Шексіз пластинадағы бірөлшемді жылу өткізудің аналитикалық шешімі: симметриялы және тақ бастапқы шарттар, Фурье-реті мен Лаплас түрленуі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Шексіз пластина

Шексіз пластина деп әдетте ені мен ұзындығы қалыңдығымен салыстырғанда шексіз үлкен пластина түсініледі. Осылайша, шексіз пластина-екі параллель жазықтықпен шектелген дене. Температураның өзгеруі тек бір бағытта жүреді х, қалған екеуінде у және z ережелерінде температура өзгермейді $(\frac{\partial Т}{\partial у} = \frac{\partial Т}{\partial z} = 0)$ . Сондықтан тапсырма бір өлшемді.

Міндет қою. Температура пластинаның қалыңдығы бойынша f (x) функциясы жоқ түрінде бөлінеді. Бастапқы уақытта, шектеуші беттер бірден белгілі бір T _c температураға дейін салқындатылады, ол бүкіл салқындату процесінде тұрақты болады. Пластинаның қалыңдығы бойынша температураның таралуын және кез-келген уақытта жылу шығынын табыңыз.

Координатаның басын ортаға салыңыз, пластинаның қалыңдығын 2R арқылы белгілеңіз, яғни R-пластинаның қалыңдығының жартысы. Мәселенің шарты математикалық түрде келесідей тұжырымдалуы мүмкін. Дифференциалдық теңдеу аламыз

$\frac{\partial T(x, \tau) }{\partial\tau} = a\frac{\partial^{2}T(x, \tau) }{\partial x^{2}}$ ( $\tau > 0; - R < x < + R)$ (1)

Eгерде осы шарт орындалса

$T(x. 0) = f(x) \ \ \$ (2)

$T( + R, \tau) = T_{c} = const,$ (3)

$T( - R, \tau) = T_{c} = const.$

Айнымалыларды бөлу әдісімен есепті шешу. F (X) функциясы жұп деп алсақ, яғни f (X) = f (-X) ; сондықтан $(\frac{\partial f(x) }{\partial x}) _{x = 0} = 0$ . Бұл жағдайда шекаралық шарттар (3) келесідей жазуға болады:

$\binom{T(R, \tau) = T_{c}}{\frac{\partial T(0, \tau) }{\partial x} = 0}$ ( 3a)

Соңғы қатынас кез-келген уақытта температураның таралу қисығының симметрия жағдайының салдары болып табылады; ол салқындату процесінде орын алады, өйткені шектеулі беттерден жылу алмасу бірдей жүреді.

F (X) функциясы тақ болған жағдай төменде талқыланады.

Дифференциалдық теңдеуді былай жазуға болады:

$T(x, \tau) = C\ sinkxe^{- ak^{2}\tau} + D\ coskxe^{- ak^{2}\tau}$ (4)

Cимметрия шартына, байланысты:

$\frac{\partial T(0, \tau) }{\partial x} = \lim_{x \rightarrow 0}(\ kC\ coskx - kD\ sinkx) e^{- ak^{2}\tau} = kCe^{- ak^{2}\tau} = 0$

Мұнда С=0, себебі $e^{- ak^{2}\tau}$ салқындату процесі бойы (О< $\tau$ < $\infty$ ) нөлге тең емес.

Бұл нәтижеге плитаны салқындату жағдайларын талдау арқылы қол жеткізуге болады. Температураның таралуы ординатаға қатысты симметриялы болуы керек, сондықтан оны жұп функциямен сипаттау керек. Мұндай функция cos k $x$ , ал sin k $x$ $x$ -тің тақ функциясы, оны шешімнен алып тастау керек.

Екінші шекаралық шартты қанағаттандырайық. Есептеуді жеңілдету үшін уақытша T _с =0 қойямыз.

$T(R, \tau) = D\ coskRe^{- ak^{2}\tau} = 0$

Осыдан

$coskR = 0, \ kR = \frac{1}{2}\pi; \ \ \ \ \ \ \frac{3}{2}\pi; \ \ \ \ \ \ \frac{5}{2}\pi$

$k_{n}R = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ (5)

яғни k-ның бір мәні емес, шексіз саны бар.

Сондықтан жалпы шешім барлық жеке шешімдердің қосындысы болады, яғни:

$T(x, \tau) = \ \sum_{n = 1}^{\infty}{D_{n}\cos(2n - 1) \frac{\pi}{2}\ \ \frac{x}{R}\exp\left\lbrack - (2n - 1) ^{2}\ \ \frac{\pi^{4}}{4\ }\ \ \frac{a\tau}{R^{2}} \right\rbrack}$ (6)

Әрбір жеке шешімдегі тұрақты Dn өз мәндеріне ие болады, өйткені кез-келген уақыт үшін температураның нақты бөлінуінің қосындысы температураның нақты таралуын сипаттауы керек.

Осылайша, косинусоидтың қабаттасуы температураның нақты таралу қисығын беруі керек

Сондықтан $\ \tau = 0$ қойып, біз f ( $x$ ) функциясын аламыз және ол Фурье қатары түрінде ұсынылады

$T(x, 0) = f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}{D_{n}\ cosk_{n}x}$ (7)

Тригонометикалық функция cosk $\ x$ және sink $\ x$ ортогональды функцияны құрайды.

Бұл функция

f ₁ ( $x$ ), f ₂ ( $x$ ) , f ₃ ( $x$ ) , …, f _n ( $x$ )

егер интеграл болса (а, b) аралығында ортогоналды деп аталады

$\int_{a}^{b}f_{i\ }(x) f_{j}(x) dx = 0$ (8)

i және j кез келген мәндері үшін, бірақ бір-біріне тең емес.

Мысалы, cosk _n $\ x$ функциялар жүйесі ортогоналды болатындығын көрсетуге болады:

$I = \int_{- R}^{+ R}{{\cos(k}_{m}x) {\cos(k}_{n}x) dx\ \left\{ \begin{array}{r} = 0\ \ \ \ \ m \neq n \\ > 0\ \ \ \ \ \ m = n \end{array} \right. \ }$ (9)

Интегралдық функцияны формула арқылы түрлендіреміз

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}\left\lbrack \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right\rbrack$

Сонда I интеграл тең болады

$I = \frac{\sin\left( k_{m} - k_{n} \right) R}{\left( k_{m} - k_{n} \right) } + \frac{\sin\left( k_{m} + k_{n} \right) R}{\left( k_{m} + k_{n} \right) }$

Тригонометриялық формуланы қолданамыз

$\sin(\alpha \pm \beta) = sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$

сонда

$I = \frac{{2\lbrack k_{m}\sin}{k_{m}\cos k_{n}}R - k_{n}\cos k_{m}Rsink_{n}R\rbrack}{\left( k_{m}^{2} - k_{n}^{2} \right) }$ (10)

Біздің жағдайда $k_{m}R = (2m - 1) \frac{\pi}{2}; \ k_{n}R = (2n - 1) \frac{\pi}{2}\$

Демек, $\ cosk_{m}R = cosk_{n}R = 0$ . Алымы нөлге тең, ал $m \neq n$ бөлімі нөлден ерекшеленеді, демек интеграл нөлге тең.

m = n жағдайы жеке қаралуы тиіс, өйткені алымы мен бөлімі нөлге тең. Бұл жағдайда

$I = \int_{- R}^{+ R}{{cos^{2}k}_{n}xdx = 2\lbrack\frac{R}{2} + \frac{\sin 2k_{n}R}{4k_{n}}\rbrack\ }$ (11)

яғни интеграл нөлге тең емес.

Осы формулаларды қолдану арқылы D _n тұрақты коэффицентін табамыз.

Біз теңдіктің екі жағын да (7) $\cos k_{n}x$ -қа көбейтеміз және -R-ден + R аралығында интегралдаймыз, сонда.

$\int_{- R}^{+ R}{{T(x) cosk}_{m}xdx = \int_{- R}^{+ R}{\sum_{n = 1}^{\infty}{D_{n}{\cos k}_{n}}}x{\cos k}_{m}xdx = \sum_{n = 1}^{\infty}{\int_{- R}^{+ R}{D_{n}{\cos k}_{n}x{\cos k}_{m}}}xdx\ }$ (12)

Теңдіктің оң жағындағы барлық интегралдар (9) қатынасы бойынша нөлге тең, тек біреуін қоспағанда, m = n болғанда, I _m=n = R-ге тең.

Сондықтан осылай жазуға болады:

$D_{n} = \frac{1}{R}\int_{- R}^{+ R}{T(x, 0) {\cos k}_{n}}xdx = \frac{2}{R}\int_{0}^{R}{T(x, 0) {\cos k}_{n}}xdx$ (13)

Қорытынды жасау кезінде екі болжам анық қолданылды: 1) интеграл (13) соңғы және белгілі бір мәнге ие, 2) шексіз қатардың интегралы қатардың жеке мүшелерінің интегралдарының қосындысына тең.

Бұл жорамалдар f(x) функциясы Дирихле шарттарын қанағаттандыруды талап етеді: 1) белгілі бір аралықта ол бір мәнді, түпкілікті және интеграцияланатын болуы тиіс, 2) максимумдар мен минимумдардың шекті саны болуы керек, 3) үзіліс нүктелерінің шекті саны болуы керек.

Сонымен, біздің тапсырмамыздың жалпы шешімін (6) келесідей жазуға болады:

$T(x, \tau) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\cos\mu_{n}\frac{x}{R}e^{- \mu_{n}^{2}\frac{a}{R^{2*\frac{2}{R}\int_{0}^{R}{f(x) \cos\mu_{n}\frac{x}{R}dx}$ (14)

мұнда

$\mu_{n} = k_{n}R = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$

Бұл шешім бір уақытта қалыңдығы l = R шексіз пластинадағы температура өрісін табу мәселесін шешу болып табылады (О < $x$ < l), оның бір бетінде жылу оқшаулауы болған кезде ( $x$ = О кезінде жылу ағыны болмайды, өйткені $\ \ \ \frac{\partial T(0, \tau) }{\partial x} = 0$ ), ал қарама-қарсы беті $x$ =1 0 ⁰ С температурада ұсталады. Уақыттың бастапқы сәтінде f ( $x$ ) функциясы түрінде температураның белгілі бір үлестірімі беріледі және бұл жағдайда f ( $x$ ) функциясы кез-келген болуы мүмкін, егер ол Дирихле шарттарын қанағаттандырса ғана.

Егер f(x) функциясы тақ болса, онда біз осындай жолмен шешім аламыз

$T(x, \tau) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\sin{\mu_{n}\frac{x}{R}ехр}( - \mu_{n}^{2}\frac{a}{R^{2}}) }*\frac{2}{R}\int_{0}^{R}{f(x) \sin\mu_{n}\frac{x}{R}dx}$ (14 ^’ )