Функционалдық теңдеулерді шешу әдістері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:

Дипломдық жұмыс

Сүлейменова Н. С «Элементар функцияларды функционалдық қатынастар арқылы анықтау» М. Қозыбаев атындағы Солтүстік Қазақстан Университеті,

«Математика және жаратылыстану ғылымдары» факультеті, «Математика және информатика» кафедрасы.

Түйінді сөздер: функционалдық теңдеулер, функционалдық теңдеулерді шешу әдістері, элементар функциялар, Коши теңдеулері.

Қорытынды біліктілік жұмысының мақсаты: функционалдық теңдеулерді зерттеу және осы теңдеулерді элементар функцияларды: сызықтық, экспоненциалды, логарифмдік және тригонометриялық функцияларды анықтауда қолдану:.

Негізгі әдістері:талдау және зерттеу

Аннотация: Бұл жұмыс оқу-тәжірибелік құралдарды талдау негізінде орындалған. Жұмыста функционалды теңдеулер туралы негізгі сұрақтар, функционалдық теңдеулерді шешу әдістері қарастырылған. Берілген мысалдар мен тапсырмалар оқытылатын пән бойынша білімді сәтті игеруге мүмкіндік береді. Жұмыста қарастырылған мәселелер көкжиекті кеңейтіп қана қоймай, сонымен қатар таңдалған тақырыптың маңыздылығын баса көрсететін оқу функциясын атқарады.

Жоспары:

Кіріспе

Функционалдық теңдеулерді шешу әдістері

Айнымалыларды алмастыру және функционалдық теңдеулердің мәліметтер әдісі

Алмастыру әдісі

Функционалдық теңдеулерді шешуде математикалық анализ элементтерін қолдану

Шекті көшу

Саралау

Функционалдық теңдеулердің көмегімен негізгі элементар функцияларды анықтау

Сызықтық функция

Көрсеткіштік функция

Логарифмдік функция

Дәрежелік функция

Факультатив сабақтар Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Функционалдық теңдеулер математикалық бағдарламаларда лайықты орын таба алмағаны өкінішті, себебі, жеке функционалдық теңдеулерді шешу тақырыпты терең түсінуді қажет етеді және тәуелсіз шығармашылық жұмысқа деген сүйіспеншілікті оятады. Қазіргі уақытта мектеп пен қалалықтан халықаралық олимпиадаларға дейін әртүрлі олимпиадалардың мазмұны «функционалдық теңдеулер мен теңсіздіктер» деп атала бастады. Мұндай теңдеулер мен теңсіздіктерді әртүрлі факультеттерге жоғары оқу орындарына түсу емтихандарының мазмұнына тарту идеясы да бар. Демек, мұндай міндеттерді шешуді үйренгісі келетіндер көп. Сондықтан "функционалдық теңдеулер" тақырыбы бүгінде өте өзекті деп сеніммен айтуға болады. Қазіргі уақытта функционалды теңдеулерді шешуге үйрететін оқу құралдары жоқ. Сондықтан қарапайым және нақты мысалдарда функционалдық теңдеулерді шешудің заманауи әдістерінің барлық арсеналын көрсете алатын нұсқаулық қажет. Біздің бітіру біліктілік жұмысымызда біз осы мәселені шешуге барынша тырысамыз.

Міндеттері:

бітіруші біліктілік жұмысы тақырыбы бойынша ғылыми практикалық әдебиеттерді зерттеу,
функционалдық теңдеулерді қарастыру,

-функционалдық теңдеулерді шешу әдістерін ашу,

элементар функцияларға сәйкес келетін функционалдық теңдеулерді құрастыру,
стандартты емес математикалық есептерді және жалпы математиканы шешуге қызығушылықты дамыту.

Жұмысты жазу кезінде 4 дереккөз зерттеліп, талданды. Бұл бітіру біліктілік жұмысы екі тараудан тұрады:

Алғашқы тарауда біз функционалдық теңдеулерді шешу әдістерін қарастырамыз: айнымалы мен функцияны ауыстыру арқылы функционалды теңдеуді белгілі теңдеуге байланыстыру әдісі, алмастыру әдісі, функционалдық теңдеулерді шешуде Математикалық талдау элементтерін қолдану; әр әдіс үшін теңдеулерді шешуге мысалдар таңдалады.

Ал, келесі тарауда біз функционалдық теңдеулерді қолдана отырып, негізгі элементар функциялардың

( y = c , y = x ^a ,

y = a ^x ,

y = log a x ,

y = sin x , y = cos x , y = tgx , y = ctgx )

анықтамасын ұсынамыз, сонымен қатар олардың кейбір қасиеттерін қарастырамыз.

Бұл жұмыста қарастырылған мәселелер көкжиекті кеңейтіп қана қоймай, сонымен қатар таңдалған тақырыптың маңыздылығын баса көрсететін оқу функциясын атқарады.

Функционалдық теңдеулердің даму тарихы.

Функционалдық теңдеу дегеніміз белгісіз функция күрделі функцияны қалыптастыру арқылы бір немесе бірнеше айнымалылардың белгілі функцияларымен байланысты теңдеу деп түсініледі. Мысалыға,

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) , мұндағы, f - белгісіз функция , x және у - тәуелсіз

айнымалылар.

Қайсыбір функционалдық теңдеулер бізге мектеп курсынан да таныс, олар

D , f (− x ) = − f ( x ) ,

f ( x + T ) =

f ( x )

периодтылық, тақ, жұптылық сияқты функциялардың қасиеттерін анықтайды.

D жиындағы функционалдық теңдеудің шешімі деп оны функционалдық теңдеуге ауыстырған кезде ол D жиындағы дұрыс теңдікке айналатын функцияны айтады .

Мысалыға,

Функциясы

f ( x ) = е ^х

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y )

функционалдық теңдеудің шешімі екенін көрсетеміз .

Расында да, барлық x және y үшін

f ( x + y ) =

f ( x ) f ( y ) → e ^x ⁺ ^y

= e ^x e ^y

Сондықтан

f ( x ) = е ^х функциясы

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y )

функционалдық теңдеудің шешімі болып табылады. Функционалды теңдеулерді шешу мәселесі математикалық анализдегі ең көне мәселелердің бірі болып табылады. Олар функциялар теориясымен бір уақытта пайда болды. Бұл пәннің алғашқы нақты гүлденуі күштердің параллелограммы

проблемасымен байланысты. 1769 жылы Даламбер күштерді қосу заңының негіздемесін функционалдық теңдеуді шешуге келтірді

f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) f ( y )

(1)

Дәл осы теңдеуді Пуассон 1804 жылы аналитикалық болжаммен қарастырды, ал 1821 жылы Коши (1789 - 1857) осы теңдеудің жалпы шешімдерін анықтап,

f ( x ) = cos ax , ( ) =

= eax + e − ax ,

f ( x ) ≡ 0,

f x chax

тек

f ( x )

үзіліссіз екенін болжады .

Параллельдік бұрышы үшін Евклид емес геометрияның белгілі формуласын

1 − x

f ( x ) = tg 2 ∏( x ) = e k

Н. И. Лобачевский (1792 - 1856)

f ² ( x ) =

f ( x − y ) ⋅ f ( x + y )

(2)

Коши тәсіліне ұқсас әдіспен функционалдық теңдеуден алды. Функционалды теңдеулерге әкелетін бірқатар геометриялық есептерді ағылшын математигі Ч. Баббедж (1792 -1871) қарастырды. Ч. Баббедж қисық нүктелердің кез-келген жұбы үшін келесі қасиетпен анықталған екінші ретті периодты қисықтарды зерттеді: егер екінші нүктенің абсциссасы бірінші ординатаға тең болса, онда екінші нүктенің ординатасы бірінші абсциссаға тең болады. Мұндай қисық

y=f(x)

функциясының графигі болсын. Мұндағы: (x, f(x) ) - оның еркін нүктесі. Содан, шарт бойынша, f(x) абсциссасы бар нүктесінің х ординатасы болады.

f ( f ( x ) ) = x

(3)

Функционалдық теңдеуін

f ( x ) =

a ² − x ² , x ∈ [0; a ],

f ( x ) = a , a ≠ 0

функциялары қанағаттандырады.

Қарапайым функционалдық теңдеулердің бірі-Коши теңдеулері

f ( x + y ) =

f ( x + y ) =

f ( x ) + f ( y )

f ( x ) ⋅ f ( y )

(4)

(5)

f ( xy ) =

f ( xy ) =

f ( x ) + f ( y )

f ( x ) ⋅ f ( y )

(6)

(7)

Коши бұл теңдеулерді 1821 жылы жарық көрген өзінің талдау курсында егжей-тегжейлі зерттеді. Осы төрт негізгі теңдеулердің үздіксіз шешімдері сәйкесінше

f ( x ) = ax ,

f ( x ) = a ^x ,

f ( x ) = log a x ,

f ( x ) = x ^a ( x > 0)

болып табылады.

Үзілісті функциялар класында басқа да шешімдер болуы мүмкін. Жобалық геометрия және Гаусс заңының бөлу ықтималдығының негізгі теоремаларын шығару кезінде Лежандр және Гаусс (4) теңдеуді бұрын да қарастырған. Г. Дарбудың параллелограмм күштері мәселесіне және жобалық геометрияның негізгі теоремасына (4) функционалдық теңдеуді қайтадан қолданылды. Оның басты жетістігі - жорамалдардың айтарлықтай

әлсіреуі. Біз білеміз, Кошидің (4) функционалдық теңдеуі үздіксіз

функциялар класының сызықтық біртекті функциясын

f ( x ) = ax

сипаттайды .

Дарбу айтып өткендей, кез-келген шешім, үздіксіз, ең болмағанда бір

нүктеде немесе шектелген жоғарыдан немесе төменнен) және ерікті түрде,

сондай-ақ болуы тиіс кіші тізбек түрі

f ( x ) = ax . Одан арғы нәтижелері

бойынша әлсіреу жорамалдар тез бірінен соң бірі (интеграциялану, көптеген оң шаралар және тіпті мажорлы өлшемді функциясын өлшеу) . Осында мынадай сұрақ туындайды: қандай болса да аддитивті функциясы (яғни (4) формуланы қанағаттандыратын тамаша сызықтық біртекті) болуы мүмкін бе?. Мұндай функцияны шын мәнінде табу оңай емес! Жұмыс барысында біз рационал x айнымалысының мәні бар кез келген аддитивті түзетудің

функциясы сәйкес келуі тиіс мәндермен кейбір сызықтық біртекті

функциялары, яғни f ( x ) = ax

үшін

x ∈ Q . деп, сол

f ( x ) = ax

үшін x нақты

екенін көреміз. Егер

f ( x ) - үзіліссіз болса, онда шынында да мұндай

болжам жоқ. Бірінші мысалы, (4) функционалдық теңдеулердің үзіліссіз

шешімі

f ( x ) = ax

болатынын 1905 жылы неміс математигі Г. Гамель нақты

сандар базисінің көмегімен енгізген.

Көптеген функционалдық теңдеулер функциялардың кеңейтілген

класын беретін нақты функцияны анықтамайды, яғни сол немесе өзге функциялар класын сипаттайтын қасиеттерін білдіреді. Мысалы,

f ( x + 1) = f ( x ) функционалдық теңдеуі 1 периодты функциялар класын

сипаттайды, ал

f (1 + x ) =

f (1 − x ) теңдеуі

x = 1, және т. б. түзуіне қатысты

симметриялық функциялар класы.

Функция (cәйкестік) анықтамасы: X және Y жиындары берiлсiн. Егер X және Y жиындарының арасындағы f сәйкестiгi бойынша X жиынының әрбiр элементiне Y жиынының бiр ғана элементi сәйкес қойылса, f сәйкестiгiн X жиынынанY жиынына бейнелеу деп аталады. Белгiлеуi: f: X→Y. Егер y элементi f бейнелеуi бойынша x элементiнiң бейнесi болса, оны f(x) = y теңдiгi арқылы жазамыз. Мұндағы x элементi y элементiнiң f бейнелеуі бойынша алғашқы бейнесi, ал y элементi x элементiнiң бейнесi деп аталады.

Егер X мүмкін мәндер жиынтығынан алынған х-тің әрбір мәніне айнымалы Y жиынының белгілі бір мәні у сәйкес келсе, онда у айнымалы шамасы х айнымалы шамасының функциясы деп аталады. Мұндай тәуелділік у=f(х) түрінде жазылады. f әрпінің орнына басқа әріптер де (мыс., F, т. б. ) қолданылады. Мұндағы х-ті тәуелсіз айнымалы (кейде аргумент) деп, ал оның өзгеру облысы (жиыны) у-тің анықталу облысы деп аталады. х-тің өзгеруіне байланысты айнымалы у-тің қабылдайтын мәндерінің жиынын у функциясының өзгеру облысы деп атайды.

Функцияның жоғарыда берілген анықтамасында назар аударатын екі жағдай бар: біріншісі - аргумент х-тің өзгеру облысын көрсету, екіншісі

- х пен у мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды тағайындау. Егер х-тің бір мәніне у-тің бір ғана мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің бір мәнді Функциясы деп, ал егер х-тің бір мәніне у-тің бірнеше мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің көп мәнді Функциясы деп атайды.

Айнымалы шамалар (х пен у) мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды функц. тәуелділік дейді. Функция көбінесе аналитикалық тәсіл немесе формула арқылы (мысалы, , т. б. ), кейде графиктік және таблицалық (дәл не жуық формулалармен есептелген) тәсілдерімен де беріледі. Математиканың одан әрі дамуы нәтижесінде Функция табиғаты кез келген айнымалы математикалық объектілер арасындағы сәйкестік ретінде жалпыланды. Математиканың басқа ұғымдары тәрізді Функция ұғымы да бірден қалыптасқан жоқ. Ол дамудың ұзақ жолынан өтті. “Функция” термині алғаш рет 1692 ж. Г. Лейбництің еңбектерінде кездесті. Функцияның қазіргі ұғымға жақын алғашқы анықтамасын И. Бернулли (1718) берген, ал бұл ұғымды Д. Бернулли, Л. Эйлер, Ж. Фурье, П. Дирихле, Н. И. Лобачевский, т. б. одан әрі дамытты.

Жалпы дифференциалдық немесе интегралдық бола алмайтын функционалдық теңдеулер үшін, жалпы әдістерін шешу өте аз екені белгілі. Бұдан функционалдық теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастыру қажеттілігі туындайды.

Функционалдық теңдеулерді шешу әдістері

Айнымалыны алмастыру және функционалдық теңдеулердің мәліметтер әдісі

Өзіміз білетін жалпы шешімдері бар теңдеулермен жинақтауға болатын функционалдық теңдеулердің белгілі бір типтерін қарастырайық. Әдетте, мұндай теңдеулер (4) - (7) Коши негізгі теңдеулерімен жинақталады.

Мұндай әдіс қайта жаңарудан кейін таңдап алуға болатындай белгілі

функционалдық теңдеулердің бірін қанағаттандыратын қосалқы функцияларды енгізуге негізделген әдіс .

Мысал 1.

f ( x )

функциясының (0; ∞)

аралығында анықталған,

f ( x 1 y ) − f ( x 2 y ) айырмасы y - ке тәуелді емес

x 1 және

x ₂ рұқсат етілген

мәндерінде барлық үзіліссіз функцияларын табу керек.

Шешімі. Есептің шарты бойынша

f ( xy ) − f ( y ) ( x = x , x = 1)

y -ке тәуелді емес , сондықтан

f ( xy ) − f ( y ) = f ( x ) − f (1) .

g ( x ) = f ( x ) − f (1) орнына қояр болсақ, Коши функционалдық теңдеуін

аламыз:

. g ( xy ) = g ( x ) + g ( y )

Үздіксіз функциялар класында

g ( x ) = c ln x екені анық. Бұдан

f ( x ) = c ln x + b, мұндағы b =

f (1) . b және c кезінде f ( x ) = c ln x + b

функциясы

тапсырманың шартын қанағаттандыратынын көрсетеді.

Мысалы,

x 1 және

x ₂ - әр түрлі белгіленген сандар деп қарастырайық.

Себебі,

f ( x ₁ y ) − f ( x ₂ y ) айырмасы y -ке тәуелді емес , онда

f ( x ₁ y ) − f ( x ₂ y ) = с .

x 2 y = x

болсын . Онда

f ( ax ) =

f ( x ) + c, мұндағы

a = x 1 ≠ 1,

a > 0, c - тұрақты.

x -ті

2

e ^x -ке алмастыру кезінде ,

f ( e ^x ^+ln ^a ) − c = f ( e ^x ), x ∈ R т

еңдігін аламыз. Екі бөлігінен де

cx

ln a

алсақ, онда

f ( ex +ln a ) − c ( x + ln a ) =

ln a

f ( e ^x ) −

cx

ln a

немесе

g ( x + ln a ) = g ( x )

(8)

теңдігін аламыз, мұндағы

g ( x ) =

f ( e ^x ) −

cx .

ln a

(8) теңдеуді периодты

ln a

функциясының периодтылығы

қанағаттандырады. Осыдан

g ( x ) =

f ( e ^x ) − c ln x .

ln a

f ( x ) = g (ln x ) + a ln x

түріндегі функциялардың (мұндағы a - бірқалыпты тұрақтысы, ал g ( x ) -

ln x 1

x 2

функциясымен үздіксіз периодты) талап етілетін қасиеттерге ие

екенін тексеру барысында көз жеткіземіз.

Мысал 2 : кез-келген x , y , z ∈ R үшін

( x + y ) + z = x + ( y + z )

нақты сандарды қосудың ауыстырымдылық қасиетке ие екені мәлім.

f ( x )

функциясының алмастыруды "сақтайтын"

f ( x + y ) + f ( z ) = f ( x ) + f ( y + z ) (9)

барлық үзіліссіз функцияларын анықтау керек.

Шешімі . (9) формуланы

f ( x + y ) − f ( x ) = f ( y + z ) − f ( z )

түріне көшіреміз. Бұдан сол жақ бөлігі х -ке тәуелді емес екенін байқау қиын

емес, яғни

x = 0 болғанда

f ( x + y ) − f ( x ) = g ( y ) .

f ( y ) = g ( y ) + a , a =

теңдігіне иеміз.

g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y )

f (0)

(4) функционалдық Коши теңдеуіне келдік . Оның үздіксіз шешімі

функциялары болып табылады . Сонымен,

f ( x ) = cx + a , мұндағы a және c - еркін тұрақтылар.

Мысал 3. мынадай қасиетке ие болатын: екі нүкте үшін абсцисса

g ( x ) = cx

көбейтіндісінің бір нүктенің ординатаға, ал екіншісі ордината нүктесіне тең, ал абциссасы берілген нүктелердің абциссаларын көбейткенге тең жазық қисықтарды анықтау керек.

Шешімі . Аргументтің оң мәнінде анықталған, үзіліссіз функциялардың графиктері болып табылатын қисықтарды іздеумен шектелеміз.

Берілген тапсырма

f ( xy ) = xf ( y ) + yf ( x )

функционалдық теңдеуін шешуге алып келеді.

g ( x ) =

f ( x ) x

болсын. Сонда (6) түріндегі Коши теңдеуін

g ( xy ) = g ( x ) + g ( y )

түрінде аламыз. болады. Бұдан

g ( x )

x > 0

аралығында үзіліссіз болғандықтан,

g ( x ) = c ln x

4-мысал.

f ( x ) = cx ln x , c - еркін тұрақты.

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy

функционалдық теңдеулердің үзіліссіз шешімдерін табу керек.

Шешімі. Мұнда қосалқы функция ретінде

g ( x ) = f ( x ) − x ²

функциясын қарастырған ыңғайлы болады. Сонда бастапқы теңдеуіне

f ( x ) = g ( x ) − x ²

апарып қойсақ, онда

g ( x + y ) + ( x + y ) 2 = g ( x ) + x ² + g ( y ) + y ² + 2 xy ,

түрінде болады.

g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y )

Кошидің бұл теңдеуі оның шешімімен

табылады. Соңында

f ( x ) = g ( x ) + x ² = x ² + ax

g ( x ) = ax

функциясы болып

екенін анықтаймыз және мұндай функциялар барлық шартты қанағаттандырады.

Мысал 5.

Үздіксіз функциялар класында Йенсен теңдеуін шешу керек:

f  x + y  = f ( x ) + f ( y ) , x , y ∈ R .

 

 

Шешімі . Егер берілген теңдеуде x орнына( x + y ) және y орнына 0 қойсақ, онда

f  x + y  = f ( x + y ) + f (0) = f ( x + y ) + c , c =

f (0)

 

 

түріне келеді. Алынған қатынасты бастапқы функционалдық теңдеумен салыстыра қарасақ, онда

f ( x + y ) + c = f ( x ) + f ( y )

түрін аламыз. Бұл теңдеу теңдеуіне ауысады, сонда

g ( x ) =

f ( x ) − a

алмастыруы арқылы (4) Коши

g ( x ) = ax , f ( x ) = ax + c ,

ал бұл шешім шын мәнінде Йенсен теңдеуін қанағаттандырады.

Мысал 6.

f ( xy ) ≡ xf ( y ) + yf ( x )

теңдігін қанағаттандыратын анықтау керек.

f : (0; + ∞) → R барлық үзіліссіз функцияларын

Шешімі . Теңдікті xy -ке бөлсек, онда

f ( xy ) =

xy

f ( x ) +

x

f ( y ) y

түрінде аламыз. осыдан, қосалқы ретінде

g ( x ) =

f ( x ) x

функциясын алу

қажеттілігі анық көрінеді. Онда g функциясы (6) теңдікті қанағаттандырады.

Сондықтан да

теңдігін табамыз.

f ( x ) = x log a x

Алмастыру әдісі

Функционалдық теңдеулердің кейбір айнымалыларын нақты мәндерімен немесе қандай да бір басқа өрнектерімен алмастыра отырып, біз бұл теңдеуді жеңілдетуге немесе шешімі анық болатындай түрге келтіруге тырысамыз. Қолданылатын әдістің ерекшелігі сол, мүмкін функциялар класында шешімін табуға мүмкіндік береді. және ол бірқатар жағдайларда ол мүмкіндік береді. Бұл әдісті келесі мысалдарда кеңінен түсіндіреміз: Мысал 7.

Функционалдық теңдеулердің

f ( xy ) = y ^k f ( x ), k ∈ N

барлық шешімдерін табу керек.

Шешімі . Берілген теңдеуге

x = 0 : f (0) = y ^k f (0) қоямыз , себебі y - тәуелсіз

болғандықтан,

f (0) = 0 .

Ал енді

x ≠ 0

болсын. Теңдеуге

y = 1

алмастыру енгізсек, онда

( )  1  k ( )

( ) k ( ( ) )

f 1 =   ⋅ f x

немесе

f x = ax , a = f 1

болады.

 x 

f ( x ) = ax ^k

функциясы бастапқы берілген теңдеудің шешімі болады.

Мысал 8.

a ≠ ±1 саны - кейбір нақты сан болсын. Барлық

x ≠ 1

үшін

анықталған және

f  x  = af ( x ) + g ( x )

(мұндағы g - берілген функция,

 x −1 

 

x ≠ 1 болғанда) теңдеуін қанағаттандыратын

f ( x )

функциясын табу керек.

Шешімі .

x → x

x −1

алмастыру енгізу барысында

 f  x  = af ( x ) + g ( x )

  x − 1

 ,

x x

 f ( x ) = af 

 + g  

  x − 1  x − 1

    

a ² ≠ 1 болғанда

ag ( x ) + g  x 

 x − 1

f ( x ) =

 

1 − a ²

функциясы шешімі болып табылатын теңдеулер жүйесін аламыз.

Мысал 9.

Берілген

I = (− ∞, 0)  (0, 1)  (1, + ∞) аралықта

f  1  + f  x −1 − 2 f ( x ) = x

1 − x   x 

   

теңдігі орындалатын барлық

f ( x )

функцияларын табу керек.

Шешімі . Келесідей екі алмастыру

x → x ,

x − 1

x → 1 − x

жасасақ, онда

 f  1  + f  x − 1 − 2 f ( x ) = x

  1 − x   x 

    

 f  1  + 2 f  x − 1 + f ( x ) = x − 1 .

  1 − x 

 x  x

    

2 f  1  + f  x − 1 + f ( x ) = 1

  1 − x   x 

1 − x

    

функционалдық теңдеулер жүйесін аламыз.

Соңғы теңдеу алғашқы екі теңдеудің, -1-ге көбейткен қосындысы, яғни

берілген жүйенің теңдеуден

f ( x )

функциясы бір мәнді анықталмайды. Бастапқы екі

( ) =

 1  − 1 ⋅ 2 x ² + x −1,

 x − 1 =

 1  − 1 ⋅ 2 x ² + x −1

f x f 1 − x  3 x

f  x 

f 1 − x  3 x

     

теңдігін аламыз. Біз f ( x ) функциясын еркін түрде (− ∞, 0), (0, 1), (1, + ∞) берілген

аралықта анықтай аламыз және бұл формулалар бізге көптеген I үшін кеңейтуді береді.