ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ҚОЛДАНУЛАРЫ. ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ҚОЛДАНУЛАРЫ.
ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР.

1. Тікбұрышты координаталармен берілген екі еселі интеграл
Айталық , функциясы жазықтығының шенелген облысында анықталсын. облысын аудандары және диаметрлері (лблыстың диаметрі деп осы облыстың шекарасының ең қашақ екі нүктесінің арасының ұзындығын айтады) болатын "" облыстарға бөлшектейік. Әрбір элементар облыста кез келген нүктесін таңдап алайық және функцияның нүктесіндегі мәнін осы облыстың ауданына көбейтейік.
функциясы үшін облысы бойынша интегралдық қосынды деп келесі қосындыны айтады:
(1)
Егер ұмтылғанда интегралдық қосындының облысын элементар бөлшектерге бөлу әдісінен және осы облыста нүктелерін таңдап алудан тәуелсі анықталған ақырлы шегі болса, яғни
(2)
онда бұл шек облысындағы функциясының екі еселі интегралы деп аталады және былай белгіленеді:
(3)
Ескерту. Егер облысында болса, онда екі еселі интеграл - жоғарыдан бетімен, бүйірінен құраушылары осімен параллель болатвн цилиндрлік бетпен және төменнен жазақтығының облысымен шектелген цилиндрлік дененің көлеміне тең болады.
Екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері
.
. , мұнда - тұрақты сан.
. Егер интегралдау облысы және облыстарына бөлінсе, онда

. Екі еселі интегралды бағалау. Егер болса, онда , мұнда - облысының ауданы, ал және - функциясының облысындағы сәйкес ең кіші және ең үлкен мәндері.
Екі еселі интегралдарды есептеу ережелері
Интегралдау облысының негізгі екі түрі болады.
1. интегралдау облысы сол жақтан және оң жақтан , түзулерімен, ал төменнен және жоғарыдан әрқайсысы вертикаль түзумен тек бір нүктеде қиылысатын және үзіліссіз қисықтармен шектелген (1-сурет).
Мұндай облыс үшін екі еселі интеграл келесі формула бойынша есептеледі:

және де алдымен ішкі интеграл , -ті тұрақты деп алып есептеледі.
2. интегралдау облысы төменнен және жоғарыдан және түзулерімен, ал сол жақтан және оң жақтан әрқайсысы горизонталь түзумен тек бір нүктеде қиылысатын үзіліссіз және қисықтарымен шектелген (2-сурет).

1-сурет 2-сурет

Мұндай облыс үшін екі еселі интеграл келесі формула бойынша есептеледі:

және де алдымен ішкі интеграл , -ті тұрақты деп алып есептеледі.
Көрсетілген формулалардың оң жақтары қайталанбалы интегралдар деп аталады. Жалпы жағдайда интегралдау облысы бөлшектеу жолымен жоғарыдағы негізгі интегралдарға келтіріледі
2. Екі еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру
Полярлық координаталардағы екі еселі интеграл. тікбұрышты координаталарымен берілген екі еселі интегралды тікбұрышты координаталармен өрнектері арқылы байланысатын полярлық координаталарға көшіру келесі формула бойынша іске асырылады:
.
Егер интегралдау облысы полюстен басталатын сәулелерімен және қисықтарымен (мұнда және - және болғанда бірмәнді функциялар) шектелсе, онда екі еселі интеграл келесі формула бойынша есептеледі:

мұнда және де алдымен ішкі интеграл , -ны тұрақты деп алып есептеледі.
Қисық сызықты координаталардағы екі еселі интеграл. Айталық екі еселі интеграл тікбұрышты координаталардан, осы тікбұрышты координаталармен өрнектері арқылы байланысатын қисық сызықты координаталарға ауыстырылсын, мұнда және функцияларының жазықтығының облысында үзіліссіз дербес туындылары бар және түрлендірудің якобиан деп аталатын анықтауышы облысында нөлге тең емес:

Сонымен бірге жазықтығының облысы мен жазықтығының облысының нүктелерінің арасында өзара бірмәнді және екі жаққа да үзіліссіз сәйкестік орнатылады (5-сурет).

5-сурет

Полярлық координаталар үшін:
.
3. Жазық фигураның ауданын есетеу
облысымен шектелген жазық фигураның ауданы келесі формула бойынша есептеледі:

Егер облысы, мысалы, теңсіздіктерімен анықталса, онда

Егер облысы полярлық координаталарда теңсіздіктерімен анықталса, онда
.
4. Дененің көлемін есептеу
Жоғарыдан үзіліссіз бетпен, төменнен жазықтығымен және бүйірінен жазықтығында облысын қиятын цилиндрлік бетпен шектелген цилиндрлік дененің көлемі келесі формула бойынша есептеледі:

5. Беттің ауданын есептеу
Егер жылтыр бет теңдеуі арқылы берілсе, онда беттің ауданы келесі формула бойынша есептеледі:
,
мұнда берілген беттің жазықтығындағы проекциясы.
Осылайша, егер бет теңдеуі арқылы берілсе, онда:
,
мұнда берілген беттің жазықтығындағы проекциясы.
Егер беттің теңдеуі түрінде бнрілсе, онда:
,
мұнда берілген беттің жазықтығындағы проекциясы.

6. Екі еселі интегралдың физикада қолданылуы
Егер пластинка жазықтығының облысын алып жатса және оның беттік тығыздығы айнымалы болса, онда пластинканың массасы екі еселі интеграл арқылы былай өрнектеледі:
.
Пластинканың және осьтеріне қатысты статикалық моменті келесі формулалар бойынша табылады:
, .
Пластинка біртекті болғанда .
Пластиканың ауырлық центрінің координаталарын келесі формулалар арқылы есептеуге болады:
,
мұнда - пластинканың массасы, ал , - оның координаталар осьтеріне қатысты статикалық моменттері.
Пластинка біртекті болса, онда ол формулалар келесі түрде болады:
,
мұнда - облысының ауданы.
Пластинканың және осьтеріне қатысты инерция моменттері келесі формулалар бойынша табылады:
,,
ал координаталар бас нүктесіне қатысты инерция моменті келесі формула бойынша есептеледі:
.
Бұл формулаларда деп алсақ, жазық фигураның геометриялық инерция моменттерін есептеуге арналған формулаларды аламыз.

Үш еселі интеграл

Айталық, функциясы шектелген тұйық кеңістіктік облысында анықталған болсын. облысын кез келген әдіспен диаметрлері және көлемдері болатын - элементар облыстарға бөлшектейік. Әрбір элементар облыста кез келген нүктесін таңдап алайық және функцияның нүктесіндегі мәнін осы облыстың көлеміне көбейтейік.
функциясы үшін облысы бойынша интегралдық қосындысы деп келесі түрдегі қосындыны айтады:
.
Интегралдық қосындының элементар облыстарының диаметрлерінің ең үлкені нөлге ұмтылған кездегі шегін функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл деп атайды және ол келесі түрде белгіленеді:
.
Бұл түрдегі ақырлы шек тек қана шектелген функция үшін ғана бар болады..
Егер облысында болса, онда үш еселі интегралы облысын алып жататын және тығыздығы айнымалы болатын дененің массасы болады (үш кеселі интегралдың физикалық мағнасы).
Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың қасиеттеріне сәйкес болады.
Декарттық координаталарда үш еселі интеграл келесі түрде болады:
.
Айталық, интегралдау облысы , (мұнда, - үзіліссіз функциялар) теңсіздіктерімен анықталсын.
Сонда функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл келесі формуланың көмегімен есептеледі:
.
Егер үш еселі интегралды есептегенде айнымалылларынан осы айнымалылармен , өрнектері арқылы байланысатын айнымалыларына көшу керек болса (мұнда , , - өздерінің бірінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар), кеңістігінің облысы мен кеңістігінің облысының нүктелерінің арасында өзара бірмәнді және екі жаққа да үзіліссіз сәйкестік орнатылады және облысында якобианы нөлге айналмайды:
,
онда келесі формуланы пайдалану керек.:

Дербес жағдайда, декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын цилиндрлік координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды цилиндрлік координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (17-сурет):

декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын сфералық координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды сфералық координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (18-сурет):

17-сурет 18-сурет

8. Үш еселі интегралдың қолданылулары
облысында жататын дененің көлемі келесі формула бойынша есептеледі:
.
Егер дененің тығыздығы айнымалы болса, яғни , онда облысында жататын дененің массасы келесі формула бойынша есептеледі:
.
Дененің ауырлық центрінің координаталары мына формулалар бойынша анықталады:
, , .
болғанда
, , .
(-геометриялық ауырлық центрінің координаталары).
Координата осьтеріне қатысты инерция моменттері (геометриялық) сәйкесінше төмендегідей болады:
, , .
9. Параметрден тәуелді интегралдар.
Интеграл таңбасы астында дифференциалдау және интегралдау
(1)
интегралын қарастырамыз, мұнда - айнымалы параметр, ал - аралығында -тің барлық мәндері үшін және -ның жиынындағы барлық мәндері үшін анықталған екі айнымалының функциясы. Бұл шарттар орындалғанда (1) интеграл параметрінен тәуелді функция болады.
функциясының параметрі бойынша туындысы туралы сұрақтың маңызы зор. Айталық, функциясы және дербес туындысы тікбұрышында үзіліссіз болсын. Бұл жағдайда келесі туынды анықталады:
. (2)
Егер туындының ( бойынша) және интегралдың ( бойынша) таңбаларын ауыстыруға болатын болса, онда (1) функциясын параметр бойынша интеграл таңбасының астында дифференциалдауға болады дейді. (2) формулада интегралдау шекаралары және - параметрінен тәуелсіз деп есептеледі. Егер және - параметрінен тәуелді болса, онда
. (3)
Айталық, функциясы қандай да бір облысында -ның барлық мәндері үшін және -ның барлық мәндері үшін берілген болсын¸ және де әрбір үшін бұл облыста келесі интеграл анықталсын:

Егер облысында бұл интеграл -ға қатысты бірқалыпты -ға ұмтылса, онда интегралы -ға қатысты параметрдің берілген мәндері үшін бірқалыпты жинақталады деп атайды.
Бұдан кез келген үшін -дан тәуелді саны табылып, болған кезде

теңсіздігі облысында -ның барлық мәндері үшін орындалады.
меншіксіз интегралын параметр бойынша дифференциалдау үшін, және интегралдарының болған кезде бар болуы қажет.
(1) анықталған интегралды параметрі бойынша аралығында интеграл таңбасы астында интегралдау формуласы келесі түрде болады:
. (4)
Интеграл астындағы функция ақырлы интегралдау облысында екі айнымалының үзіліссіз функциясы болу керек. Интегралдау облысы ақырсыз болғанда қаталама меншіксіз интеграл шығады.

Үш еселі интеграл

Айталық, функциясы шектелген тұйық кеңістіктік облысында анықталған болсын. облысын кез келген әдіспен диаметрлері және көлемдері болатын - элементар облыстарға бөлшектейік. Әрбір элементар облыста кез келген нүктесін таңдап алайық және функцияның нүктесіндегі мәнін осы облыстың көлеміне көбейтейік.
функциясы үшін облысы бойынша интегралдық қосындысы деп келесі түрдегі қосындыны айтады:
.
Интегралдық қосындының элементар облыстарының диаметрлерінің ең үлкені нөлге ұмтылған кездегі шегін функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл деп атайды және ол келесі түрде белгіленеді:
.
Бұл түрдегі ақырлы шек тек қана шектелген функция үшін ғана бар болады..
Егер облысында болса, онда үш еселі интегралы облысын алып жататын және тығыздығы айнымалы болатын дененің массасы болады (үш кеселі интегралдың физикалық мағнасы).
Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың қасиеттеріне сәйкес болады.
Декарттық координаталарда үш еселі интеграл келесі түрде болады:
.
Айталық, интегралдау облысы , (мұнда, - үзіліссіз функциялар) теңсіздіктерімен анықталсын.
Сонда функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл келесі формуланың көмегімен есептеледі:
.
Егер үш еселі интегралды есептегенде айнымалылларынан осы айнымалылармен , өрнектері арқылы байланысатын айнымалыларына көшу керек болса (мұнда , , - өздерінің бірінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар), кеңістігінің облысы мен кеңістігінің облысының нүктелерінің арасында өзара бірмәнді және екі жаққа да үзіліссіз сәйкестік орнатылады және облысында якобианы нөлге айналмайды:
,
онда келесі формуланы пайдалану керек.:

Дербес жағдайда, декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын цилиндрлік координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды цилиндрлік координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (17-сурет):

декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын сфералық координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды сфералық координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (18-сурет):

17-сурет 18-сурет

8. Үш еселі интегралдың қолданылулары
облысында жататын дененің көлемі келесі формула бойынша есептеледі:
.
Егер дененің тығыздығы айнымалы болса, яғни , онда облысында жататын дененің массасы келесі формула бойынша есептеледі:
.
Дененің ауырлық центрінің координаталары мына формулалар бойынша анықталады:
, , .
болғанда
, , .
(-геометриялық ауырлық центрінің координаталары).
Координата осьтеріне қатысты инерция моменттері (геометриялық) сәйкесінше төмендегідей болады:
, , .
9. Параметрден тәуелді интегралдар.
Интеграл таңбасы астында дифференциалдау және интегралдау
(1)
интегралын қарастырамыз, мұнда - айнымалы параметр, ал - аралығында -тің барлық мәндері үшін және -ның жиынындағы барлық мәндері үшін анықталған екі айнымалының функциясы. Бұл шарттар орындалғанда (1) интеграл параметрінен тәуелді функция болады.
функциясының параметрі бойынша туындысы туралы сұрақтың маңызы зор. Айталық, функциясы және дербес туындысы тікбұрышында үзіліссіз болсын. Бұл жағдайда келесі туынды анықталады:
. (2)
Егер туындының ( бойынша) және интегралдың ( бойынша) таңбаларын ауыстыруға болатын болса, онда (1) функциясын параметр бойынша интеграл таңбасының астында дифференциалдауға болады дейді. (2) формулада интегралдау шекаралары және - параметрінен тәуелсіз деп есептеледі. Егер және - параметрінен тәуелді болса, онда
. (3)
Айталық, функциясы қандай да бір облысында -ның барлық мәндері үшін және -ның барлық мәндері үшін берілген болсын¸ және де әрбір үшін бұл облыста келесі интеграл анықталсын:

Егер облысында бұл интеграл -ға қатысты бірқалыпты -ға ұмтылса, онда интегралы -ға қатысты параметрдің берілген мәндері үшін бірқалыпты жинақталады деп атайды.
Бұдан кез келген үшін -дан тәуелді саны табылып, болған кезде

теңсіздігі облысында -ның барлық мәндері үшін орындалады.
меншіксіз интегралын параметр бойынша дифференциалдау үшін, және интегралдарының болған кезде бар болуы қажет.
(1) анықталған интегралды параметрі бойынша аралығында интеграл таңбасы астында интегралдау формуласы келесі түрде болады:
. (4)
Интеграл астындағы функция ақырлы интегралдау облысында екі айнымалының үзіліссіз функциясы болу керек. Интегралдау облысы ақырсыз болғанда қаталама меншіксіз интеграл шығады.

САНДЫҚ ҚАТАРЛАР

1. Негізгі түсініктер мен теоремалар
Айталық , мұнда -шексіз сандық тізбек болсын.

өрнегі шексіз сандық қатар деп аталады, ал сандары қатардың мүшелері, - қатардың жалпы мүшесі деп аталады. Қатарды көбіне түрінде жазады. Қатардың алғашқы мүшесінің қосындысын қатардың -ші дербес қосындысы деп атайды және оны деп белгілейді.

Егер қатардың -ші дербес қосындысы шексіз өскен кезде ақырлы шекке ұмтылатын болса, онда қатар жинақталатын қатар деп аталады, яғни

- саны қатардың қосындысы деп аталады. Егер кезде қатардың -ші дербес қосындысы ақырлы шекке ұмтылмайтын болса, онда қатар жинақталмайды дейді. Кез келген кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінен құралған

қатары жинақталады және оның қосындысы болады.
Келесі гармоникалық қатар жинақталмайды.
2. Жинақталатын сандық қатарлар туралы негізгі теоремалар
Егер қатары жинақталса, онда осы қатардың алғашқы мүшесін алып тастағанда қалған қатары да жинақталады (бұл соңғы қатарды берілген қатардың -ші қалдығы деп атайды), керісінше -ші қалдықтың жинақтылығынан берілген қатардың жинақтылығы шығады.
Егер қатары жинақталатын болса және оның қосындысы -ке тең болса, онда қатары да жинақталады және де бұл қатардың қосындысы -ке тең болады.
Егер қосындылары сәйкес және болатын және қатарлары жинақталатын болса, онда қатары да жинақталады және оның қосындысы -ға тең болады.
(қатардың жинақталуының қажетті шарты). Егер қатары жинақталатын болса, онда болады, яғни кезде жинақталатын қатардың жалпы мүшесінің шегі нөлге тең болады.
Сонымен, егер болса, онда қатар жинақталмайды.
3. Оң мүшелі қатарлар.
Анықтама. Егер сандық қатарының мүшелері шартын қанағаттандырса, онда бұл қатар оң мүшелі қатар деп аталады.
Оң мүшелі қатарлардың жинақталуының және жинақталмауының негізгі белгілері:
Бірінші салыстыру белгісі. Оң мүшелі екі қатар берілсін:
, (1)
( 2)
және де (1) қатардың әрбір мүшесі (2) қатардың оған сәйкес мүшесінен артық болмасын, яғни . Онда егер (2) қатар жинақталса, онда (1) қатар да жинақталады, ал егер (1.1) қатар жинақталмайтын болса, онда (2) қатар да жинақталмайды.
Екінші салыстыру белгісі. Егер (1) және (2) қатарлардың жалпы мүшелерінің қатынасының ақырлы және нөлден өзгеше келесі шегі бар болса, онда және қатарлары бірдей жинақталады немесе бірдей жинақталмайды.
Коши белгісі. Егер қатары үшін шегі бар болса, онда бұл қатар болғанда жинақталады және болғанда жинақталмайтын болады.
Даламбер белгісі. Егер қатары үшін шегі бар болса, онда бұл қатар болғанда жинақталады және болғанда жинақталмайтын болады.
Кошидің интегралдық белгісі. Егер функциясы беріліп және ол болған кезде үзіліссіз, оң және монотонды кемімелі функция болса, онда жалпы мүшесі болып келген қатары интегралы жинақталатын болса жинақталады, ал егер бұл интеграл жинақталмайтын болса жинақталмайды.

Ауыспалы таңбалы қатарлар

Анықтама. Көршілес мүшелерінің таңбалары қарама-қарсы болатын қатарлар ауыспалы таңбалы қатарлар деп аталады. Оны жалпы түрде былай жазады:
(3)
мұнда .
Лейбниц теоремасы (ауыспалы таңбалы қатарлардың жинақталу белгісі). Егер ауыспалы таңбалы қатардың мүшелерінің абсолют шамасы монотонды кемімелі болса, ал жалпы мүшесі нөлге ұмтылса, онда бұл қатар жинақталады, яғни келесі екі шарт орындалуы керек:
, (4)
. (5)
Салдар. Лейбниц белгісі орындалатын жинақталатын ауыспалы таңбалы қатардың -ші дербес қосындысын алайық:

Айталық қатардың -ші қалдығы болсын. Оны қатардың қосындысы пен -ші дербес қосынды -нің айырымы түрінде жазуға болады
(6)
яғни
. (7)
Онда ауыспалы таңбалы қатарлардың -ші қалдығының абсолют шамасы қатардың шығарып тасталған мүшелерінің біріншісінің абсолют шамасынан артық емес, яғни
. (8)
5. Айнымалы таңбалы қатарлар және олардың кейбір қасиеттері.
Анықтама 1. Ауыспалы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.