Функцияны жуықтау және интерполяция әдістері: Лагранж пен Ньютон формулалары, шекті айырымдар және кубикалық сплайндар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

№10-11 дәріс

Функцияны жуықтау әдістері. Лагранждың интерполяциялық формуласы. Ньютонның интерполяциялық формулалары.

Айталық , берілген функция болсын. арқылы аргумент өсімшесініңбекітілген шамасын белгілеп аламыз. Онда

өрнегі функциясының бірінші шекті айырымы деп аталады. Жоғарғы ретті шекті айырымдар жоғарғыдағыдай анықталады.

Интерполяция есебі келесідей болады: интервалында интерполяция түйіндері деп аталатын нүктелер берілген, және осы нүктелердегі кейбір функциясының мәні

Берілген функция үшін интерполяция түйіндерінде мәндерін қабылдайтын көпмүшесі тұрғызылады, яғни

.

Сонымен бірге мәндерінің арасында бірдей мәндер жоқ деп есептеледі, , . Яғни, интерполяциялық көпмүше бастапқы функцияға жақын болу үшін берілген нүктелер жүйесінде олардың мәндері дәл келеді.

Егер интерполяциялық көпмүшенің дәрежесі -ге тең болса, онда глобалді интерполяция деп айтады ( функциясын интеполяциялауда аргументінің өзгеру интервалында бір ғана көпмүше қолданылады) . Интерпоялциялық көпмүшелерді аргументінің өзгеру интервалының әртүрлі бөліктерінде тұрғызуға болады. Мұндай жағдайларды үзікті интерполяция (кусочная интерполяция) деп атайды.

Интерполяциялаудың негізгі шарты бойынша интерполяциялық көпмүше графигі интеполяциялық түйіндерде функцияның берілген мәндері арқылы өту керек.

Есептің қойылымы. Жуық көпмүшелерді құру әдістерінің біреуі ретінде төмендегі есепті қарастыратын интерполяции әдісін алуға болады.

Айталық, функция у = ƒ( х ) кестелік түрде берілген болсын:

х х0х1х2хn+1хn: х х ₀ х ₁ х ₂ х _n+1 х _n

х х0х1х2хn+1хn: у = (х) у ₀ = (х ₀ ) у ₁ = (х ₁ ) у ₂ = (х ₂ ) … у _n+1 = (х _n+1 ) у _n = (х _n )

Дәрежесі n -нен артпайтын, мәндері х _к , нүктелерінде берілген функция мәндерімен дәл келетін L _n (x) көпмүшесін табу керек, яғни

х _k , нүктелерін интерполяциялау түйіндері , ал L _n (x) - ті х _0, х _{1, …,} х _n . түйіндері бойынша ƒ(х) функциясы үшін интерполяциялық көпмүше деп атайды.

Интерполяиялық көпмүшелер. Интерполяциялау есептерін шешу Лагранж интерполяциялық көпмүшесі болады.

ƒ(х) функциясын интерполяциялау үшін интерполяция түйіндерінде берілген функция өзінің интерполяциялық көпмүшесімен сәйкес болу қажеттілігі есептің қойылымында беріледі. Егер х интерполяциялау түйіні болмаған жағдайда ƒ(х) функциясы L _n (x) - көпмүшесіне жуық тең болады, демек

r _n (x) арқылы ƒ(х) - L _n (x) айырымын белгілеп алу арқылы келесі теңдікті жазуға болады:

Бұл теңдік Лагранжа интерполяциялық көпмүшесі , ал r _n (x) - қалдық мүше деп аталады.

f(x) функциясына және х ₀ , х ₁ , …, х _N түйіндеріне сәйкес келетін сплайн (интерполяциялық текше сплайн) деп, келесі шарттарды қанағаттандыратын S(x) функциясы аталады:

1) Әрбір [x _i-1 , x _i ], i=1, 2, …, N сегментінде S(x) функциясы үшінші дәрежеләі көпмүше болады.

2) S(x) функциясы және оның бірінші, екінші туындылары [а, b] аралығында үзіліссіз;
3) интерполяциялау шарты: S(x _i ) =f(x. _i ), i=0, 1, …, N.

Аталған шарттарды қанағаттандыратын сплайн жалғыз ғана болатынын дәлелдейміз және оны тұрғызуды көрсетеміз.

Әрбір [х _i-1, . х _i ], i=1, 2, . . . , N аралықта төмендегі түрдегі S(x) =S _i (x) -ті іздейміз

(10. 1): (10. 1)

мұнда a _i , b _i , c _i , d _i - коэффициенттер. Барлығы 4N коэффициенттер, туындыны табамыз.

;

Интерполяциялау шарты бойынша S(x _i ) =f(x _i ), i=1, 2, . . . , N аламыз, және a _I =f(x _i ), i=1, 2, . . . , N, сонымен қатар, а ₀ =f(х ₀ ) . Осындай түрде а _i , i=1, 2, . . . , N үшін N коэффициенттерді анықтайды .

Бұдан әрі S(x) функциясының үзіліссіздігінен S(x) =S _i (х), i=1, 2, . . . , N шығады. Осыдан (10. 1) -ді ескере отырып, i=0, 1, . . . , N-1 үшін теңдеулер аламыз

h _i =x _i -x _i+ ₁ -белгілеп аламыз, онда бұл теңдеулер a _i =f(x _i ) =f _i -ді еске алумен бұл теңдеулерді келесі түрде жазуға болады:

(10. 2): (10. 2)

Бірінші туындының үзіліссіз шарты төмендегі теңдеуді шығарады:

Бұрынғы қабылданған белгілеулерді ескере отырып бұл теңдеулерді келесідей жазуға болады:

(10. 3): (10. 3)

Екінші туындының үзіліссіз шартынан келесі теңдеуді аламыз:

Оларды мына түрде жазуға болады:

(10. 4): (10. 4)

(10. 2 ), (10. 3) , (10. 4) формулаларын біріктіре отырып, 3N болатын b _i , c _i , d _i , i=1, 2, . . . , N . белісіздерге байланысты 3N-2 теңдеулер жүйесін аламыз.

Жетіспейтін екі теңдеуді алу үшін S(x) -ке шеттік шарттар береміз . Мысалы, f(x) -функциясы (a) =0 (b) =0 шарттарын қанағаттандыратын болсын . Бұл жағдайда болуына талап қоюға болады. Осыдан аламыз.

немесе

үшін (8. 4) жазып аламыз және алынған салыстырып, егер болса олардың сәйкес болатынын көреміз.

Демек, текше сплайн коэффициенттерін анықтау үшін тұйық теңдеулер жүйесіне келеміз.

(10. 5): (10. 5)

: (10. 6)

: (10. 7)

Енді, жүйенің жалғыз шешімі болатынына көз жеткізейік. (10. 5) -(10. 7) -тен b _i , d _i , i=1, 2, . . . , N-1 айнымалыларын шығару нәтижесінде с _i , i=1, 2, . . . , N-1 -терден тұратын жүйені аламыз. Ол үшін (10. 7) көрші теңдеулерін қарастырамыз:

және бірінші теңдеуден екінші теңдеуді аламыз.

Пайда болған b _i -b _i-1 өрнектерін (8. 6) теңдеуінің оң жағына қою арқылы төменгі формуланы аламыз:

(10. 8): (10. 8)

Бұдан әрі (10. 5) теңдеуінен, оны h _i және h _i-1 -ке көбейтеміз: i үшін ; i-1 үшін . Бұл өрнектерді (10. 8) -ге қоямыз:

осыдан . Демек, c _i коэффициенттерін анықтау үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(10. 9): (10. 9)

Осы жүйенің матрицасын жазайық:

Бұл матрицада диагоналдық элементтердің осы жолдағы диагоналға жатпайтын элементтерден көбірек екенін байқауға болады. Осындай матрицалы жүйеде тек қана бір шешім болады. Сонымен қатар, жүйе матрицасы үшКроме того, так как матрица системы диагоналді болғандықтан оның шешімін ее решение легко найти методом қумалық әдіс арқылы шешуге болады(метод прогонки) .

Табылған c _i коэффициенттері бойынша b _i және d _i коэффициенттері (10. 5) және (10. 7) формулаларынан алынған формулалар көмегімен бұрынғыдай анықталады:

(10. 10): (10. 10)

Шеттік шарттар ретінде басқа шарттарды қарастыруға болатынын және, қарастырған жағдайда бұл шарттар ретінде алынғанын ескертеміз.

Ньютонның интерполяциялық формуласы

Айталық у = ƒ( х ) функциясы кестелк түрде берілсін:

х х0х1х2хn-1хn: х х ₀ х ₁ х ₂ х _n-1 х _n

х х0х1х2хn-1хn: у = (х) у ₀ = (х ₀ ) у ₁ = (х ₁ ) у ₂ = (х ₂ ) … у _n-1 = (х _n-1 ) у _n = (х _n )

Дәрежесі n -нен аспайтын, х _к , нүктелеріндегі мәндері берілген функцияның мәндерімен сәйкес болатын L _n (x) көпмүшесін табу қажет болсын. Қойылған есептің шешімі к өпмүше Р _n (x) ≡L _n (x) болады:

мұнда ∆y (х _0, х ₁ ), ∆y(х _0, х _1, х ₂ ), …, ∆y(х _0, х _{1, …,} х _n ) - төмендегі формулалар арқылы есептелетін айырымдық қатынастар:

Мұндай көпмүшені Ньютонның интерполяциялық көпмүшесі деп, ал

формуласын Ньютонның интерполяциялық формуласы деп атайды.

Ньютона формуласының Лагранж формуласынан артықшылығы, егер алынған интерполяция түйіндеріне тағыда бір түйін қосса Лагранж формуласының барлық мүшелері өзгеріп, сандары үлкейеді, ал Ньютон формуласындағы барлық табылған мүшелер сақталады және жаңа қосындылар қосылып отырады. Дегенмен, Лагранж формуласы басқа жағдайларда ыңғайлы: мысалы, интерполяциялау түйіндерінің бір жүйесінде бірнеше функцияларды интерполяциялау қажет болса. Әдетте айырымдық қатынастарды 1 -кестесі түрінде жазып алады (анықтылық үшін n= 4 деп аламыз) . Ньютон интерполяциялық формуласына 1- кестеде көрсетілген айырымдық қатынастар кіреді (бұл айырымдық қатынастардың асты сызылған) .

Тең қашықтықта орналасқан х _k = х ₀ + kh, k=0, n түйіндер үшін h >0 интерполяциялау қадамымен Ньютон көпмүшесі келесі түрде болады: