Функцияның шегі ұғымдары абрактілі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 23 бет
Таңдаулыға:

Ақтөбе облыстық мамандандырылған
физика-математикалық мектеп-интернаты

Жобаның тақырыбы:
Функцияның шегі және оның қолданысы

Секция: математика

Орындаушы: Серікбаев Әлішер

Жетекшісі: Зейнулла Р.А.
математика пәні мұғалімі

Ғылыми жетекші: А.Е.Иманчиев
Қ.Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік университеті

математика кафедрасының доценті,
физика-математика ғылымдарының
кандидаты

Ақтөбе, 2021
Мазмұны

Кіріспе
5
1.
Функцияның шегі

1.1
Тізбектің шегі
7
1.2
Функция шегінің екі анықтамасы және олардың парапарлығы
8
1.3
Шегі бар функциялардың қасиеттері
9
1.4
Бір жақты шектер
23
1.5
Функцияның шексіздіктегі шегі
29

Кіріспе
Шек - математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Егер алдын ала берілген кез келген саны үшін х айнымалы шамасының белгілі бір мәнінен бастап келесі барлық мәндері теңсіздігін қанағаттандырса, онда а саны х айнымалы шамасының шегі деп аталады.Егер кез келген аз саны үшін әрқашанда N нөмірі табылып және теңсіздігін қанағаттандыратын n-нің барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, онда а саны айнымалы хn тізбегінің шегі деп аталады.
Тізбек және оның шегі ұғымдары математиканың ішкі проблемаларымен қатар оны қолдану жолында пайда болады.
Егер кез келген аз саны үшін саны табылып, х айнымалы шамасының теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, онда А тұрақты саны f(х) функциясының нүктесіндегі шегі делінеді.Шектердің қазіргі теориясы XIX ғасырдың басында қалыптаса бастады. Шек ұғымы алғаш рет О.Коши еңбектерінде қолданылды. Тізбек пен функция шектерінің теориясы Б.Больцано мен К.Вейерштрасстың еңбектері негізінде қалыптасты.
Жинақтылық, математикада -- белгілі бір математикалық объектінің шегі болатындығын көрсететін математикалық талдаудың негізгі ұғымдарының бірі. Осы мағынада тізбектің жинақтылықтығы, қатардың жинақтылықтығы, шексіз көбейтіндінің жинақтылықтығы, үздіксіз бөлшектің жинақтылықтығы, интегралдық жинақтылық, т.б. жөнінде айтуға болады.
,, ... нақты сандар тізбегінің жинақтылықтығы оның шекті шегі болатындығын көрсетеді: L оның шегі болса:

деп жазылып, "тізбегі n шексіздікке ұмтылғанда L-ге тең" деп оқылады. Қандай да бір математикалық объектінің жинақтылық қасиеті математиканың теориялық мәселелері мен математика қолданылатын жерлерде елеулі рөл атқарады.
Қатарлар мен интегралдар теориясында абсолют жинақтылық ұғымының маңызы зор. Жинақтылық ұғымы әр түрлі теңдеулерді (алгебралық, дифференциалдық, интегралдық) шешуде (Мысалы, теңдеулердің сандық шешімдерін табу кезінде) үлкен рөл атқарады.
Зерттеу объектісі: жоғарғы математика курсында функцияның шегін табудың әртүрлі әдістерін баяндау.
Зерттеу пәні: математикалық талдау курсындағы функцияның шегін табудың әртүрлі әдістерін оқып үйрену, есептер шығару дағдысын дамыту үдерісі.
Зерттеудің мақсаты - жоғарғы математика курсында функцияның шегін табудың әртүрлі әдістерін анықтай отырып, кез-келген анықталмағандықты шешуді жетік үйреніп, бекіту.
Зерттеудің міндеттері:
1. Зерттеу тақырыбына байланысты әдебиеттермен танысып, оларға ғылыми-әдістемелік тұрғыдан шолу жасау;
2. Жоғарғы математика курсында функцияның шегін табудың әдістерін дәлелдеу арқылы ой-өрісті дамыту мүмкіндіктерін талдау;
3. Жоғарғы математика курсында функцияның щегін табу әдістері әдістемесін және тиімділігін тексеру.
4. оқушылардың білімділік деңгейін арттыруға бағдарланған шығармашылық тапсырмалар жүйесін әзірлеу және оны жүзеге асыру;
5. Оқушылардың білімділік деңгейін арттыруға бағдарланған шығармашылық тапсырмалар жүйесін әзірлеу және оны жүзеге асыру;
6. Шығармашылық тапсырмалар жүйесі арқылы дамуын қамтамасыз ететін педагогикалық шартты есептер кешенін анықтау, негіздеу және тексеру.
Зерттеудің болжамы: егер математикалық талдау курсындағы теориялық білімді қолдану, яғни функцияның шегін табудың әртүрлі әдістерін негіздеп, жүйелейтін болсақ, онда бұл практикалық және логикалық-дедуктивті тәсілдердің өзара байланыстарын дамытады және осы мақсатқа бағытталған оқу үдерісін қамтамасыз етеді, математикалық талдау курсын жоғары дәрежеде меңгеруге жағдайлар жасайды.
Зерттеу жұмысының теориялық және әдістемелік негіздері: білім, жеке тұлға логикасы, ақыл-ой, белсенділік туралы педагогикалық және ғылыми теориялар мен тұжырымдамалар, білім сапасы туралы теориялар.
Зерттеу әдістері: Математикалық анализ курсында функцияның шегін табу тақырыбын ойлау қабілеті жоғары дамыған балалрға түсіндерген кезде де жаңа ұғымдарды қалыптастыру үшін ерекше әдістемелік шеберлік қажет болады.
Функцияның шегі ұғымдары абрактілі. Функцияның шегін табуды оқыту нақты мысалдар қарастырудан басталады.
Функцияның шегінің анықтамалары көрнекі графиктік кескіндеудің көмегімен беріледі.

Ең алдымен шек ұғымы енгізіледі. Функцияның шегінің анықтамасын енгізбес бұрын бірнеше мысалдар қарастырылады. Сызықтық функцияның шегінен бастап, кейін күрделі функцияларды қарастыру арқылы бекітеді
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:
- жоғарғы математикада шектерді оқытуда оқушылардың математикалық талдау курсына деген қызығушылығын шектерді табудың әдісері арқылы дамытудың ғылыми-әдістемелік тұрғыдан негіздеді;
- функцияның шегі және оны табудың ерекшеліктері мен оларға сәйкес әдістемелік талаптарын анықтау, оларға сай есептер анықталады;
- функцияның шектерін табуды оқыту үрдісінде қолдану арқылы күрделі, қиын деп саналатын есептерді шешуге баулу, сол арқылы оқушылардың математикалық талдау сауаттылығын жетілдіріп дамытады.
Зерттеу жұмыстың құрылымы мен көлемі. Диссертация кіріспеден, екі тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 Функцияның шегі

1.1 Тізбектің шегі
Сандық тізбек, оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны (немес N жиынының R жиынына бейнеленуін) атайды. Бұл функцияның f әріпімен белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына f(1) мәні, 2 санына f(2) мәні т.с.с. сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:
n -- f(n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде f1= f(1), f2= f(2),..., fn= f(n),... арқылы белгілеп, оларды тізбектің бірінші, екінші, және т.с.с. n - ші мүшелері деп атайды, n - ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі fn болатын тізбекті f1,f2,...,fn,... немесе fn арқылы белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1. Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n номері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
Мысалдар: 1. xn= 1+12n(n) (n N) . Бұл формула бойынша
x1 = 1 + 12 =32 , ..., x5 = 1 + 125 = 1+132 = 3332 , т.с.с. Бұл жағдайда xn тізбегі
xn = 1 + 12n формуласымен берілген дейік.
2. xn = 3, n N. Бұл тізбектің барлық мүшелері бір- бірімен тең. Барлық мүшелері өзара тең болатын тізбекті тұрақты тізбек деп атайды.
3. Тізбекке тағы мынадай мысалдар келтірейік:
n = 1, 2, 3,...,n,...; 1n = 1, 12, 13,...,1n,...;
1+ 110n =1,1;1,01;1,001;...;1+110n; n-1n = 0, 12,23,... .
2. Рекурренттік тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда тізбектің бірінші мүшесі беріледі және осы тізбектің белгілі бір неме бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез- келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез келген n = 2 үшін an= an-1+d ; б) кез- келген n = 2 үшін bn= bn-1*q ; а) және б) формулалары сәйкес an және bn тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез келген мүшесін (екінші мүшесінен бастап) табуға мүмкіндік береді. Бұл тізбектер арифметикалық және геометриялық прогрессиялар түрінде бізге бұрыннан таныс болатын. Тізбектің рекурренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін электрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді; сонда машина әрі жеңіл, әрі шапшаң орындалатын біріңғай есептеу операцияларын бірнеше рет қайталайтын болады.
3. Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болуы мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2, 3, 5, 7, 11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жәй сандар тізбегі, ал екіншісі 5 саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.
yn тізбегін графикпен бейнелегенде мынадай екі тәсіл қолданылады:
1) yn тізбегін функция деп алып, оны координаталық жазықтықтың M(n, yn) нүктелерінің жиыны арқылы бейнелуге болады;
2) yn тізбегін координаталық түзудің M(yn) (немесе yn ) нүктелерімен бейнелеуге болады.
yn = 1n тізбегін бейнелеудің осы екі тәсілі де 28, 29- суреттерде көрсетілген.
y

О 0 1 у
0 1 2 3 4 5 x

Тізбек шегін анықтау
1- анықтама. Егер кез келген оң ԑ санына сайкес натурал nƐ саны табылып, барлық n ˃ nԑ номерлері үшін xn-a˂ ԑ теңсіздігі орындалса, онда a саны xn тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады: limn--infinityxn= a немесе n--infinity (символдар арқылы:
limn--infinityxn ⇔∀ԑ ˃ 0 nԑǀn˃ nԑ⇒ǀxn-aǀ˂ԑ). Шегі бар болатын тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын тізбек жинақталмайтын тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде ǀxn-aǀ˂ԑ теңсіздігі -ԑ ˂xn- a˂ ԑ немесе a-ԑ˂xn˂ a+ԑ теңсіздігімен пара пар, олай болса, барлық n ˃ nԑ үшін xn∈ Uԑ(a), яғни a нүктесінің ԑ- маңайы тізбектің n ˃ nԑ нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды. Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.
2- анықтама. Егер a нүктесінің кез- келген ԑ маңайы xn тізбегінің саны арқылы x1,x2,...,xnԑ мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы a санын xn тізбегінің шегі деп атайды.

Мысал. 1. n-1n+1 тізбегі жинақталады және оның шегі 1 - ге тең. Шынында да, шек анықтамасының орындалатындығын тексерейік. Ол үшін n-1n+1-1 ˂ ԑ теңсіздігін қарастырайық. Кейбір түрлендірулерді орындай келе мынаны табамыз:
n-1n+1-1 ˂ ԑ⇔2n+1 ˂ ԑ ⇔ n+12 ˃ 1ԑ ⇔ n ˃ 2ԑ - 1.

Демек, натурал nԑ саны табылып, (мысалы, 2ԑ -1 санының бүтін бөлігіне тең), барлық n ˃ nԑ= 2ԑ - 1 нөмірлері үшін n-1n+1-1 ˂ ԑ теңсіздігі орындалады, яғни limn--infinityn-1n+1 = 1. Енді ԑ = 0.01 және ԑ = 0.001 мәндеріне сәйкес nԑ мәндерін табайық.
а) ԑ = 0.01 ; nԑ = (2 . 102- 1)= 200 - 1= 199; nԑ = 199.
б) ԑ = 0.001 ; nԑ = (2 . 103- 1)= 2000 - 1= 1999;
n--infinity жағдайда n-1n+1 бөлшегі бірден кіші мәндерді қадһбылдай отырып, өсе келе 1 санына ұмтылады, яғни n-1n+1 -- 1.
Мысал-2. limn--infinitycosPI2nn = 0. Шынында да, cosPI2nn-0 = 1n ԑ ⇔ 1ԑ . Демек , n ˃ nԑ = 1ԑ ⇔ cosPI2nn-0 ԑ . n--infinity жағдайда cosPI2nn бөлшегі 0- ге тең де, одан кіші де мәндерді қабылдай отырып, өзінің шегі 0- ге ұмтылады .
Мысал-3. cosPI2n жинақталмайтын тізбек болады. Шынында да, a нүктесінің ԑ- маңайының сыртында осы тізбектің сансыз көп мүшелері жатады. Сондықтан a саны тізбектің шегі бола алмайды.
Тізбектің шегі туралы теоремалар
1- теорема. Егер xn және yn тізбектері жинақталатын болса, онда xn+-yn тізбектері де жинақталатын болады және limn--infinity(xn+-yn) = limn--infinityxn + limn--infinityyn, яғни жинақталатын екі тізбек қосындысының шегі сол тізбектер шектерінің қосындысына тең болады.
Дәлелдеуі. limn--infinityxn = a және limn--infinityyn=b дейік. Сонда1- теорема (6-п.) негізінде xn=a + αn, yn= b + βn (мұндағыαn мен βn ақырсыз кіші тізбектер) теңдіктерін аламыз. Бұдан xn+-yn = (a + b) + (αn+ βn). xn+-yn тізбегі 1- лемма негізінде ақырсыз кіші тізбек, яғни limn--infinity(xn+-yn)= 0. Сонда 6- пункттің 1- теоремасы бойынша limn--infinity(xn+-yn) = limn--infinityxn + limn--infinityyn. Бұл теореманы индукция әдісін қолдана отырып, саны шектеулі тізбектердің алгебралық қосындысы үшін де дәлелдеуге болады.
2- теорема. Егер xn және yn жинақталатын тізбек болса, онда xn∙yn тізбегі де жинақталатын болады және
limn--infinity(xn∙yn) = limn--infinityxn ∙ limn--infinityyn, яғни жинақталатын тізбектер көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең болады.
Дәлелдеуі. limn--infinityxn = a және limn--infinityyn=b болсын, сонда xn=a + αn, yn= b + βn (мұндағыαn мен βn ақырсыз кіші тізбектер). Мына көбейтіндіні қарастырайық:
xn∙yn=(a + αn)(b+ βn) = ab+(aβn+bαn+αnβn) ; aβn+bαn+αnβn тізбегі 1 және 2- леммалар негізінде ақырсыз кіші тізбек болып табылады. Сонымен, барлық n ∈ N үшін
xn∙yn= ab+(aβn+bαn+αnβn),
limn--infinity(aβn+bαn+αnβn) = 0. Ал бұдан мына теңдік шығады (1- теореманы қараңыз):
limn--infinity(xn∙yn) = limn--infinityxn ∙ limn--infinityyn.

Ескерту. Егер барлық n ∈ N үшін xn= С болса, онда limn--infinityxn =limn--infinityС =С немесе тұрақты санның шегі десол тұрақты сан болады. Шынында да, xn-С=С-С=0 болғандықтан, xn-С ақырсыз кіші тізбек, сондықтан 1- теорема бойынша limn--infinityxn = С.
1- салдар. Егер xn тізбегі жинақталатын болса, онда кез келген С саны үшін С∙xn тізбегі де жинақталатын тізбек болады және limn--infinityС∙xn= limn--infinityС ∙ limn--infinityxn = С∙limn--infinityxn , яғни тұрақты көбейткішті шек таңбасының алдына шығаруға болады.
2- салдар. Егер xn тізбегі жинақталатын тізбек, ал k- натурал сан болса онда
limn--infinityxnk= (limn--infinityxn)k .
Бұл салдарды 2- теоремадан индукция әдісін қолдана отырып алуға болады.
3- теорема. Егер xn және yn, yn!= 0, тізбектері жинақталатын болып, сонымен бірге, limn--infinityyn != 0 болса, онда xnyn тізбегі жинақталатын тізбек болады да limn--infinityxnyn = limn--infinityxnlimn--infinityyn теңдігі орындалады. Алдын ала мына лемманы дәлелдейік.
Лемма. Егер yn тізбегі ( yn!= 0) жинақталатын болып, сонымен бірге, limn--infinityyn != 0 болса, онда n0 нөмірі табылып, барлық n ˃ n0 нөмірлері үшін 1yn тізбегі шенделген тізбек болады.
Дәлелдеуі. Анықтама бойынша
limn--infinityyn=b ⇔ ∀ԑ 0 ∃ n0⃒ n ˃ n0⇒ yn-b=b- ynԑ .
Енді ԑ=b2 деп алып, айырма модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы теңсіздікті мына түрде жазайық: b2 b- yn =b- yn, n ˃ n0 . Бұдан yn b2 теңсіздігі шығады, ал шарт бойынша yn!= 0 болғандықтан, барлық (n ˃ n0) нөмірлері үшін 1yn b2 теңсіздігі орындалады.
3- теореманы дәлелдеуге көшейік. limn--infinityxn = a, limn--infinityyn=b деп алайық. Теореманы дәлелдеу үшін (6-п, 1- теорема бойынша) xnyn - 2b айырымы ақырсыз кіші екенін дәлелдеу жеткілікті. Бізге мына теғдіктер белгілі:
limn--infinityxn = a⇔ xn=a + αn, limn--infinityαn = 0 ;
limn--infinityyn=b ⇔ yn= b + βn, limn--infinityβn = 0 .
Осыларды пайдаланып табатынымыз:
xnyn- ab=1yn·xn-abyn=1yn·a + αn-ab(b + βn) =1yn·αn-ab βn ,
мұндағы1yn тізбегі лемма бойынша шенделген, ал αn-ab βn ақырсыз кіші тізбек (7- п, 1-2 леммалар). 1yn(αn-ab βn) ақырсыз кіші тізбек (7-п,2- лемма). Сондықтан xnyn- ab айрймы ақырсыз кіші тізбек болады. Бұдан мына теңдік шығады (6-п, 1- теорема):
limn--infinityxnyn= ab = limn--infinityxn limn--infinityyn .
1.2 Функция шегінің екі анықтамасы және олардың парапарлығы

a нүктесінің қандай болмасын (c,d) маңайында анықталған f функциясын қарастырайық.
1-анықтама.Егер а санына жинақталатын кез келген {xn}үшін f функциясы мәндерінің сәйкес {f(xn)} тізбегі А санына жинақталатын болса,онда А санын f функциясының х-тің а-ға ұмтылғандағы шегі деп атайды және былай белгіленеді:
A=limx--af(x) (1)
немесе x--a жағдайда f(x) --A (символдар арқылы:
A=limx--af(x)--∀xn,xn!=axn--a= fxn--A,n∈N).
Ескерту.1-анықтама бойынша функцияның шегі біреу ғана болатыны шығады.
2-анықтама.Егер кез келген ε0 санына сәйкес δ0 саны табылып,0x-aδ шартын қанағаттандыратын барлық х үшін fx-Aε теңсіздігі орындалса,онда А саны f функциясының x-тің a-ға ұмтылғандағы шегі деп атайды және (1) өрнегімен белгілейді(символдар арқылы:
A=limx--af(x)--∀ε0,0x-aδ--fx- Aε).
Егер нүкте маңайының белгілеуін пайдалансақ,былай жазуға болады:
A=limx--afx--∀ε0 ∃δ=δε0 x∈Uδ0a--fx∈UεA.
яғни кез келген ε0 үшін δ=δ(ε)0 саны табылып,аргумент мәндері а нүктесінің ортасынан δ маңайына тиісті болғанда f функциясының сәйкес мәндері А нүктесінің ε маңайына тиісті болады(1-сурет).Енді осы екі анықтаманың пара-парлығын дәлелдейік.1-анықтамада айтылған мағынада A=limx--afx болсын,сонда осы шектің 2-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетейік.Қарсы жорып,екінші анықтама дұрыс болмайды дейік.Бұл жорамалды әдеткі ∀ символын ∃ символымен , ∃ символын ∀ символымен,яғни, "барлық х үшін" сөз тіркесін "x0 мәні табылады" сөз тіркесімен алмастыра отырып,керісінше тұжырымдап,2-анықтаманы теріске шығарайық.

y
A+ε
A
A- ε

0 a-δ a a+δ x
1-сурет.
Сонда∃ε00∀δ0∃xδ0xδ-aδ--fxδ-A= ε0, немесе ε00 саны табылып,кез келген δ0 саны үшін ең болмағанда бір xδ нүктесін табуға болады және 0xδ-aδ теңсіздігі орындалғанда fxδ-A=ε0 теңсіздігі де орындалады.
δ саны үшін 1k,k∈N тізбегінің барлық мүшелерін алайық. Сонда әрбір δk=1k және оған сәйкес xk нүктесі үшін 0xk-a1k теңсіздігінен fxk-A=ε0 теңсіздігі шығады.Алайда xk--a жағдайда оған сәйкес мәндерінің f(xk) тізбегі А санына ұмтылмайды.1-анықтаманың мағынасына қарай осы табылған қайшылық айтылған болжамды дәлеледейді.
Енді 2-анықтамада "ε-δ" тілінде айтылған мағынадағы f функциясының шегі 1-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетеміз.Ол үшін ε0 санын тағайындап алып ,оған сәйкес δ санын табамыз. Енді xn xn!=a,n∈N a санына ұмтылатын қандай да болсын тізбек дейік (xn--a).Сонда δ0 санына сәйкес n0 нөмірі табылып,барлық nn0 үшін 0xn-aδ теңсіздігі орындалады.Бұдан 2-анықтама бойынша f(xn-A)ε теңсіздігі шығады.Сонымен xn--a жағдайда f(xn)--A болады.Осының өзі бірінші анықтаманың дұрыс екенін көрсетеді.Демек,функция шегінің екі анықтамасы бір-бірімен пара-пар болып шықты.Бұл ек анықтаманың қай-қайсысына да қолайлы болған кезде пайдалана беруге болады.
Функцияның нүктедегі шегінің бір- бірімен эквивалентті екі анықтамасын келтірейік. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.