Функцияның шексіздіктегі шегі

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

----------------------------------- ----------------------------------- ----------

Курстық жұмыс

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі
Академик Е.А.Букетов атындағы Қарағанды университеті
Математика және ақпараттық технологиялар факультеті
Математика және информатиканы оқыту әдістемесі кафедрасы

Курстық жұмыс

Пәні:Сыныптан тыс жұмыс (факультативті сабақ)

Тақырыбы: Факультативтік сабақта шектер теориясын оқыту

Орындаған: МиИ-421 топ студенті
Сайфулла Ш.У
Тексерген: Ахманова.Д.М

Қарағанды-2021

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

1 ТІЗБЕКТІҢ ШЕГІН ФАКУЛЬТАТИВТІК САБАҚТА ТҮСІНДІРУ ... ... ... .7
1.1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... 7
1.2 Теңсіздіктерде шекке көшу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
2 ФУНКЦИЯ ШЕГІ ТЕОРЕМАЛАРЫН СЫНЫПТАН ТЫС ТҮСІНДІРУ ... .11
2.1 Функция шегінің екі анықтамасы және олардың пара - парлығы ... ... ... .11
2.2 Бір жақты шектер ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
2.3 Функцияның шексіздіктегі шегі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..21
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ..22
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .23

КІРІСПЕ

Мен өзімнің курстық жұмысымда Шектер теориясы туралы қарастырамыз яғни:
Егер кез - келген оң санына сәйкес натурал саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда a саны тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:

Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n нөмері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
2)Рекуренттік тәсіл. Бүл тәсілді қолданғанда тізбектің біріншісі беріледі және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез - келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез - келген n = 2 үшін a = an-1+d; б) кез - келген n = 2 үшін bn = bn-1 ∙ q; а) және б) формулалары сәйкес және тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез - келген мүшесін табуға мүмкіндік береді. Тізбектің рекуренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін элетрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді.
3) Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болу
мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2,3,5,7,11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жай сандар тізбегі, ал екіншісі - саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.
Функцияның нүктедегі шегі.
Функциясы нүктесінің қандай да бір маңайында ( нүктесінің өзі кірмеуі мүмкін) анықталсын.
Функция нүктедегі шегінің екі өзара эквивалентті анықтамасын тұжырымдайық.
Анықтама 1. (тізбектер тілінде немесе Гейне бойынша). Егер -ге жинақталатын , аргументінің мүмкін мәндерінің кез-келген тізбегі А санына жинақталса, А саны функциясының шегі деп аталады. Бұл жағдайда немесе болғанда деп жазады. функциясы шегінің геометриялық мағынасы: нүктесіне жеткілікті жақын барлық нүктесі үшін функцияның сәйкес мәндері санынан аз ғана айырмашылығы болады.
функция шегінің анықтамасы бойынша нүктесі -ге кез-келген жағдайда ұмтылады: ден кіші болса да, ден үлкен болса да немесе нүктесінің аймағында ауытқыса да.
Кейде аргументінің -ге жақындауының тәсілі функция шегінің мәніне айтарлықтай әсер ететін жағдайлар болады. Сондықтан, бір жақты шектер ұғымы енгізіледі.
Егер кез-келген үшін саны табылып, болғанда теңсіздігін орындалса, саны функциясының сол жақ шегі деп аталады. Сол жақ шекті деп немесе қысқаша, деп жазады. Осылайша, функцияның оң жақты шегі анықталып, қысқаша төмендегідей жазылады:
Оң жақты шекті қысқаша деп белгілейді. Функцияның оң жақты және сол жақты шектері бір жақты шектер деп аталады. Егер бар болса, онда екі бір жақты шектер бар болады және . Кері тұжырым да орынды: егер екі бір жақты шектер бар болса және олар тең болса, онда және шегі бар болады. Егер болса, онда шегі жоқ.

1 Тізбектің шегін факультативтік сабақта түсіндіру

0.1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері.

Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны атайды. Бұл функцияны f әріпімен белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына f (1) мәні, 2 санына f (2) мәні т.с.с. сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:
n f (n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде = f (1), = f (2),..., = f (n),... арқылы белгілеп, оларды тізбектің бірінші, екінші, және т.с.с. n-ші мүшелері деп атайды. n-ші мүшені тіэбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі болатын тізбекті немесе арқылы белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.‏‍‌
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n нөмері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
2)Рекуренттік тәсіл. Бүл тәсілді қолданғанда тізбектің біріншісі беріледі және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез - келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез - келген n = 2 үшін a = an-1+d; б) кез - келген n = 2 үшін bn = bn-1 ∙ q; а) және б) формулалары сәйкес және тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез - келген мүшесін табуға мүмкіндік береді. Тізбектің рекуренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін элетрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді.
3) Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз бол

мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2,3,5,7,11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жай сандар тізбегі, ал екіншісі - саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.
Тізбектердің қарапайым сипаттамалары.
а) Шенделген және шенделмеген тізбектер. Егер с 0 саны табылып,
барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі шенделген
тізбек деп аталады. (символдар арқылы : ). Жоғарыдан
және төменнен шенелген тізбектердің анықтамалары осыған ұқсас түрде
тұжырымдалады.
Мысал үшін тізбектің жоғарыдан шенделгендігін символдармен жазылуын келтірейік. Егер орындалса, онда тізбегі жоғарыдан шенделген деп аталады. Сонда М саны тізбектің жоғарғы шені деп аталады. Енді тізбектің шенделгендігін терістеу арқылы оның шенделмегендігінің анықтамасын (символдар көмегімен) берейік. Егер үшін c орындалса, онда тізбегі шенделмеген деп аталады.
б) Тізбек үшін жұп болу, не тақ болу деген түсініктердің мағынасы болмайды, өйткені N жиыны симмметриялы емес ( N жиынына n саны енгенімен -n саны енбей отыр).
в) Тізбек үшін периодты, не периодсыз болу деген түсініктердің де мағынасы жоқ, өйткені N жиыны периодты емес.
г) Бірсарынды тізбектер. Барлық n N үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі өспелі тізбек деп аталады. Егер барлық n N үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі кемімейтін аталады. Өспелі,кемімейтін, кемімелі және өспейтін тізбектерді жалпы бірсарынды тізбектер деп атайды.
Тізбек шегін анықтау
1- анықтама. Егер кез - келген оң санына сәйкес натурал саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда a саны тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:
немесе жағдайда (символдар арқылы ). Шегі бар тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын жинақталмайтын тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде теңсіздігі немесе теңсіздігімен пара - пар, олай болса, барлық үшін , яғни a нүктесінің - маңайы тізбектің нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды.
Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.

2- анықтама. Егер a нүктесінің кез - келген маңайы тізбегінің саны арқылы мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы a санын тізбегінің шегі деп атайды.
1.2 Шегі бар тізбектердің қасиеттері
1- теорема. Егер тізбегінің шегі бар болса, онда ол шек жалғыз.
тізбегінің шегі a және b бар деп жориық. Олардың , маңайларын ( яғни қиылыспайтындай) етіп алайық. ұмтылғанда тізбегінің маңайының сыртында жатқан мүшелері арқылы жиын, олай болса тізбегінің маңайында жатқан мүшелері ақырсыз жиын бола алмайды, сондықтан, анықтама бойынша b саны тізбегінің шегі бола алмайды.

2- теорема. Егер тізбегі жинақты болса, онда ол тізбек - шенелген. деп алайық. саны берілсін. нөмерлері бар мүшелері үшін орындалатындай етіп оң бүтін санын табамыз. Онда ()
,бұдан , аламыз. Енді , сандарының ең үлкенін М деп алсақ, онда аламыз.
Ескерту. Тізбек жинақты болу үшін тізбектің шенелген болуы қажетті, бірақ бұл - жеткіліксіз шарт.
3 - теорема. Егер болса, онда
4- теорема. Егер және , n=1,2 ... болса онда
саны берілсін. Онда
нөмірлері үшін
нөмірлері үшін
Орындалатындай және сандары табылады.
Ал нөмірлері үшін

Яғни () орындалады.
5- теорема. Егер, онда .
Кeлесі екі тұжырым, пара-пар: () (Оң сан берілсе нөмірлері үшін теңсіздігі орындалатындай саны табылады).
теңсіздігі орындалатыны белгілі. Олай болса саны берілсе , орындалатыны саны бар, яғни
1.2 Теңсіздіктерде шекке көшу
Теорема. Егер жағдайда , және де барлық нөмірлері үшін болса, онда . Қысқаша айтқанда, алынған теңсіздікте шекке көшуге болады.
Дәлелдеуі. Қарсы жорып, ab дейік. санын мына аралықтан 0 таңдап алайық. Тізбек шегінің анықтамасы бойынша осы санына сәйкес натурал саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалады. Осыған ұқсас түрде алынған санына сәйкес натурал саны табылып, барлық нөміллері үшін теңсіздігі орындалады. Егер және сандарының ең үлкенін арқылы белгілесек, онда нөмірлері үшін осы теңсіздіктердің екеуі де сөзсіз орындалады. Сонда
теңсіздігін түрлендіре келе, табатынымыз:

яғни
Барлық нөмірлері үшін соңғы теңсіздіктерден , нeмесе теңсіздігі шығады. Алайда, бұл теңсіздік теореманың шарты теңсіздігіне қайшы. Демек, ab деп жору қате. Сондықтан болады ( яғни теңсіздікте шекке көшуге болады).
1- салдар. Егер жағдайда және барлық нөмірлері үшін болса онда теңсіздігі орындалады. Бұған көз жеткізу үшін жағдайда теңсіздігінде шекке көшсек жеткілікті
2- салдар. Егер жинақталатын тізбегінің барлық мүшелері кесіндісіне тиісті болса, онда оның шегі с саны да осы кесіндіге тиісті болады. Шынында да, , теңсіздігінде шекке көшсек, іздеген теңсіздігі шығады. Енді және теңсіздіктері барлық нөмірлері үшін емес, қандай болса да бір нөмірінен артық барлық үшін орындалғанда да жоғарыда дәлелденген теорема мен одан шығатын бірінші салдардың дүрыс болып қала беретіндігін ескертеміз.

1 Функция шегі теоремаларын сыныптан тыс жүйелі түсіндіру

0.1 Функция шегінің екі анықтамасы және олардың пара - парлығы

ɑ нүктесінің қандай болмасын (с,d) маңайында ( мүмкін ɑ нүктесінде де ) анықталған ƒ функциясын қарастырайық.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
1-анықтама. Егер a санына жинақталатын кез келген тізбегі (мұның ешбір элементі ) үшін ƒ функциясы мәндерінің сәйкес тізбегі санына жинақталатын болса, онда A санын ƒ функциясының -тің ɑ -ға ұмытылғандағы шегі деп атайды және былай белгілейді:
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

----------------------------------- ----------------------------------- ----------
немесе жағдайда (символдар арқылы: ).
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
2-анықтама. Егер кез келген санына сәйкес саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық үшін тенсіздігі орындалса, онда санын ƒ функциясының -тің ɑ -ға ұмтылғандағы шегі деп атайды және (1) өрнегімен белгілейді (символдар арқылы: ). Егер нүкте маңайының (жеке жағдайда ортасынан тесілген ) белгілеуін пайдалансақ, былай жазуға болады:

яғни кез келген үшін саны табылып, аргумент мәндері ɑ нүктесінің ортасынан (тесілген) маңайына тиісті болғанда ƒ функциясының сәйкес мәндері нүктесінің маңайына (yөсі бойында) тиісті болады. Енді осы екі анықтаманың пара-парлығын дәлелдейік.
1-анықтамада айтылған мағынада болсын, сонда осы шектің 2-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетейік. Қарсы жорып, екінші анықтама дұрыс болмайды дейік. Бұл жорамалды әдеткі символын
символымен, символын символымен, яғни, "барлық үшін" сөз тіркесін " мәні табылады" сөз тіркесімен алмастыра отырып,керісінше тұжырымдап, 2-анықтаманы теріске шығарайық.
Сонда немесе саны табылып, кез келген саны үшін ең болмағанда бір нүктесін табуға болады және тенсіздігі орындалғанда тенсіздігіде орындалады.
саны үшін , тізбегінің барлық мүшелерін алайық. Сонда әрбір және оған сәйкес нүктесі үшін теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Алайда жағдайда оған функция мәндерінің тізбегі санына ұмтылмайды. 1-анықтаманың мағынасына қарсы осы табылған қайшылық айтылған болжамды дәлелдейді.
Енді 2-анықтамада тілінде айтылған мағынадағы ƒ функциясы шегінің 1-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетеміз. Ол үшін санын тағайындап алып, оған сәйкес санын табамыз. Енді ұмтылатын қандайда да болсын тізбек дейік (). Сонда санына (жоғарыда тауып алған) сәйкес нөмері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан 2-анықтама бойынша теңсіздігі шығады. Сонымен жағдайда болады. Демек, функция шегінің екі анықтамасы бір-бірімен пара-пар болып шықты. Бұл екі анықтаманың қай-қайсысын да қолайлы болған кезде падалана беруге болады.

2.2 Бір жақты шектер.

ƒ функциясы (с,d] жарты интервалда (мүмкін ɑ ϵ (с,d] нүктесінде де) анықталған дейік. 1-анықтама. Егер ɑ санына жинақталатын кез келген , мұндағы , , тізбегіне ƒ функция мәндерінің сәйкес
тізбегі санына жинақталатын болса, онда саны -тің ɑ -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының сол жақты шегі деп аталады және былай жазылады:

(символдар арқылы:).
2-анықтама. Егер кез келген үшін оған тәуелді саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда A саны x-тің ɑ -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының сол жақ шегі деп аталады және былай жазылады: (символдар арқылы:
).
1 және 2-анықтамалардың мәндестігін 1-пункттегідей дәлелдеуге болады. Жоғары келтірілген анықтамаларға ұқсас түрде -тің ɑ -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының оң жақ шегінің 1 және 2-анықтамаларын тұжырымдауға болады. Ол шекті арқылы жазып көрсетейік
1.

2.
Егер ɑ=0 болса, онда орнына деп, ал орнына деп жазады.
Теорема. болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілік. деп алайық. 2-анықтама бойынша, кез келген үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан шығатыны: және теңсіздіктерін қанағаттандыратын
барлық үшін теңсіздігі орындалады, яғни .
Жеткіліктік. және деп алайық. Сонда кез келген үшін және сандары табылып, және теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады. Енді және сандарының ең кішісін деп белгілесек, онда теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі шығады, яғни .
Ескерту. -тің ɑ-ға ұмтылғандағы ƒ функциясының бір жақты шектерін сол функцияның ɑ нүктесіндегі бір жақты шектерді деп те атайды және былай белгілейді:

2.3Функцияның шексіздіктегі шегі.

Алдыңғы пунктте келтірілген 1 және 2-анықтамаларда ɑ мен A сандары арқылы болатын. Енді біз аргумент тұрақты таңбалы шексіздікке ұмытылғандағы функция шегінің анықтамасын тұжырымдаймыз. ƒ функциясы сәулесінде анықталған болсын.
3-анықтама. Егер мүшелері белгілі бір нөмірден бастап оң (теріс) сан болатын аргумент мәндерінің кез келген ақырсыз үлкен тізбегі үшін ƒфункциясының сәйкес мәндерінің тізбегі A санына жинақталатын болса, онда A саны оң (теріс) шексіздікке ұмтылғандағы ƒ функциясының шегі деп аталады және былай белгіленеді: 4-анықтама. Егер кез келген оң ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.