Абсолют және шартты жинақты қатарлар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Абсолют және шартты жинақты қатарлар

1. Біз осы уақытқа дейін мүшелері оң қатарларды қарап келдік.
Егер берілген қатардың барлық мүшелерінің таңбалары теріс болса, онда олардың барлығын - 1-ге көбейтіп, мүшелері оң қатарға келеміз. Егер берілген қатар мүшелерінің тек біразының ғана (саны шектеулі мүшелерінің ғана) таңбалары ылғи теріс болып қалғандарының таңбалары оң болса, онда сол теріс таңбалы ... мүшелерді шығарып тастап тағы да мүшелері оң қатарға келеміз. Сол сияқты, егер берілген қатар мүшелерінің тек біразының ғана (саны шектеулі мүшелерінің ғана) таңбалары оң болып қалғандарының таңбалары теріс болса, онда сол оң таңбалы мүшелерді шығарып тастап, барлық мүшелері теріс қатарға келеміз, ал бұл қатардың барлық мүшелерін - 1-ге көбейтіп, оны оң қатарға айналдырамыз.
Енді мүшелерінің таңбалары оң да, теріс те болып келетін төмендегі:

қатарды қарайық.
(29) қатардың оң таңбалы және теріс таңбалы мүшелерінің саны шексіз деп ұйғарамыз.
Егер (29) қатар мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған мына қатар

жинақты болса, онда осы (29) қатарды абсолют жинақты қатар деп атайды. Егер (29) қатар жинақты болып, ал оның мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған (30) қатар жинақсыз болса, онда (29) қатарды шартты (дудамал) жинақты немесе жартылай жинақты қатар деп атайды.
Теорема. Егер (29) қатар мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған (30) қатар жинақты болса, онда (29) қатар да жинақты болады.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін (29) қатардың жалпы мүшесін мына түрде жазайық:

сонан кейін былай үйғарайық:

Сонда

bn және Cn - оң сандар, сондықтан олардан құрылған мына қатарлар

мүшелері оң қатарлар болып табылады.
Теореманың шарттары бойынша (30) қатар жинақты, ал (31) теңдіктерден мына теңсіздіктер келіп шығады, ендеше (32) қатарлар жинақты.
(29) қатар, жинақты (32) қатарлардың айырмасы, яғни

олай болса (29) қатар жинақты. Теорема дәлелденді.
Мүшелері оң қатарлар үшін жоғарыда келтірілген жеткілікті белгілер (Даламбер, Коши, Куммер т.б. белгілері), (29) қатардың абсолют жинақтылығы үшін де жеткілікті белгілер болып табылады.
2. Қатардың абсолют жинақтылығынан басқа шартты жинақтығын тағайындайтын да белгі бар.
Таңбалары кезекпен ауысып отыратын қатарларды, атап айтқанда төмендегі қатарды қарайық:

мұнда оң сандар.
Осы, таңбалары кезекпен ауысып келетін, қатардың жинақтылығы турасындағы Лейбниц теоремасын дәлелдейік.
Теорема. Егер таңбалары кезекпен ауысып отыратын (33) қатардың мүшелері келесі теңсіздіктерді қанағаттандыратын болса.

онда мұндай қатар жинақты болады.
(33) қатардың бірінші 2n мүшелерінің қосындысын S2n деп белгілейік. Сонда

Теореманың шарттары бойынша сандар an біркелкі кемиді, олай болса жақшалардың ішіндегі айырмалардың таңбалары оң. Сондықтан

(34) теңдікті былай жазуға да болады:

Осы кейінгі теңсіздіктен мынадай қорытындыға келеміз: S2n сандардан тұратын тізбек біркелкі үдемелі. (34) теңдікті тағы да мына турде жазуға болады:

Бұл арадан мынадай теңсіздікке келеміз:

Сонымен, S2n сандардан тұратын тізбек біркелкі үдемелі және оң жағынан шектелген болатын болады. Демек, тізбек жинақты, ЯҒНИ

Қосылғыш сандары тақ S2n+1 дербес қосындыны қарайық:

Бұл арадан шекке көшіп табамыз:

Өйткеңi, теореманың шарттары бойынша
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.