Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 35 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
І-тарау.
1.1.Көпмүшеліктер.Көпмүшеліктердің дәрежесі, түбірлері, қалдықпен бөлу.
1.2.Евклид алгоритмі
1.3.Өрісте жіктелмейтін көпмүшеліктер

Кіріспе
Үшінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу қиын. Жалпы рецепттер жоқ. Көп нәрсе шеберлікке, тез тапқырлыққа, байқау мен тәжірибеге байланысты. Мұндай теңдеулерді әрдайым көбейткіштерге жіктеуге болмайды. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуге көмектесетін әдістердің бірі - Безу теоремасы, Горнер сызбасы.
Зерттеудің өзектілігі.
Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау; теоремадан алынған салдарларды анықтау және дәлелдеуін талдау; теореманы және Горнер сызбасын қолданудың нақты мысалдарын көрсету - қазіргі уақытта көкейтесті мәселе болып отыр. Бұл тақырыптар алдын-ала профильдік кластарда оқытылуда.
Зерттеу мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулерді Безу теоремасын, Горнер сызбасын пайдаланып шешу.
Зерттеу нысаны: Безу теоемасы, Горнер сызбасы.
Зерттеу пәні: орта мектепте сыныптан тыс жұмыстарда, оқушыларды қазіргі заманғы алгебрамен танысуда, ойлау қабілеттерін қалыптастыруда жоғары дәрежелі теңдеулерді және олардың қолданысын пайдалану.
Зерттеу міндеттері:
* Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау;
* теоремадан алынған салдарларды анықтау және дәлелдеуін талдау;
* Безу теоремасын қолданудың нақты мысалдарын көрсету;
* Горнер схемасының көмегімен шығарылатын жүйеленген таңдаулы есептерді көрсету.
Зерттеудің әдістемелік негіздері: Білім беру жүйесінің философиялық, психологиялы - педагогикалық, әдістемелік негіздері, ғылыми тәжірибе қағидаларын жасауда орта білім беру үдерісін зерттеудегі жүйелілік, тұлғалылық және іс-әрекет тұрғысынан қараудың жалпы ғылыми ұстанымдары, жеке тұлғаны дамыту саласындағы отандық және шетелдік ғалымдардың еңбектері құрайды.
Зерттеудің теориялық негіздері: іс-әрекеттің философиялық, психологиялық, педагогикалық теориясы; жоғары дәрежелі теңдеулерді зерттеу идеялары және теориялары қолданылды.
Мәселенің зерттелу деңгейі: жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу мүмкіндіктері кеңінен қарастырылды, тапсырмалар жинақталды және жүйеленді.
Зерттеу әдістері: Ғылыми және әдістемелік әдебиеттерді талдау, теориялық талдау, материалдарды жинақтап қорытындылау және жоғары дәрежелі теңдеулерді және қасиеттерін осы тәжірибелерге сүйене отырып зерттеу.
Теориялық маңыздылығы: Безу теоремасының, Горнер сызбасының қолданысы көрсетілді, түрлі есептерді тиімді және оңай шешу тәсілдерін табу арқылы олардың қолдану аясы мейлінше кеңірек ашылды.
Зерттеудің практикалық маңыздылығы: Жұмыс нәтижесін жоғары оқу орнының оқу үдерісіндегі алгебра курсында, мектептегі элективті курстарда, оқушыларды қазіргі заманғы алгебрамен таныстыруда және ғылыми жобаларды жазуда пайдалануға болады.
Диплом жұмысының құрылымы кіріспе, екі тарау, қорытынды мен пайдаланылған деректерден тұрады және жалпы көлемі 60 бет.
Безу теоремасының дәлелдемесін тұжырымдау; теоремадан алынған салдарларды анықтау және дәлелдеуін талдау; теореманы және Горнер сызбасын қолданудың нақты мысалдарын көрсету - қазіргі уақытта көкейтесті мәселе болып отыр. Бұл тақырыптар алдын-ала профильдік кластарда оқытылуда.
Этьен Безудің негізгі еңбектері жоғары алгебрамен байланысты, олар алгебралық теңдеулерді шешу теориясын құруға арналған.

Безу теоремасы
x-қа тәуелді n-ші дәрежелі кез келген көпмүшені false екімүшесіне бөлгенде шыққан қалдық - бөлінгіш көпмүшенің false болғандағы мәніне тең.
Теореманы дәлелдемес бұрын екі түсініктеме берелік. .
1. Құрамына кіретін әріптердің кейбір жеке мәндерінде мағынасын жоғалтатын алгебралық өрнектердің бар екенін білеміз. Мысалы, false болғанда false мағынасыз; false өрнегі false жәнеfalse кезінде мағынасын жоғалтады.
Кез- келген бүтін оң дәрежелі көпмүшелік ешқашан мағынасын жоғалтпайтынын ескереміз. Айнымалының кез келген мәнінде ол белгілі бір мәнді қабылдайды.
2. Біреуінің мәні нөлге тең, ал екіншісі қандай да бір мәнге ие болатыын екі көбейткіштің көбейтіндісі әрқашан нөлге тең. Егер көбейткіштің біреуі нөлге айналып, ал екіншісінің мағынасы болмаса, онда бұл көбейтіндіні нөлге тең деп айтуға болмайды. Мұндай көбейтінді туралы анық ештеме айту мүмкін емес. Әрбір жағдайда арнайы зерттеу қажет.
Мынадай көбейтіндіні қарастырайық: false. false болғанда, бірінші көбейткіш нөлге тең болады, ал екіншісі мағынасыз болады. Бұл көбейтіндіfalse үшін нөлге тең деп тұжырымдауға болмайды.
false
Сонымен, false болғанда false көбейтіндінің мәні жоқ. Бірақ оның шегінің мәні бар, яғни false-ге емес false-ге тең.
Дәлелдеуі:
Бөлінгіш көпмүшені false деп белгілейік. Бөлгіш бірінші дәрежелі көпмүше, сондықтан қалдық R(x) дәрежеcі нөлге тең, яғни falsefalse болсын.false
Демек, false
Салдар 1. false полиномын false екімүшелігіне бөлгендегі қалдық оcы полиномның false болғандағы мәніне, яғни falseтең болады.

Дәлелдеуі:
Көпмүшеліктерді бөлу ережесіне сәйкес:
false
false болғанда
false орындалады. Яғни, falseбізге дәлелдеу керегі де осы еді.
Салдар 2.
Егер false саны false көпмүшелігінің түбірі болса, онда бұл көпмүшелік false екімүшеліне қалдықсыз бөлінеді.
Салдар 3.
Егер false көпмүшелігінің қос-қостан әртүрлі false түбірлері бар болса, онда ол көпмүшелік false көбейтіндісіне қалдықсыз бөлінеді.
Салдар 4.
Көпмүшенің нөлге тең емес әртүрлі нақты түбірлерінің саны көпмүшенің дәрежесінен артық емес.
Дәлелдеуі.falseдәрежесі false және false көпмүшесінің әртүрлі false түбірлерінің саны falseға тең болсын. Онда 3-салдар бойынша false
falseдәр.falseдәр.falseдәр.falseсон дықтан false немесе false

Мысал 1:
falseкөпмүшелігін false екімүшесіне бөлгендегі қалдықты табайық.
Безу теоремасы бойынша falsefalse
Жауабы: false
Мысал 2:
false-ның қандай мәнінде falseкөпмүшелігі false екімүшесіне қалдықсыз бөлінеді?
Безу теоремасы бойынша: falseБірақ falseшартына сәйкес, false бұдан false
Жауабы: false
Безу теоремасы француз ғалымы Этьен Безудің атымен аталған алгебраның негізгі теоремаларының бірі. Безу теоремасы көпмүшелердің бөлінгіштігіне байланысты есептерді шешуде, мысалы, көпмүшелерді бөлу кезінде қалдықты табуда, көпмүшелердің еселігін анықтауда және т.б. қолдануды табады деп қорытынды жасауға болады. Сондай-ақ, теореманы пайдаланып көпмүшелерді көбейту, түбірлердің еселігін анықтау және басқа да жіктеулерді орындауға болады.
Этьен Безу - француз математигі, Париж ғылым академиясының мүшесі (1758 жылдан бастап), 1730 жылы 31 наурызда Немурда туып, 1783 жылы 27 қыркүйекте қайтыс болды.
1763 жылдан Безу мичмандар мектебінде, ал 1768 жылдан корольдік артиллерия корпусында математикадан сабақ берді.
Этьен Безудың негізгі еңбектері жоғары алгебрамен байланысты, олар алгебралық теңдеулерді шешу теориясын құруға арналған. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу теориясында анықтауыштар теориясының пайда болуына үлес қосты, жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінен белгісіздерді жою теориясын жасады, екі қисық теореманы (алғаш рет К. Маклаурин тұжырымдаған) дәлелдеді. реті m және n mn артық емес нүктеде қиылысады. Францияда және шетелде 1848 жылға дейін оның 1764-69 жылдары жазған алты томдық Математика курсы өте танымал болды. Безу анықталмаған көбейткіштер әдісін жасады, элементар алгебрада осы әдіске негізделген теңдеулер жүйесін шешу әдісі оның атымен аталады. Безу жұмысының бір бөлігі сыртқы баллистикаға арналған. Алгебраның негізгі теоремаларының бірі ғалымның атымен аталады.
Уильям Джордж Хорнер (туылған Уильям Джордж Горнер, 1786 - 22 қыркүйек 1837) - британдық математик, Горнер схемасы оның атымен аталған. Ол сондай-ақ зоотропты өнертапқыш болып саналады. 1786 жылы Англияның Бристоль қаласында дүниеге келген. Ол Бристольдегі Кингсвуд мектебінде білім алған. 16 жасында Кингсвуд мектебінде директордың көмекшісі, ал 4 жылдан кейін директор болды. 1809 жылы ол Бристольді тастап, Батта өз мектебін (Классикалық семинария) құрды.
1819 жылы ол көпмүшенің нақты түбірлерін жуықтап есептеу әдісін жариялады, ол қазір Руффини-Горнер әдісі деп аталады (бұл әдіс қытайлықтарға 13 ғасырда белгілі болған). Жұмыс Корольдік Қоғамның Философиялық еңбектерінде жарияланған.
19-шы және 20-шы ғасырдың басында Горнер әдісі алгебра бойынша ағылшын және американдық оқулықтарда маңызды орын алды. Де Морган өз еңбектерінде Горнер әдісінің кең мүмкіндіктерін көрсетті.

І-тарау.Көпмүшеліктер

Анықтама 1.1 Коммутатив K сақинасындағы көпмүше депfalse түріндегі формальды қосынды аталады, мұндағы false теріс емес бүтін сан,false айнымал немесе белгісіз деп аталатын арнайы символ.
false сақинасындағы көпмүшелердің жиыны false деп белгіленеді.
false көпмүшесінің false элементтері false көпмүшесінің коэффициенттері, false қосылғышы мүшесі деп аталады. Жалғыз мүшеден құралған false көпмүшесі бірмүше деп аталады. Коэффициенттері бәрі нөлге тең көпмүше нөлдік көпмүше деп аталады және false деп белгіленеді.
Анықтама 1.2 Егер falseжәне falseкөпмүшелеріне false болса, онда falseжәне falseкөпмүшелері тең деп аталады.
Сонымен екі көпмүшенің сәйкес коэффициенттері тең болса, онда олар тең болады.
falseжәне false көпмүшелерінің қосындысыfalse деп анықталады, мұндағыfalse
falseжәне false көпмүшелерінің көбейтіндісініңfalse көпмүшесі болады. Оның коэффициенттеріfalse формуласымен есептеледі.
Теорема 1. Коммутатив false сақинасындағы көпмүшелердің false жиыны коммутатив сақина құрайды.
Дәлелдеу. Екі көпмүшенің қосындысы және көбейтіндісі көпмүше болатыны анықтамадан шығады.
falsefalse және false көпмүшелері берілсін және false болсын. Ондаfalse falseБерілген көпмүшелердің коэффициенттері false сақинасының элементтері болғанлықтан, коэффициенттерге қосудың ассоциативтілігі орындалады. Осы алдыңғы теңдіктерде қолданылды. Сөйтіп, көпмүшелердің қосуына ассоциативтік ереже орындалады false.
Нөлдік көпмүшені false деп келтіруге болады. Егер false көпмүшесі берілсе, ондаfalse false
Oсыған ұқсас false екенін де көрсетуге болады. Сондықтан нөлдік көпмүше қосуға қатынасты бейтарап элемент болады.
Енді falseкөпмүшесі үшінfalse деп алайық. Онда қосудың анықтамасы бойынша, false
Осыған ұқсас falseтеңдігі көрсетіледі. Сондықтан false көпмүшесі false көпмүшесіне қарама-қарсы болады.
Егерfalse, false берілсе, онда
false
Сондықтан қосуға коммутативтік ереже орындалады.
Сөйтіп, көпмүшелер қосуға қатынасты коммутатив топ құрайды.
Ендіfalse, false жәнеfalse көпмүшелері берілсін. Одан әрі false, false,false, false және false, false, false, false болсын. Көбейтудің анықтамасы бойынша, false, false, false, false. Осыдан false Соңғы өрнектегі мүшелерді басқаша топтаса, онда false Мұнда квадрат жақшаларда осы ретте алынған false коэффициенттері болатынын көруге болады. Сондықтан false. Ал бұл false коэффициенті де болады. Сөйтіп, кез келген false, false, false,...,false үшінfalse. Сондықтан false немесе false. Бұл ассоциативтік теңдігі.
Осыған ұқсас дистрибутивтік ережесі орындалатынын көрсетуге болады: false және false.Оған қоса, false сақинасы коммутатив болса, онда копмүшелердің көбейтуі коммутатив болатынын да осылай көрсетуге болады.
Енді көпмүшелердің false жиынында көбейтуге қатысты бейтарап элемент табылатынын көрсетейік. false көпмүшесі берілсін. Онда false. Осыған ұқсасfalse теңдігін де көрсетуге болады. Сөйтіп, false көпмүшесі көбейтуге қатысты бейтарап элемент болады.
Сонымен, коммутатив false сақинасындағы көпмүшелердің false жиыны коммутатив сақина құрайды.
Анықтама false сақинасы false сақинасындағы бір айнымалды көпмүшелер сақинасы деп аталады.
Екі false және falseкөпмүшелерінің көбейтіндісін есептегенде көбейтіндінің коэффициенттерін false формуласымен іздемей, сақинаның жоғары дәлелденген қасиеттері пайдалануға болады. Екі көпмүше сәйкесінше false және false бірмүшелерінің қосындысы болады. Сондықтан көпмүшелердің көбейтіндісі false көбейтінділерінің қосындысы болады: false

Көпмүшенің дәрежесі

Анықтама. false көпмүшесінің дәрежесі деп falseболатын ең үлкен теріс емес бүтін false саны аталады және falseдеп белгіленеді.
Кей кезде нөлдік көпмүшенің дәрежесі false деп алынады:false.
Теорема. false коммутатив сақина болсын. Онда кез келген false көпмүшелері үшін келесі қасиеттер орындалады.
false.
false, мұнда falseдеп алынды.
false Егер false біртұтастық аймақ болса, онда false.
Теорема Егер false біртұтастық аймақ болса, онда false сақинасы да біртұтас аймақ болады.
Теоремa. Егер false біртұтас аймақ болса, онда false сақинасының бөлінділер өрісі табылады.
Дәлелдеу. Сақиналар теориясында кез келген біртұтастық аймақтың бөлінділер өрісі болатыны дәлелденеді. Онда false-теорема бойынша,
false біртұтастық аймақ болады. Сондықтан false біртұтас аймақтың бөлінділер өрісі болады.

3. Көпмүшені false екімүшесіне қалдықпен бөлу. Безу теоремасы

Теорема false көпмүшелігін false екімүшесіне бөлгендегі қалдық көпмүшенің falseболғандағы мәніне тең.
Мұндағы :
false - false дәрежелі көпмүшелік,
false - оның бөлгіші,
false - false -ті false бөлгендегі бөліндісі
(false дәрежелі көп мүшелік) ,
false - қалдық (false қалдығында false болмайды).

Дәлелі :
Көпмүшені қалдықпен бөлу ережесі бойынша:
false.
Осыдан шығатыны false :
false

Демек , false, яғни көпмүшеліктің false бөлгендегі қалдығы көпмүшеліктің false тең болғандағы мәніне тең. Дәлелденді.

Теорема салдарлары

Салдар 3.1 : false көпмүшелігін false екімүшесіне бөлгендегі қалдық көпмүшенің false болғандағы мәніне тең, яғни false

Дәлелі : Көпмүшені қалдықпен бөлу ережесі бойынша:
false
false болғанда:
false
Демек,falseдәлелденді.

Салдар 3.2: Егер false саны false көпмүшелігінің түбірі болса,
онда бұл көпмүшелік false екімүшесіне қалдықсыз бөлінеді.

Дәлелі: Безу теоремасы бойынша false көпмүшелігін false бөлгендегі қалдығы false тең , ал шарт бойынша false саны false көпмүшелігінің түбірі, яғни false, дәлелденді.
Безу теоремасының осы қорытындысынан falseтеңдеуін шешу есебі false көпмүшесінің бірінші дәрежелі (сызықтық бөлгіштері) бар бөлгіштерін таңдау есебіне тең екенін көруге болады.
Мысал:

false саны келесі көпмүшелікке неше еселі екенін анықтаңыз.
false.

_ false false
false false

false
¯false
false
¯false
false
¯false
false

_ false false
false false

false
¯false
false
¯false
false
¯false
false
falsefalse false
¯false false
false
¯false
false
¯false
false

Жауабы:false түбірі falseкөпмүшелігінe false еселі түбір.

falseэлементі үшін false көпмүшесінің false мәні false деп анықталады.
Қосу және көбейту алгебралық операция болғандықтан көпмүшенің мәні бірмәнді анықталады.
Теорема falseкөпмүшесі берілсін. Кез келген false үшін falseкөпмүшесін false түрінде бірмәнді жазуға болады, мұндағы false, сонымен бірге false болады.
Дәлелдеу. false-дәрежелі false көпмүшесі берілсін. Егер false болса, онда false, false деп алуға болады. Сонымен бірге осы келтіру бірмәнді болады. Енді false болсын. Көпмүшедегі false-тың дәрежелерін кемімелі түрде жазайық: false. Егерfalse түрінде келтіру болса, онда false-ты анықталмаған коэфициенттермен алайық:false. ОндаfalsefalseОсы теңдіктің екі жағындағы false-тың дәрежелеріндегі сәйкес коэфициенттерін теңестірейік:
false,
false,
false,false
. . . . . . . false
false,
false.
Осы формулалар бойынша біртіндеп false және false коэффициентерінің мәндерін табуға болады. Сондықтан теореманың шартын қанағаттандыратын falseкөпмүшесі және false элементі табылады және олар бірмәнді анықталады.
Енді false формуласына false-тың орнына false мәнін қойса, онда false. Осымен теорема дәлелденді.
Теоремадағы false көпмүшесі - бөлінгіш, false - толымсыз бөлінді, false - қалдық, false екімүшесі - бөлгіш деп аталады.
Егер false болса, онда false көпмүшесі false екімүшесіне бөлінеді дейді және оны сандарға сияқты false деп белгілейміз.
false сақинасының false элементі false көпмүшесінің түбірі деп аталады, егер false болса.
false Теңдіктердегі формулалар false-ты false-қа бөлудің ыңғайлы сұлбасын береді. Ол Горнер сұлбасы деп аталады.

false
false
false
...
false
false
false
false
false false
false
...
false
false

Ол былай толтырылады.
1) Әуелі бірінші жолда false көпмүшесінің коэффициенттері жазылады.
2) false деп алынады.
3) Келесі false коэффициенті false-ді алдынғы false-ге көбейтіліп, false-ге қосылады: false.
Мысалдар. 1) false көпмүшесін false екімүшесіне бөлейік.
Бұл жағдайда false. Бөлінгіштің коэффициенттері false болады. Оны бірінші жолға жазамыз.

false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false

Сонымен false, қалдық false және false.
2) falsefalseкөпмүшесінің false санындағы мәнін табайық.

false
false
false
false
falsefalse
false
false
false
false

Сондықтан false.
Мысал 2. false көпмүшесінің falseтүбірінің еселігін табайық. Ол үшін Горнер схемасын пайдаланамыз.

false

false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false

falsefalse
false
false
false
false
false
false

false
false
false
false
false
false

false
false
false
false
false

Мұнда әрбір адымдағы қалдықтары астынан сызылған. Соңғы, false-адымда қалдық нөлден өзгеше, сондықтан false және false false. Сөйтіп, false түбірінің еселігі false-ке тең.

Көпмүшенің түбірлері

Теорема. Егер false біртұтастық аймақ болса, онда false сақинасының кез келген false дәрежелі көпмүшенің түбірлерінің саны false-нан артық болмайды.
Дәлелдеу. Нөлден өзге false көпмүшесінің дәрежесі false болсын.
Егер false болса, онда false,false. Сондықтан көпмүшенің түбірі болмайды. Бұл жағдайда теорема орындалады.
Енді false үшін теорема орындалсын, яғни кез келген false-дәрежелі көпмүшенің түбірлер саны false-нен аспасын.
false-тың дәрежесі false болсын. Егер оның түбірі болмаса, онда теорема орындалады false.
Егер оның түбірі false болса, онда Безу теоремасы бойынша, false көпмүшесі false-ге бөлінеді: false. Ал false көпмүшесінің дәрежесі false болады және, индукцияның жорымы бойынша, false-тің түбірлерінің саны false-нен аспайды. Осыдан false көпмүшесінің түбірлерінің саны false-ден аспайды.
Математикалық индукция принципі бойынша, теорема кез келген натурал false саны үшін орындалады, яғни кез келген false-дәрежелі көпмүшенің түбірлерінің саны false-нан артық болмайды.
Математикалық анализде көпмүше функция ретінде анықталады. Егер екі функцияның анықталу аймағындағы кез келген нүктеде функциялардың мәндері тең болса, онда функциялар тең болады.
Анықтама (көпмүшелердің функциялық теңдігі). false біртұтастық аймақ болсын. false көпмүшелері берілсін. Егер кез келген false элементі үшін false болса, онда false, false көпмүшелері тең болады,
Көпмүшелердің бұрын анықталған теңдігін (сәйкес коэффициенттер теңдігі арқылы) алгебралық теңдігі деп аталады.
Теорема. (Көпмүшелердің алгебралық және функциялық теңдігі туралы). Егер false ақырсыз біртұтастық аймақ болса, онда false сақинасындағы көпмүшелердің функциялық теңдігінен алгебралық теңдігі шығады.
Дәлелдеу. false ақырсыз біртұтастық аймақ болсын жәнеfalse көпмүшелерінің дәрежелері false және кез келген false үшінfalse болсын. Одан әрі false болсын. Онда кез келген false үшін false. Ал false көпмүшесінің дәрежесі false-нен аспайды және false сақинасы ақырсыз, сондықтан false көпмүшесі нөлдік көпмүше болады. Осыдан false.
Сонымен, егер false-дәрежелі false көпмүшесінің false нүктедегі мәндері берілсе, атап айтқанда, false мәндері онда false көпмүшесі бірмәнді анықталады. Берілген мәндер бойынша көпмүшені анықтау үшін әртүрлі формулалар қолданылады. Соның арасында Лагранждың интерполяциялық формуласы:

falsefalse
Мысалы, коэффициенттері белгісіз false-дәрежелі false көпмүшесінің мәндері кестемен берілсін:

false
false
false
false
false
false
false
false
false
falsefalse
false
false
false
false
false
false
false
false

Ізделінген көпмүше Лагранж формуласымен анықталады:
false
false
Қалдықпен бөлу туралы теорема

Теорема (Қалдықпен бөлу туралы теорема). false өріс және false, false, көпмүшелері берілсін. Онда
false және false немесе false false
болатындай false көпмүшелері бірмәнді табылады.
Дәлелдеу. false, false көпмүшеfлері берілсін. Оған қоса, false және false болсын. Егер false болса, онда false деп аламыз. Одна әрі false болсын. Егер falseжәне false болса, онда false. Енді false болсын. Онда false және false деп аламыз. Ал false. Осы процесті жалғастыра берсе, көпмүшелердің false тізбегі шығады және false. Ең соңғы дәрежесі false көпмүшесінің дәрежесінен кем көпмүшесі, false көпмүшесі болады. Олай болса, falseболады. Осыдан false. Онда false көпмүшелері үшін теореманың шарттары орындалады.
Енді false көпмүшелерінің бірмәнділігін көрсетейік.
false, болсын, сонымен бірге false және false болса, онда false.
Егер false болса, онда false. Ал false. Сондықтан false, ал осыдан false. Теорема дәлелденді.
Евклид сақинасы деп келесі шарттар орындалатын false біртұтастық аймақ аталады:
1) Кез келген нөлден өзге false элементіне теріс емес бүтін false саны сәйкес беріледі.
2) Кез келген false, false, элементтері үшін
false немесе false false
болатындай false және false элементтері табылады [6].
Салдар 1. Егер false өріс болса, онда false сақинасы Евклид сақинасы болады.
false сақинасында false көпмүшесі үшін false деп алу керек. Сондықтан, қалдықпен бөлу туралы теорема бойынша, орындалатын false сақинасы Евклид сақинасы болады.
Келесі екі салдар Евклид сақинасы бас идеалдар сақинасы, бас идеалдар сақинасы факториалдық сақина болатынынан шығады.
Салдар 2. Егер false өріс болса, онда false сақинасы бас идеалдар сақина болады.
Салдар 3. Егер false өріс болса, онда false сақинасы факториалдық сақина болады.
Мысал. false көпмүшесін falseкөпмүшесіне қалдықпен бөлейік. Бөлуді баған түрінде келтіруге болады.

бөлінді

бөлгіш

_false
false
false
false
_false

false
толымсыз
_false
бөлінді
false

false
қалдық

Сонымен false.
Евклид алгоритмі

Бүтін сандарға сияқты берілген көпмүшелердің ортақ бөлгіші деп берілген көпмүшелерді бөлетін көпмүше аталады. Берілген көпмүшелердің ең үлкен ортақ бөлгіші деп берілген көпмүшелердің кез келген ортақ бөлгішіне бөлінетін ортақ бөлгіші аталады.
false көпмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгіші әдетте false деп белгіленеді.
Егер false өрісі үшін false және false, болса, false деп алып, қалдықпен бөлу процесін бастаймыз:
false,
false, false
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
false,
false.
Осы процесті нөлдік қалдық шыққанша жалғастыру керек.
Ал false тізбегі кемімелі болады, сондықтан ол ақырлы адымнан кейін үзіледі. Енді false және false болсын. Онда false. Бүтін сандарға сияқты falseекенін көрсетуге болады мұндағы false одақтастырылғандық белгісі. Сондықтан false және келесі теорема дәлелденді.
Осы біртіндеп қалдықпен бөлу процесі Евклид алгоритмі деп аталады.
Теорема 2.6.1 false өрісіндегі кез келген нөлден өзгеше екі көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгіші табылады.
Теорема 2.6.2 (Ең үлкен ортақ бөлгішті сызықтық түрде келтіру туралы). Егер false өріс, false және false болса, онда кейбір falseкөпмүшелері үшін
false. false
Дәлелдеу. false-жүйені басқа түрде жазайық:
false,
false, (5)
. . . . . . . . . . .
false.
Бірінші теңдікте, falseболғандықтан false көпмүшесі false және false көпмүшелері арқылы сызықтық түрде өрнектелді: false. Табылған өрнекті екінші теңдікте false-нің орнына қойып ұқсас мүшелерді біріктірме, false-ті false және false арқылы сызықтық түрде келтіруге болады: false. Осы процесті жоғарыдан төменге қарай жалғастыра берсе, нәтижесінде false көпмүшесі false және false арқылы сызықтық түрде келтіріледі: false false.
Мысалдар. 1) false және false көпмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгішін сызықтық түрде келтірейік. Ол үшін Евклид алгоритмін қолданамыз.

false false
false
false
¯false
false

false

- 2x3 +10x + 6

x3 - 5x - 3false
x2 - x - 5
r1

x3 - x2 - 5x
x + 1 q2

x2 - 3

x2 - x - 5

x2 - x - 5
x+ 2
r2

x2 + 2x
x - 3
q3

- 3x - 5

- 3x - 6

1
r3

Сонымен, false. Евклид алгоритмі бойынша,
false,
false,
false.
Осыдан
r1 = f - - q1g,
r2 = g - q2r1,
r3 = r1 - q3r2,
мұнда q1 = x - 2, r1 = x2 - x - 5, q2 = x + 1, r2 = x + 2, q3 = x - 3, r3 = 1.
Енді бірінші теңдіктегі r1-дің мәнін екінші теңдікке қоямыз: r2 = g - q2r1 = g - q2(f - - q1g) = g - q2f - + q1q2g = - q2f - + (1 + q1q2)g.
Осыдан кейін үшінші теңдікке r1-мен r2-нің мәнін қоямыз: r3 = r1 - q3r2 = (f - - q1g) - q3[ - q2f - + (1 + q1q2)g] = f - - q1g + q2q3f - - (q3 + q1q2q3)g = (1 + q2q3)f - - (q1 + q3 + q1q2q3)g. Сондықтан u = 1 + q2q3 = 1 + (x + 1)( x - 3) = x2 - 2x - 2, v = - (q1 + q3 + q1q2q3) = - [( x - 2) + (x - 3) + (x + 1)(x - 2)(x - 3)] = (2x - 5) + (x3 - 4x2 + 3x + 1). Осыдан 1 = (x2 - 2x - 2)( x4 - 2x3 - 4x2 + 6x + 1) - (x3 - 4x2 + 3x + 1)( x3 - 5x - 3).
2) Осы есепті басқа, анықталмаған коэффициентер тәсілімен шығаруға болады. Егер f-тың дәрежесі n, g-ның дәрежесі m болса, онда дәрежелері m - 1 және n - 1 болатындай u және v көпмүшелерін табуға болады. айталық, f = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn, g = b0 + b1x + b2x2 +...+ bmxm, u = u0 + u1x + ...+ um - 1xm - 1, v = v0 + v1x + v2x2 +...+ vn - 1xn - 1 және d = (f, g) = d0 + d1x + ...+ dkxk болса, онда d = uf + vg теңдігі (u0 + u1x + ...+ um - 1xm - 1)(а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn) + (v0 + v1x + v2x2 +...+ vn - 1xn - 1)( b0 + b1x + b2x2 +...+ bmxm) = d0 + d1x + ...+ dkxk деп жазылады. Теңдіктің сол жағындағы жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіріп, сәйкес коэффициенттерді теңестірсе, u0,..., um - 1, v0,..., vn - 1 белгісіздерге қатысты n + m сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Белгісіздердің саны да n + m. Осы жүйе, 19-теорема бойынша, үйлесімді. Жүйенің u0,..., um - 1, v0,..., vn - 1 шешімдері ізделінген u және v көпмүшелерінің көэффициенттері болады. Кейбір жағдайларда жүйенің шешімдер саны ақырсыз де бола алады. Осы жағдайда жүйенің бір дербес шешімін алу керек.
Осы тәсілді f = 3x3 - 2x2 + x + 2 және g = x2 - x + 1 көпмүшелеріне қолданайық. (f, g) = 1 екенін көруге болады. Сондықтан uf + vg = 1 теңдігінде u = t1 + t2x, v = t3 + t2x + t1x2 деп алса, онда (t5 + t4x)( 3x3 - 2x2 + x + 2) + (t3 + t2x + t1x2)( x2 - x + 1) = 1. Осыдан (t1 + 3t4)x4 + ( - t1 + t2 - 2t4 + 3t5)x3 + (t1 - t2 + t3 + t4 - 2t5)x2 + (t2 - t3 + 2t4 + t5)x + (t3 + 2t5) = 1. Екі жақтағы сәйкес коэффициенттерді теңестірсе, t1, t2, t3, t4, t5 белгісіздерге қатынасты жүйеге келеміз:
t1 + 3t4 = 0
- t1 + t2 - 2t4 + 3t5 = 0
t1 - t2 + t3 + t4 - 2t5 = 0
t3 + 2t5 = 0
t3 + 2t5 = 1.
Жүйені шешу үшін кеңейтілген матрицаны сатылы түрге келтіреміз:
false false.
Алғашқы жүйе
t1 + 3t4 = 0
t2 + t4 + 3t5 = 0
t3 - t4 + t5 = 0
t4 + t5 = 1
t5 = 0
жүйесіне эквивалент болады. Оның шешімі t1 = - 3, t2 = - 1, t3 = 1, t4 = 1, t5 = 0 болады. Сондықтан u = x, v = 1 - x - 3x[2]. Осыдан x(3x3 - 2x2 + x + 2) + (1 - x - 3x[2])( x2 - x + 1) = 1.

0.7 Өрісте жіктелмейтін көпмүшелер

Анықтама. F өрісіндегі f(x) көпмүшесі екі оң дәрежелі көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтірілсе онда ол F өрісінде жіктелетін (немесе құрама) көпмүше деп аталады, қарсы жағдайда f(x) көпмүшесі F өрісінде жіктелмейтін көпмүше деп аталады.
Теорема 2.7.1 F өрісіндегі f, p көпмүшелері берілсін. Егер p көпмүшесі жіктелмейтін болса, онда p көпмүшесі f көпмүшесін бөледі немесе f және p көпмүшелері өзара жай болады.
Дәлелдеу. 18-теорема бойынша, f және p көпмүшелерінің ең үлкен ортақ d бөлгіші табылады. Осыдан pfalsed. Онда, p жіктелмейтін болғандықтан d-ның дәрежесі 0 немесе p-ның дәрежесіне тең болады. Егер d-ның дәрежесі 0 болса, онда f және p көпмүшелері өзара жай болады, өйткені d бірлікпен одақтастырылған болады. Егер d-ның дәрежесі p-ның дәрежесіне тең болса, онда d және p одақтастырылған болады. Бұл жағадайда ffalsep.
Теорема 2.7.2 F өрісіндегі f1, f2,..., fn және p көпмұшелері берілсін. Егер p жіктелмейтін болса және ол f1f2...fn көбейтіндіні бөлсе, онда ол f1, f2,..., fn көпмүшелерінің біреуін бөледі.
Дәлелдеу. Егер n = 1 болса, онда теорема орындалады. Енді n 1 болсын және теорема (n - 1)-ге орыдалсын. Одан әрі f0 = f1...fn - 1 болсын. Егер p көпмүшесі f1f2...fn көбейтіндіні бөлсе, онда ол f0fn көбейтіндісін бөледі. Ал fnp болсын. Онда, 20-теорема бойынша, fn және p өзара жай. Онда, 19-теорема бойынша, кейбір u және v көпмүшелері үшін ufn + vp = 1. Осы теңдікті f0-ге көбейтейік: uf1f0 + vpf0 = f0. Оң жақтағы екі көбейтінді p-ға бөлінеді. Сондықтан қосынды да p-ға бөлінеді. Сөйтіп, p1...pn - 1 көбейтінді p-ға бөлінеді. Индукцияның жорамалы бойынша, p көпмүшесі f1,..., fn - 1 көпмүшелерінің біреуін бөледі.
Математикалық индукция принципі бойынша, теорема кез келген натурал n саны үшін орындалады [8].

0.8 Өрістегі көпмүшені жіктелмейтін көбейткіштерге жіктеу

Нормаланған көпмүше деп бас коэффициенті 1-ге тең көпмүше аталады.
Теорема 2.8.1 F өрісіндегі кез келген оң дәрежелі көпмүшенің жіктелмейтін нормаланған көбейткіші табылады.
Дәлелдеу. F өрісіндегі оң дәрежелі f көпмүшесі берілсін және оның бас коэффициенті a болсын. Егер f жіктелмесе, онда p = a - 1f көпмүшесі f-тың нормаланған жіктелмейтін көпмүше болады.
Егер f жіктелсе, онда кейбір оң дәрежелі f1 және g1 көпмүшелері үшін f = f1g1 және 0 deg(f1), deg(g1) deg(f). Егер f1 жіктелсе, онда кейбір оң дәрежелі f2 және g2 көпмүшелері үшін f1 = f2g2 және 0 deg(f2) , deg(g2) deg(f1). Керек болса, осы процесті жалғастыра беріп, f1, f2,... көпмүшелерін табуға болады. Сонымен бірге, олардың дәрежелері оң бүтін сандардың кемімелі тізбегін құраqды. Оң бүтін сандардың кемімелі тізбегі бір кезде үзіледі, айталық, k-адымда. Онда fk көпмүшесі жіктелмейтін көпмүше болады, өйткені оны бөлетін оң дәрежелі fk+1 көпмүшесі табылмайды. Онда fk жіктелмейтін көпмүше. Ал ak оның бас коэффициенті болсын. Сөйтіп, ak - 1fk көпмүшесі f көпмүшесінің нормаланған жіктелмейтін көбейткіші болады.
Теорема 2.8.2. F өрісіндегі кез келген оң дәрежелі көпмүше өрістің элементі және жіктелмейтін нормаланған көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде бірмәнді келтіріледі.
Дәлелдеу. F өрісіндегі оң дәрежелі f көпмүшесі берілсін. 22-теорема бойынша оның нормаланған жіктелмейтін p1 көбейткіші табылады. Онда кейбір f1 көпмүшесі үшін f = p1f1 және deg(f) deg(f1). Егер deg(f1) = 0 болса, онда f1 F. Бұл жағдайда теорема дәлелденді.
Егер f1 жіктелсе, онда оның нормаланған жіктелмейтін p2 көбейткіші табылады: f1 = p2f2 және deg(f1) deg(f2). Керек болса, осы процесті жалғастыра беріп, f көпмүшесінің f1, f2, ... көбейткіштері табылады. Сонымен бірге осы көпмүшелердің дәрежелері теріс емес бүтін сандардың кемімелі тізбегін құрады. Мұндай тізбек бір кезде үзілу керек: f = fkp1...pk. Сөйтіп, p1,..., pk нормаланған жіктелмейтін көпмүшелер және fk көпмүшесінде тізбек үзілді. Сондықтан fk көпмүшесінің нормаланған жіктелмейтін көбейткіші болмайды. Онда fk F және осымен теорема дәлелденді.

3. Көпмүшенің жіктелмейтін еселі көбейткіштері және еселі түбірлері

3.1 Көпмүшені x - c айырымының дәрежелері бойынша жіктеу

f = a0 + a1x +... + anxn F[x] көпмүшесі x - c екімүшесінің дәрежедері бойынша жіктеу үшін Горнер схемасын пайдаланған жөн. Әуелі f көпмүшесін x - c екімүшесіне қалдықпен бөлу керек: f = (x - c)f1 + r0. Одан кейін f1 көпмүшесі тағы x - c екімүшесіне бөлінеді: f1 = (x - c)f2 + r1. Осыны x - c екімүшесіне қалдықпен бөлу процесін жалғастыра беріп, f0 = f, f1, f2,..., fn - 1 көпмүшелері табылады: fi - 1 = (x - c)fi + ri - 1, i = 1,..., n. Әр адымда fi көпмүшесінің дәрежесі 1-ге кемиді. Сондықтан fn көпмүшесінің дәрежесі 0 болу керек.
Нәтижесінде f = r0 + r1(x - c) + r2(x - c)2 + ...+ rn(x - c)n жіктеуі шығады.
Осы формуладан
f(c) = r0,
f'(c) = r1,
f''(c) = 2!r2,
. . . . . . .
f(n - 1)(c) = (n - 1)!rn - 1,
f(n)(c) = n!rn
шығады. Осыдан
f = f(c) + f'(c)(x - c) + false(x - c)2 +...+ false.
Осы формула көпмүшеге арналған Тейлор формуласы деп аталады.
Мысал. f = x5 + 4x4 - x3 - 29x2 - 14x - 1 көпмүшесін x - 2 айырымының дәрежелері бойынша жіктейік. Ол үшін Горнер сұлбасын қолданамыз:

F
c
1
4
- 1
- 29
- 14
- 1

f1
2
1
6
11
- 7
- 28
- 57
r0
f2
2
1
8
27
47
66
r1

f3
2
1
10
47
141
r2

f4
2
1
12
71
r3

f5
2
1
14
r4

Осыдан f = - 57 + 66(x - 2) + 141(x - 2)[2] + 71(x - 2)[3] + 14(x - 2)[4] + (x - 2)[5].

3.2 Көпмүшенің еселі жіктелмейтін көбейткіштері

Анықтама. f F[x] көпмүшесі және оның жіктелмейтін p көбейткіші берілсін. Егер ffalsepk және fpk+1 болса, онда p көпмүшесі f көпмүшесінің k-еселі көбейткіші деп аталады.
Егер k = 1 болса, онда p көпмүшесі f көпмүшесінің жай көбейткіші, егер k 1 болса, онда ол еселі көбейткіші деп аталады.
Теорема 3.2.1 f F[x] көпмүшесі және оның жіктелмейтін p көбейткіші берілсін. Егер p көпмүшесі f көпмүшесінің k-еселі көбейткіші болса, онда p көпмүшесі f' туындысының (k - 1)-еселі көбейткіші болады, k 1.
Дәлелдеу. f F[x] көпмүшесің жіктелмейтін k-еселі p көбейткіші берілсін, k 1. Онда ffalsepk, fpk+1 және f - pkg, мұндағы gp. Осыдан f' = kpk - 1g + pkg' = pk - 1[kg + pg']. Квадрат жақашадағы бірінші қосылғыш p-ға бөлінбейді, ал екіншісі бөлінеді. Сондықтан квадрат жақшадағы барлық өрнек p-ға бөлінбейді. Осыдан f'falsepk - 1, бірақ f'pk. Сондықтан p көпмүшесі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.