Шексіз пластина

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Шексіз пластина
Шексіз пластина деп әдетте ені мен ұзындығы қалыңдығымен салыстырғанда шексіз үлкен пластина түсініледі. Осылайша, шексіз пластина-екі параллель жазықтықпен шектелген дене. Температураның өзгеруі тек бір бағытта жүреді х, қалған екеуінде у және z ережелерінде температура өзгермейді (dТdу=dТdz=0) . Сондықтан тапсырма бір өлшемді.
Міндет қою. Температура пластинаның қалыңдығы бойынша f (x) функциясы жоқ түрінде бөлінеді. Бастапқы уақытта, шектеуші беттер бірден белгілі бір Tc температураға дейін салқындатылады, ол бүкіл салқындату процесінде тұрақты болады. Пластинаның қалыңдығы бойынша температураның таралуын және кез-келген уақытта жылу шығынын табыңыз.
Координатаның басын ортаға салыңыз, пластинаның қалыңдығын 2R арқылы белгілеңіз, яғни R-пластинаның қалыңдығының жартысы. Мәселенің шарты математикалық түрде келесідей тұжырымдалуы мүмкін. Дифференциалдық теңдеу аламыз
dT(x,τ)dτ=ad2T(x,τ)dx2 (τ0;-Rx+R) (1)
Eгерде осы шарт орындалса
Tx.0=fx (2)
T+R,τ=Tc=const, (3)
T-R,τ=Tc=const.

Айнымалыларды бөлу әдісімен есепті шешу. F (X) функциясы жұп деп алсақ ,яғни f (X) = f (-X); сондықтан (dfxdx)x=0=0. Бұл жағдайда шекаралық шарттар (3) келесідей жазуға болады:
TR,τ=TcdT(0,τ)dx=0 ( 3a)
Соңғы қатынас кез-келген уақытта температураның таралу қисығының симметрия жағдайының салдары болып табылады; ол салқындату процесінде орын алады, өйткені шектеулі беттерден жылу алмасу бірдей жүреді.
F (X) функциясы тақ болған жағдай төменде талқыланады.
Дифференциалдық теңдеуді былай жазуға болады:
Tx,τ=C sinkxe-ak2τ+D coskxe-ak2τ (4)
Cимметрия шартына ,байланысты:
dT(0,τ)dx=limx--0( kC coskx-kD sinkx)e-ak2τ=kCe-ak2τ=0
Мұнда С=0, себебі e-ak2τ салқындату процесі бойы (О τ infinity ) нөлге тең емес.
Бұл нәтижеге плитаны салқындату жағдайларын талдау арқылы қол жеткізуге болады. Температураның таралуы ординатаға қатысты симметриялы болуы керек, сондықтан оны жұп функциямен сипаттау керек. Мұндай функция cos kx, ал sin kx x-тің тақ функциясы, оны шешімнен алып тастау керек.
Екінші шекаралық шартты қанағаттандырайық. Есептеуді жеңілдету үшін уақытша Tс=0 қойямыз.
TR,τ=D coskRe-ak2τ=0
Осыдан
coskR=0, kR=12PI; 32PI; 52PI
knR=(2n-1)PI2 (5)
яғни k-ның бір мәні емес, шексіз саны бар.
Сондықтан жалпы шешім барлық жеке шешімдердің қосындысы болады, яғни:
Tx,τ= n=1infinityDncos2n-1PI2 xRexp⁡-(2n-1)2 PI44 aτR2 (6)
Әрбір жеке шешімдегі тұрақты Dn өз мәндеріне ие болады, өйткені кез-келген уақыт үшін температураның нақты бөлінуінің қосындысы температураның нақты таралуын сипаттауы керек.
Осылайша, косинусоидтың қабаттасуы температураның нақты таралу қисығын беруі керек
Сондықтан τ=0 қойып, біз f (x) функциясын аламыз және ол Фурье қатары түрінде ұсынылады
Tx,0=fx=n=1infinityDn cosknx (7)
Тригонометикалық функция cosk x және sink x ортогональды функцияны құрайды.
Бұл функция
f1(x), f2(x) ,f3(x) ,..., fn(x)
егер интеграл болса (а, b) аралығында ортогоналды деп аталады
abfi xfjxdx=0 (8)
i және j кез келген мәндері үшін, бірақ бір-біріне тең емес.
Мысалы, coskn x функциялар жүйесі ортогоналды болатындығын көрсетуге болады:
I=-R+Rcos(kmx)cos(knx)dx =0 m!=n0 m=n (9)
Интегралдық функцияны формула арқылы түрлендіреміз
cosαcosβ=12cosα-β+cosα+β
Сонда I интеграл тең болады
I=sinkm-knRkm-kn+sinkm+knRkm+kn
Тригонометриялық формуланы қолданамыз
sinα+-β=sinαcosβ+-cosαsinβ
сонда
I=2[kmsinkmcosknR-kncoskmRsinknR]km 2-kn2 (10)
Біздің жағдайда kmR=2m-1PI2; knR=2n-1PI2
Демек, coskmR=cosknR=0 . Алымы нөлге тең, ал m!=n бөлімі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.