Функцияны жуықтау әдістері. Лагранждың интерполяциялық формуласы. Ньютонның интерполяциялық формулалары

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

№10-11 дәріс

Функцияны жуықтау әдістері. Лагранждың интерполяциялық формуласы. Ньютонның интерполяциялық формулалары.

Айталық , берілген функция болсын. арқылы аргумент өсімшесініңбекітілген шамасын белгілеп аламыз. Онда
өрнегі функциясының бірінші шекті айырымы деп аталады. Жоғарғы ретті шекті айырымдар жоғарғыдағыдай анықталады.

Интерполяция есебі келесідей болады: интервалында интерполяция түйіндері деп аталатын нүктелер берілген, және осы нүктелердегі кейбір функциясының мәні
.
Берілген функция үшін интерполяция түйіндерінде мәндерін қабылдайтын көпмүшесі тұрғызылады, яғни
.
Сонымен бірге мәндерінің арасында бірдей мәндер жоқ деп есептеледі, , . Яғни, интерполяциялық көпмүше бастапқы функцияға жақын болу үшін берілген нүктелер жүйесінде олардың мәндері дәл келеді.
Егер интерполяциялық көпмүшенің дәрежесі -ге тең болса, онда глобалді интерполяция деп айтады ( функциясын интеполяциялауда аргументінің өзгеру интервалында бір ғана көпмүше қолданылады). Интерпоялциялық көпмүшелерді аргументінің өзгеру интервалының әртүрлі бөліктерінде тұрғызуға болады. Мұндай жағдайларды үзікті интерполяция (кусочная интерполяция) деп атайды.
Интерполяциялаудың негізгі шарты бойынша интерполяциялық көпмүше графигі интеполяциялық түйіндерде функцияның берілген мәндері арқылы өту керек.
Есептің қойылымы. Жуық көпмүшелерді құру әдістерінің біреуі ретінде төмендегі есепті қарастыратын интерполяции әдісін алуға болады.
Айталық, функция у = (х) кестелік түрде берілген болсын:

х х0 х1 х2 хn+1 хn
у = (х) у0 = (х0) у1 = (х1) у2 = (х2) ... уn+1 = (хn+1) уn = (хn)

Дәрежесі n - нен артпайтын, мәндері хк, нүктелерінде берілген функция мәндерімен дәл келетін Ln (x) көпмүшесін табу керек, яғни

хk, нүктелерін интерполяциялау түйіндері, ал Ln (x) -ті х0, х1,...,хn. түйіндері бойынша (х) функциясы үшін интерполяциялық көпмүше деп атайды.
Интерполяиялық көпмүшелер. Интерполяциялау есептерін шешу Лагранж интерполяциялық көпмүшесі болады.
(х) функциясын интерполяциялау үшін интерполяция түйіндерінде берілген функция өзінің интерполяциялық көпмүшесімен сәйкес болу қажеттілігі есептің қойылымында беріледі. Егер х интерполяциялау түйіні болмаған жағдайда (х) функциясы Ln (x)- көпмүшесіне жуық тең болады, демек

rn(x) арқылы (х) - Ln (x) айырымын белгілеп алу арқылы келесі теңдікті жазуға болады:

Бұл теңдік Лагранжа интерполяциялық көпмүшесі , ал rn(x) - қалдық мүше деп аталады.
f(x) функциясына және х0, х1,...,хN түйіндеріне сәйкес келетін сплайн (интерполяциялық текше сплайн) деп, келесі шарттарды қанағаттандыратын S(x) функциясы аталады:
1)Әрбір [xi-1,xi], i=1,2,...,N сегментінде S(x) функциясы үшінші дәрежеләі көпмүше болады.
2) S(x) функциясы және оның бірінші, екінші туындылары [а,b] аралығында үзіліссіз;
3) интерполяциялау шарты: S(xi)=f(x.i), i=0,1,...,N.
Аталған шарттарды қанағаттандыратын сплайн жалғыз ғана болатынын дәлелдейміз және оны тұрғызуды көрсетеміз.
Әрбір [хi-1,.хi], i=1,2,...,N аралықта төмендегі түрдегі S(x)=Si(x) - ті іздейміз

(10.1)
мұнда ai, bi, ci, di - коэффициенттер. Барлығы 4N коэффициенттер, туындыны табамыз.
;

Интерполяциялау шарты бойынша S(xi)=f(xi), i=1,2,...,N аламыз, және aI=f(xi), i=1,2,...,N, сонымен қатар, а0=f(х0). Осындай түрде аi, i=1,2,...,N үшін N коэффициенттерді анықтайды.
Бұдан әрі S(x) функциясының үзіліссіздігінен S(x)=Si(х), i=1,2,...,N шығады. Осыдан (10.1)-ді ескере отырып, i=0,1,...,N-1 үшін теңдеулер аламыз

hi=xi-xi+1 - белгілеп аламыз, онда бұл теңдеулер ai=f(xi)=fi -ді еске алумен бұл теңдеулерді келесі түрде жазуға болады:

(10.2)
Бірінші туындының үзіліссіз шарты төмендегі теңдеуді шығарады:

Бұрынғы қабылданған белгілеулерді ескере отырып бұл теңдеулерді келесідей жазуға болады:

(10.3)
Екінші туындының үзіліссіз шартынан келесі теңдеуді аламыз:

Оларды мына түрде жазуға болады:

(10.4)

(10.2 ), (10.3) ,(10.4) формулаларын біріктіре отырып, 3N болатын bi, ci, di, i=1,2,...,N . белісіздерге байланысты 3N-2 теңдеулер жүйесін аламыз.
Жетіспейтін екі теңдеуді алу үшін S(x) - ке шеттік шарттар береміз. Мысалы, f(x) - функциясы (a)=0 (b)=0 шарттарын қанағаттандыратын болсын. Бұл жағдайда болуына талап қоюға болады. Осыдан аламыз.
немесе
үшін (8.4) жазып аламыз және алынған салыстырып , егер болса олардың сәйкес болатынын көреміз.
Демек, текше сплайн коэффициенттерін анықтау үшін тұйық теңдеулер жүйесіне келеміз.

(10.5)

(10.6)

(10.7)
Енді, жүйенің жалғыз шешімі болатынына көз жеткізейік. (10.5)-(10.7) - тен bi, di, i=1,2,...,N-1 айнымалыларын шығару нәтижесінде сi, i=1,2,...,N-1 - терден тұратын жүйені аламыз. Ол үшін (10.7) көрші теңдеулерін қарастырамыз:

және бірінші теңдеуден екінші теңдеуді аламыз.

Пайда болған bi-bi-1 өрнектерін (8.6) теңдеуінің оң жағына қою арқылы төменгі формуланы аламыз:

(10.8)

Бұдан әрі (10.5) теңдеуінен, оны hi және hi-1 - ке көбейтеміз: i үшін ; i-1 үшін . Бұл өрнектерді (10.8) - ге қоямыз:

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.