Евклидтік емес геометрия

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 33 бет
Таңдаулыға:

Ақтөбе облыстық мамандандырылған физика-математикалық мектеп-интернаты

Ғылыми жобаның тақырыбы
Мектеп геометриясынан тыс теоремалар

Дайындыған: Теңелова Камила 10 б класс
Қонысов Асанәлі 10б класс
Ғылыми жетекшісі: Иманчиев Аскарбек Ермекұлы
Физика-математика ғылымдарының кандидаты, Қ. Жұбанов атындағы АӨУ доценті

Жетекшісі: Зейнулла Рахметулла Айділдаұлы
Математика пәні мұғалімі

Ақтөбе-2020
Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Евклидтік емес геометрия

1.1 Евклид геометриясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Лобачевский геометриясы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .
1.3 Риман геометриясы ... ... ... ... ... ... ...
1.4 Сфералық геометрия ... ... ... ... ... ... .. .
1.5Евклидтік және Евклидтік емес геометрия айырмашылықтары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.6 Мектеп геометриясынан тыс теоремалар және қималар
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Қорытынды

Кіріспе
Геометрияда, Евклидтік емес геометрия ұғысы бар. Евклидтік емес геометрия деп, Евклидтік геометриядан айырмашылығы бар барлық геометриялық жүйені айтады. Жалпы, Евклидтік емес геометрия деген ұғым, тар мағынада қолданылады. Евклидтік емес геометрияға Лобачевский геометриясы,Риман геометриясы,Сфералық геометриялар жатады. Евклид сияқты, бұл геометриялар тұрақты қисықтық кеңістігінің метрикалық геометрияларына жатады. Нөлдік қисықтық Евклид геометриясына сәйкес келеді, оң қисықтық сфералық немесе Риман геометриясына сәйкес келеді, теріс қисықтық Лобачевский геометриясына сәйкес келеді.

Жалпы Евклидтік геометрия - алғаш рет Евклидтің (б.з.б. 330 - 275) "Негіздерінде" мазмұндалған аксиомалар жүйесіне негізделген геометриялық теория. Осы геометрияның аксиомалары 5 топтан, 6 негізгі (анықтама берілмейтін) түсініктерден құралған. Бұлар -- үш түрлі объектілер: нүкте, түзу сызық, жазықтық және үш түрлі қатынастар "тиісті", "аралығында", "қозғалыс".
Евклид (көне грекше: Εὐκλείδης,Б.д.д. 325 - 265ж) ежелгі дәуірдегі грек математигі.
Ол математикадан жазылған теориялық алғашқы трактаттың авторы, Александрия қарамағындағы мектептің тұңғыш математигі. Оның өмірі жайлы деректер жоқтың қасы. Евклидтің басты еңбегі - Негіздер. Онда планиметрияның, стреометрияның кейбір мәселелері талданған. Сөйтіп, ол өзінен бқрынғы грек математикасының одан әрі дамуының ірге тасын қалаған. Евклидтің Негіздерден басқа Фигураны бөлу туралы, Канустың қималары деп аталатын еңбектері бар. Ол астраномиядан, музыкадан, т.б. салалардан да еңбектер жазған. Евклидтің бізге жеткен шығармалары мына басылымда жинақталған: Eudidis Opera Menge. Онда грекше түр нұсқасы, латыннан аудармасы және кейінгі авторлардың түсініктемелері берілген. Евклид Негіздерінің математиканы дамытуда әсері орасан зор болады. Бұл еңбектен тәлім алмаған ірім-ұсақты математик жоқ деуге болады. Негіздер орыс тілінде тұңғыш рет 1739 жылы аударылып басталып шықты, ал ең кейінгі жаңартылған аудармасы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Математиканы сүйетін әрбір талапкердің ғылымының классикалық бұл еңбегімен танысып аса пайдалы болар еді.
Лобачевский геометриясы

Лобачевский геометриясы - евклидтік емес геометрияның бір түрі; Евклид геометриясындағы параллель түзулер жөніндегі аксиома қарама-қарсы мағыналы аксиомоға ауыстырылған.
Евклид "Негіздерінде" параллель түзулер жөніндегі аксиома былайша тұжырымдалған: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын бір ғана түзу жүргізуге болады. Ал Лобачевский геометриясы оның орнына мынадай аксиома қолданылады: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу жүргізуге болады. Лобачевский геометриясын Н.И. Лобачевский жасап дамытқан. Сәл кейін осындай теорияны Я.Больяй (1802 -- 1860) да дәлелдеген. Сондықтан, Лобачевский геометриясы кейде Лобачевский -- Больяй геометриясы деп те аталады. Евклидтен Лобачевскийге дейінгі 2 мың жылдан аса уақыт аралығында көптеген ғалымдар К.Птолемей, Д.Прокл, Ибн әл-Хайсам, О.Хайям, П.Катальди, Дж.Валлис, Дж.Саккери, А.Лежандр, Ф.Швейкарт, Ф.Тауринус, т.б. осы теорияны дәлелдемек болып еңбек еткен. Лобачевский геометриясын арнайы гиперболалық евклидтік емес геометрия деп атайды. Олай атау Риманның эллипс[эллипстік] геометриясына қарсы қою үшін қажет болды (қ. Риман геометриясы). Лобачевский геометриясы математикада да, физикада да қолдануға болатын мазмұны бай теория. Лобачевский бұл теорияны құру арқылы Евклидтік емес геометрияның озық мүмкіндіктерін көрсетті. Ол геометрия және жалпы математика дамуындағы жаңа белес болды (қ. Геометрия). Лобачевский геометриясы Лобачевский жазықтығы (планиметрияда) мен Лобачевский кеңістігінің (стереометрияда) қасиеттерін зерттейді.
Лобачевский жазықтығы - параллель түзулер туралы аксиомадан басқа Евклид геометриясы аксиомаларының барлығына бағынатын түзу сызықтар мен фигуралардың қозғалысы (сонымен қатар қашықтықтар, бұрыштар, т.б.) анықталған жазықтық (нүктелер жиыны). Осыған ұқсас жолмен Лобачевский кеңістігі де анықталады. Лобачевский геометриясының нақты мәнін анықтау мәселесі Лобачевскийдің жазықтығы мен кеңістігінің үлгісін табу болатын, яғни Лобачевский геометриясының планиметриясы мен стереометриясының ережелері шамалап түсіндірілген нысандарды табу еді. 1868 ж. Э.Бельтрами Лобачевский жазықтығының бір бөлігіндегі геометрияның тұрақты теріс қисықтығы бар беттердегі геометриямен сәйкес келетінін байқаған; оның қарапайым мысалы -- псевдосфера.
Лобачевский геометриясының Евклид геометриясынан бірнеше айырмашылықтары бар:
Лобачевский геометриясында ұқсас бірақ бір-біріне тең емес үшбұрыштар кездеспейді; егер бұрыштары тең болса, ондай үшбұрыштар өзара тең болады.
Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы -ден кіші және барынша дерлік 0-ге жақын болуы мүмкін.
а түзуінің бойында жатпайтын кез-келген О нүктесі арқылы а түзуімен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын шексіз көп түзу жүргізуге болады.
Егер түзулерде ортақ перпендикуляр болса, онда олар перпендикулярдан екі жаққа шексіз таралады.
Түзулерден тең қашықтықтағы сызық түзу емес, ерекше қисық, ол эквидистанта немесе гиперцикл деп аталады.
Шексіз ұлғаятын дөңгелектің шегі түзу емес, ерекше қисық, ол шектік шеңбер немесе орицикл деп аталады.
Радиусы шексіз ұзаратын сфераның шегі жазықтық емес, ерекше бет, ол шектік сфера немесе орисфера деп аталады; бұның бір ерекшелігі, бұл бетте Евклид геометриясы да орындалады. Бұл Лобачевскийге тригонометрия формуласын қорытып шығаруға мүмкіндік берді.
Шеңбер ұзындығы радиусына пропорционал емес, ол шапшаң өседі.
Лобачевский жазықтығы мен кеңістігіндегі аймақ неғұрлым кішірек болса, осы аймақтағы метрик. арақатынастар евклид геометриясы арақатынастарынан соғұрлым аз ерекшеленеді. Яғни, шексіз аз аймақта Евклид геометриясы орынды деп айтуға болады. Мысалы, үшбұрыш неғұрлым кіші болса, оның бұрыштарының қосындысы -ден соғұрлым алшақтайды, т.б.
Лобачевский геометриясында салу есептері, көпжақтар, қисықтар мен беттердің жалпы теориясы, т.б. есептердің шешулері қарастырылады. Лобачевский өзінің геометриясын анықталған интегралдарды есептеуге қолданған. Лобачевский геометриясы көмегімен кешенді айнымалы функциялар теориясында автоморфты функциялар теориясы құрылды. Ол сандар теориясында, дербес салыстырмалық теориясы кинематикасында, жалпы салыстырмалықтың теориясында қолданылады.

Риман геометриясы

Риман геометриясы, Риманның эллипстік геометриясы -- Евклидтік емес геометриялардың бірі.
Риман геометриясының негізгі нысандары нүкте, түзу және жазықтық; негізгі ұғымдары -- тиістілік (нүктенің түзуге, нүктенің жазықтыққа), реттілік (түзудегі нүктенің, жазықтықтағы берілген нүкте арқылы өтетін түзулердің, т.б.), конгруэнттілік (фигуралардың).
Риман геометриясының тиістілік және реттілік аксиомалары толығымен проективтік геометрия аксиомаларымен бірдей, сондықтан Риман геометриясы бойынша: кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу өтеді; екі жазықтық бір түзу бойымен қиылысады; бір жазықтықта жатқан екі түзу бір нүктеде қиылысады; түзудегі кез келген нүктелер жұбы екі кесіндіні анықтайды; жазықтықта жатқан түзу жазықтықты екіге бөлмейді (демек, егер а түзуі жазықтығына тиісті болса, онда жазықтығының а түзуінде жатпайтын кез келген екі нүктесін а түзуін қимайтындай кесіндімен қосуға болады); жазықтық кеңістікті екі жарты кеңістікке бөлмейді. Риман геометриясының проективтік геометриядан айырмашылығы: мұнда фигуралардың конгруэнттілігі мен геом. шамаларды өлшеу (ұзындық, бұрыштың шамасы, аудан, көлем) ұғымдары қарастырылады. Сондықтан Риман геометриясы метрикалық кеңістік. Риман геометриясы мен Евклидтік геометрияның конгруэнттілік аксиомалары мәндес. Риман жазықтығының моделін сферадағы диаметралды қарама-қарсы нүктелерді "беттестіріп" алуға болады. Алынған нысанды "нүкте" деп, ал сферадағы үлкен шеңберді "түзу" деп қарастырады. Осы "нүктелер" мен "түзулерден" алынған фигуралар Риман геометриясының тиістілік, реттілік, конгруэнттілік аксиомаларын қанағаттандырады. Риман геометриясын алғаш Бернхард Риман (1826 -- 1866) өзінің лекцияларында риман жазықтығы теориясының дербес жағдайы ретінде қарастырған
Сфералықмгеометрия Сфералықьгеометрия математиканың сфера бетіндегі геометриялық фигураларды зерттейтін саласы, планиметрия сияқты жазықтықта жатқан геометриялық фигураларды зерттейді. Егер кез келген жазықтық сфера орталығы арқылы өтсе, онда сфера қимасы үлкен дөңгелек болады. Диаметр ұштарынан басқа кез келген екі нүкте (А және В) арқылы бір ғана үлкен дөңгелек өтеді. АВ доғасының ұзындығы АОВ центрлік бұрышына пропорционал. Екі үлкен дөңгелек арасындағы АВС бұрышы В нүктесінде қиылысатын жанамалар арасында АВС бұрышымен

немесе ОВА және ОВС жазықтықтары арасындағы екі жақты бұрышпен өлшенеді. Диаметр ұштарында қиылыспайтын үш үлкен дөңгелек сфера бетінде 8 сфералық үшбұрыш (Эйлер үшбұрыштары) түзеді. Сфералық үшбұрыштардың жазықтықтағы үшбұрыштардан көптеген өзгеше қасиеттері бар. Жазық үшбұрыштар теңдігінің үш белгісіне сфералық үшбұрыштардың тағы бір қасиеті қосылады: сәйкес бұрыштары тең екі сфералық үшбұрыш өзара тең болады (сферада ұқсас үшбұрыштар болмайды). Сферада жылжыту арқылы беттескен сфералық үшбұрыштар өзара тең деп есептеледі. Барлық сфералық үшбұрыштардың бір қабырғасы қалған екі қабырғасының қосындысынан кіші, айырмасынан үлкен болады, барлық қабырғаларының қосындысы 2-ден кіші, ал барлық бұрыштарының қосындысы 3-ден кіші болады. Сфера полюстерінде қиылысатын үлкен жартыдөңгелектер меридиандар, оған перпендикуляр кіші дөңгелектер параллельдер, ал сфераның орталығы арқылы өтетін параллель экватор деп аталады

Евклидтік және Евклидті емес геометрия арасындағы айырмашылық
1)Евклид геометриясы келесі бес постулаттарға (немесе аксиомаларға) негізделген:
Кез-келген екі нақты нүктенің арасынан ерекше сызық салуға болады
Сіз сызықты екі бағытта да шексіз соза аласыз
Сізге орталық нүкте мен радиус берілген ерекше шеңберді салуға болады
радиус екі нүкте арасындағы сызықпен беріледі.
Барлық дұрыс бұрыштар тең
Егер екі түзудің бойына түсетін түзу ішкі бұрыштарды, сол жақтағы бұрыштарды екі оң бұрыштан кем етсе, онда екі түзу, егер белгісіз болса, екі оң бұрыштан аз бұрыштар болатын жақта кездеседі.
Осы бес постулаттардан (және бес жалпы ұғымдар, мысалы, үшке тең екі нәрсе бір-біріне тең және т.б.) орта мектепте үйретілген геометриядан бүгінгі күнге дейін бүкіл геометрияны алуға болады .
Адамдарға бесінші постулат ұнамады. Қалған төртеуі қысқа да түсінікті сөздер, бесіншісі жоқ. Альтернативті постулаттар бар (егер сіз оларды есептесеңіз, бесінші постулатты дәлелдеуге болады және керісінше), мысалы, Playfair аксиомасы Берілген сызық және сол сызықта жатпайтын нүкте, дәл сол сызықтан сол нүктеге дейінгі аралықта жатпайды. Тағы сызықты кесіп өт немесе Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы екі оң бұрышқа тең немесе тіпті оң жақ үшбұрыштың аяғындағы квадраттардың қосындысы гипотенузадағы квадратқа тең секілді аксиомалар бар. Бірақ бұлардың ешқайсысы түпнұсқаға қарағанда қарапайым емес.
Математиктер мыңдаған жылдар бойы бесінші постулатты алғашқы төрттің көмегімен дәлелдеуге тырысты. Олар сәтсіз аяқталды.
18-19 ғасырларда олар қолданған әдістердің бірі 5-ші постулатты жалған деп санау және қайшылыққа әкелетінін көрсету болды. Егер сіз 5-ші постулатты жалған деп санайтын абсурдты дәлелдей алмасаңыз, онда 5-ші постулат шын болуы керек (түйсігітшектер деп аталатын математиктер тобы болжамның жоқтығын дәлелдеу болжамды дәлелдеумен бірдей екеніне келіспейді)
Бұл да сәтсіз аяқталды. Тамаша. Оның орнына, егер сіз 5-ші постулатты жалған деп санасаңыз, онда сіз 5-ші постулатты ұстамайтын тұрақты, жұмыс істейтін геометриялармен аяқтадыңыз.
Мысалы...
Шар тәрізді сфера алыңыз. Сфера ортасы арқылы түзу сызық сызыңыз және сызықты бетіне тесіп өтетін екі нүктені алыңыз. Сфера центрі арқылы жазық сызыңыз және сол жазықтық пен сфераның беткі қабатын сызық деп атаңыз. Нүкте және сызық анықтамасында мыналарды оңай көруге болады:
кез келген екі нүктенің арасынан ерекше сызық салуға болады.
сіз сызықты екі бағытта да шексіз соза аласыз.
центрлік нүкте мен радиустың шеңберін салуға болады.
радиус екі нүкте арасындағы сызықпен беріледі
барлық дұрыс бұрыштар тең
Бұл сызықта жатпайтын сызық пен нүкте берілген, сол нүкте арқылы берілген сызықпен қиылыспайтын сызықтар болмайды.
Бұл бес тұжырым Евклид геометриясымен бірдей (және Евклидтің 5-ші постулаты) екенін ескеріңіз.
Бұл геометрия дәйекті және Евклидтің 5-ші постулатқа сенбейтін кез-келген тұжырым осы геометрияда шындыққа сәйкес келеді.
Бұл геометрия Евклидтің 5-ші постулатын орындамайтындықтан, оны Евклидтік емес деп атайды.
Басқа эвклидтік емес геометриялар бар. Кейбіреулер бар, олар түзуде жатпайтын нүкте арқылы параллель түзілер сол түззуге шексіз көп сызуға болады
2)Евклид геометриясы параллельді постулатты орындалатын тұратын, ал эвклидтік емес болса, ол орындалмайды деген сөз. Мұнда Евклидтің сөз тіркесі:

Playfair логикалық эквивалентті постулатты берді, оны түсіну оңай: берілген сызық пен ондағы нүкте болмаса, берілген сызық пен жазықтықта нүкте арқылы өтетін және берілген сызыққа сәйкес келмейтін ерекше сызық бар.
Егер осындай бірнеше сызық болса, онда эвклидтік емес геометрия гиперболалық геометрия деп аталады. Егер бірде-бір сызық болмаса (яғни нүкте арқылы өтетін барлық сызық берілген сызықты кесіп өтеді), онда ол эллиптикалық геометрия деп аталады.

3)Евклидтік және эвклидтік емес геометрияларда тағы бір өзгерісі, ол барлық кеңістікте қисықтық термині. Барлық кеңістікте қисықтық ұғымы болады және одан жоғары қисығы бар ішкі кеңістік болуы мүмкін. Қисықтық термині есептеулерді жылдамдатуға қолданылады. Түзу кеңістікпен бірдей қисықтықты білдіреді және үш нүктелі теңдеу болып табылады.
Евклид кеңістігінде нөлдік қисықтық және белгілі бір орталық бар. 00 анықталмағандықтан , эвклид кеңістігінде бұрыштарды сақтайтын кішірек көшірме болуы мүмкін.
Егер шексіздіктің мәні жоқ деп ойласаңыз, эвклид геометриясы мобус геометриясына айналады, онда кез-келген үшінші нүктеден өтетін екі нүкте арқылы түзу сызық сызуға болады.
4)Евклид кеңістігі - бұл кеңістік, оны біз жалпы сезінеміз. Уақытты елемей, біз үш өлшемді кеңістікте өмір сүреміз, онда Пифагор негізіндегі алгебралық геометриядан белгілі формуланы қолдана отырып, арақашықтықты өлшейміз.
Евклид емес деп аталатын кеңістіктердің басқа екі түріндегі тіршілік мүлде өзгеше, өйткені қашықтық бұрыштармен немесе жылдамдықтармен өлшенеді, бұл бізге эллиптикалық немесе гиперболалық кеңістіктер береді. Кеңістік эвклид кеңістігін тудыратын кейбір болжамдардың босаңсыуы нәтижесінде пайда болады. Басқаша айтқанда, егер біз ғарыш туралы сенуге дағдыланған барлық нәрселер дұрыс деп ойламасақ, онда кеңістіктің қандай түрлері болуы мүмкін. Шындығында, екіден басқа көптеген мүмкіндіктер бар Евклид емес геометрия кейбір мағынада классикалық болып табылады
5)Мұның бәрі ежелгі грек математигі Евклидтен (б.з.д.) және оның элементтері кітабынан басталды, ол өзінің белгілі элементтерін (аксиомалары) қабылданған коллекция негізінде өз уақытын белгілі геометриямен таныстырды. Осылардың бірі берілген түзу бойында орналаспаған жазықтықтағы нүкте арқылы жаңа берілген сызықты кесіп өтетін (оған параллель) басқа түзудің бар екендігін растады. Кейінірек кейбір математиктер msybe фактісін аббревиатуралық деп қабылдаудың қажеті жоқ деп санап, оған дәлелдемелер ұсынды. Дәлелдемелер қабылданған аксиомалардан алынады.
19. ғасыр үлкен серпіліс әкелді. Жетістіктің болмау себебі анықталды. Бұл айқын қағидат айқын көрінбеді және дәлелденбеді. Ұлы математик К.Ф.Гаусс бұған өте байыпты түрде күмәнданған, бірақ оны өзінде сақтаған. Тек екі математик, біреуі орыс, екіншісі венгр Лобачевский, Боляли Евклид қағидатын Евклид принципіне ұқсас етіп шыққан жаңа геометрияларды Риман геометриясының көмегімен жоққа шығарды. Бірақ бұл сыни қағида емес еді. Бұл геометриялар эвклидтік емес деп атайды.

6)Евклид геометриясы дегеніміз - бұл тек ішкі өнімі бар векторлық кеңістік. Ішкі өнім - бұл сызықтар арасындағы бұрыштар туралы айтуға мүмкіндік беретін нәрсе.
Ол нақты әлемді модельдеу үшін ойлап табылды, сондықтан параллель сызықтар сәйкес келмейді. Бірақ салыстырмалы теоремасын түсіндіруде Эйнштейн қолданған эллиптикалық геометрияда параллель сызықтар кездеседі.

7)Евклид кеңістігі дегеніміз - барлық векторларды бұрандалармен бейнелеу үшін координаттар жүйесімен жабдықталған түзу кеңістік. Толығырақ математикалық тұрғыдан, бұл скалярлық өніммен жабдықталған нақты векторлық кеңістік.
Сфералық геометрия және эвклид геометриясы
1) 2300 жыл бұрын Евклид есімді грек математигі геометрия пәні бойынша оқулық жазды. Бұл кітап өте әсерлі болды, тіпті бүгінгі күні орта мектепте геометрия ретінде оқытылатын нәрселердің негізін құрайды.Евклидтің жұмысы математиканы қалай жасау керектігін стандартқа айналдырды - ол постулаттарды, жалпы ұғымдарды, әдіснамалық және жүйелі түрде дәлелденген постулаттар мен жалпы ұғымдар жиынтығын айта бастады. Негіз ретінде бұрын дәлелденген ұсыныстар алынды. Логикалық дәлелдерді қолдана отырып белгілі фактілерге сүйенудің бұл жүйесі математиканың бүгінгі күнге дейін қалай жасалатыны.
Евклидтің постулаттары мен жалпы ұғымдары - бүгінде аксиома деп атауға болатын ұғым әкелді. Егер а және b паралель, ал b параллель с болса, онда а және с түзулері өзара параллель. Екі нүкте арқылы бір түзу жүршізуге болады. Барлық дұрыс бұрыштар тең.
Оның 10 аксиомасынан 9-ы қарапайым. Екіншісі аксиомасы - 5-ші постулат немесе параллельді постулат (керісінше, параллель сызықтармен байланысты), керісінше әлдеқайда күрделі. Мыңжылдықтар бойы геометрлердің санасында 5-ші постулат болды, сондықтан оның артық екенін, оны тек қалған 9 аксиоманы қолдана отырып дәлелдеуге болатынын, сондықтан одан арылуға болатындығын дәлелдегілері келді. Осылайша, геометрия 9 қарапайым және 1 ұнамсыз аксиомаларға емес, тек 9 қарапайым айқын аксиомаларға негізделеді.
Параллельді постулатты алмастыруға болатын геометрияда көптеген теоремалар бар, егер сіз 9 қарапайым аксиоманы алып, айталық Пифагор теоремасын аксиома ретінде қолдансаңыз, онда параллельдер теоремасын дәлелдей аласыз. Осылардың бірі Playfair аксиомасы Евклидтің өзіндік нұсқасынан гөрі қысқа және түсінікті болғандықтан, көптеген көздерде параллельді постулат постулаттар тізіміне енуі сирек емес. Playfair аксиомасы юұл 9 аксиома сияқты қарапайым емес, сондықтан да проблема әлі де бар.
18 ғасырға дейін бұл әрекет сәтсіз аяқталды, математик параллель постулатты жалған деп санасаңыз, таңқаларлық нәтиже алатындығын көрсете алды, сондықтан 9 аксиома жеткілікті, ал параллель постулат артық. Басқа математиктер мынадай тұжырымға келді. Нәтиже таңқаларлық, бірақ бұл қайшылық емес, міндетті емес, жалған емес. Параллельді постулатты қабылдау жалған нәтиже бергендіктен, параллельді постулат шындыққа айналуы керек. Олардың кейбіреулері бұл таңқаларлық нәтижелерге тереңірек қарап, нәтижесінде алынған жүйенің шынымен сәйкес келетіндігін анықтады; бұл қайшылыққа әкелмеді. Мүмкін олар өздігінен оқуға тұрарлық шығар.
Сонымен геометрия бірқатар геометриямен аяқталды: Евклид геометриясы, оның 9 қарапайым және 1 күрделі аксиомалары (және байланысты, логикалық жағынан ұқсас жүйелер) және 9 қарапайым аксиомалары бар, бірақ вариациялары бар Евклидтік емес геометриямен аяқталды. Евклид нұсқасына сәйкес келмейтін 1 күрделі аксиома туралы.
Параллельді постулатқа балама болатындардан басқа Евклид емес геометриялар Евклид геометриясының көптеген нәтижелерімен ерекшеленеді. Мысалы, Евклид емес геометрияларда Playfair аксиомасы, Пифагор теоремасы, үшбұрыштың бұрыштары туралы теорема және т.с.с. Тіпті ұқсас сандарға арналған масштабтау туралы кейбір заңдар сақталмайды.
Практикалық тұрғыдан алғанда, Евклид геометриясы - бұл орта мектепте оқитын геометриямыз; Евклидтік емес геометриялар - бұл орта мектепте окитын және оқып жүрген геометриямен сәйкес келмейтін геометрия.
Математикалық тұрғыдан алғанда, Евклид емес геометриялары көбінесе қисық ал Евклид геометриясы жазық деп сипатталады. Геометрияның әр түрлі формаларымен жұмыс істеудің жалпы әдістері көбінесе қашықтықты өлшеу әдісі ретінде Пифагор теоремасының кейбір вариациясын қолдана отырып жұмыс істейді. Евклид геометриясымен стандартты Пифагор теоремасы жұмыс істейді - a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, Ал Евклид емес геометриясында олар нүктеден нүктеге ауысуы мүмкін, сондықтан әр түрлі формулаларды қолдануға тура келеді.
2) Евклид емес геометрияда параллель сызықтар өзгеше әрекет етеді
Эндрю айтқандай, Евклид геометриясы (немесе күнделікті геометрия) 5 аксиомаға негізделген. Евклид емес және Евклид геометриясының шешуші айырмашылығы параллельді постулат деп аталатын 5-ші аксиомада жатыр. Бұл постулат Евклид геометриясында дұрыс деп қабылданады, бірақ Евклидтік емес геометрияда қате.
Параллельді постулаттар екі параллель сызық ешқашан кездеспейтіндігін айтады. Евклид емес геометрияда параллель сызықтар кездесуі мүмкін.
Бір ғана мысал, сферадағы геометрия (мысалы, сфералық геометрия, бұл эллиптикалық геометрияның ерекше жағдайы). Сферада әр сызық - бұл үлкен шеңбер. Басқаша айтқанда, сферадағы кез-келген екі сызық әрқашан сәйкес келеді. Мұны екі түрлі жолмен түсінуге болады: сфера бойынша параллель сызықтар сәйкес келеді немесе сферада параллель сызықтар жоқ.
Бұл тұжырым нақты емес, бірақ интуитивті түрде түсіну оңай. Параллельді постулаттың дәлдігі мынада: L шексіз сызықтар жиыны, ал Р сызығы осы жиында жатпайтын өз алды бір сызық, L жиынында Р сызығымен қиылысатын түзу жоқ.
Үлкен шеңбер - бұл сфераны екі тең аймаққа бөлетін кез келген шеңбер.
Бұл сіз параллель сызықтар туралы интуитивті ойлауыңызға байланысты. 1-ескертпеде берілген анықтаманы қолдана отырып, дәлірек тұжырым жасалады: сфералық геометрияда, шексіз L сызықтар жиыны берілген, ал P сызығы осы жиында тиісті емес сызық, L жиынындағы түзуімен қиылысатын сызықтар болмайды.

3) Евклид емес геометриянын түрлерінің бірі - сфералық геометрия. Мұны көбінесе қарапайым адам түсінеді, өйткені ол өмірде жиі кездеседі. Егер сіз кез-келген рейстің ұшу жолына қарасаңыз (Нью-Йорк, Сидней, Австралия сияқты ұзын рейстерде байқалады), сіз жүріп өткен жол қарапайым түзу емес екенін байқайсыз. Жер шарына қарасаңыз, тікелей түзу мүмкін емес екенін байқайсыз, өйткені ол Жер арқылы өтетін еді. Сіз сол рейстің жолын көргенде, сіз түзу сызық болмасаңыз да, екі нүкте арасындағы ең қысқа жол қайсысы екенін көресіз.
Сол ұшақтың жолын көргенде сіз Евклид геометриясының негізгі қағидаларының бірін бұзуды қарастырасыз: Евклидтің алғашқы постулаты, онда екі нүктенің арасындағы ең қысқа жол - түзу сызық. Сфералық геометрия Евклидтің басқа тақ постулаттарына да бағынбайды. Дәл осы тілазарлық Евклид емес геометрияның түп тамыры. Бұл геометриялар осы бес постулаттардың біреуіне де бағынбайды, оны Эндрю Баллингердің жауабынан көруге болады. Сфералық геометрия, тағы да, эвклидтік емес геометрия болып табылады, бұл біздің алып салада өмір сүретіндігімізге байланысты.
Басқа эвклидтік емес геометриялар бар, мысалы, гиперболалық геометрия. Бұл эвклидтік емес геометрияларды елестету өте қиын, дегенмен кеңірек сипаттау қажет. Мұны біреуін Википедиядан немесе қарапайым Google-ден іздеу арқылы табуға болады, бірақ олар Лайманның терминдерімен оңай сипатталмайды. Эйнштейн оны жалпы салыстырмалылық құрылысында қолданды.

4) Бұл жай жазықтықта емес пішіндерге қарап отырғаныңызды білдіреді. Мысалы, сіз үшбұрыштың бұрыштары әрқашан 180 ° болатындығын білесіз. Бірақ егер сіз жазықтықтағы үш сызықты сегменттерден гөрі сферада үш доғадан үшбұрыш жасасаңыз, онда ережелер өзгереді: мысалы, сфералық үшбұрыштың бұрыштары әрқашан 180 ° -тан жоғары болады. Мысалы, солтүстік полюстен экваторға, содан кейін экватор бойымен 90 °, содан кейін солтүстік полюске өтетін үшбұрышты қарастырайық: үш бұрыш әрқайсысы 270 ° қосылып 90 ° бұрыш жасайды. Гиперболалық кеңістік деп аталатын тағы бір маңызды кеңістік бар; мұнда бұрыштар әрқашан 180 ° -тан төмен болады. Евклид емес геометрия - бұл әр түрлі формалар мен шамаларды (үшбұрыштар, ұзындықтар, бұрыштар, параллель сызықтар және т.б.) және олардың жалпақ немесе Евклидтік кеңістіктерден гөрі қисық кеңістіктерде қалай әрекет ететіндерін зерттеу.
Бұл тақырып анық маңызды, мысалы, Жер тегіс емес! Шын мәнінде, кеңістік пен уақыттың өзі түзу емес екендігі белгілі, сондықтан ғаламда не болып жатқанын түсіну үшін геометрияның жазық емес кеңістікте қалай жүретінін түсіну керек.

5) Классикалық Евклид геометриясы нүктелер мен сызықтардан бастап аксиомалар жиынтығы арқылы анықталады, мысалы: нүктелер сызықтарда, әрқашан екі нүктені жалғайтын сызық болады және т.б. Осы аксиомалардың бірі - параллель сызықтардың аксиомасы.
ХІХ ғасырда Болай, Лобачевски және Гаусс параллельдерде әртүрлі аксиомалары бар аксиома жүйелеріне арналған геометриялық модельдерді өз бетінше тапты. Бұл геометриялар және көбінесе стандартты емес немесе жоқ параллель аксиомалары бар барлық геометриялар Евклидтік емес деп аталады.
Больяй-Лобачевский аксиомасы: әр L және P нүктелері үшін, P арқылы өтетін және қиылыспайтын шексіз көп сызықтар бар. (гиперболалық геометрия)
Гиперболалық геометриялар, атап айтқанда Гаусстың стандартты моделі күрделі сандарды және шеңбер шеңберін қолдану эстетикалық жағынан өте жағымды және MC Escher өнерінде маңызды рөл атқарады

6) Евклид геометриясы - сіз күнделікті өмірде бастан кешіретін нәрсе.
1. Кез келген екі нүктенің арасына түзу сызық салуға болады. 2. Екі нүкте арасында түзілген сызықты шексіз жалғастыруға болады. Шеңбер кез келген нүктеден белгілі бір қашықтықта (радиуста) барлық нүктелер ретінде анықталады. 4. Барлық дұрыс бұрыштар тең. 5. Параллель сызықтар бір-бірінен бірдей қашықтықты сақтайды (соңғы нұсқаны айтудың бірнеше әдісі бар)
Евклид емес геометрия - бұл Евклидтің 5 аксиомасының кез-келгені қолданылмайтын жағдай. Мысалы, қисық кеңістікте параллель сызықтар кездесе алады және басқа да осындай тұжырымдар.

7) Негізінде Евклид геометриясы - бұл барлық конфигурацияларды тегіс жерде жасау. Сондықтан барлық геометрияны тегіс қағазға салу үшін елестетіп көріңіз. Егер біз сол қағаз парағын ішке немесе сыртқа қисайсақ, конфигурация өзгереді. Мысалы, үшбұрыштың 180 градус болатындығын бәріміз білеміз. Алайда, егер біз эвклидтік емес геометрияда жүрсек, жазықтықтың дөңестігіне қарай үшбұрыштың мәні 180 градустан да, одан да көп болады.

1.6
Мектеп геометриясынан тыс теоремалар және олардың қолданысы
Геометрия есептерін шешкенде оның шартын талдау ең негізгі мәселе болып табылады. Есептің шешуі ретінде табылған формулалар әпқашан есептің жауабы ретінде алына бермейді.
1 - есеп.
Тік төрт бұрышты параллелепипедтің диагоналының ұзындығы - ға тең. Ол табан жазықтығымен 150, ал үлкен бүйір жағымен 450 бұрыш жасайды. Параллелепипедтің көлемін табыңдар (33 - сурет).
Тік төртбұрышты параллелепипедтің көлемінің формуласы бойынша (1) деп жазуға ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.