Алтын пропорция кесіндісінің құрылу шкаласы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 24 бет
Таңдаулыға:

Тақырыбы: Алтын қима

Жоспары
І.Кіріспе
ІІ. Негізгі бөлім
1. Алтын қима пропорциясы. Ф және φ
2. Алтын қиманың тарихы
4. Пропорцияның құрылымы
5. Екінші алтын қима
6. Алтын пішіндер. Алтын тікбұрыш
7. Алтын үшбұрыш
8. Алтын бесбұрыш
9. Архимед серіппесі
10. Фибоначчи сандары
11. Алтын қима кескіндемеде
ІІІ.Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе
Ғылыми жұмыс өмірдің мазмұны мен мақсатына айналғанда ғана жемісті болмақ.
А.Ф.Иоффе
Қазақстанның орта білім жүйесінің алдында бүкіл адамзаттың құндылық тұғырнамасында қалыптасқан, тәні және жаны сұлу, өзіне-өзі сенімді, ғылыми-тоериялық білімділігі мен тәжірибелік қабілеттері арқылы күрделі әлемдік, өмірлік әрі әлеуметтік кеңістікке еркін ене алатын қасиеттерге ие дарынды тұлға тәрбиелеу міндеті қойылып отыр. Соның ішінде ғылыми зерттеу жұмысы - қазіргі заман біліміне сай ғылым болмақ.
Республикамыздың президенті Н. Назарбаев өзінің жолдауында әлемдегі ең озық 50 елдің қатарына кірігу стратегиясын айқындаған болатын. Сонымен бірге Елбасы Қазақстанның әлемдік экономикаға ойдағыдай кіруі бағытындағы басты міндеттерінің бірі- ғылым мен білім, жаңа технологиялар бәсекелестіктің шешуші факторы екендігін атап көрсетті.
Ғылыми зерттеу табандылықты, шыдамдылықты, көп ойлануды, сондай-ақ еңбекқорлықты талап етеді. Ғылыми зерттеу әрбір оқушыда сапалы және терең білім іскерліктің болуын, олардың шығармашылықпен жұмыс істеуін, ойлауға қабілетті болуын талап етеді. Оқушылардың өз бетімен жұмысын қалыптастыру оқушының ғылымға деген қызығушылығынан және қажеттілігінен туады. Сондай-ақ өз қызығушылығымнан туындаған Алтын қима тақырыбын зерделеу, оның қыр-сырларын ашып, ғылым негізінің бір жолына шығару мақсатым болмақ. Талаптыға нұр жауар демекші, қажымас қайрат, таусылмас талап болса, зерттеулердің көптеген сырларын аша алатынымызды естен шығармауымыз керек.
Мақсаты:
Алтын қима туралы мағлұматпен толық танысып, оның қазіргі кездегі қолданысын зерттеу.
Міндеті:
Алтын қима тақырыбын зерттей отырып, негізгі теориясымен танысу;
зерттеу жұмысын корректі түрде құрастыра білу және зерттеулердің нәтижелеріне геометриялық тұрғыдан баға беру;
Нысаны:
Алтын қиманы геометриялық тұрғыдан зерттеу.
Өзектілігі:
Зерттеліп отырған жұмыс білім алуды жалғастыруға қажетті нақты математикалық білімді меңгеруге, интелектіні дамытуды, математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толыққанды қызмет етуге қажетті зерттеу сапасын қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Проблемасы:
Алтын қиманың қазіргі кездегі қолданысын және музыка, сәулет өнері, кескіндемедегі қолданысын зерттеу.
Болжамы:
Егер Алтын қима туралы мағлұматпен толық таныссам,
онда алған білімімді өмірде қолдана аламын, интеллектілігім және тәжірибелік іскерлігім дамиды.
Зерттеу кезеңдері:
Алтын қиманы әдебиеттерден іздеу, сұрыптау;
Алтын қима туралы мәліметтерді қосымша интернет жүйесінен іздеу, жобалау;
Табылған мәліметтерді Power Point арқылы суреттеу;
Тәжірибенің әдістемесі:
Қазіргі өмірде әлеуметтік жағдайдың барлық салаларын жан-жақты зерттеу нәтижесінде жасөспірім ұрпақтың жан-дүниесін сол негізде тәрбиелеп, оның бойындағы оянбай жатқан қасиеттерді жандандыру - өмір талабы.
Зерттеу жұмысының жаңалығы: Өскелең ұрпақтың біліктілігін қалыптастыруға бағытталған жаңа зерттеулердің негізінде білімді жетілдіру талаптарын күрделендіруге негізделген.
Нәтижесі:
білім алуды жалғастыруға қажетті математикалық білімді меңгереді;
интеллектіні дамытады;
математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толыққанды қызмет етуге қажетті ойлау сапасын қалыптастырады;

Алтын қима пропорциясы. Ф және φ

Геометрия екі ұлы қазынаға ие. Оның бірі - Пифагор теоремасы, екіншісі - кесіндіні шеткі және орта қатынаста бөлу.
Дұрыс көпбұрыштарға Архимедке дейінгі көне грек ғалымдары да өте үлкен назар аударған.Пифагорлықтар, өздерінің одақтас әмблемамен таңдаған пентаграммасын - бес бұрышты жұлдызды және шеңберді бірдей бірдей бөліктерге бөлуге арнады. Альбрехт Дюрер Германиядан алып келген дұрыс бес бұрышты құру туралы нақты теориясын Птолемейдің ұлы Альмагест шығармасымен одақтастырды.
Дюрердің дұрыс бесбұрышты қолданылу қызығушылығы орта ғасырда арабтық және готикалық оюларда, қамал тұрғызуда және дәрімен атылатын қару-жарақ құрастыруда көрінеді.
Леонардо до Винчи көпбұрыштар туралы көп жазғанымен, тек қана Дюрер
ұрпаққ ортағасырлық құрастыруларды қалдырған. Әрине Дюрер Евклидтің (циркуль және сызғыштың көмегімен тұрғызулар) Бастамасымен таныс болған, бірақ өзінің Өлшеулі басшылығына кіргізген жоқ. Евклид берілген доғаны үш бөлікке бөлуге тырыспайды,
ал бұны Дюрер білген. Бұл тапсырма шешілмейтіндігінің дәлелі ХІХ ғасырда табылған.
Евклид ұсынған дұрыс бесбұрыштың құрылысы ортаңғы және шеткі қатынастағы дұрыс кесінді бөлігін енгізеді, ол нәтижесінде алтын кесінді деп аталып, бірнеше жүздеген жылдар бойы өзіне сәулетшілер мен архитекторлардың назарын аударып келген. [1]
Егер кесіндінің үлкен бөлігінің кіші бөлігіне қатынасы барлық бөліктің үлкен бөлігіне қатынасына тең болса, Е нүктесі АВ кесіндісін орта және шеткі қатынастарда бөледі немесе алтын қима жасайды.
Жазылған алтын қима қатынастарының теңдігі мынандай түрде белгіленеді:
АЕВЕ = АВАЕ
Алтын қатынастың АЕВЕ = Ф теңдігіне тең болу үшін, АЕ=а, ал ВЕ= деп аламыз.
Онда
Ф=1+1Ф
деген қатынасқа тең болады. Яғни, Ф
Ф2-Ф-1=0
теңдеуін қанағаттандырады. Бұл теңдеудің бір ғана дұрыс түбірі болады:
Ф=(+1)2 = 1,618034...
1Ф үшін φ=0,618034..., 1Ф=(-1)2, яғни (-1) (+1) =5-1=4 екенін ескеріміз..
Ф және φ - гректің жазбаша және баспаша түрі.
Бұндай мағына көнегрек мүсіншісі Фидияның атымен аталған. Фидия
Афинадағы Парфенон храмының құрылысын басқарған. Бұл храмның пропорциясында φ саны көп кездеседі.
Алтын қиманың тарихы

Алтын бөлу туралы түсінікті ежелгі грек философы және математигі Пифагор, өзінің ғылыми күнділігіне енгізген. Пифагор алтын бөлу туралы ілімді мысырлықтар мен вавилондықтардан алған деген жорамал бар. Бұған Хеопс пирамидасының пропорциясы, храмдардың, бетмүсіндердің, тұрмыс заттарының және Тутанхамона моласындағы әдемілеулер куә. Египтік шеберлер осыларды жасауда да алтын бөлуді қолданған. Француз сәулеткері Ле Корбюзье Сети І Абидос фараонның хрмындағы рельефтен және Рамсес фараонын бейнелеуші рельефтен пішіндердің пропорциялары алтын бөлудің шамаларына сәйкес екенін анықтады. Ағаш тақтайдан жасалған молада бейнеленген Зодчий Хесир, алтын бөлу пропорциясы жазылған өлшеу аспаптарын ұстап жатыр.
Гректер де шебер геометрлер болған. Өз балаларын арифметиканы геометриялық фигуралардың көмегімен оқытқан. Пифагордың квадраты және осы квадраттың диагоналі динамикалық тікбұрыштар құруда негіз
болған.

Динамикалық тікбұрыштар

Платон да алтын бөлу туралы білген. Оның Тимей диалогі Пифагордың математикалық және эстетикалық көзқарастарына арналған, алтын бөлу сұрағы ретінде қалған.

Парфенон қысқа жағынан 8 бағана және ұзынынан 17 бағанадан құралған. Ғимараттың биіктігінің ұзындығына қатынасы 0,618- ге тең. Егер Парфенонның алтын қимасымен бөлсек, онда сол немесе сол сияқты фасадтардың түрлерін аламыз. Оның жанын қазған кезде көне әлем сәулетшілері мен мүсіншілері пайдаланған циркульдер табылды. Помпей циркульінің өзі алтын бөліктерге пропорцияланған.

Парфенон
Парфенон

Алтын қиманың циркулі

Бізге жеткенге дейінгі көне әдебиеттердің ішіндегі Евклидтің Бастамасында алтын бөлулер бірінші рет еске түсіріледі. Бастаманың 2-ші кітабында алтын бөлудің геометриялық сызбалары берілген. Евклидтен кейін алтын бөлудің зерттеулерімен Гипсикл, Папп және т.б. айналысқан. Орта ғасырлық Еуропа Евклид Бастамасының алтын бөлуімен араб аудармаларынан танысты.
Қайта өрлеу заманына орайлас ғалымдардың және суретшілердің арасында алтын бөлуді қолдану деген ұғым күшейді, ол геометрияда қалай қолданылса, сәулет өнерінде де, өнерде де солай қолданылды. Суретші және ғалым Леонардо до Давинчи, итальяндық сәулетшілерде өте үлкен тәжірибе бар, бірақ білімдерінің жетіспейтіндігін көрді. Ол ойланып, геометрия туралы кітап жаза бастады , бірақ сол кезде монах Луки Пачолидің кітабы шықты, содан соң Леонардо өзінің бұл ойын тастады. Замандастардың және ғылым тарихшыларының ойы бойынша, Лука Пачоли нағыз жарық, Фибоначчи мен Галлилейдің арасындағы Италиядағы ұлы математик. 1509 жылы Венецияда
Лука Пачоллидің өте күшті көркемдеулерімен жасалған Божестевенная пропорция атты кітабы жарық көреді, бірақ оны Леонардо до Винчи жасады
деген пікір бар. Кітап алтын пропорцияның қуанышты әнұраны болды. Леонардо до Винчи өзінің көңілін алтын бөлу зерттеуіне де
бөлген. Ол дұрыс бес бұрыш жасайтын стереометриялық денеге қима жасаған, және әр кез қабырғалардың алтын бөлуге қатынасындай тікбұрыш алған. Сондықтан ол алтын бөлуді алтын қима деп атаған.
Сол кездері солтүстік Еуропадағы Германияда осы мәселелермен Альбрехт Дюрер де айналысқан. Дюрер: Біреу бірдеңе білсе мұқтаж болғандарға оқыту қажет. Осыны істеуге менің ниетім ауды деп жазды.
Дюрердің хаттарына қарағанда, ол Италияға барған кезде Лука
Пачолли мен кездескен секілді. Альбрехт Дюрер адам денесінің пропорциясы теориясын толық өңдеді. Дюрер өзінің бұл жүйесінде алтын қиманың негізін көрсете білді. Дюрердің пропорционалдық циркулі бізге өте мәлім.
Алтын пропорцияның кесінділер қатарын ұлғаю жағына, сонымен қатар азаю жағына қоюға болады.
Егер түзу ұзындықтарға m (φ) кесіндісін қойса, қатарына М кесіндісін ығыстарымыз. Осы екі кесінді негізінде алтын пропорцияның ұлғаю және азаю қатарларының кесінді шкаласын салуға болады.

Алтын пропорция кесіндісінің құрылу шкаласы

Кейінгі ғасырларда алтын пропорция ережесі академиялық
қағидаға айналды. 19 ғ-дың ортасын жаңа алтын қиманы зерттейтін неміс профессоры Цейзинг Эстетические иследования атты еңбегін жариялады. Ол алтын қима пропорциясы табиғаттың барлық құбылыстарына және өнерге әмбебап арнап, оны абсолюттеген. Цейзингтің көптеген ізбасарлары және қарсыластары болды. Ол пропорция туралы ғылымын Математикалық эстетика деп жариялаған.

Пропорцияның құрылымы

Кесіндіні алтын қима қатынасында бөлу.
ВС = 12АВ; СД=ВС

Кесіндіні алтын қима пропорциясымен бөлетін Е нүктесі жүргізіледі. В нүктесінен АВ кесіндісінің қақ ортасынан бөлінетін перпендикуляр жүргізіледі. Алынған С нүктесі А сызығымен қосылады. Алынған кесіндіден Д нүктесінен аяқталатын ВС кесіндісі кейінге қалады. АД кесіндісі тікелей АВ кесіндісіне теңгеріледі. Осыдан алынған Е нүктесі АВ кесіндісін алтын пропорция арақатынасында бөледі.
Дәл осы кесінділерді Евклид өзінің дұрыс бесбұрыш жасауында қолданылды.
Осыған байланысты жұлдызды бесбұрышта сонымен қатар алтын қима қолданылады. Бір қызықтысы бесбұрыштың ішінен бесбұрыш жасап жалғастырсаң, оның қатынастары сақтала береді.Сайып келгенде, жұлдызды бесбұрышта сонымен қатар алтын қима қолданылған.
Жұлдызды бесбұрыш пентаграмма деп аталады. Пифагорлықтар өздерінің талисмандары ретінде бесбұрышты жұлдызды таңдады. Ол денсаулықтың символы мен танымдылықтың белгісі ретінде қызмет еттді.
Қазіргі уақытта гипотеза бар, оның ең бірінші мағынасы пентаграмма, ал екінші мағынасы алтын қима. Пентаграмманы ешкім ойлап тапқан жоқ, оны тек көшіріп алды. Бесбұрышты жұлдыздың жеміс ағаштарындағы гүлдердегі бес жапырақ , теңіз жұлдызы тәрізді түрлері бар. Және құбылыстарды табиғат жаратылымдарын адамдар қанша мың жыл бақылап келеді.
Сол себепті, объектілердің геометриялық бейнелеулері - пентаграмма - ертеректен белгілі.

Екінші алтын қима
Болгарлық Отечество атты журналда Цветана Цекова-Карандашаның негізгі қимадан шығатын және 44:56 қатынаста бөлетін Екініші алтын қима атты мақаласы жарияланды.
Мұндай пропорция сәулет өнерінде де табылды, сонымен қатар ол ұзартылғын горизантальдық формат бейнелеулерінің композицияларын құруда орын алады.
Бөлу келесі бейнемен жүзеге асады. АВ кесіндісі алтын қима пропорциясында бөлінеді. С нүктесінен СД перпендикуляры жүргізіледі. Радиус АВ-ның ортасында А нүктесіне түзу арқылы жүргізілген Д нүктесі орналасқан. АСД тікбұрышы қақ ортасынан бөлінеді. Е нүктесі АД кесіндісін 56:44 қатынаста бөледі.
Суретте екінші алтын қиманың құрылысы көрсетілген. Ол алтын қима кесіндісі мен тікбұрыштың орта сызығының ортасында орналасқан.
Сонымен кесіндіні орта және шеткі қатынастарда бөлу бір ғана тәсілмен емес, бірнеше тәсілмен бөлінетіндігі дәлелденді.

Алтын пішіндер
Алтын тікбұрыш
Егер бір жағынан АВ=а квадратын салса АВ кесіндісінен М ортасын тауып және Е нүктесінде АВ жалғасымен кесіп өтуге дейін М нүктесінде ортасы МС радиусымен шеңбер доғасын өткізсе, онда В нүктесі АЕ кесіндісін орта және шеткі қатынастарда бөледі.
Көз жеткізу үшін, Пифагор теоремасына қараймыз
МС2= а2+(а2)2= 5а24
АЕ=а2+МЕ=(+1)а2=АВ
АЕҒД тікбұрышы АЕ=АД жағынан алтын тікбұрыш деп аталады. АВСД тікбұрышы - квадрат. ВС=а=ВЕ қарасақ, ВЕҒД да алтын екенін көру қиын емес. Бұл жағдай ВЕҒС тік бұрышын онан ары бөлшектеуге болады деген ой келеді.
Тікбұрыштың қабырғалармен қатынасы, теңдігі, тікбұрыштардың қабырғалармен қатынасы, айтқанда, 2:1, 3:2, 5:7 көрінеді деп есептеуге бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін, арнайы эксперименттер жасалды. Нәтижелері әбден нанарлық, бірақ та кейбір деректер куәландырады.

Алтын үшбұрыш

АВ түзуін жүргіземіз. А нүктесінен үш рет О кесіндісін кез-келген шамамен түсіреміз, сол алынған Р нүктесінен АВ түзуіне перпендикуляр жүргіземіз.
Алынған d және d1 нүктелерін А нүктесімен түзу қосамыз. Dd1 кесіндісінен Аd1
түзуін жүргізе отырып, қиылысатын С нүктесін аламыз. Ол Аd1түзуін алтын қима қатынасында бөлді. Аd1 және dd1 түзулерінен алтын тікбұрыш пайда болды.

Алтын үшбұрыштың құрылысы
Алтын үшбұрыштың құрылысы

Алтын бесбұрыш

Өте тамаша үлгі ретінде алтын қима өз бетімен дұрыс бесбұрыш - дөңес және жұлдызды ұсынады.

А л т ы н б е с б ұ р ы ш.

Пентаграмманы құру үшін міндетті түрде дұрыс бесбұрыш құру қажет. Мейлі, О-шеңбердің ортасы, А-шеңберлердегі нүкте, ал Е-ОА кесіндісінің ортасы. ОА радиуысына перпендикуляр, О нүктесінде құрылған, Д нүктесінде шеңбермен қиылысады. Циркульді пайдаланып, диаметрде СЕ=ЕД кесіндісін қалдырамыз. Дұрыс бесбұрыштың айналасындағы ұзыныдығы ДС-ға тең. ДС айналасына кесінді салып түзу бесбұрыш сызу үшін бес нүкте аламыз. Диагонал арқылы бесбұрыштың бұрыштарын қосып пентаграмма аламыз. Бесбұрыштың барлық диагоналдары өзара кесінділерге бөлінеді, оларға өзара бір-бірімен алтын пропорциямен байланысқан бесбұрыштың жұлдыздың соңғы нүктесі алтын үшбұрыш құрайды.
Жоғары жағынан оның шеттерінің бұрышы 360, ал бүйірінің негізі оның алтын кесіндінің пропорциясына бекиді. Алтын куб-бұл қабырғалары ұзындығы 1.618 және 0.618 болатын тікбұрышты параллелепипед.
Енді Евклид Начало-да ұсынған дәлелдемелерді қарастырайық.
Енді Евклидтің 72 градус бұрышты құру үшін алтын кесіндіні қоглдануын қарастырайық. Тура осындай бұрыш арқылы дұрыс бесбұрыш көрініп тұр. В нүктесімен орта және шеткі қатынас арқылы бөлінген АВЕ кесіндісінен бастаймыз. В және Е нүктелерінде ортасы арқылы дөңес айналасын жүргіземіз. С нүктесінде қиылысатын АВ градусы арқылы жүреді. Төменірікте АС=АЕ екендігін дәлелдейміз. Ал қазірге осы қағиданы ұстанамыз.
Сонымен. АС=СЕ болсын. α арқылы ЕВС және СЕВ тең бұрыштарын белгілейміз. АС=СЕ болғандықтан, АСЕ бұрышы α -ға тең. Үшбұрыштың бұрыштар саны 1800 тең. ВСЕ бұрышын табуға болады. Ол 1800 2 α тең, ал бұрышы ЕАС-3 α -180 теоремасын дәлелдейік. Бірақ онда АВС бұрышы 180- α -ға тең. АВС үшбұрышының бұрыштар санын есептей отырып,
180=(3 α -180)+(3 α -180)+(180- α) аламыз.
Одан 5 α = 360, яғни α =72.
Сонымен, ВЕС үшбұрышының негізінде әрбір бұрыштар бұрыш төбесінде екі есе үлкен, ол 360 тең. Сонымен, дұрыс бесбұрыш құру үшін, Е нүктесінде ортасы арқылы кез-келген шеңберді жүргізу керек, олар ЕС Х нүктесінде қиылысады және ЕВ жақтары У нүктесінде қиылысады. ХУ кесіндісі дұрыс бесбұрыштың шеңберіне жазылған. Шеңбердің барлық жағынан айнала отырып, барлық қалған жақтарын табуға болады.
Енді АС=АЕ екендігін дәлелдейік. С нүктесінің төбесі түзу кесінді арқылы ВЕ кесіндісінде N ортасымен қосылған. СВ=СЕ екендігін байқайық, онда СNЕ бұрышы тік.
Пифагор теоремасы бойынша
СN2=а2-(а2φ)2=а2(1-4φ2 )
Осыдан
(АСа)2=(1+12 φ)2+(1-14 φ2) =2+1 φ=1+φ= φ2
Сонымен, АС= φ а= φАВ=АЕ, міне осыны дәледеу керек болатын.

Архимед серіппесі
Алтын тікбұрыштардан квадраттарды жүйелі шексізздікке дейін кесіп тастап, әрдайым қарсы нүктелерді шеңбер ширегімен қосса, біз қарапайым қисық аламыз. Бірінші назарды оған көнегрек ғалымы Архимед аударған. Ол оны зерттеп, серіппе теңдеуін шығарды. Қазіргі уақытта Архимед серіппесі техникада кеңінен қолданылады.

А р х и м е д с е р і п п е с і

Фибоначчи сандары
Алтын қимамен лақап аты Фибоначчимен белгілі Пизадағы итальян математигі Леонардонаның атымен байланысты.
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.