Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесін шешу әдістері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ

МАЗМҰНЫ:
КІРІСПЕ

1.МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІ
1.1 Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктердің оқыту әдістемесінің теориялық негіздері
1.2 Математика курсындағы теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесінің түрлері

2.МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесін шешу әдістері
2.2 Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу жолдарын құру әдістемесі
2.3 Педагогикалық эксперимент

ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

КІРІСПЕ

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігінің нұсқалығына сәйкес, егер біз Қазақстан экономикасын, мәдениетін дамытып, жоғары дамыған елдердің қатарына жеткіземіз десек, онда бірінші орында білімді дамытуға тиіспіз. Ол үшін Қазақстанды болашақта өрге жетелейтін білікті мамандар даярлап, Отанына адал қызмет ететін азамат тәрбиелеп шығаруымыз керек. Қазіргі кезде осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін жалпы білім беретін орындарға қойылған талаптар қатаңдалып, күннен күнге өсуде. Соның ішінде мектеп курсындағы гуманитарлық пәндер арасында математиканы оқыту үлкен іскерлікті қажет етеді. Мектепте математиканы оқыту - онымен тығыз байланыста жүретін пәндерді меңгеруге, күнделікті тұрмысқа қажетті біліктілік пен дағдыны қалыптастыруға және математиканы тереңдетіп оқытуға тиіс. Математиканы тереңдетіп оқыту - оқушының математикаға тұрақты қызығушылығын тудырып, олардың математикалық қабілеттілігін дер кезінде анықтап, дамуына ықпал етеді де жоғарғы оқу орнына түсуге дайындық мәселелерін шешеді. Оқушылардың математикалық даму әрежесі олардың есеп шығару қабілеттілігінен көрінеді. Кез - келген қиын есепті шығару оқушылардың үлкен еңбекті талап етеді. Мұғалімнің міндеті баланың бойындағы қасиеттерді ояту болып табылады.
Ол үшін мұғалімнің үздіксіз ізденуін, әдістемелік - теориялық білімін жүйелі көтеріп отыруын, терең толғауын, оқушылардың психологиясын зерттеп, тақырып ерекшелігін жете талдай білуін қажет етеді. Әсіресе бұл талаптар жоғары сыныптарда күшейе түседі. Соның ішінде 10 - сыныпта оқытылатын тригонометрия тақырыбының өзі үлкен бір тарау болып келеді. Тригонометриялық функциялар негізгі үш параграфтан тұрады. Соның ішінде біз тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу әдістерін қарастырамыз. Бұлардың ішіндегі тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер тақырыбы өте күрделі. Оқушылар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде үлкен қиындықтарға кездеседі. Сол себепті де мен өзімнің курстық жұмысымның тақырыбын Тригонометриялық теңдеуле теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу жолдары деген тақырыпқа арнадым. Курстық жұмысымды жазу барысында мынандай мақсат, міндеттер қойдым.
Мақсаты:
Жалпы тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің түрлерін және олардың шешу жолдарын ашып көрсету.
Міндеті:
1. Тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің шешу жолдарын көрсету. 2. Тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешкенде ыңғайлы әрі оңай жолын таңдауға үйрету.

1.МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІ
1.1 Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктердің оқыту әдістемесінің теориялық негіздері

Анықтама. Құрамында белгісіз айнымалыға тәуелді тригонометриялық теңдеулер деп атайды.
Тригонометриялық теңдеулерді шешуді негізінен мынадай қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп алып шешеді: . Енді осы теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
теңдеуі. Егер болса ,онда бұл теңдеудің екі шешімі бар: және Ал болғандықтан , бұл шешімдерді сәйкес және немесе оларды біріктіріп, түрінде жазуға болады. Мұнда болатынын ескерсек,онда берілген теңдеудің шешімін
(1)
түрінде жазамыз. Егер немесе болса, онда (1) формуладан төмендегідей дербес жағдайлардағы формулаларды аламыз:

(2)

теңдеуі. Оның шешімдері
(3)
түрінде жазылады. Мұнда көрсетілгендей етіп дәлелдеуге болады. Формуланың дербес жағдайлары ():
(4)

теңдеуінің шешімдері

теңдеуінің шешімдері

мысал. теңдеуін шешу қажет.
Шешуі . Берілген теңдеуді 2-ге бөліп, оны
түрінде жазамыз. Онда (1) формула бойыншаболады. Ал
екенін ескерсек, онда берілген теңдеуінің шешімі түрінде жазылады.
Ең бірінші әрбір тригонометриялық функциялардың графигін салуға тоқталайық.
1функциясын қарастырамыз. Функцияның:
1)анықталу облысы-барлық нақты сандар жиыны, яғни
2)мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3), функция периодты, оның ең кіші оң периоды 2п .
4)функция тақ, өйткені .
5)кесінділерінде функция бірсарынды өспелі, кесінділерінде бірсарынды кемімелі.
нүктелерінің координаталық жазықтыққа түсіріп функциясының кесіндісінің графигін саламыз.
функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда,функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз

Сурет-1 Сурет-2

Демек, функциясының толық бір период ішіндегі графигін салдық. Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функция графигін салуға болады.

Сурет-3

функциясының графигін синусоида қисығы деп атайды.
2Функциясын қарастырамыз.
Функцияның:
1) анықталу облысы -барлықнақты сандар жиыны, яғни x∈R.
2) мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3) , функция периодты, ең кіші оң периоды 2PI .
4) функция жұп, өйткені
5) , кесінділерінде бірсарынды кемімелі және кесінділерінде бірсарынды өспелі функция.
нүктелерін координаталық жазықтықта белгілеп, y=cosx функциясының кесіндідегі графигін саламыз (7-сурет).
функциясы жүп функция болгандықтан, оның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда, функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз.

Сурет-4 Сурет-5

Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады (8-сурет).

Сурет-6

функциясының графигін косинусоида қисығы деп атайды.
Сонымен қатар екенін ескеріп функциясының графигін функциясының графигінен Ох осінің бойыменқашықтығына теріс бағытта параллель көшіру арқылы да алуға болады.
Функциясын қарастырайық.
Функцияның:
Анықталу облысы жиынынан басқа барлық нақты сандар
Мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
функция периодты PI саны;
функция тақ, өйткені
, интервалдарында функция бірсарынды өспелі.
Енді у =tgх функциясының графигін салайық.
нүктелерін координаталық жазықтыққа белгілеп, аралығында функциясының графигін саламыз.

Сурет-7 Сурет-8

Функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық екенін ескеріп, жалғастырамыз. Сонда у =tgх функциясының интервалында графигі шығады.
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады.

Сурет-9

функциясының графигін тангенсоида қисығы деп атайды.

Функциясын қарастырайық
Функцияның:
анықталу облысы: жиынынан басқа барлық нақты сандар жиыны себебі,
мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
тақ функция. Негізгі периоды PI.
функция тақ, өйткені
интервалында бірсарынды өспелі. функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі у нүктеге қарағанда симметриялы қисық.
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы Функцияның графигін салуға болады (13-сурет).

Сурет-10

у = ctgх функциясының графигін котангенсоида қисығы деп атайды

1.2 Математика курсындағы теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесінің түрлері

Белгісізі (айнымалысы) тригонометриялық функцияның аргументі түрінде берілген теңсіздікті тригонометриялық теңсіздік деп атайды.
Тригонометриялық теңсіздіктер жүйесін шешу жолдарын үйрету үшін қарапайым тригонометриялық теңсіздіктің шешу жолдарын білу керек. Тригонометриялық теңсіздіктердің жүйесін шешуді қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешуден бастаймыз. Себебі кез келген тригонометриялық теңсіздіктер тепе-тең түрлендірілгеннен кейін мына теңсіздіктердің ең болмаганда біреуіне келеді:

(1)

мұндағы α∈R.
Тригонометриялық теңсіздіктерінің жүйелерін шешудің ең тиімді жолы ол бірлік шеңберді пайдалану арқылы шығару әдісі.
Мысалы: түріндегі теңсіздіктер жүйесі берілсін
Енді жүйені шешу алгоритмі:
1)Бірінші теңсіздікті шешеміз:

-Дөңгелек жақшалар төртбұрышпен ауыстырылады, себебі нүктенің өзі интервалға қосылады.

2) Енді осы интервалды бірлік шеңберінде көрсету керек, мұны қалай істеуге болады?

Сурет 1

Ширектерді көрсете отырып, сондай-ақ және нүктелерін белгіліп аламыз, бұл шын мәнінде 30 және 150 градус. Осыдан 30 градустан 150 градусқа дейінгі шеңбердің доғаны бірінші теңсіздіктің шешуі болып табылады.
3) Екінші теңсіздікті шешіміз.

4)Алынған шешімді шеңберде кескіндейміз

Сурет 2

5)Екі аймақтың біріккен аумағын штрихтаймыз.

6) Шешім болып табылатын аймақты көрсетеміз.
бір айналымды береді, онда - оң сан.

sinх∣ а тригонометриялық теңсіздігі
Тригонометрияық теңсіздікті графиктік тісілмен шешудің мысалы ретінде sinх∣-12 теңсіздігін қарастырайық. Алдымен у=sinх функциясының графигі мен у=-12 түзуінде бір координаталық жазықтыққа саламыз.
у=sinх функциясының периоды 2PI-ге тең болғандықтан, берілген теңсіздіктің-PI2;3PI2 кесіндісіне тиісті барлық шешімдерін табамыз, одан кейін у=sinх функциясының перодттылығын ескереміз.

sinх∣-12 теңсіздігінің шешімі -PI2;3PI2 кесіндісіндегі у=sinх функциясының графигі у=-12 түзуінің графигінен жоғары орналасқан немесе графикті қиятын х айнымалысының барлық мәндері, яғни -PI6;7PI6 кесіндісі. у=sinх функциясының периоды 2PI-ге тең болғандықтан, табылған шешімдерге 2PIn (n∈Z) сандарын қоссақ, берілген теңсіздіктің қалған шешімдері табылады. Демек, sinх∣-12 теңсіздігінің шешімі -PI6+2PIn ;7PI6+2PIn , n∈Z.
Тригонометриялық теңсіздіктерді бірлік шеңбердің көмегімен шығаруға болады.
sinх∣-12 теңсіздігін бірлік шеңбердің көмегімен шығарайық.
Алдымен координаталық жазықтықта бірлік шеңбер саламыз және у=-12 түзуін жүргіземіз (21.1, ә-суреті). sinх-тің мәні -12-ден үлкен немесе тең болғандықтан шеңбердің у=-12 түзуінен жоғары жатқан бөлігін аламыз. Енді бірлік шеңбердің у=-12 түзуімен қиылысу нүктелеріне сәйкес бұрыштарды анықтаймыз. х1=arcsin-12=-PI6 және x2=PI+PI6=7PI6.
Демек, -PI6mх m7PI6, у=sinх функциясының периодын ескеріп -PI6+2PIn ;7PI6+2PIn, n∈Z., аламыз.

cosх а тригонометриялық теңсіздігі
Тригонометрияық теңсіздікті графиктік тісілмен шешуді cosх12 теңсіздігін шешу мысалы арқылы қарастырайық. Алдымен у=cosх функциясының графигі мен у=12 түзуінде бір координаталық жазықтыққа саламыз.
у=cosх функциясының периоды 2PI-ге тең болғандықтан, берілген теңсіздіктің0;2PI кесіндісіне тиісті барлық шешімдерін табамыз, одан кейін у=cosх функциясының перодттылығын ескереміз.

cosх12 теңсіздігінің шешімі 0;2PI кесіндісіндегі у=cosх функциясының графигі у=-12 түзуінің графигінен төменгі жағында орналасқан немесе графикті қиятын х айнымалысының барлық мәндері, яғни PI3;5PI3 кесіндісі. у=cosх функциясының периоды 2PI-ге тең болғандықтан, табылған шешімдерге 2PIn (n∈Z) сандарын қоссақ, берілген теңсіздіктің қалған шешімдері табылады.
Демек, cosх12 теңсіздігінің шешімі PI3+2PIn ;5PI3+2PIn , n∈Z.
cosх12 теңсіздігін бірлік шеңбердің көмегімен шығарайық.
Алдымен координаталық жазықтықта бірлік шеңбер саламыз және у=12 түзуін жүргіземіз. cosх-тің мәні 12-ден кем болғандықтан шеңбердің у=-12 түзуінен жоғары жатқан бөлігін аламыз. Енді бірлік шеңбердің у=12 түзуінен сол жақта орналасқан бөлігін аламыз. Енді шеңбер мен түзудің қиылысу нүктелеріне сәйкес бұрыштарды анытаймыз.
х1=arccos12=PI3 және x2=2PI-arccos12=2PI-PI3=5PI3.Сонда PI3x 5PI3. Демек, у=cosх функциясының периодын ескеріп, PI3 +2PInx 5PI3+2PIn, n∈Z. аламыз.

tgхm а тригонометриялық теңсіздігі
Тригонометрияық теңсіздікті графиктік тісілмен шешудің мысалы ретінде tgхm а теңсіздігін қарастырайық. Алдымен у=tgх функциясының графигі мен у=1 түзуін бір координаталық жазықтыққа саламыз.
у=tgх функциясының периоды PI-ге тең болғандықтан, берілген теңсіздіктің-PI2;PI2 кесіндісіне тиісті барлық шешімдерін табамыз, одан кейін у=tgх функциясының перодттылығын ескереміз.

tgхm а теңсіздігінің шешімі -PI2;PI2 кесіндісіндегі у=tgх функциясының графигі у=-12 түзуінің графигінен төмен орналасқан немесе графикті қиятын х айнымалысының барлық мәндері, яғни -PI2;PI4 жарты интервалы.
у=tgх функциясының периоды PI-ге тең болғандықтан, табылған шешімдерге PIn (n∈Z) сандарын қоссақ, берілген теңсіздіктің қалған шешімдері табылады.
Демек, tgхm а теңсіздігінің шешімі -PI2+PIn ;PI4+PIn , n∈Z, жиыны болады.

ctgδm а тригонометриялық теңсіздігі
Тригонометрияық теңсіздікті графиктік тісілмен шешудің мысалы ретінде ctgx-1 теңсіздігін қарастырайық. Алдымен у=ctgх функциясының графигі мен у=-1 түзуін бір координаталық жазықтыққа саламыз.
у=ctgх функциясының периоды PI-ге тең болғандықтан, берілген теңсіздіктің0;PI кесіндісіне тиісті барлық шешімдерін табамыз, одан кейін у=tgх функциясының перодттылығын ескереміз. (21.4 -сурет)

ctgx-1 теңсіздігінің шешімі 0;PI кесіндісіндегі у=ctgх функциясының графигі у=-1 түзуінің графигінен жоағары орналасқан немесе графикті қиятын х айнымалысының барлық мәндері, яғни 0;3PI4 жарты интервалы.
у=сtgх функциясының периоды PI-ге тең болғандықтан, табылған шешімдерге PIn (n∈Z) сандарын қоссақ, берілген теңсіздіктің қалған шешімдері табылады.
Демек, ctgx-1 теңсіздігінің шешімі PIn ;3PI4+PIn , n∈Z, жиыны болады

2.МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесін шешу әдістері

Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін бірнеше маңызды кезеңдерден өту керек. sin x, cos x, tg x и ctg x ұғымдарын енгізу. Радиусы 1-ге тең, центрі координаталар басында жататын шеңберді бірлік шеңбер деп атайды. Бірлік шеңбердің Ра нүктесі Р0 (1; 0) нүктесін а радианға тең бұрышқа бұрғанда шыққан болсын. Ра нүктесінің координатасы - а бұрышының косинусы екенін аңғару қиын емес

Анықтама. у = sin х және у = cos х формулаларымен берілген сандық функцияларды сәйкесінше синус және косинус деп атайды
Анықтама. у = tg х және у = ctg х формулаларымен берілген сандық функцияларды сәйкесінше тангенс және котангенс деп атайды
Келесі қадам функцияларды енгіземіз y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x. Бұл кезеңде осы функциялардың қасиетері, анықталу облысы мен мәндер облысы қарастырылып өтеді, ал ең маңызды - графиктерімен танысу.
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге дайындыққа ең соңғы кезең. Бұл кезеңде оқушылар маңызды тригонометрия формулаларымен және оларды қалай қолдану керек екендігімен танысады. Бұл кезеңде алынған білімін оқушылар бүкіл математика курсында колдана алады. Меңгерілген формулалар көмегімен өте қиын, көлемді тригонометриялық теңдеулер мен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.