Дифференциалдық теңдеулерді шешудегі изоклин әдісі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым Министрлігі
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық университеті
Іргелі математика кафедрасы

Мақала
Дифференциалдық теңдеулерді шешудегі изоклин әдісі

Орындаған: М-41 тобының студенті Ғаниева А.Д.
Жетекші: ф.-м.ғ.к.,профессор Тлеулесова А.Б.

Нұр-Сұлтан, 2020
Дифференциалдық теңдеулерді шешудегі изоклин әдісі.
Ғаниева А.Д.
Кілт сөздер: дифференциалдық теңдеу, шешімі, интегралдық қисық, изоклин.
Аңдатпа: Мақалада дифференциалдық теңдеуді шешудің графикалық әдісі- изоклин әдісі, даму тарихы қарастырылады. Осы әдісті қарастырған математиктердің еңбектері зерттеледі.
E-mail: akzhan.ganieva@bk.ru
Дифференциалдық теңдеулер - әр түрлі ғылыми-техникалық мәселелерді шешу үшін кеңінен қолданылатын маңызды теңдеулер болып табылады. Дифференциалдық теңдеулерді, механика, астрономия, физиканың қолданбалы мәселелерінің тікелей әсерінен қалыптасқан әдіс - біртіндеп жуықтау әдісі арқылы шешу қазір ерекше қолданысқа ие.
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің біртіндеп жуықтау әдісі:
-шешімді аналитикалық өрнек түріндегі ұсынатын - аналитикалық әдістер;
-қажетті шешімді тек жеке нүктелерде, яғни кесте түрінде табуға мүмкіндік беретін сандық әдістер;
- геометриялық құрылымдарды пайдаланатын - графикалық әдістер
болып бөлінеді. Шешудің графикалық әдістеріне
кеңінен қолданылатын изоклин әдісін жатқызуға болады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің графикалық шешімі туралы бірінші рет 1694 жылы И.Бернуллидің Acta Eruditorum басылымында Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка мақаласында жарияланған[4].

Изоклин әдісі(бірінші ретті теңдеулер үшін).
(1) дифференциалдық теңдеудің геометриялық мағынасын қарастырайық. Айталық осы теңдеудің жалпы шешімі болсын. Бұл шешім Оху жазықтығында интегралдық қисықтар тобын анықтайды. (1) теңдеу әрбір М(х,у) нүктеде туынды мәнін анықтайды, демек осы нүкте арқылы өтетін интегралдық қисыққа жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін анықтайды. Сонымен, (1) дифференциалдық теңдеу бағыттар жиынын береді, немесе, әдетте, бағыттар өрісін анықтайды деп атайды.
Демек, дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі геометриялық тұрғыдан қарағанда жанама бағыты сол нүктеге сәйкес келетін өріс бағытымен дәл келетіндей қисықтарды табуда екен.
(1) дифференциалдық теңдеу үшін қатынасы орындалатын геометриялық нүктелерді берілген теңдеудің изоклині деп атайды[3]. С-ның әртүрлі мәндерінде изоклиндердің әртүрін аламыз. k-ға сәйкес келетін изоклин теңдеуі болады. Изоклин топтарын құрып, жуықтап интегралдық қисықтар тобын құруға болады. Берілген изоклинді қиып өтетін барлық интегралдық қисықтар абцисса осімен бірдей бұрыштар жасайды.
1-мысал[1]. теңдеуінің ерекше шешімдерін анықтап, интегралдық қисықтарын тұрғызыңыз.
Шешуі: алмастыруын енгізіп, келесі теңдеуді аламыз:
(2)
z=0 кезде (2) теңдеу Липшиц шартын қанағаттандырмайды[3].
z=0 соңғы теңдеудің шешімі болғандықтан ерекше шешім болуы мүмкін.(2) теңдеудің басқа да шешімдерін қарастырайық:

болғанда шартын (2) теңдедің кем дегенде екі шешімі қанағаттандырады:
Сондықтан z=0 - (2) теңдеудің ерекше шешімі.
Басында берілген алмастыруды ескерсек, бастапқы теңдеу үшін у=х
ерекше шешім болып табылатынын байқаймыз.
Қалған шешімдерді мына формула арқылы есептейміз:

2-мысал: теңдеуінің интегралдық қисықтарын изоклиндердің көмегімен салыңыздар.
Шешуі. Берілген теңдеудің изоклиндері , теңдеуден анықталады. k=0 болғанда, болады да х=0 және у=1 екі түзуін, сонымен қатар гиперболалар тобын береді. у=1 түзуі дифференциалдық теңдеудің шешімі болғандықтан интегралдық қисық болады. Ординаталар осімен интегралдық қисықтар тік бұрыш жасайды, демек олардың ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.