Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту әдістемесі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

УДК

Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту әдістемесі

Назарбек Мәдина
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті
madinanazarbek@mail.ru
Ғылыми жетекшісі: Тілеулесова Ағила Балтабайқызы

Аннотация. Математиканы табиғат құпияларына ену әдісі ретінде қабылдай отырып, бұл әдісті қолданудың негізгі әдісі нақты әлемнің математикалық модельдерін қалыптастыру және зерттеу деп айтуға болады. Кез-келген физикалық құбылыстарды зерттей отырып, зерттеуші, ең алдымен, оның математикалық моделін (идеализацияланған формасы) жасайды, яғни құбылыстың қайталама сипаттамаларын елемей, ол осы құбылысты басқаратын негізгі заңдылықтарды математикалық түрде жазады. Көбінесе бұл заңдылықтарды дифференциалдық теңдеулер түрінде беруге болады.
Кілт сөздер: дифференциалдық теңдеу, лездік жылдамдық, интеграл, туынды.

Дифференциалдық теңдеулер әртүрлі есептерді, әсіресе соның ішінде оңтайландыру есептерін шешуге мүмкіндік береді. Ал, мектептегі математика курсында арнайы физика-математикалық сыныптарда дифференциалдық теңдеулер жалпы түрде оқыту енгізілді. Дифференциалдық теңдеулер теориясы пайда болғаннан бері физика, механика және технологияның математикалық есептерімен тығыз байланыста дамыды. Математикалық білімнің мазмұнына дифференциалдық теңдеулер туралы ақпаратты енгізу оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастыруда, математиканы оқытудың қолданбалы бағытында, бүкіл ғылым жүйесінің құрылымын және таным мен практикадағы ғылыми әдістің рөлін түсінуге ықпал ететін пәнаралық байланыстарды жүзеге асыруда үлкен рөл атқарады [1].
"Дифференциалдық теңдеулер" тақырыбын зерттеу теңдеулер туралы ұғымды кеңейтеді. Оқушылар дифференциалдық және бұрын зерттелген теңдеулердің (алгебралық және трансценденттік) ортақтығын түсінуі үшін осы тақырыптарды ұсынуда сабақтастықты сақтаған жөн. Дифференциалдық теңдеулер мектептегі теңдеулерді құрастырудың соңғы кезеңі болып табылады. Өкінішке орай, бұл теңдеулер бөлімі алгебра бойынша барлық оқу материалдарында, тіпті арнайы физика-математикалық сыныптарда жоқ. Сонымен, оның маңызы қандай? Бейіндік сыныптарда оқыту процесінде жаратылыстану бейінді мұғалімдеріне оқушыларға теориялық материалды меңгертуде қиындықтарға тап болады. Оның бір себебі - математика курсында теңдеулер курсын толық меңгермеу. Осылайша, орта арнаулы және жоғары оқу орындарындағы мектепте алгебраның әдістемелік құралы арасындағы сабақтастық бұзылады. Сонымен қатар, дифференциалдық теңдеулер туралы ең болмағанда қарапайым тұжырымдамалық білімнің болмауы, олардың қарапайым түрлерін шешу физика, химия және экономикадағы теориялық және практикалық материалдардың дамуына кедергі келтіреді. Қарапайым мысалды қарастырайық. Бірінші жартыжылдықта физика-математика бейініндегі 10 сынып оқушылары (басқа пәндердегідей базалық, әлеуметтік-гуманитарлық және химия-биологиялық) физиканың "Механика" бөлімін оқи бастайды. Бұл бөлімде "лездік" ұғымы ерекше рөл атқарады: лездік жылдамдық, лездік үдеу. Бұл координатаның өзгеру жылдамдығын немесе нөлге ұмтылатын уақыт кезеңіндегі координатаның өзгеру жылдамдығының өзгеру жылдамдығын сипаттайтын шамалар. Бұл ұғымдардың мәнін шексіз азаятын доғаны қатайтатын шексіз азаятын аккорд мысалында қарапайым түрде түсіндіруге болады.. Дифференциалдық теңдеулер үлкен қолданбалы мәнге ие, жаратылыстану және технология есептерін зерттеудің қуатты құралы бола отырып, олар механика, астрономия, физика, химия, биологияның көптеген есептерінде кеңінен қолданылады. Бұл көбінесе белгілі бір құбылыстар (процестер) бағынатын объективті заңдар дифференциалдық теңдеулер түрінде жазылатындығына байланысты және бұл теңдеулердің өзі осы заңдылықтарды сандық түрде білдірудің құралы болып табылады. Мысалы, Ньютон механикасының заңдары материалдық нүктелер жүйесінің немесе қатты дененің қозғалысын сипаттаудың механикалық есебін дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін табудың математикалық есебіне азайтуға мүмкіндік береді [2]. Жаратылыстанудың көптеген есептерінің математикалық моделі дифференциалдық теңдеулермен беріледі. Сондықтан, дифференциалдық теңдеулер білім алушының математикалық қабілеттерін дамытумен қатар, олардың ғылыми дүниетанымын қалыптастырады, олардың кәсіби дайындығының деңгейін көтереді, ғылым жүйесіндегі математиканың орнын анықтауға көмектеседі.
Мектеп математикасында дифференциалдық теңдеулер тақырыбын төмендегі мысалдарды беруден бастап, оның басқа пәндермен байланысын білім алушыға ұғындырамыз.

Мысал 1. Массасы m материалдық нүктеге тұрақты күш әсер етіп, нүктеге a үдеуін береді.Қоршаған орта қозғалыстағы нүктеге оның қозғалысына пропорционал жылдамдықты,кедергіні береді,пропорционалдық коэффициенті γ - ға тең. Егер нүкте бастапқы кезде тыныштықта болған болса,уақыт өте оның қозғалыс жылдамдығы қалай өзгереді?
Шешуі. Қозғалыс басталған сәттен бастап уақытты есептейміз. v(t) арқылы нүктенің t уақыт аралығындағы қозғалыс жыдлдамдығын белгілейік. Онда v0=0. Кез-келген t уақытта нүктеге ma-γv tкүш әсер етеді. Ньютонның екінші заңына сәйкес бұл күш нүктеге ma-γv(t)m тең болатын үдеу береді. t уақыттағы үдеу - осы уақыттағы жылдамдықтың өзгеру шапшаңдығы, яғни уақыт функциясы ретінде жылдамдықтың туындысы. Сондықтан dvdt=ma-γv(t)m. Бұл теңдеуді былай жазамыз:
dvdt=-γmv+a
Шешімнің бірі vt=mγv+a тұрақты функциясы болады. Бұл теңдеудің оң жағын нөлге айналдырады, ал тұрақты функцияның туындысы да нөлге тең, сондықтан алынған теңдеудің барлық шешімдері келесідей анықталады:
vt=mγa+Ce-γmt. (1)
v0=0 шартын қанағаттандыратын шешімді таңдаймыз. (1)-ге t=oқойып, 0=mγa+C аламыз, осы жерден C=-mγa болады. Материалдық нүктенің қозғалыс жылдамдығы уақыт өткен сайын mγa мәніне жақындай отырып, артады. Қозғалыс басталғаннан кейін біршама уақыттан соң нүкте mγa - ға жақын біркелкі жылдамдықпен қозғалады.
Мысал 2. Материалдық нүкте жүріп өткен арақашықтыққа кері пропорционал жылдамдықпен түзу сызық бойымен қозғалады. Қозғалыстың бастапқы сәтінде нүкте жолдың басынан 5 м қашықтықта болды және v0=20 м∕с жылдамдыққа ие еді. Жүріп өткен жолды және қозғалыс басталғаннан соң 10c кейінгі нүктенің жылдамдығын анықтаңыз.
Шешуі. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.