Алгебралық модуль анықтамасы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

Курстық жұмыс

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігі
Академик Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды университеті
Математика және ақпараттық технологиялар факультеті
Математиканы және информатиканы оқыту әдістемесі кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Пәні: Сыныптан тыс жұмыс (факультативтік сабақ)
Тақырып: "Модуль таңбасымен берілген теңдеулер" үйірмесінің бағдарламасын құру

Орындаған: МиИ-419 топ студенті
Абдувалиева.У.М.
Тексерген: Ахманова Д.М.

Қарағанды, 2021
Мазмұны

КІРІСПЕ
І.МАТЕМАТИКАДА МОДУЛЬДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ МАҒЫНАСЫ
1.1 Математикалық модуль және оның қасиеттері
1.2 Математикалық модулдің басқа пәндермен байланысы
ІІ. МОДУЛЬ ТАҢБАСЫМЕН БЕРІЛГЕН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ТАЛДАУ
2.1 Модуль таңбасы бар теңдеулерді мен теңсіздіктерді шешу
2.2 Модуль ішіндегі айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБІЕТТЕР
ҚОСЫМША

Түсінік және анықтама
Бұл тақырыпты кеңірек оқып үйрену үшін, маған қажет болатын қарапайым анықтамалар туралы түсінік келтіруді жөн санадым.
Теңдеу- бұл айнымалысы бар теңдік.
Модуль таңбасы бар теңдеу- айнымалысы модуль таңбасы немесе абсолют шама астында болатын теңдеу. Мысалы: x=1
Теңдеуді шешу- бұл барлық түбірді табу немесе түбірі жоқ екенін дәлелдеу.
Математикада модульдің әртүрлі мағынасы бар,мен өзімнің зерттеу жұмысымда тек бір мағынасын қарастырдым.
Модуль-санның абсолют шамасы,сандық түзуде санақ басынан берілген санға сәйкес нүктеге дейінгі қашықтық.

Кіріспе

Қазіргі заман математика ғылымының өте кең тараған кезеңі .Ал талапқа сай математикалық білім берудің басты шарты математикалық мəдениеттің деңгейін көтеру болып табылады.
Математикалық есептерді шешу , теоремаларды дəлелдеу оқушылардың ойын оятып , ойлау, есте сақтау қабілеттерін дамытуда , батыл қимылдар жасауға , шығармашылық ізденіске тəрбиелейді.
Ендеше оқушылардың математикаға дайындығын жан-жақты жетілдіру қазіргі аса маңызды міндеттердің бірі.
Бұл курстық жұмыста санның модулі туралы ұғым жəне оның қасиеттерін пайдаланып , модуль таңбасы бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді таңдап алдым.Себебі математикадан берілетін есептер ішінде модуль таңбасы бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге көптеп кездеседі. Бірақ бұл тақырыптың есептерін шешуге мектеп бағдарламасында сағат аз .Сондықтан модуль таңбасы бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі оқушылардың білімдері саяз болғандықтан ондай есептерді шешуде қиындыққа кездеседі. курстық жұмыста есептердің мазмұны, оқулықтағы жəне ҰБТ - дағы есептер. Есептердің шығарылу жолдары алдымен əртүрлі тəсілдермен көрсетіліп, ал қалған есептерді оқушылардың өздерінің тиімді тəсілді таңдап алуына баса назар аударылады.Шешімдерді іздеудің математикалық методтарын, логикалық пайымдаулардың , математикалық модельдердің , адекваттылық мəселелерін оқушылар меңгеріп алуларына зор көңіл бөлінеді.

І.МАТЕМАТИКАДА МОДУЛЬДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ МАҒЫНАСЫ

0.1 Математикалық модуль және оның қасиеттері
Тұрмыста кейбір шамалардың (ұзындықтың, массаның, температураның) өзгерістерінің сан мәні ғана жазылады. Өзен суы деңгейінің өзгерісі 20см. Мұнда өзен суының деңгейі 20см-ге жоғары көтерілді ме немесе 20 см-ге төмен түсті ме, оған назар аударылмайды. Демек берілген санның оң не теріс сан екені ескерілмейді.Тек өзен суының соңғы деңгейінің алғашқы деңгейінен айырмашылығы 20см, мұны математикада санның модулі деп атайды.
Жазылуы:20=20, -20=20
Оқылуы:20 немесе -20 санының модулі 20-ға тең.
Модуль - латынның modulus деген сөзі-мөлшердегенді білдіреді. Кейбір жағдайда модульдің орнына абсолюттік шама деп те атайды. Модуль белгісін 1841 жылы неміс математигі Карл Вейерштрасс (1815-1897) енгізген.Бұл көп мағыналы сөз, математикамен қатар ол архитектурада, физикада, техникада, тағы басқа ғылымдар программасында кездеседі.
Теореманың дәлелдемесі
Анықтама: а санының модулі немесе а санының абсолют шамасы а-ға тең,егер а нольден үлкен немесе тең болса, -а-ға тең, егер а саны нольден кіші болса, яғни
a, егер а=0
a=
-а,егер а0

Анықтамадан кез келген нақты а саны үшін a=0 екендігі шығады.
Теорема 1.Кез келген а!=0 нақты санының абсолют шамасы а және - а сандарының үлкеніне тең болады.
Дәлелденуі
1.Егер а оң сан болса,онда - а теріс сан, яғни - а0a,бұдан - aa.
Мысалы: 5 оң сан, -5 теріс сан және -505, бұдан -55.
Бұл жағдайда a=a, яғни a мәні а және - а сандарының үлкеніне тең болады.
2.Егер а теріс сан болса, онда - а оң сан болады және а-а, яғни үлкен сан - а. Анықтама бойынша a=-a, бұл жағдайда да - а және а сандарының үлкені - а-ға тең болатыны шығады.
Салдар1. Теорема бойынша -a=a. Бұл жағдайда -a және a шамасы - а және а сандарының үлкеніне тең болады.
Салдар2. Кез келген нақты а саны үшін а = a, -a = a теңсіздіктері тура болады.
Екінші теңсіздікті (-а = a )-1-ге көбейтсек (бұл жағдайда теңсіздік таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді) а =-a теңсіздігі кез келген нақты а саны үшін тура болады. а=a және а=-a теңсіздіктерін біріктіріп
-a = a = a қос теңсіздігін аламыз.
Теорема2. Кез келген нақты а санының абсолют шамасы а2 санының арифметикалық квадрат түбіріне тең болады, яғни a=;
Бұл жағдайда а=0 болса, анықтама бойынша a=a,екінші жағынан а=0,
=a, яғни a=
Егер а0, онда a=-a және =-a бұл жағдайда a=
Бұл теореманы пайдаланып a ны пен алмастыру арқылы кейбір теңдеулерді шешуге болады. Геометриялық мағынасы бойынша a координаталық түзудің бас нүктесінен a-ға сәйкес нүктеге дейінгі қашықтық. Егер а!=0 болса, онда координаталық түзуде а және - а сандарына сәйкес О нүктесінен бірдей қашықтықта екі нүкте болады, яғни a=-a.Егер а=0 болса, онда a координаталық түзуде О нүктесімен кескінделеді (1-сурет).
a a

1-сурет

1.2 Математикалық модулдің басқа пәндермен байланысы

Геометриялық модуль туралы түсінік
Кез келген нақты сан белгілі бір сан түзуіндегі сәйкес нүктемен анықталуы мүмкін. Нөлден ерекшеленетін әрбір нүкте туралы оның нөлдің оң жағында немесе сол жағында жатқанын айтуға және нөлден осы нүктеге дейінгі қашықтықты өлшеуге болатындықтан, әрбір нақты санмен екі шаманы байланыстыруға болады: оның модулі және таңбасы. Егер белгілі бір санды көрсететін нүкте нөлдің оң жағында жатса, онда бұл санның таңбасы оң болып қабылданады. Егер бұл нүкте сол жақта жатса, онда белгі сәйкесінше теріс болады. Санның абсолютті мәні, бұл жағдайда, берілген санды көрсететін нүктеден нөлге дейінгі қашықтыққа тең.
Алгебралық модуль анықтамасы
Геометриялық тұрғыдан алғанда модульдің қызметі арасындағы қашықтық екенін біле отырып
Нақты сандар үшін де, күрделі сандар үшін де модульдің алгебралық қасиеттерін қарастырыңыз.
Нақты сандар үшін:
Модуль көлемі минус пен плюс шексіздікке дейін;
Нөлден плюс шексіздікке дейінгі мәндер диапазоны;
Модуль функциясы жұп (мұндай функцияның графигі аргумент белгісіне қатысты симметриялы);
Модуль функциясы нөлден басқа барлық аралықтарда дифференциялануы мүмкін. 0 нүктесінде функцияда үзіліс болады (осы нүктеде бастапқы функцияны бөлетін қисық тармақтарының жанамалары әртүрлі).
Архитектурада-бұл өлшем бірлігі,архитектура құрылыстары үшін орнатылады және оның элементтер құрамының сәйкестігі үшін пайдаланылады.
Техникада-бұл термин,техниканың әрбір аймағында қолданылады,универсаль емес мән мен әртүрлі коэфициенттер және ұзындықтарын белгілеу үшін қолданылады.
Физикада-көлем қысымдылық модулі-материал ішінде нормаль күштің ұзындығына қатынастығы үшін қолданылады.

ІІ. МОДУЛЬ ТАҢБАСЫМЕН БЕРІЛГЕН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ТАЛДАУ

2.1 Модуль таңбасы бар теңдеулерді мен теңсіздіктерді шешу

Модуль таңбасымен берілген теңдеуді шешу үшін, біз санның модулінің анықтамасын және абсолют шама қасиеттерін негізге аламыз. Біз бірнеше мысалды әртүрлі тәсілмен шешуді қарастырып, олардың қайсысы тиімді екендігін көреміз.
Модуль белгісінің астында айнымалы шама болатын теңдеулерді шешудің мектеп программасындағы белгілі әдістері:
1.Модульдің геометриялық мағынасын пайдалану
2.Графиктік әдіс
3.Анықтама бойынша модульді ашу
Модуль таңбасымен берілген теңдеуді шешуде модульдің геометриялық мағынасын пайдалану.
x-a модулінің геометриялық мағынасы-координаталық түзуде х және а нүктелерінің арақашықтығы.
Мысал: x-1+x-2=1 модульдің геометриялық мағынасын пайдаланып теңдеуді шешейік.Ол үшін мына түрде талдау жасауға болады. Теңдеудің сол жақ бөлігінде х нүктесінен қашықтығы 1-ге және 2-ге тең болатын нүктелердің абсциссаларының қосындысын табамыз, яғни [1;2] кесіндісіндегі барлық нүктелер берілген теңдеудің түбірі бола алады, ал ол кесіндіден тыс нүктелер абсциссалары теңдеу шешімі бола алмайды. Бұл жағдайда теңдеу шешімі [1;2] кесіндісі болады.
Жауабы: x [1;2]
Мысал: x-1-x-2=1 теңдеуін шешейік.
Бұл теңдеудің сол жағындағы өрнек бойынша х нүктесінен қашықтығы 1 және 2 болатын нүктелердің абсциссаларының айырмасы 1-ге тең болатын аралық координаталық осьте 2 санының оң жағы, яғни берілген теңдеу шешімі бұл жағдайда кесінді емес, басы 2 санына тең нүкте болатын ох осінің оң бағытындағы сәуле болады.
Жауабы: x [2;infinity)
Бұл мысалдардан мынадай қорытынды жасадым.
x-a + x-b=b-a, егер b=a a=x=b
x-a - x-b=b-a, егер b=a x
Графиктік әдіс
Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешудің бір әдісі - графиктік әдіс. Бұл әдіс функция графигін тұрғызуға негізделген. Егер берілген функциялар графиктері қиылысса, онда қиылысу нүктелерінің абсциссалары берілген теңдеу шешімі болады. Егер графиктер қиылыспаса, онда берілген теңдеу шешімі болмайды деген қорытындыға келеміз. Бұл әдіс модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешудің басқа әдістеріне қарағанда онша тиімді емес, себебі біріншіден, ол уақытты көп алады және үнемі рационалды емес, екіншіден график тұрғызғандағы нәтиже үнемі дәл болмайды.
Анықтама бойынша модульді ашу
Модуль таңбасымен берілген теңдеуді шешудің тағы бір әдісі-модуль анықтамасы бойынша модульді ашу, яғни кез келген f(х) функциясы үшін
f(х),егер f(х)=0 болса
f(х)=
-f(х),егер f(х)0 , болса

1-мысал.Теңдеуді шешу керек: 2x-5=1
Шешуі:1-ші тәсіл.a-b модулінің геометриялық мағынасы-түзудегі а мен b нүктелерінің арақашықтығы екенін ескерсек, жалпы жағдайда x-a=r түріндегі теңдеуді шешу үшін түзудегі а нүктеден r қашықтықта орналасқан екі нүктені тапса болғаны.
Біздің мысалымызда түзу бойында 5 санына сәйкес нүктеден 2х-ке сәйкес нүктеге дейінгі қашықтық 1-ге тең болатын екі нүкте бар,олар: 6;4. Олай болса 2х=6 және 2х=4 теңдеулерін аламыз, бұдан х=3 және х=2. Жауабы:3 және 2.

4 5 6
Модулі бар теңдеулерді аралықтарға бөлу арқылы шешу
Аралықтарға бөлу әдісі бойынша теңдеулерді шешу үшін мына алгоритмді қолданған тиімді.
1)Модуль таңбасының ішіндегі өрнектерді нольге теңестіріп, теңдеуді шешу;
2)Теңдеулердің түбірлерін қолданып,сан түзуін аралықтарға бөлу;
3)Модуль анықтамасын ескеріп, әрбір жеке интервалда берілген теңдеуді шешу;
4)Теңдеудің шешімдерінің қарастырылып отырған аралыққа тиісті болатынын тексеру;
5)Тиісті түбірлерді берілген теңдеудің түбірі ретінде алу;

Берілген алгоритмнің қолданылуына мысалдар қарастырайық.
1-мысал.x-2+x-3+2x-8=9 теңдеуін шешейік. Шешуі: Алгоритм бойынша, алдымен

x-2=0 x=2
x-3=0 x=3
2x-8=0 теңдеулерін шешеміз.Сонда x=4
Табылған түбірлерді сан түзуінде белгілеп, (-infinity;2), [2;3), [3;4), [4;infinity) аралықтарын аламыз.

1 2 3 4 5,5
2.2 Модуль ішіндегі айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу

Айнымалысы модуль таңбасымен берілген теңдеулерді модуль таңбасы бар теңдеулер деп атайды. Мысалы, х-2=3, 3х+2=2х+1, т.с.с. - модуль таңбасы бар теңдеулер.
Модуль таңбасы бар теңдеулерді шешудің бірнеше тәсілі бар. Оларды мысалдар арқылы қарастырайық.
1-мысал. х-1=2 теңдеуінің түбірлерін табу керек.
1-тәсіл. (Геометриялық тәсіл). х-а өрнегінің геометриялық мағынасы - ол сан осіндегі х нүктесінен а нүктесіне дейінгі қашықтықты білдіреді. Онда х-1=2 теңдеуінің геометриялық мағынасы х және 1 нүктелерінің ара қашықтығы 2-ге тең болатындығында. Олай болса , х=-1 немесе х=3 болуы керек.
Ж а у а б ы : х=-1; х=3.
1.1-мысал
өрнегінің мәні х пен а сандарына сәйкес нүктелердің арақашықтығын білдіреді. Сонда теңдеуінің геометриялық мағынасы х пен -2-ге сәйкес нүктелердің ара қашықтығы 5 болатындықтан немесе
-5 5

-7 -2 3 х
Жауабы: x=3, x=-7

2-тәсіл. ( Квадраттау тәсілі ). Берілген теңдеудің екі жақ бөлігі де оң болғандықтан, оны квадраттап, x2-2х+1=4 немесе x2-2х-3=0 квадрат теңдеуін аламыз. Оның түбірлері: х1=-1 және х2=3. Бұлар берілген есептің жауаптары.
Теңдеудің екі бөлігі де, оң сандар болғандықтан, оларды квадраттап, берілген теңдеуге мәндес теңдеу аламыз. Сонда Бұдан Виет теоремасын пайдаланып, х=3, x=-7 түбірлерін аламыз.
Жауабы: х=3, x=-7
2-мысал. теңдеуін шешейік.
Шешуі. Бұл теңдеуді де алдыңғы көрсетілген үш тәсілмен шешуге болады. Алайда, ең оңтайлысы-геометриялық тәсіл.
теңдігінің геометриялық мағынасы х нүктесі а мен b нүктелерінен бірдей қашықтықта жататынын көрсетеді, яғни [a; b] кесіндісінің дәл ортасы. Сонда аbнемесе bа болғанда,

Демек, берілген теңдеудің шешімі

Жауабы: х=2

3-тәсіл. ( Анықтама тәсілі). Анықтама бойынша
а= а, егер а=0, -а, егер а0.
Осыдан , егер х-1 = 0 болса, онда х-1=х-1 теңдігі және х-10 болса, онда х-1=-(х-1) теңдігі орындалады. Сондықтан сан осін х=1 нүктесі арқылы екі бөлікке бөлеміз: (- infinity;+infinity)=(- infinity;1)∪1;+infinity). Осы бөліктің әрқайсысында берілген теңдеуді жеке шешу керек.
Егер х(- infinity;1) болса, онда берілген теңдеуді -х+12 түрінде жазамыз. Осыдан х -1 болады.
Егер ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.