8-сыныпта алгебраны оқыту барысында экстремумға берілген есептерді шешу әдістері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

8-сыныпта алгебраны оқыту барысында экстремумға берілген есептерді шешу әдістері

Бізді қоршаған ортадағы табиғат құбылыстарына байланысты есептерді, экономикалық есептер мен механиканың есептерін, математикалық программалау мен тиімділік есептерін шығару математикалық тұрғыдан белгілі бір теңдеулер, теңсіздіктер немесе теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесін шешуге әкеледі. Ендеше осы есептерді шешу тәсілдерін, соның ішінде тиімді тәсілдерін іздестіру әруақытта күн тәртібінен түскен емес. Есептердің жататын тобына байланысты оларды шығару тәсілі де әр түрлі болып келеді. Тиімділік есептерін, экстремумға берілген есептерді шығару дифференциалдық есептеулерді, ал аудан, көлем табу, жылу өткізгіштік т.с.с. есептерді шығару интегралдық есептеулерді қолдану арқылы шығарылады.
Солай бола тұрса да, мұндай есептердің шығарудың басқа алгебралық, геометриялық тәсілдері де бар. Олар тіпті дифференциалдық және интегралдық есептеулер ашылмастан да бұрын қолданылған әдістер. Кейбір жеке жағдайларда мұндай әдістер дифференциалдық және интегралдық есептеулерден де тиімдірек екені практикада байқалып жүрген жағдай. Есепке әртүрлі жолмен келуді көрсету әруақытта ұтымды. Әртүрлі тәсілдермен шығарылатын есептер барлық уақытта қызықты және белгілі бір тұжырым жасауға ыңғайлы. Есептерді шығарудың әртүрлі тәсілдерін өзара салыстыру арқылы оқушыларда есепті шығару жолын іздестіру жүйесі қалыптасып, интуицияларының дамуына мүмкіндік туып, қажетті тәжірибелер жинақталады.
Ең үлкен және ең кіші мәндерді табуға арналған есептерді қарапайым математика әдістерімен шешуге болады. Онда квадраттық функция қолданылады.
Есептерді осы әдіспен шығарғанда өткен дәрісте дәлелденген төмендегі теоремаға сүйенеміз:
квадраттық функциясы нүктесінде экстремальды мәнін қабылдайды. Ол a 0 болса максимум (ең үлкен мәні), a 0 минимум (ең кіші мәні) болады.
Мысал келтірейік.
Есеп. Қолда бар тақталардан ұзындығы 200 метр шарбақ тұрғызуға болады. Ең үлкен аумақтың төртбұрышты ауласын бір жағына бұрыннан салынған қабырғаны пайдаланып, осы дуалмен қоршау қажет.
Қоршаудың екі жағының ұзындығы х, ал қабырғаға параллель жатқан қабырғасының ұзындығы у болсын. Сонда есептің шарты бойынша 2x+y=200, y=200 - 2x, y=2(100 - x) өрнектейміз. Ауланың ауданын S арқылы белгілеп, S=xy, S(x)=2x(100 - x).
Функцияның графигі тармақтары төмен бағытталған парабола болғандықтан және олар абсцисса осін 0 және 100 нүктелерінде қиып өтетіндіктен, параболаның төбесі осы осьтегі 50 санына сәйкес келеді.
Жауабы: Қоршаудың қабырғаларының ұзындығы 50м, 100м және 50м.
Алгебра курсындағы экстремалды есептерді шешу екі кезеңде жүзеге асырылады. Бірінші кезеңде анықталмаған (белгісіз) есеп қарастырылады, оның мәтіні математикалық тілге анықталмаған (белгісіз) теңдеу немесе функция) түрінде аударылады. Бұл көптеген немесе шексіз көп шешімдер алуға мүмкіндік береді
Екінші кезеңде нақты немесе жасырын түрде берілген бір белгілерге сәйкес есептің қай шешімі ең тиімді екендігі анықталады.
Берілген кесіндідегі сызықтық фунуциясының экстремумының мәндерін табу
y = kx+l (мұндағы x - тәуелсіз айнымалы, k мен l - нақты сандар) түріндегі формуламен берілетін фуннкцияны сызықтық функция деп атайды.
Берілген кесіндіде үзіліссіз y=f(x) функциясы берілді делік, және оның санаулы күдікті нүктелері болсын. Функцияның a;b кесіндісінде бірнеше үлкен мәндері болса, онда ол экстремумдардың біреуі функцияның ең үлкен мәні болып табылады, атап айтқанда табылған нүктелердегі функциялардың ең үлкен мәні болып табылады.
Сонымен, y=f(x) функциясының ең үлкен мәні a;b кесіндісінің ұштарында, немесе осы кесіндідегі максимум нүктесінде болады.
Мұндай есептердің бар болуы математиканың өмірге аса қажетті пән екенін дәлелдейді. Көптеген мәселелер, функцияның экстремумын табуға әкеледі. Мысалға экономиялық есептер, немесе қарапайым мәтіндік есептер.
Сызықтық функция мектеп қабырғасында алтыншы сыныптан бастап қарастырылған, құрылымы күрделі емес болғандықтан оқушыларға көп киындық түсіре бермейді. Курстың бастамасы берілген функцияның гиафигін салудан бастап, соңында қолданбалы есептерді шешуге тапсырмалар беріледі, ал көпдеген қолданбалы есепетрді шығару барысында бізге экстремумдарының мәндерін табу керек болады. Сондықтан ең қарапайым сызықтық функциянының ерекшеліктері мен оны нақты өмірмен байланыстырып түсініу және қолдану өте маңызды деп есептеймін.
Сызықтық функция не шексіз өспеді немесе шексіз кемімелі болып табылады, сондықтан оның экстремумдары жоқ. Бірақ егер оған белгілі шектеулер қойсақ, онда оның сол аралықтағы экстремумының мәндерін анықтай аламыз. Сол себепті мектеп бағдарламасында: "берілген кесіндідегі сызықтық фунуциясының экстремумының мәндерін табуға арналған есептер" болып кездеседі.
Квадраттық функцияның экстремум мәндерін табу
Квадраттық функция деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады fx=ax2+bx+c. Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады. Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: y=ax2+bx+c. Парабола төбесінің координаттары:(x0;y0), x=-b2a, y=-D4a. x=-b2a түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады. Егер a0 болса парабола төмен тармақталған болады, a0 болғанда -- жоғары тармақталған.
Көптеген есептерде квадраттық функцияның максималды немесе минималды мәнін есептеу керек болады. Егер бастапқы функция стандартты түрде жазылса, максимум немесе минимумды табуға болады:
fx=ax2+bx+c немесе параболаның жоғарғы координаталары арқылы: fx=a(x-h)2+k. Cонымен қатар, кез-келген квадраттық функцияның максимумын немесе минимумын математикалық операциялар арқылы табуға болады.
Бірінші әдісін қарастырайық. Квадраттық функция стандартты түрде жазылсын:
fx=3x+2x-x2+3x2+4
fx=2x2+5x+4
I есептеу. Параболаның бағытын анықтаңыз.
Квадраттық функцияның графигі параболаны білдіреді. Параболаның тармақтары жоғары немесе төмен бағытталған. Егер а ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.