Жинақтылық. Ашық және тұйық жиындар

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

«ҰСТАЗ» ИНСТИТУТЫ

Кафедра: «Математика»

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәні: Функционалды анализ

Тақырыбы: «Жинақтылық. Ашық және тұйық жиындар»

Білімгер: _ Жорабек Айнұр Тобы: М-18-3

/қолы/

Жетекші: Мусилимов Б

/қолы/

Қорғауға жіберілді «20»05___2021ж.

Қорғалды «27»__05___2021ж., бағасы

Комиссия мүшелері: Мусилимов Б.

/Аты-жөні/ /қолы/

Сулеймбекова А. О

/Аты-жөні/ /қолы/

Тараз - 2021ж.

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

«Математика» кафедрасы

ТАПСЫРМА

Функционалды анализ пәні бойынша курстық жобаға, жұмысқа білімгер Жорабек Айнұр

1. Тақырыбы:Жинақтылық. Ашық және тұйық жиындар
2. Тапсырма бойынша арнайы нұсқаулар

Тапсырма “___” 2021 ж. № хаттамамен кафедра мәжілісінде бекітілді.

Жетекші: Мусилимов Б

(аты-жөні, қызметі) (қолы)

Тапсырма орындауға қабылданды «__» 2021ж .

(білімгердің қолы)

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ5

1. МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІК ҰҒЫМЫ

1. 1. Метрикалық кеңістік туралы түсінік және оның маңызы6

1. 2. Метрикалық кеңістіктегі тізбек шегі және жинақталу туралы8

1. 3. Шектік нүктелер және тұйықталу амалы9

2. ЖИНАҚТЫЛЫҚ. АШЫҚ ЖӘНЕ ТҰЙЫҚ ЖИЫНДАР

2. 1. Жинақтылық12

2. 2. Тығыз ішкі жиындар13

2. 3. Ашық және тұйық жиындар14

2. 4. Түзудегі ашық және тұйық жиындар туралы15

ҚОРЫТЫНДЫ18

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ19

КІРІСПЕ

Функционалдық талдау- қазіргі кездегі математиканың маңызды және негізгі бөлімі болып табылады. Функционалдық талдаудың өте маңызды ұғымдарының бірі -кеңістіктің жалпы түсінігі. Оның құрамына функциялар, тізбектер, жиындар және басқа да көптеген математикалық объектілер, көптеген кеңістіктер кіреді.

Функционалдық талдау қазіргі математикада жеке бағыт ретінде XX ғасырдың басында қалыптаса бастаған. Мұның басты себептерінің бірі - жаратылыстанудың (ең алдымен физикада) негізгі модельдері шеңберінде пайда болған дифференциалдық және интегралдық теңдеулерді (жүйелерді) жедел түрде шешудің қажеттілігі. Бұл бағыттың бастауында С. Банах пен Д. Гильберт сияқты көрнекті математиктер тұрды.

Бастапқы кезден бастап жаңа бағыт абстракцияның жоғары дәрежесімен және анализ, алгебра және геометрияның тығыз тоғысуымен сипатталды. Біз талдаудың негізгі операциясын - шегіне өтуді енгізуге мүмкіндік беретін жақын аралықтағы тұжырымдамаларды рәсімдеуден бастап, функционалдық талдаудың дамуын қадағалаймыз. Функционалдық талдау бастамалары - метрикалық кеңістік ұғымымен бастау алады.

Мен Метрикалық кеңістік ұғымымен тікелей байланысы бар жинақтылық, тізбек шегі, ашық және тұйық жиындар ұғымдарын қарастыратын боламын.

Бұл екі жиын- метрикалық кеңістіктегі өте маңызды жиындар болып табылады.

Курстық жұмысымның мақсаты-«Жинақтылық. Ашық және тұйық жиындар» жайлы толық мәлімет беру, оларды зерттеу, тақырыпты ашу.

Курстық жұмыстың міндеттері:

• Метрикалық кеңістік ұғымына толық сипаттама беру;
• Функционалдық талдаудағы «Жинақтылық. Ашық және тұйық жиындар» теориясына анықтама беру, мысалдар келтіру.

Курстық жұмысын жазу барысында анықтама беру, есептеу, мысалдар келтіру және дәлелдеу секілді математикалық тәсілдер пайдаланылады.

Курстық жұмысым-мазмұн, кіріспе, негізгі бөлім, екі бөлімнен, қорытынды және әдебиеттер тізімінен тұрады.

1-бөлімде тақырыбыма байланысы бар метрикалық кеңістік туралы жалпы түсінік беретін боламын. Соның ішінде оның анықтамасын, маңызын, метрикалық кеңістіктегі тізбек шегі мен жинақталу туралы, шектік нүктелер мен тұйықталу амалын қарастыратын боламын.

2-бөлімде мен өзімнің негізгі тақырыбым - жинақтылық, ашық және тұйық жиындар, олардың негізгі анықтамаларын, түзудегі ашық және тұйық жиындарды қарастыратын боламын.

1. МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІК ҰҒЫМЫ

1-бөлімде мен функционалды анализдің ең маңызды бөлігі болып табылатын «метрикалық кеңістік» туралы жалпы түсінік беретін боламын. Соның ішінде оның анықтамасын, маңызын, сол кеңістіктегі тізбек шегі мен жинақталу туралы, шектік нүктелер мен тұйықталу амалын қарастырамын.

1. 1. Метрикалық кеңістік туралы түсінік және оның маңызы

Маңызды талдау операцияларының бірі-шекті деңгейге өту. Бұл операция сандық сызықта бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі арақашықтықты анықтауға негізделген. Талдаудың көптеген іргелі фактілері нақты сандардың алгебралық табиғатымен байланысты емес(яғни олардың өрісті құрайтындығымен), тек арақашықтық деген ұғымға арқа сүйейді. Элементтер арасындағы қашықтық енгізіліп, біз қазіргі заманғы математиканың маңызды тұжырымдамаларын іздейтін метрикалық кеңістік тұжырымдамасына келеміз. Қазір төменде метрикалық кеңістіктер теориясының негізгі фактілері мен оларды жалпылау-топологиялық кеңістіктерге тоқталамыз.

Анықтама. Метрикалық кеңістік дегеніміз-бұл Х жиынында анықталған ρ метрикасымен ( X, ρ ) жұбын құрайтын; x, y элементерінің(нүктелерінің) арасындағы қашықтығы анықталған Х жиынын(кеңістігін) айтамыз.

Х жиынында:

1) ρ( x, y ) $\geq$ 0, x=y болғанда, сонда ρ(x, y) =0 тең болады(тепе-теңдік шарты) ;

2) кез келген x, y $\epsilon\ i\$ элементтері үшін $\rho$ ( x, y) =ρ(y, x) тең болады (симметриялық шарты) ;

3) x, y, z $\ \epsilon$ i элементтері үшін ρ(x, z) $\leq$ ρ(x, y) +ρ(y, z) болады (үшбұрыштар шарты) . -

осы шарттарды метрикалық кеңістіктің аксиомалары деп атайды.

ρ(x, y) санын кеңістіктің х, у нүктелерінің арақашықтығы дейді.

Енді метрикалық кеңістікке мысалдар келтіреміз. Осы кеңістіктердің кейбіреулері талдауда өте маңызды рөл атқарады.

Метрикалық кеңістікте жиі кездесетін мысалдар:

$R^{1}$ , $R^{n}, \ R_{1}^{n}$ , $R_{\infty}^{n}$ , C $\lbrack a, b\rbrack$ , $l_{2}$ , $C_{2}\lbrack a, b\rbrack$ , m, $R_{p}^{n}$ , $l_{p}$ және т. б.

1-мысал. $\mathbf{\ \ }\rho(x, y) = x - y\mathbf{\ }арақашықтығын\ \mathbf{\ }R^{1}$ нақты сандар жиынында анықталған метрика ретінде аламыз. Бұдан метрикалық кеңістікке-( $R^{1}, \rho) \$ айналады. Бұл кеңістіктің шарттары, яғни аксиомалары оңай орындалады.

Шынында да, $\rho(x, y) = x - y$

1. ρ(x, y) $\geq$ 0, ρ(x, y) =0 $\Longleftrightarrow$ $x - y = 0 \Longleftrightarrow \$ x=y

2. $\rho$ (x, y) =ρ(y, x) $\ \Longleftrightarrow x - y = y - x$

3. $\ \rho$ (x, y) = $\ x - y = \left (x - z) + (z - y) \right \leq x - z$ + $z - y$ =ρ(x, z) +ρ(z, y) = $\rho$ (x, y)

$\rho(x, y) = x - y$ $-$ метрика болады.

2-мысал. Еркін жиынның элементтерін қоя отырып, біз метрикалық кеңістікті аламыз.

ρ(x, y) = $\left\{ \begin{array}{r} 0, \ егер\ \ х = у, \\ 1, егер\ х \neq у, \end{array} \right. \$

Оны оқшауланған нүктелер кеңістігі деп атауға болады.

Есепті ары қарай жалғастырамыз.

1. ρ(x, y) $\geq 0$ , ρ(x, y) =0, x=y;

2. 1) x=y, y=x $\Leftrightarrow$ ρ(x, y) = ρ(y, x) ; 2) x $\neq y,$ y=x $\Leftrightarrow$ ρ(x, y) = ρ(y, x)

3. ρ(x, y)

x=y $\Leftrightarrow$ ρ(x, y) =0; x=z $\Longleftrightarrow$ ρ(x, z) =0; z=y $\Longleftrightarrow$ ρ(z, y) =0

ρ(x, y) $\leq$ ρ(x, z) + ρ(z, y)

3-мысал. $R^{1}$ , ρ(x, y) = $\left arc{tg}{x - arc{tg}y} \right$ метрика бола ма?

1. ρ(x, y) = $\left arc{tg}{x - arc{tg}y} \right \geq 0$

$\left arc{tg}{x - arc{tg}y} \right = 0$ $\Rightarrow$ arc ${tg}x$ =arc ${tg}y$ , мұндағы х, у $-$ кез-келген сандар.

(arc ${tg}{x) ^{҆}}$ = (arctgy $) ^{҆} \Longrightarrow$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ = $\frac{1}{1 + y^{2}}$

1+y ² =1+x ² $\Longrightarrow$ x ² = y ² $\Rightarrow$ x=y

2. ρ(x, y) = $\left arc{tg}{x - arc{tg}y} \right$ = $\left arc{tg}{y - arc{tg}x} \right$ =ρ(y, x)

3. ρ(x, y) = $\left arc{tg}{x - arc{tg}y} \right = arctgx - arctgz + arctgz - arctgy \leq arctgx - arctgz + arctgz - arctgy = \rho(x, z) + \rho(z, y)$ .

ρ(x, y) = $\left arc{tg}{x - arc{tg}y} \right -$ метрика болады.

4-мысал. $\lbrack a, b\rbrack$ кесіндісінде анықталған барлық үздіксіз нақты функциялардың С $\lbrack a, b\rbrack\$ жиыны да арақашықтықпен метрикалық кеңістікті құрайды.

Ρ(f, g) = $\max_{a \leq t \leq b}\left g(t) - f(t) \right$

Аксиомалар 1) -3) тікелей тексеріледі. Бұл кеңістік талдауда өте маңызды рөл атқарады. Біз оны осы кеңістіктің нүктелерінің жиынтығымен бірдей С $\lbrack a, b\rbrack\ \ белгісімен\$ белгілейміз. С $\lbrack 0, 1\rbrack$ орнына біз жай ғана С жазамыз.

5-мысал. 3 мысалдағыдай $\lbrack a, b\rbrack$ кесіндісінде үздіксіз болатын барлық функциялардың жиынтығын қарастырайық. Бірақ қашықтықты басқаша анықтаймыз,

ρ( x, y ) =( $\int_{a}^{b}{(x(t) - y(t) }) ^{2}$ d(t) $) ^{\frac{1}{2}}$

Біз мұндай метрикалық кеңістікті $С_{2}\lbrack а, b\rbrack$ арқылы белгілеп, оны квадраттық метрикамен үздіксіз функциялар кеңістігі деп атаймыз. Мұнда метрикалық кеңістіктің 1) және 2) аксиомалары тағы айқын, ал үшбұрыш аксиомасы Коши-Буняковский теңсіздігінің интегралдық түрінен тікелей шығады.

( $\int_{a}^{b}х$ (t) y(t) dt $) ^{2} \leq \int_{a}^{b}x^{2}(t)$ dt $\bullet \int_{a}^{b}y^{2}$ (t) dt.

1. 2. Метрикалық кеңістіктегі тізбек шегі және жинақталу туралы

Анықтама. Х метрикалық кеңістігінде $x_{i}$ , i= 1, 2, … , n, … тізбегі берілсін. Осы

тізбек у $\ \in \$ Х элементіне жинақталады: $\ x_{i} \rightarrow y, \$ егер ρ( $x_{i}, y$ ) сандық тізбегі

$i \rightarrow \infty$ ұмтылғанда нөлге ұмтылатын болса, яғни $\lim_{i \rightarrow \infty}{\rho(}x_{i}, y) = 0$ . Немесе

$x_{i} \rightarrow y\$ қасиетін басқаша былайша тұжырымдауға да болады: кез келген мейлінше кіші ε $> 0$ үшін тізбек элементтерінің барлығы осы нөмірден бастап у нүктесінің ε-маңайына енетіндей n(ε) нөмері табылады. Мұндағы у элементін $x_{i}$ тізбегінің шегі, ал тізбекті жинақталатын тізбек деп атайды.

Егер Х метрикалық кеңістігінің $\ \ \left\{ x_{i} \right\}$ нүктелер тізбегі х $\in$ Х нүктесіне жи-

нақталса, онда $\left\{ x_{i} \right\}$ тізбегінің кез-келген $\left\{ x_{i} \right\}$ ішкі тізбегі осы нүктеде жинақ-

талады.

1-мысал. СL ₁ $\lbrack 0, 1\rbrack$ кеңістігінен алынған $\left\{ x_{n}(t) = t^{n} \right\}$ функционалдық тізбе-

гінің шегі θ(t) =0 функциясына жинақталатынын көрсетеміз.

Расымен де, бұл кеңістікте

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho}_{Е}$ ( $x_{n}$ , θ) = $\int_{0}^{1}{(x_{n}}(t) - \theta(t) ) dt = \int_{0}^{1}{t^{n}dt = \frac{1}{n + 1}}$

Сондықтан,

$\underset{n \rightarrow \infty}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim}\rho_{CL}$ ( $x_{n}$ , θ) = $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n + 1}$ = 0

Олай болса, $S_{r}$ (a) = $\left\{ x \in E:\rho(a, x) \leq r \right\}$ - анықтама бойынша $\left\{ t^{n} \right\}$ тізбегі СL ₁ $\lbrack 0, 1\rbrack$ кеңістігінде жинақталатын тізбек және θ(t) =0 функциясы оның шегі болып табылады. Бірақ бұл тізбек С $\lbrack 0, 1\rbrack\$ кеңістігінде θ(t) =0 функциясына жинақталмайды, өйткені

$\lim_{n \rightarrow \infty}\rho_{C}$ ( $x_{n}$ , θ) = $\lim_{n \rightarrow \infty}{\max\left t^{n} \right}$ = $\lim_{n \rightarrow \infty}{1 = 1 \rightarrow 0}$ .

2-мысал. С $\lbrack 0, 1\rbrack$ кеңістігінде жинақтылықты қарастырып көрейік. Осы кеңістіктің элементтерінен құралған, x (t) функциясына жинақталатын $\left\{ x_{n}(t) \right\}$ тізбегі болсын, яғни

( $\forall$ ε $>$ 0) ( $\exists$ N= $\left\lbrack N(\varepsilon) \right\rbrack$ ) ( $\forall_{n} > N)$ : ρ( $x_{n}$ (t), x (t) ) $< \varepsilon \Longleftrightarrow$ $\rho(x_{n}$ (t), x (t) ) = $\max_{t \in \lbrack 0, 1\rbrack}\left x_{n}(t) - x(t) \right < \varepsilon,$ бұл теңсіздіктен $\lbrack 0, 1\rbrack$ кесіндісінде жатқан барлық t үшін $\left x_{n}(t) - x(t) \right$ $<$ ε болатындығын көреміз. Сонымен,

( $\forall\varepsilon > 0) :(\exists(\varepsilon) )$ ( $\forall n > N) :\left x_{n}(t) - x(t) \right$ $< \ \varepsilon$ теңсіздігі орындалады екен.

Сонда бізге математикалық талдаудан таныс бірқалыпты жинақтылықтың анықтамасы бойынша $\left\{ x_{n}(t) \right\}$ тізбегінің x (t) функциясына бірқалыпты жинақталатынын байқатады. Олай болса, С $\lbrack 0, 1\rbrack$ метрикалық кеңістігіндегі жинақтылық $-$ бірқалыпты жинақтылық болып табылады.

Егер кез-келген ε $> 0$ саны үшін ρ( $x_{k}$ , x ) $< \varepsilon$ осы теңсіздік барлық ε $\geq К$

үшін орындалатындай К $= К(\varepsilon)$ саны табылса, сонда $\left\{ x_{k} \right\}$ тізбегі х нүктесіне жинақталады дейміз.

Бұл х нүктесі $\left\{ x_{k} \right\}$ тізбегінің шегі деп аталады да, $\lim_{k \rightarrow \infty}x_{k}$ = x және

$x_{k} \rightarrow x$ түрлерінде жазылады екен.

1. 3. Шектік нүктелер және тұйықталу амалы

Біз енді метрикалық кеңістіктер теориясының кейбір түсініктерін енгіземіз. Болашақта біз бұл ұғымдарды бірнеше рет қолданамыз.

R метрикалық кеңістігінде ашық шар В(x ₀ , r) деп- мына шартты қанағаттандыратын

ρ(x, $x_{0}$ ) $< r$

х $\in$ R нүктелерінің жиынтығын айтамыз. ${\ Мұндағы\ x}_{0}$ нүктесі осы шардың центрі деп аталады, ал $r$ саны-оның радиусы.

R метрикалық кеңістігінде тұйық шар В $\left\lbrack x_{0}, r \right\rbrack$ деп - мына шартты

қанағаттандыратын

ρ(x, $x_{0}$ ) $\leq \ r$

х $\in$ R нүктелерінің жиынтығын айтамыз.

$x_{0}$ центрінде орналасқан радиусы ε болатын ашық шарды $x_{0}$ нүктесінің

ε - маңайы деп атаймыз және оны $О_{\varepsilon}(x)$ деп белгілейміз. $\ x_{0}$ нүктесінің ε-

маңайы ұғымының мағынасы мынады: метрикалық кеңістіктің х-тен ε-нан

үлкен емес (кіші) қашықтықта орналасқан нүктелері.

Мысал. Әрбір метрикалық кеңістіктегі кез-келген ашық шар-ашық жиын

болып табылады.

Расымен де, $О_{r}$ ( $x_{0}$ ) ашық шар болып табылады және $x_{1}$ $\in$ $О_{r}$ ( $x_{0}$ ) соның кез-

келген элементі деп есептейік. Осы $x_{1}$ нүктесі $О_{r}$ ( $x_{0}$ ) шарының ішкі нүктесі

екенін дәлелдеуміз керек. Анығырақ айтқанда, радиусы ε = r - ρ( $x_{0\, }x_{1}$ ) $> 0$

санына тең $О_{\varepsilon}$ ( $x_{1}$ $)$ шары түгелімен $О_{r}$ ( $x_{0}$ ) шарында жатқанын дәлелдейік.

$О_{\varepsilon}$ ( $x_{1}$ $)$ шарының кез-келген x $\in O_{\varepsilon}$ ( $x_{1}$ ) нүктесі үшін ρ( x, $x_{1}$ ) $< \varepsilon = r - \rho(x_{0}$ , $x_{1})$

яғни

$\rho(x_{0}$ , $x_{1}$ ) + ρ( x, $x_{1}$ ) $< r$

Енді үшбұрыш теңсіздігін қолданамыз:

ρ( $x_{0}$ , x ) $\leq$ $\rho(x_{0}$ , $x_{1}$ ) + ρ( $x_{1}, x$ ) $< r$

осындай теңсіздік шығады. Сонда, x $\ \in$ $О_{r}$ ( $x_{0}$ ) екен, демек, $О_{\varepsilon}$ ( $x_{1}$ $)$ шарының кез-келген x нүктесі $О_{r}$ ( $x_{0}$ ) шарында жатқаны, яғни, $\ О_{\varepsilon}$ ( $x_{1}$ $) \subset \ О_{r}$ ( $x_{0}$ ) екені дәлелденді.

Егер $R^{+}$ деп- оң нақты сандар жиынын белгілесек, Е жиынындағы ρ(x, y) метриканы Е жиынының- 1), 2), 3) аксиомаларды қанағаттандыратын $\rho$ :Е $\times Е \rightarrow R^{+}$ болады. Қанағаттандыратын х нүктелерінің жиынын сәйкесінше, центрі $х_{0}$ радиусы r болатын ашық шар, тұйық шар, сфера дейді.

Ашық шар: u(x; ε) = $\left\{ y\epsilon X:\ \rho(x, y) < \varepsilon \right\}$ болады.

Тұйық шар: B(x, ε) = $\left\{ y\epsilon X:\ \rho(x, y) \leq \varepsilon \right\}$ болады.

... жалғасы

Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар

КОМПАКТЫ ЖИЫНДАР ҰҒЫМЫ

Кеңістіктер мен операторлар

Комплекс айнымалы жалпы дәрежелік функция

МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕ ЖИНАҚТАЛАТЫН ТІЗБЕКТЕР

Қатарлар туралы ақпарат

Рисс теоремасын Штурм-Ливилль есебі үшін пайдалану

МЕТРИКАЛЫ ЖИЫНДАР

Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар

Толық метрикалық кеңістіктер

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс