Анықталған интегралдың физикада қолданылуы

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 30 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым минстрлігі
Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық университеті

Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі
___________ Сулейменова Л.
_________20_ жыл

Анықталған интеграл және оның механика мен физикада қолданылуы

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В012700 - математика-информатика мамандығы

Орындаған Сембаева Аружан Мұратқызы

Ғылыми жетекші
т.ғ.д., доцент Абдрахманов Қ

Шымкент 2022
Ф.7.06-02

Мазмұны Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
I Анықталған интеграл анықтамасы және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ...5
0.1 Анықталған интегралдың анықтамасы және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ..5
1.2 Анықталған интегралды есептеп шығару ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ..10
1.3 Анықталған интегралдағы айнымалыны ауыстыру ... ... ... ... ... ... ... ...16
II Анықталған интегралдың механикада, физикада қолданылуы ... ... ...49
2.1 Анықталған интегралдың механикада қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... .24
2.2 Анықталған интегралдың физикада қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .25
Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .34
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..40

Кіріспе
Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешуде қолданылады. Интеграл ұғымы бір жағынан туындысы бойынша функцияны іздеу, екінші жағынан аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл, анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады.
Интеграл сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғылым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама. Қос интегралды алғаш рет Эйлер өзінің 1769 жылы Петербург академиясына баяндаған жұмысына енгізген болатын. Ең әуелі ол өзінше анықталмаған қос интегралды және функциясы деп қарастырады. Егер осы функцияны біртіндеп осы айнымалылар бойынша әуелі бір ретпен, кейін екінші ретпен дифференциалдаса, өрнегіне келтіретін болу керек. Сонымен, осы қос интеграл қайталанған мына екі және интегралмен теңбе-тең түседі және оның жалпы өрнегіне қосылғыш ретінде ғана, сондай-ақ қалауымызша алынған функциясы енеді. Содан кейін, дененің бетін және көлемін есептеу жөніндегі есептерге байланысты, Эйлер анықталған қос интегралды енгізеді. Мұны ол әрі өзінің элементтерінің қосындысы деп және де әйтеуір бір типті қайталанған интеграл деп қарастырады. Интегралдық есептеу, дифференциалдық есептеуден тəуелсіз, одан бұрын дамыған ілім. Осы екі ілімнің арасындағы терең байланыс тек XVII ғасырдың аяғында ғана тағайындалды. Бұл екі ілімнің шешетін негізгі проблемалары шексіз аздар немесе математикалық анализдің өзара кері проблемалары болды; қосу жəне азайту амалдары бір-бірімен қандай қатынаста болса, функцияларды интегралдау жəне дифференциалдау амалдары да бір-бірімен сондай қатынаста болады.
Осы тарихи кез қазіргі уақыттағы Математикалық анализ деп аталатын ілімнің туу кезі. Сол кезден бастап математика ғылымының осы екі тарауы тез дами бастады; əсіресе интегралдық есептеу жеке бытыраңқы есептерді шешуден, өте əлді жалпы методтар жасауға көшті. Шынында, анықталған интеграл ұғымы геометрия, механика жəне физика проблемаларын шешудің нəтижесінде туған.
Зерттеудің өзектілігі: Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлау үшін математикалық анализдің физика, механика және т.б. салаларда қолданбалылығын пайдалану іргелі білімді меңгеруге кең көлемде мүмкіндік туғызады. Бұл диплом жұмысында анықталған интегралдар жайында, сондай-ақ олардың механикада, физикада қолданылуы көрсетіледі. Дипломдық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену.
Зерттеудің міндеті: анықталған интегралды интегралдаудағы теориялық бөлімін қарастыру. Анықталған интегралдың механика және физикада қолданылуын қарастыру.
Зерттеудің әдістері: талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Анықталған интегралдың және оның механика, физикада қолданылу әдістерін зерттеу. Диплом жұмысын жазудағы мақсат Математикалық талдау пәнінен алған теориялық білімді практикада тереңірек қолдану көзделген. Диплом жұмысын анықталған интегралдар тақырыбын өткен кезде және практикалық сабақтар өткен кезде пайдалануға болады.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: дипломдық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлімнен, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

I Анықталған интегралдың анықтамасы және оның қасиеттері
1.1 Анықталған интегралдың анықтамасы.
Математикалық талдаудың негізгі түсініктердің бірі анықталған интеграл математикада, физикада, механикада және басқада пәндерді зеріттеуде үлкен орын алады. Қисықтармен шектелген ауданды, қисық доғаның ұзындығын, жұмыс көлемін, инерция моментін және т.б. есептеулер анықталған интеграл көмегімен жүргізіледі.
f x функциясы a;b, a b кесіндісінде анықталған болсын. Қарастырып отырған a;b кесіндісін
a=x0x1x2...xn-1xn=b (1.1)
болатындай кесдейсоқ n бөлікке бөліп 1-сурет, әрбір элементарлық xk-1;xk кесіндісінен кез келген ξk нүктесін алып, осы нүктедегі fξk функцияның мәнін есептейміз және осындай әрбір кесіндінің ∆xk=xk-xk-1 ұзындығын табамыз. Функцияның fξk табылған мәнін сәйкес кесіндінің ұзындығына көбейтеміз: fξk∆xk, k=1, 2,..., n. Осындай барлық көбейтінділердің σn қосындысын қарастырамыз:

1-сурет
σn=f(ξ1)∆x1+f(ξ2)∆x2+...+f(ξn)∆xn=k =1nf(ξk)∆xk.
Бұл қосынды берілген fx функциясың a;b кесіндісіндегі интегралдық қосынды деп аталады.
Егер әрбір 0 үшін 0 болатын саны табылып, кездейсоқ таңдап алынған ξk саны үшін max xk болғанда σn-Iε теңсіздігі орындалса, онда σn=k=1nf(ξk)∆xk қосындысының ақырғы I шегі бар болады.
1-анықтама. a;b кесіндісін бөлетін элементарлық кесінділердің ең үлкен ұзындығы n ұмтылғанда =max∆xk--0 нөлге ұмтылғандағы (1.1) интегралдық қосындысының шегі fx функциясының a;b кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады және мына түрде жазылады:
I=abfxdx=limλ--0(n--infinity)σn=l imλ--0(n--infinity)k=1nfξk∆xk,
мұндағы a және b интегралдаудың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері, f xинтеграл астындағы функция, fxdxинтеграл астындағы өрнек, x интегралдау айнымалысы, ал a;b кесіндісі интегралдау облысы деп аталады.
1-теорема (анықталған интегралдың бар болуы). Егер f x функциясы a;b кесіндісінде үзіліссіз болса, онда интегралдық қосындының шегі бар болады және олa;b кесіндісін элементарлық кесінділерге бөліктеу әдісінен және де ξk нүктелерін таңдап алудан тәуелсіз болады.
1. Егер функция f(x) [a,b] аралығында интегралданатын болса, ол [a,b] аралығында да интегралданады және
abfxdx=-bafxdx
Анықтама бойынша
abfxdx=0
Функция f(x) мына үш [a,b], [a,c] және [c,b] аралықтардың ең үлкенінде интегралданатын болсын; онда бұл функция қалған аралықтардың екеуінде де интегралданатын болады.
Дәлелдеуі. С нүктесі а мен b-нің арасында жататын болсын, яғни acb, fx [a, b] аралығында интегралданатын функция. Олай болса, бұл функция [a,c] және [c,b] аралықтарында интегралданатынын біз жоғарыда айтып кеттік.
[a,b] аралығын бөлшек сегменттерге бөлеміз және с нүктесін бөлу нүктесінің бірі деп есептейміз де, интегралдық қосындысын құрамыз, сонда
abf(εi)∆xi=acfεi∆xi+cbf(εi)∆xi
Егер max∆xi-ді нольге ұмтылтып, кейінгі теңдіктің екі жағынан шек аламыз, сонда
abfxdx=acfxdx+cbfxdx
Енді с нүктесі [a,b] аралығының сыртында жатқан жағдайды қарастырайық. Сонымен, abc болсын онда формула бойынша
acfxdx=abfxdx+bcfxdx
Немесе бұл арадан
abfxdx=acfxdx-bсfxdx=acfxdx+cbfxdx
Сонымен, с нүктесі [a, b] аралығы жөнінде қалай орналасса да дұрыс болатын болды.
3. Егер функция f(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса, онда k f(x) да осы аралықта интегралданатын болады және
abkfxdx=kabfxdx
4. Егер екі функция f(x) және g(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса, онда f(x)+-gx да интегралданатын болады және
abfx+-gxdx=abfxdx+-abgxdx
5. Егер [a, b] аралығында интегралданатын функция f(x) теріс болмаса және ab, онда
abfxdx=0
6. [a, b] аралығында интегралданатын функциялар f(x) жәнеg(x) осы аралықтың барлық нүктелері үшін мына теңсіздікті қанағаттандырса, f(x) =g(x) немесе, f(x) g(x) онда
abfxdx=abgxdx немесе abfxdxabgxdx
Осының алдындағы қасиет бойынша
ab[fx-g(x)]dx=0
Бұл арадан дәлелдейік деп отырған теңсіздік келіп шығады.
7. Егер функция f(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса және ab болса, онда
abfxdx=abfx˅dx
Егер функция аралығында интегралданатын болса, онда да осы аралықта, интегралданатынын біз жоғарыда дәледеген болатынбыз.
F(b) - F(a) айырмасын y=f(x) функциясының [a;b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп атайды.
abfxdx
Мұндағы a және b сандары интегралдау шектері: a - төменгі шегі, ал b - жоғарғы шегі.
Анықталған интегралдың негiзгi қасиеттерi.
Берiлген анықталған интегралдың бар болу шарты орындалады деп есептейiк.
1. Тұрақты санды анықталған интеграл белгiсiнiң алдына шығаруға болады:
abkfxdx=kabfxdx,
мұнда k=const .
2. Бiрнеше функциялар қосындысының анықталған интегралы қосылғыштарының анықталған интегралдарының қосындысына тең:
ab[f1x+f2x+...+fn(x)]*dx=abf1xdx+ab f2xdx+...+abfnxdx.
Осы екi қасиет интегралдың сызықтық қасиетi деп аталады.
Егер [a;b] аралығын [a;c] және [c;b] аралықтарына бөлсек, онда
abkfxdx=acfxdx+cbf(x),
3. Егер интегралдың жоғарғы шегi мен төменгi шегiнiң орындарын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгередi:
abfxdx=-abfxdx,
4. Жоғарғы шегi мен төменгi шегi тең болатын интеграл 0-ге тең
abfxdx=0,
5. Егер [a;b] аралығындағы х айнымалысының барлық мәндерi үшiн f(x)=0болса, онда
abfxdx=0
6. Егер [a;b] аралығындағы х айнымалысының барлық мәндерi үшiн f(x)= g(x) болса, онда
abfxdx=abgxdx.
7. Егер [a;b] аралығында функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерi сәйкес М және m сандары болса, онда

m(b-a)=abfxdx=Mb-a.
Ньютон-Лейбниц формуласы.
Ньютон Исаак (1643-1727) - ағылшын астрономы, физигі, әрі математигі. ХVII ғасырда дифференциалдық және интегралдық есептеулерді математикалық практикаға енгізді.
Туындыны дифференциалдау деп атаған және интеграл белгісін енгізген Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 жж.) - XVII ғасырдағы неміс рухы туғызған терең де жан-жақты дамыған философ. Екінші жағынан, ол - математик, физик, саясаткер, тарихшы, құқықтанушы.
Теорема. Егер F(X) функциясы [a;b] аралығына f(x) функциясының алғашқы функциясының бiрi болса, онда
abfxdx=Fb-F(a).
Бұл теңдiк Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.
Ньютон-Лейбниц формуласы.
Егер кесіндісінде үшін алғашқы функция болса, онда
. (1)
(1) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол формула кесіндісінде үздіксіз кез келген функциясы үшін тура.
айырмасын жазу ыңғайлы болу үшін қысқаша белгілеу қабылданған: .
Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын әдетте мына түрде жазып жүр:
. (2)

1.2 Анықталған интегралды есептеп шығару
1. Бір аралықта берілген функцияның анықталған интегралын табу үшін, анықтама бойынша біз ең алдымен аралықты бөлшек сегменттерге бөліп, интегралдық қосындыны құрып, барлық бөлшек сегменттердің ұзындықтарын нольге ұмтылтып, жаңағы интегралдық қосындысының шегін табамыз.
Анықталған интегралдың мəнін бұл жолмен іздеу қиын жолдың бірі. Сондықтан бұдан гөрі оңайырақ жол табу керек. Ол жол - мына келесі теорема.
Теорема. Егер [a, b] аралығында интегралданатын f(x) функциясы үшін алғашқы функция
Fx=fxdx
болатын болса, онда
abfxdx=Fb-Fa=Fx. (3)
Формуланы Ньютон-Лейбниц формуласы деп атайды.
Дəлелдеу. [a, b] аралығына бсциссаларымына сандарға a= x0,x1,x2,. ,. ,xn-1,xn=b тең нүктелермен n бөлшек сегменттерге бөлеміз; бұл бөлу нүктелерінің орналасу тəртібі былай:
a=x0x1x2...xn-1xn=b.
Енді мына F(b)-F(a) айырманық арайық. Бұл айырманың өзін былай етіп жазуға болады:
Fb-Fa=Fx1-Fx0+[Fx2-Fx1+...+Fxn-Fxn- 1= =i=0n-1Fxi+1-Fxi.
Қосындының таңбасының ішіндегі əрбір айырмаға, шекті өсімше жөніндегі Лагранж теоремасын қолданамыз, сонда
Fb-Fa=i=0n-1F'(ξi)(xi+1-xi),
Мұнда ξi-a мен b - ні арасында жатқан бір тиянақты нүкте (бірақ қандай екені белгісіз). Теореманың шарты бойынша, [a, b] аралығының барлық нүктелері үшін F'x=fx. Олай болса:
Fb-Fa=i=0n-1fξi∆xi.
Бұл теңдіктің оң жағындағы қосынды - инегралдық қосынды. Егер max ∆xi-ді нольге ұмтылтып кейінгі теңдіктің екі жағынан шек алатын болса онда
Fb-Fa=abx dx,
Өйткені f(x) [a, b] аралығында интегралданатын функция.
(3) формуланы пайдалану жөнінде бірнеше мысалдар келтірейік:
1) aaa2-x2dx.
Интеграл астында тұрған a2-x2 функцияның алғашқы функциясы мына функция xa2-x22a22 arcsin xa болатыны анықталмаған интегралдар теориясынан белгілі. Олай болса,
-aaa2-x2dx=12xa2+x2+a22arc sinxa=PIa22.
2) -PIPI1-r21-2r cosx+r2dx 0x1.
Алдымен біз анықталмаған
1-r21-2r cosx+r2dx
интегралды қарастырамыз. Алғашқы функцияны табу үшін мынадай ауыстыру t=tgx2 жасаймыз. Сонда
1-r21-r cosx+r2dx=21-r2dt(1-r)2+(1+r)2t2=2a rc tg1+r1-rt=2arc tg1+r1-rtgx2.
Сонымен, алғашқы функция:
Fx=2arc tg1+r1-rtgx2.
Олай болса,
-PIPI1-r21-2r cosx+r2dx=arc tg1+r1-rtgx2-PIPI.
Егер бірден х-тің орнына PI-ді жəне - PI-ді қойсақ, онда алғашқы функция өзінің мағынасын жоғалтып жібереді. Бірақ, дегенмен мына шектер
limx---PI+0Fx=-PI, limx--PI-0Fx=PI
бар.
Егер F(-PI) жəне F(+PI)-лерді осы шектерге теңдесек, онда
-PIPI1-r21-2r cosx+r2dx=Fx-PIPI=FPI-F-PI=2PI.
Бəрібір жойылып кететіндіктен, алғашқы функциядағы С жазылмайды.
3) 01x4+1x6+1dx.
Алдымен анықталмаған интегралды
x4+1x6+1dx
жеке алайық:
x4+1x6+1dx=x4-x2+1+x2(x2+1)(x4-x2+1 )dx=
=dxx2+1+x2dxx6+1=arctgx+13arc tg x3
Енді берілген анықталған интегралдың мəнін (33) формула бойынша табамыз:

Егер бастапқы берілген интегралдағы функцияның алғашқы функциясы үшін мына функцияны -13arctg3xx2-1x2-4x2+1алсақ, онда
01x4+1x6+1dx=0,
Бұл мүмкін емес, өйткені интеграл астында тұрған функцияның таңбасы оң, сондықтан мұндай функцияның анықталған интегралы нольге тең болу мүмкін емес. Қарастырып отырған анықталған интегралдың осы жағдайда нольге айналып кету себебі, алғашқы функция
Fx=-13arc tg3xx2-1x4-4x2+1,
[0, 1] аралығының бойында жатқанмен а нүктеде x0=2-√3 өзінің үздіксіздік қасиетін жоғалтады. Егер ол интегралды екі интегралға былай ажыратып жазсақ:
01x4+1x6+1dx=0x0-0x4+1x6+1dx+x0+01x 4+1x6+1dx,
Онда нəтижесі дұрыс болып шығады жəне PI3 - ке тең болады.
1. Енді бөлімшелеп интегралдау тəсілін қарайық. Бұл жөнінде келесі теореманы дəлелдеу керек.
Теорема. Егер функциялар u(x) және ϑ(x) өздерінің бірінші ретті туындыларымен бірге [a, b] аралығында үздіксіз болса, онда төмендегі формула
(4)

орындалады.
(4) формуланы бөлімшелеп интегралдау формуласы деп атайды.
Дəлелдеу. Анықталмаған интегралдар үшін бұл формула былай болатын:
u dϑ=uxϑx-ϑdu.
Бұдан анықталған интеграл алатын болсақ, онда

Мысал келтірейік:

Берілген интегралды былай жазуға болады:
Im=0PI2sinmx dx=0PI2sinm-1x d(-cosx)
Мұны бөлімшелеп интегралдайтын болсақ:

Немесе
Im=m-1Im-2-m-1Im;
Бұл арадан
lm=m-1mIm-2. (5)
(5) формуланы рекуррентік формула деп атайды, өйткені осы формуладан J2,J3,J4, ... табуға болады. Мəселен
Im-2=m-3m-2Im-4, Im-4=m-5m-4Im-6, . . .
Айталық, m-2n онда
I2n=2n-12n-3. . .3∙12n2n-2. . . 4∙2I0=
=2n-12n-3. . . 3∙1PI2n2n-2. . .4∙2.
Егер, m=2n+1 онда
Im+1=2n2n-2...4∙22n+12n-1...5∙3∙1I1 =
=2n2n-2...4∙22n+12n-1...5∙3∙1
Сөйтіп,
Im=0PI2sinmx dx=2n-1‼2n‼PI2, егер m=2n2n‼2n+1‼, егер m=2n+1
Анықталған интеграл
0PI2cosmx dx,
Олда осыған тең болады, яғни
0PI2cosmx dx=2n-1‼2n‼PI2, егер m=2n2n‼2n+1‼, егер m=2n+1

1.3 Анықталған интегралдағы айнымалыны ауыстыру
f(x) функцияны [a, b] аралығында алынған анықталған интегралын қарайық:
abfxdx
Осы интегралдың мəнін табу үшін, кейбір жағдайда айнымалы х-ті басқа тəуелсіз айнымалымен ауыстырған қолайлы болады.
Айталық, φt, [α,β] аралығында анықталған, осы аралықта өзі үздіксіз жəне үздіксіз φ1(t) туындысы бар функция деп ұйғарайық. Тəуелсіз айнымалы t α-дан β-ға дейін үздіксіз өзгергенде, функция φ(t) əрқашан бір бағытта φα=a-дан φβ=b-ге дейін үздіксіз өзгеретін болсын, былайша айтқанда φ(t) біркелкі функция болсын.
[α,β]аралығын, мына аралық мəндермен
α=t0t1t2...tn-1tn=β
n бөлшек сегменттерге бөлеміз. x=φ(t) функцияның бұған сəйкес мəндері
a=x0x1x2...xn-1x=b
болсын.
Сонда
xi+1-xi=φti+1-φti.
Енді осы айырмаға шекті өсімше жөніндегі Лагранж теоремасын қолдансақ, сонда
xi+1-xi=ti+1-tiφ'θi,
Мұнда θi-ti мен ti+1-дің арасында жатқан бір тиянақты сан, бірақ қандай екені белгісіз.
Қарастырып отырған интеграл анықтама бойынша барлық айырмалар xi+1-xi нольге ұмтылғандағы мына интегралдық қосындының:
σ=i=0n-1f(ξi)(xi+I-xi)
шегі. Бұл қосындыдағы ξi-[xi+1,xi] сегменттерінде жатқан кез келген нүктелер. Сондықтан бұл нүктелерді былай сайлап алайық:
ξi=φ(θi)
Бұдан кейін интегралдық қосынды мына түрге айналады:
σ=i=0n-1f[φθi]φ'(θi)(ti+1-ti (6)
Енді барлық ti+1-ti айырмаларды нольге ұмтылтып, осы кейінгі қосындыдан шек аламыз, сонда (6) теңдіктің сол жағына
abf(x)'dx
Анықталған интегралға ұмтылады да, ал оның оң жағындағы қосынды мына
αβf[φt]φ'(x)dt
анықталған интегралға ұмтылады. Сонымен:
abfxdx=αβfφtφ'xdt (7)
(7) формуланы, анықталған интегралдағыа йнымалыны ауыстыру формуласы деп атайды.
Енді (7) формуланы пайдалану жөнінде бірнеше мысалдар келтірейік.

n-натурал сан. х-ті былай ауыстырамыз:
x=asint
Бұл арадан
dx=acost dt.
Айнымалы х-тің өзгеру облысы [0,a] аралығы. Енді біз тəуелсіз айнымалы t-нің өзгеру облысын табуымыз керек, ол үшін ауыстырудағы х-тің орнына əуелі төменгі шек - нольді, онан кейін оның орнына жоғарғы шекaраны қою керек. Сонда t-нің өзгеру облысы 0=t=PI2 болады. Осы ауыстырудың нəтижесінде

болып шығады.
2n-12
Мынандай
0aa2-x2dx
интегралға да осы ауыстыруды жасайтын болсақ, онда
2n-12
0a(a2-x2. dx=a2n2n-1‼2nPI2.
Енді бір көңілді беретін мəселе мынау: егер (7) формуланы қадағалап қолданбаса, қисынсыз нəтижеге келуіміз мүмкін. Мұндай жағдайдың іс жүзінде болуын көрсету үшін келесі мысалды қарайық:
2) 0PIdxa2cos2+b2sin2x,
Интеграл астында тұрған бөлшектің алымында, бөлімінде cos2x-ке бөлсек, сонда:
0PIdxcos2xa2+b2tg2x=0PId tgxa2+b2tg2x.
мынадай ауыстыру t=tgx жасайық. Сонда x=0 болсаt=0, x=PI болса t=0. Олай болса (37) формуланы бірден қолданып табамыз:
0PIdxa2cos2x+b2sin2x=00dta2+b2t2=0.
Бұл мүмкін емес, өйткені интеграл астындағы функция оң. Мұндай қайшылықтың болу себебі: х нольден PI-ге дейін өзгергенде PI2 - ді басып өтеді, ал бұл нүктеде мына функция t=tgx үздіксіз қасиетін жоғалтып, үзілісті болады.
Дұрыс нəтиже шығару үшін бастапқы берілген интегралдың өзін екіге ажыратып жазу керек:
0PIdxa2cos2x+b2sin2x=
=0PI2dxa2cos2x+b2sin2x+PI2PIdxa2cos 2x+b2sin2x.
Екінші интегралды жеке алып, ондағы х-тің орнына x=PI-t-ні қояйық, сонда
PI2PIdxa2cos2x+b2sin2x=0PI2dta2cos2 x+b2sin2t.
Сонымен,

Енді мынау интегралды қарайық:

мұнда 0lPI2.
Бұл интегралға бұрынғы t=tgx ауыстыруды жүргіземіз. Айнымалы х нольден l-ге дейін өзгергенде, t нольден tgl-ге дейін өзгереді. Сөйтіп:

Бұл жерде біздің жасаған ауыстыруымыз ешбір қайшылыққа келтірмеу керек, өйткені tgx-тің туындысы 1cos2x , ал х нольден l-гедейін lPI2өзгергенде
1cos2x0
Ең бастапқы берілген интегралдың мəнін табу үшін жаңағы табылған интегралдан l-діPI2-0 ұмтылтып шек алу керек. Сонда

Берілген интегралдың мəнін табу үшін мынадай ауыстыру жасаймыз:
x=tgt
Айнымалы х-тің өзгеру облысы белгілі, ол [0, 1] аралығы. Айнымалы t-нің өзгеру облысын табу үшін, ауыстырудағы х-тің орнына əуелі нольді, онан кейін 1-ді қоямыз. Сонда t-нің өзгеру облысы мына аралық [0,PI4] болады. Ауыстырудың екі жағын дифференциалдасақ, сонда:

x-тің жəне dx-тің мəндерін берілген интегралға қойсақ,

Енді

олай болса

Демек.

Кейінгі теңдіктің оң жағында тұрған бірінші интегралдағы айнымалыны ауыстырайық:
PI4+t=PI2-z
Сонда

Сөйтіп,

Егер r!=1, интеграл астындағы функция үздіксіз, демек бұл жағдайда функцияның анықталған интегралы бар. Міне, осыны іздеп табайық. Төмендегі теңсіздіктердің

орындалуы өзінен-өзі айқын.
Осы теңсіздіктердің барлық жағын логарифм деп, 0-денߨ-ге дейін интегралдайтын болсақ, онда

Кейінгі теңсіздіктерден мынаны байқауға болады: егер r--0, онда J(r)--0.

Енді мына интегралды қарайық:
Осы интегралдағы айнымалы х-ті былай ауыстырамыз: x=PI-t, сонда айнымалы t,PI-ден 0-ге дейін өзгереді жəне

Кейінгі шыққан нəтижеге сүйеніп, былай жазамыз:

немесе

Егер былай ұйғарсақ: x=t2 , онда
-
Осы теңдіктің оң жағында тұрған екінші интегралдағы айнымалыны былай ауыстырамыз t=2PI-u , сонда мына нəтиже келіп шығады
2lr=Ir2,
Бұл жерден
Ir=12Ir2,
Ir2=12Ir4,
сонда

Егер r1 болса, онда n шексіздікке ұмтылғанда r2n-- 0 жəне J(r2n)-- 0. Сондықтан Jr=0, егер r--1.
Енді r--1 жағдайды қарастырайық.
Интеграл астындағы функцияны жеке алып, оны мына түрде жазайық:

Бұл теңдіктің екі жағын əуелі логарифмдеп, онан кейін ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.