі түзуді жүргіземіз, AB` бойынша прогрессияның екінші мүшесіне тең KB` кесіндісін сызып аламыз. Оy-ке параллель К нүктесі арқылы түзу жүргіз. Осы түзудің Ox түзуімен қиылысу нүктесі арқылы AB` параллель түзуді жүргіземіз; онда С` нүктесі арқылы - В`В параллель және т.с.с.
Сонда BC`AB` = OBOA = OC`OB` = OCOB = CD`BC` = ... Бұл осы прогрессия мүшелері тең болатынын білдіреді.
AB`, BC`, CD`, DE`, EM` сегменттері және т.б. Бұл прогрессияның еселігі q = OC`OD`

Жоғарыда айтылғанның негізінде, кемімелі геометриялық прогрессияның кез келген мүшелері санының қосындысын оңай таба аламыз. СС`, DD`, EE`... желісін ұзарту жеткілікті, C``,D``,E`` нүктелерінде АВ` кесіндісінде қиылыспағанға дейін. АС``,AD``,AE`` бұл екі, үш және төрт мүшенің қосындысы прогрессиясы қосындылары оңай дәлелдей алады. Егер О нүктесі арқылы АВ` кесіндісінің жалғасуымен қиылысқанға дейін O`` нүктесіндегі түзу OO`` түзу сызық салынса., параллельдік тікелей ВВ, онда AO`` кесіндісін аламыз, ол геометриялық прогрессияның шексіз кемуі қосындының мүшелерін білдіреді:
AO``=AB`+BC`+CD`+DE`+... 6-суретте тағы бір шексіз кемитін геометриялық прогрессия көрсетілген, еселік q = OC`OB`, бірақ алғашқы мүшесі өзгеше.

Мына суреттен бізде CC`BB`=OC`OB`=OCOB=OD`OC`=DD`CC`= ...
бұл BB', CC', DD', ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.