Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 35 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе 3

І-тарау.

1. 1. Көпмүшеліктер. Көпмүшеліктердің дәрежесі, түбірлері, қалдықпен бөлу.

1. 2. Евклид алгоритмі

1. 3. Өрісте жіктелмейтін көпмүшеліктер

Кіріспе

Үшінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу қиын. Жалпы рецепттер жоқ. Көп нәрсе шеберлікке, тез тапқырлыққа, байқау мен тәжірибеге байланысты. Мұндай теңдеулерді әрдайым көбейткіштерге жіктеуге болмайды. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуге көмектесетін әдістердің бірі - Безу теоремасы, Горнер сызбасы.

Зерттеудің өзектілігі.

Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау; теоремадан алынған салдарларды анықтау және дәлелдеуін талдау; теореманы және Горнер сызбасын қолданудың нақты мысалдарын көрсету - қазіргі уақытта көкейтесті мәселе болып отыр. Бұл тақырыптар алдын-ала профильдік кластарда оқытылуда.

Зерттеу мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулерді Безу теоремасын, Горнер сызбасын пайдаланып шешу.

Зерттеу нысаны: Безу теоемасы, Горнер сызбасы.

Зерттеу пәні: орта мектепте сыныптан тыс жұмыстарда, оқушыларды қазіргі заманғы алгебрамен танысуда, ойлау қабілеттерін қалыптастыруда жоғары дәрежелі теңдеулерді және олардың қолданысын пайдалану.

Зерттеу міндеттері:

Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау;
теоремадан алынған салдарларды анықтау және дәлелдеуін талдау;
Безу теоремасын қолданудың нақты мысалдарын көрсету;
Горнер схемасының көмегімен шығарылатын жүйеленген таңдаулы есептерді көрсету.

Зерттеудің әдістемелік негіздері: Білім беру жүйесінің философиялық, психологиялы - педагогикалық, әдістемелік негіздері, ғылыми тәжірибе қағидаларын жасауда орта білім беру үдерісін зерттеудегі жүйелілік, тұлғалылық және іс-әрекет тұрғысынан қараудың жалпы ғылыми ұстанымдары, жеке тұлғаны дамыту саласындағы отандық және шетелдік ғалымдардың еңбектері құрайды.

Зерттеудің теориялық негіздері: іс-әрекеттің философиялық, психологиялық, педагогикалық теориясы; жоғары дәрежелі теңдеулерді зерттеу идеялары және теориялары қолданылды.

Мәселенің зерттелу деңгейі: жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу мүмкіндіктері кеңінен қарастырылды, тапсырмалар жинақталды және жүйеленді.

Зерттеу әдістері: Ғылыми және әдістемелік әдебиеттерді талдау, теориялық талдау, материалдарды жинақтап қорытындылау және жоғары дәрежелі теңдеулерді және қасиеттерін осы тәжірибелерге сүйене отырып зерттеу.

Теориялық маңыздылығы: Безу теоремасының, Горнер сызбасының қолданысы көрсетілді, түрлі есептерді тиімді және оңай шешу тәсілдерін табу арқылы олардың қолдану аясы мейлінше кеңірек ашылды.

Зерттеудің практикалық маңыздылығы: Жұмыс нәтижесін жоғары оқу орнының оқу үдерісіндегі алгебра курсында, мектептегі элективті курстарда, оқушыларды қазіргі заманғы алгебрамен таныстыруда және ғылыми жобаларды жазуда пайдалануға болады.

Диплом жұмысының құрылымы кіріспе, екі тарау, қорытынды мен пайдаланылған деректерден тұрады және жалпы көлемі 60 бет.

Этьен Безудің негізгі еңбектері жоғары алгебрамен байланысты, олар алгебралық теңдеулерді шешу теориясын құруға арналған.

Безу теоремасы

x -қа тәуелді n -ші дәрежелі кез келген көпмүшені екімүшесіне бөлгенде шыққан қалдық - бөлінгіш көпмүшенің болғандағы мәніне тең.

Теореманы дәлелдемес бұрын екі түсініктеме берелік. .

1. Құрамына кіретін әріптердің кейбір жеке мәндерінде мағынасын жоғалтатын алгебралық өрнектердің бар екенін білеміз. Мысалы, болғанда мағынасыз; өрнегі және кезінде мағынасын жоғалтады.

Кез- келген бүтін оң дәрежелі көпмүшелік ешқашан мағынасын жоғалтпайтынын ескереміз. Айнымалының кез келген мәнінде ол белгілі бір мәнді қабылдайды.

2. Біреуінің мәні нөлге тең, ал екіншісі қандай да бір мәнге ие болатыын екі көбейткіштің көбейтіндісі әрқашан нөлге тең. Егер көбейткіштің біреуі нөлге айналып, ал екіншісінің мағынасы болмаса, онда бұл көбейтіндіні нөлге тең деп айтуға болмайды. Мұндай көбейтінді туралы анық ештеме айту мүмкін емес. Әрбір жағдайда арнайы зерттеу қажет.

Мынадай көбейтіндіні қарастырайық: . болғанда, бірінші көбейткіш нөлге тең болады, ал екіншісі мағынасыз болады. Бұл көбейтінді үшін нөлге тең деп тұжырымдауға болмайды.

Сонымен, болғанда көбейтіндінің мәні жоқ. Бірақ оның шегінің мәні бар, яғни -ге емес -ге тең.

Дәлелдеуі:

Бөлінгіш көпмүшені деп белгілейік. Бөлгіш бірінші дәрежелі көпмүше, сондықтан қалдық R(x ) дәрежеcі нөлге тең, яғни болсын.

Демек,

Салдар 1. полиномын екімүшелігіне бөлгендегі қалдық оcы полиномның болғандағы мәніне, яғни тең болады.

Дәлелдеуі:

Көпмүшеліктерді бөлу ережесіне сәйкес:

болғанда

орындалады. Яғни, бізге дәлелдеу керегі де осы еді.

Салдар 2.

Егер саны көпмүшелігінің түбірі болса, онда бұл көпмүшелік екімүшеліне қалдықсыз бөлінеді.

Салдар 3.

Егер көпмүшелігінің қос-қостан әртүрлі түбірлері бар болса, онда ол көпмүшелік көбейтіндісіне қалдықсыз бөлінеді.

Салдар 4.

Көпмүшенің нөлге тең емес әртүрлі нақты түбірлерінің саны көпмүшенің дәрежесінен артық емес.

Дәлелдеуі. дәрежесі және көпмүшесінің әртүрлі түбірлерінің саны ға тең болсын. Онда 3-салдар бойынша

дәр. дәр. дәр. сондықтан немесе

Мысал 1:

көпмүшелігін екімүшесіне бөлгендегі қалдықты табайық.

Безу теоремасы бойынша

Жауабы:

Мысал 2:

-ның қандай мәнінде көпмүшелігі екімүшесіне қалдықсыз бөлінеді?

Безу теоремасы бойынша: Бірақ шартына сәйкес, бұдан

Жауабы:

Безу теоремасы француз ғалымы Этьен Безудің атымен аталған алгебраның негізгі теоремаларының бірі. Безу теоремасы көпмүшелердің бөлінгіштігіне байланысты есептерді шешуде, мысалы, көпмүшелерді бөлу кезінде қалдықты табуда, көпмүшелердің еселігін анықтауда және т. б. қолдануды табады деп қорытынды жасауға болады. Сондай-ақ, теореманы пайдаланып көпмүшелерді көбейту, түбірлердің еселігін анықтау және басқа да жіктеулерді орындауға болады.

Этьен Безу - француз математигі, Париж ғылым академиясының мүшесі (1758 жылдан бастап), 1730 жылы 31 наурызда Немурда туып, 1783 жылы 27 қыркүйекте қайтыс болды.

1763 жылдан Безу мичмандар мектебінде, ал 1768 жылдан корольдік артиллерия корпусында математикадан сабақ берді.

Этьен Безудың негізгі еңбектері жоғары алгебрамен байланысты, олар алгебралық теңдеулерді шешу теориясын құруға арналған. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу теориясында анықтауыштар теориясының пайда болуына үлес қосты, жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінен белгісіздерді жою теориясын жасады, екі қисық теореманы (алғаш рет К. Маклаурин тұжырымдаған) дәлелдеді. реті m және n mn артық емес нүктеде қиылысады. Францияда және шетелде 1848 жылға дейін оның 1764-69 жылдары жазған алты томдық «Математика курсы» өте танымал болды. Безу анықталмаған көбейткіштер әдісін жасады, элементар алгебрада осы әдіске негізделген теңдеулер жүйесін шешу әдісі оның атымен аталады. Безу жұмысының бір бөлігі сыртқы баллистикаға арналған. Алгебраның негізгі теоремаларының бірі ғалымның атымен аталады.

Уильям Джордж Хорнер (туылған Уильям Джордж Горнер, 1786 - 22 қыркүйек 1837) - британдық математик, Горнер схемасы оның атымен аталған. Ол сондай-ақ зоотропты өнертапқыш болып саналады. 1786 жылы Англияның Бристоль қаласында дүниеге келген. Ол Бристольдегі Кингсвуд мектебінде білім алған. 16 жасында Кингсвуд мектебінде директордың көмекшісі, ал 4 жылдан кейін директор болды. 1809 жылы ол Бристольді тастап, Батта өз мектебін (Классикалық семинария) құрды.

1819 жылы ол көпмүшенің нақты түбірлерін жуықтап есептеу әдісін жариялады, ол қазір Руффини-Горнер әдісі деп аталады (бұл әдіс қытайлықтарға 13 ғасырда белгілі болған) . Жұмыс Корольдік Қоғамның Философиялық еңбектерінде жарияланған.

19-шы және 20-шы ғасырдың басында Горнер әдісі алгебра бойынша ағылшын және американдық оқулықтарда маңызды орын алды. Де Морган өз еңбектерінде Горнер әдісінің кең мүмкіндіктерін көрсетті.

І-тарау. Көпмүшеліктер

Анықтама 1. 1 Коммутатив K сақинасындағы көпмүше деп түріндегі формальды қосынды аталады, мұндағы теріс емес бүтін сан, айнымал немесе белгісіз деп аталатын арнайы символ.

сақинасындағы көпмүшелердің жиыны деп белгіленеді.

көпмүшесінің элементтері көпмүшесінің коэффициенттері, қосылғышы мүшесі деп аталады. Жалғыз мүшеден құралған көпмүшесі бірмүше деп аталады. Коэффициенттері бәрі нөлге тең көпмүше нөлдік көпмүше деп аталады және деп белгіленеді.

Анықтама 1. 2 Егер және көпмүшелеріне болса, онда және көпмүшелері тең деп аталады.

Сонымен екі көпмүшенің сәйкес коэффициенттері тең болса, онда олар тең болады.

және көпмүшелерінің қосындысы деп анықталады, мұндағы

және көпмүшелерінің көбейтіндісінің көпмүшесі болады. Оның коэффициенттері формуласымен есептеледі.

Теорема 1 . Коммутатив сақинасындағы көпмүшелердің жиыны коммутатив сақина құрайды.

Дәлелдеу . Екі көпмүшенің қосындысы және көбейтіндісі көпмүше болатыны анықтамадан шығады.

және көпмүшелері берілсін және болсын. Онда Берілген көпмүшелердің коэффициенттері сақинасының элементтері болғанлықтан, коэффициенттерге қосудың ассоциативтілігі орындалады. Осы алдыңғы теңдіктерде қолданылды. Сөйтіп, көпмүшелердің қосуына ассоциативтік ереже орындалады .

Нөлдік көпмүшені деп келтіруге болады. Егер көпмүшесі берілсе, онда

Oсыған ұқсас екенін де көрсетуге болады. Сондықтан нөлдік көпмүше қосуға қатынасты бейтарап элемент болады.

Енді көпмүшесі үшін деп алайық. Онда қосудың анықтамасы бойынша,

Осыған ұқсас теңдігі көрсетіледі. Сондықтан көпмүшесі көпмүшесіне қарама-қарсы болады.

Егер , берілсе, онда

Сондықтан қосуға коммутативтік ереже орындалады.

Сөйтіп, көпмүшелер қосуға қатынасты коммутатив топ құрайды.

Енді , және көпмүшелері берілсін. Одан әрі , , , және , , , болсын. Көбейтудің анықтамасы бойынша, , , , . Осыдан Соңғы өрнектегі мүшелерді басқаша топтаса, онда Мұнда квадрат жақшаларда осы ретте алынған коэффициенттері болатынын көруге болады. Сондықтан . Ал бұл коэффициенті де болады. Сөйтіп, кез келген , , , …, үшін . Сондықтан немесе . Бұл ассоциативтік теңдігі.

Осыған ұқсас дистрибутивтік ережесі орындалатынын көрсетуге болады: және . Оған қоса, сақинасы коммутатив болса, онда копмүшелердің көбейтуі коммутатив болатынын да осылай көрсетуге болады.

Енді көпмүшелердің жиынында көбейтуге қатысты бейтарап элемент табылатынын көрсетейік. көпмүшесі берілсін. Онда . Осыған ұқсас теңдігін де көрсетуге болады. Сөйтіп, көпмүшесі көбейтуге қатысты бейтарап элемент болады.

Сонымен, коммутатив сақинасындағы көпмүшелердің жиыны коммутатив сақина құрайды.

Анықтама сақинасы сақинасындағы бір айнымалды көпмүшелер сақинасы деп аталады.

Екі және көпмүшелерінің көбейтіндісін есептегенде көбейтіндінің коэффициенттерін формуласымен іздемей, сақинаның жоғары дәлелденген қасиеттері пайдалануға болады. Екі көпмүше сәйкесінше және бірмүшелерінің қосындысы болады. Сондықтан көпмүшелердің көбейтіндісі көбейтінділерінің қосындысы болады:

Көпмүшенің дәрежесі

Анықтама . көпмүшесінің дәрежесі деп болатын ең үлкен теріс емес бүтін саны аталады және деп белгіленеді.

Кей кезде нөлдік көпмүшенің дәрежесі деп алынады: .

Теорема. коммутатив сақина болсын. Онда кез келген көпмүшелері үшін келесі қасиеттер орындалады.

, мұнда деп алынды.

Егер біртұтастық аймақ болса, онда .

Теорема Егер біртұтастық аймақ болса, онда сақинасы да біртұтас аймақ болады.

Теоремa. Егер біртұтас аймақ болса, онда сақинасының бөлінділер өрісі табылады.

Дәлелдеу . Сақиналар теориясында кез келген біртұтастық аймақтың бөлінділер өрісі болатыны дәлелденеді. Онда -теорема бойынша,

біртұтастық аймақ болады. Сондықтан біртұтас аймақтың бөлінділер өрісі болады.

3. Көпмүшені екімүшесіне қалдықпен бөлу. Безу теоремасы

Теорема көпмүшелігін екімүшесіне бөлгендегі қалдық көпмүшенің болғандағы мәніне тең.

Мұндағы :

- дәрежелі көпмүшелік,

- оның бөлгіші,

- -ті бөлгендегі бөліндісі

( дәрежелі көп мүшелік) ,

- қалдық ( қалдығында болмайды) .

Дәлелі :

Көпмүшені қалдықпен бөлу ережесі бойынша:

Осыдан шығатыны :

Демек, , яғни көпмүшеліктің бөлгендегі қалдығы көпмүшеліктің тең болғандағы мәніне тең. Дәлелденді.

Теорема салдарлары

Салдар 3. 1 : көпмүшелігін екімүшесіне бөлгендегі қалдық көпмүшенің болғандағы мәніне тең, яғни

Дәлелі : Көпмүшені қалдықпен бөлу ережесі бойынша:

болғанда:

Демек, дәлелденді.

Салдар 3. 2 : Егер саны көпмүшелігінің түбірі болса,

онда бұл көпмүшелік екімүшесіне қалдықсыз бөлінеді.

Дәлелі: Безу теоремасы бойынша көпмүшелігін бөлгендегі қалдығы тең, ал шарт бойынша саны көпмүшелігінің түбірі, яғни , дәлелденді.

Безу теоремасының осы қорытындысынан теңдеуін шешу есебі көпмүшесінің бірінші дәрежелі (сызықтық бөлгіштері) бар бөлгіштерін таңдау есебіне тең екенін көруге болады.

Мысал:

саны келесі көпмүшелікке неше еселі екенін анықтаңыз.

Жауабы: түбірі көпмүшелігінe еселі түбір.

элементі үшін көпмүшесінің мәні деп анықталады.

Қосу және көбейту алгебралық операция болғандықтан көпмүшенің мәні бірмәнді анықталады.

Теорема көпмүшесі берілсін. Кез келген үшін көпмүшесін түрінде бірмәнді жазуға болады, мұндағы , сонымен бірге болады.

Дәлелдеу . -дәрежелі көпмүшесі берілсін. Егер болса, онда , деп алуға болады. Сонымен бірге осы келтіру бірмәнді болады. Енді болсын. Көпмүшедегі -тың дәрежелерін кемімелі түрде жазайық: . Егер түрінде келтіру болса, онда -ты анықталмаған коэфициенттермен алайық: . Онда Осы теңдіктің екі жағындағы -тың дәрежелеріндегі сәйкес коэфициенттерін теңестірейік:

. . .

Осы формулалар бойынша біртіндеп және коэффициентерінің мәндерін табуға болады. Сондықтан теореманың шартын қанағаттандыратын көпмүшесі және элементі табылады және олар бірмәнді анықталады.

Енді формуласына -тың орнына мәнін қойса, онда . Осымен теорема дәлелденді.

Теоремадағы көпмүшесі - бөлінгіш, - толымсыз бөлінді, - қалдық, екімүшесі - бөлгіш деп аталады.

Егер болса, онда көпмүшесі екімүшесіне бөлінеді дейді және оны сандарға сияқты деп белгілейміз.

сақинасының элементі көпмүшесінің түбірі деп аталады, егер болса.

Теңдіктердегі формулалар -ты -қа бөлудің ыңғайлы сұлбасын береді. Ол Горнер сұлбасы деп аталады.

…: …

Ол былай толтырылады.

1) Әуелі бірінші жолда көпмүшесінің коэффициенттері жазылады.

2) деп алынады.

3) Келесі коэффициенті -ді алдынғы -ге көбейтіліп, -ге қосылады: .

Мысалдар . 1) көпмүшесін екімүшесіне бөлейік.

Бұл жағдайда . Бөлінгіштің коэффициенттері болады. Оны бірінші жолға жазамыз.

Сонымен , қалдық және .

2) көпмүшесінің санындағы мәнін табайық.

Сондықтан .

Мысал 2 . көпмүшесінің түбірінің еселігін табайық. Ол үшін Горнер схемасын пайдаланамыз.

Мұнда әрбір адымдағы қалдықтары астынан сызылған. Соңғы, -адымда қалдық нөлден өзгеше, сондықтан және . Сөйтіп, түбірінің еселігі -ке тең.

Көпмүшенің түбірлері

Теорема. Егер біртұтастық аймақ болса, онда сақинасының кез келген дәрежелі көпмүшенің түбірлерінің саны -нан артық болмайды.

Дәлелдеу . Нөлден өзге көпмүшесінің дәрежесі болсын.

Егер болса, онда , . Сондықтан көпмүшенің түбірі болмайды. Бұл жағдайда теорема орындалады.

Енді үшін теорема орындалсын, яғни кез келген -дәрежелі көпмүшенің түбірлер саны -нен аспасын.

-тың дәрежесі болсын. Егер оның түбірі болмаса, онда теорема орындалады .

Егер оның түбірі болса, онда Безу теоремасы бойынша, көпмүшесі -ге бөлінеді: . Ал көпмүшесінің дәрежесі болады және, индукцияның жорымы бойынша, -тің түбірлерінің саны -нен аспайды. Осыдан көпмүшесінің түбірлерінің саны -ден аспайды.

Математикалық индукция принципі бойынша, теорема кез келген натурал саны үшін орындалады, яғни кез келген -дәрежелі көпмүшенің түбірлерінің саны -нан артық болмайды.

Математикалық анализде көпмүше функция ретінде анықталады. Егер екі функцияның анықталу аймағындағы кез келген нүктеде функциялардың мәндері тең болса, онда функциялар тең болады.

Анықтама (көпмүшелердің функциялық теңдігі ) . біртұтастық аймақ болсын. көпмүшелері берілсін. Егер кез келген элементі үшін болса, онда , көпмүшелері тең болады,

Көпмүшелердің бұрын анықталған теңдігін (сәйкес коэффициенттер теңдігі арқылы) алгебралық теңдігі деп аталады.

Теорема. (Көпмүшелердің алгебралық және функциялық теңдігі туралы) . Егер ақырсыз біртұтастық аймақ болса, онда сақинасындағы көпмүшелердің функциялық теңдігінен алгебралық теңдігі шығады.

Дәлелдеу . ақырсыз біртұтастық аймақ болсын және көпмүшелерінің дәрежелері және кез келген үшін болсын. Одан әрі болсын. Онда кез келген үшін . Ал көпмүшесінің дәрежесі -нен аспайды және сақинасы ақырсыз, сондықтан көпмүшесі нөлдік көпмүше болады. Осыдан .

Сонымен, егер -дәрежелі көпмүшесінің нүктедегі мәндері берілсе, атап айтқанда, мәндері онда көпмүшесі бірмәнді анықталады. Берілген мәндер бойынша көпмүшені анықтау үшін әртүрлі формулалар қолданылады. Соның арасында Лагранждың интерполяциялық формуласы :

Мысалы, коэффициенттері белгісіз -дәрежелі көпмүшесінің мәндері кестемен берілсін:

Ізделінген көпмүше Лагранж формуласымен анықталады:

Қалдықпен бөлу туралы теорема

Теорема (Қалдықпен бөлу туралы теорема) . өріс және , , көпмүшелері берілсін. Онда

және немесе

болатындай көпмүшелері бірмәнді табылады.

Дәлелдеу. , көпмүшеfлері берілсін. Оған қоса, және болсын. Егер болса, онда деп аламыз. Одна әрі болсын. Егер және болса, онда . Енді болсын. Онда және деп аламыз. Ал . Осы процесті жалғастыра берсе, көпмүшелердің тізбегі шығады және . Ең соңғы дәрежесі көпмүшесінің дәрежесінен кем көпмүшесі, көпмүшесі болады. Олай болса, болады. Осыдан . Онда көпмүшелері үшін теореманың шарттары орындалады.

Енді көпмүшелерінің бірмәнділігін көрсетейік.

, болсын, сонымен бірге және болса, онда .

Егер болса, онда . Ал . Сондықтан , ал осыдан . Теорема дәлелденді.

Евклид сақинасы деп келесі шарттар орындалатын біртұтастық аймақ аталады:

1) Кез келген нөлден өзге элементіне теріс емес бүтін саны сәйкес беріледі.

2) Кез келген , , элементтері үшін

немесе

болатындай және элементтері табылады [6] .

Салдар 1 . Егер өріс болса, онда сақинасы Евклид сақинасы болады.

сақинасында көпмүшесі үшін деп алу керек. Сондықтан, қалдықпен бөлу туралы теорема бойынша, орындалатын сақинасы Евклид сақинасы болады.

Келесі екі салдар Евклид сақинасы бас идеалдар сақинасы, бас идеалдар сақинасы факториалдық сақина болатынынан шығады.

Салдар 2 . Егер өріс болса, онда сақинасы бас идеалдар сақина болады.

Салдар 3 . Егер өріс болса, онда сақинасы факториалдық сақина болады.

Мысал . көпмүшесін көпмүшесіне қалдықпен бөлейік. Бөлуді баған түрінде келтіруге болады.

бөлінді↓:

бөлінді

↓

бөлгіш↓:

бөлгіш

↓

бөлінді↓: _

бөлгіш↓:

бөлінді↓:

бөлгіш↓:

бөлінді↓: _

бөлгіш↓: ↑

бөлінді↓:

бөлгіш↓: толымсыз

бөлінді↓: _

бөлгіш↓: бөлінді

бөлінді↓:

бөлгіш↓:

бөлінді↓:

←

бөлгіш↓: қалдық

Сонымен .

Евклид алгоритмі

Бүтін сандарға сияқты берілген көпмүшелердің ортақ бөлгіші деп берілген көпмүшелерді бөлетін көпмүше аталады. Берілген көпмүшелердің ең үлкен ортақ бөлгіші деп берілген көпмүшелердің кез келген ортақ бөлгішіне бөлінетін ортақ бөлгіші аталады.

көпмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгіші әдетте деп белгіленеді.

Егер өрісі үшін және , болса, деп алып, қалдықпен бөлу процесін бастаймыз:

. . .

Осы процесті нөлдік қалдық шыққанша жалғастыру керек.

Ал тізбегі кемімелі болады, сондықтан ол ақырлы адымнан кейін үзіледі. Енді және болсын. Онда . Бүтін сандарға сияқты екенін көрсетуге болады мұндағы одақтастырылғандық белгісі. Сондықтан және келесі теорема дәлелденді.

Осы біртіндеп қалдықпен бөлу процесі Евклид алгоритмі деп аталады.

Теорема 2. 6. 1 өрісіндегі кез келген нөлден өзгеше екі көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгіші табылады.

Теорема 2. 6. 2 (Ең үлкен ортақ бөлгішті сызықтық түрде келтіру туралы) . Егер өріс, және болса, онда кейбір көпмүшелері үшін

Дәлелдеу. -жүйені басқа түрде жазайық:

, (5)

. . .

Бірінші теңдікте, болғандықтан көпмүшесі және көпмүшелері арқылы сызықтық түрде өрнектелді: . Табылған өрнекті екінші теңдікте -нің орнына қойып ұқсас мүшелерді біріктірме, -ті және арқылы сызықтық түрде келтіруге болады: . Осы процесті жоғарыдан төменге қарай жалғастыра берсе, нәтижесінде көпмүшесі және арқылы сызықтық түрде келтіріледі: .

Мысалдар. 1) және көпмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгішін сызықтық түрде келтірейік. Ол үшін Евклид алгоритмін қолданамыз.

: ¯

: - 2 x ³ +10 x + 6

: x ³ -5 x - 3

: x ² - x - 5

: ← r ₁

: x ³ - x ² - 5 x

: x + 1 ← q ₂

: x ² - 3

: x ² - x - 5

: x + 2

: ← r ₂

: x ² + 2 x

: x - 3

: ← q ₃

: -3 x - 5

: -3 x - 6

: 1

: ← r ₃

Сонымен, . Евклид алгоритмі бойынша,

Осыдан

r ₁ = f - q ₁ g ,

r ₂ = g - q ₂ r ₁ ,

r ₃ = r ₁ - q ₃ r ₂ ,

мұнда q ₁ = x - 2, r ₁ = x ² - x - 5, q ₂ = x + 1, r ₂ = x + 2, q ₃ = x - 3, r ₃ = 1.

Енді бірінші теңдіктегі r ₁ -дің мәнін екінші теңдікке қоямыз: r ₂ = g - q ₂ r ₁ = g - q ₂ ( f - q ₁ g ) = g - q ₂ f + q ₁ q ₂ g = - q ₂ f + (1 + q ₁ q ₂ ) g .