Анықталған интегралдың физикада қолданылуы

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым минстрлігі

Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық университеті

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі

Сулейменова Л.

«»20_ жыл

Анықталған интеграл және оның механика мен физикада қолданылуы

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В012700 - «математика-информатика» мамандығы

Орындаған Сембаева Аружан Мұратқызы

Ғылыми жетекші

т. ғ. д., доцент Абдрахманов Қ

Шымкент 2022

Ф. 7. 06-02

Мазмұны Кіріспе . . . . 3

I Анықталған интеграл анықтамасы және оның қасиеттері . . . 5

1. Анықталған интегралдың анықтамасы және оның қасиеттері . . . 5

1. 2 Анықталған интегралды есептеп шығару . . . 10

1. 3 Анықталған интегралдағы айнымалыны ауыстыру . . . 16

II Анықталған интегралдың механикада, физикада қолданылуы . . . 49

2. 1 Анықталған интегралдың механикада қолданылуы . . . 24

2. 2 Анықталған интегралдың физикада қолданылуы . . . 25

Практикалық бөлім . . . 34

Қорытынды . . . 39

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 40

Кіріспе

Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешуде қолданылады. Интеграл ұғымы бір жағынан туындысы бойынша функцияны іздеу, екінші жағынан аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т. б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл, анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады.

«Интеграл» сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғылым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама. Қос интегралды алғаш рет Эйлер өзінің 1769 жылы Петербург академиясына баяндаған жұмысына енгізген болатын. Ең әуелі ол өзінше анықталмаған қос интегралды және функциясы деп қарастырады. Егер осы функцияны біртіндеп осы айнымалылар бойынша әуелі бір ретпен, кейін екінші ретпен дифференциалдаса, өрнегіне келтіретін болу керек. Сонымен, осы қос интеграл қайталанған мына екі және интегралмен теңбе-тең түседі және оның жалпы өрнегіне қосылғыш ретінде ғана, сондай-ақ қалауымызша алынған функциясы енеді. Содан кейін, дененің бетін және көлемін есептеу жөніндегі есептерге байланысты, Эйлер анықталған қос интегралды енгізеді. Мұны ол әрі өзінің элементтерінің қосындысы деп және де әйтеуір бір типті қайталанған интеграл деп қарастырады. Интегралдық есептеу, дифференциалдық есептеуден тəуелсіз, одан бұрын дамыған ілім. Осы екі ілімнің арасындағы терең байланыс тек XVII ғасырдың аяғында ғана тағайындалды. Бұл екі ілімнің шешетін негізгі проблемалары шексіз аздар немесе математикалық анализдің өзара кері проблемалары болды; қосу жəне азайту амалдары бір-бірімен қандай қатынаста болса, функцияларды интегралдау жəне дифференциалдау амалдары да бір-бірімен сондай қатынаста болады.

Осы тарихи кез қазіргі уақыттағы «Математикалық анализ» деп аталатын ілімнің туу кезі. Сол кезден бастап математика ғылымының осы екі тарауы тез дами бастады; əсіресе интегралдық есептеу жеке бытыраңқы есептерді шешуден, өте əлді жалпы методтар жасауға көшті. Шынында, анықталған интеграл ұғымы геометрия, механика жəне физика проблемаларын шешудің нəтижесінде туған.

Зерттеудің өзектілігі : Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлау үшін математикалық анализдің физика, механика және т. б. салаларда қолданбалылығын пайдалану іргелі білімді меңгеруге кең көлемде мүмкіндік туғызады. Бұл диплом жұмысында анықталған интегралдар жайында, сондай-ақ олардың механикада, физикада қолданылуы көрсетіледі. Дипломдық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену.

Зерттеудің міндеті: анықталған интегралды интегралдаудағы теориялық бөлімін қарастыру. Анықталған интегралдың механика және физикада қолданылуын қарастыру.

Зерттеудің әдістері: талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.

Дипломдық жұмыстың мақсаты : Анықталған интегралдың және оның механика, физикада қолданылу әдістерін зерттеу. Диплом жұмысын жазудағы мақсат «Математикалық талдау» пәнінен алған теориялық білімді практикада тереңірек қолдану көзделген. Диплом жұмысын анықталған интегралдар тақырыбын өткен кезде және практикалық сабақтар өткен кезде пайдалануға болады.

Дипломдық жұмыстың құрылымы : дипломдық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлімнен, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

I Анықталған интегралдың анықтамасы және оның қасиеттері

1. Анықталған интегралдың анықтамасы. 1

Математикалық талдаудың негізгі түсініктердің бірі анықталған интеграл математикада, физикада, механикада және басқада пәндерді зеріттеуде үлкен орын алады. Қисықтармен шектелген ауданды, қисық доғаның ұзындығын, жұмыс көлемін, инерция моментін және т. б. есептеулер анықталған интеграл көмегімен жүргізіледі.

f (x) функциясы [a; b], a < b кесіндісінде анықталған болсын. Қарастырып отырған [a; b] кесіндісін

$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n - 1} < x_{n} = b$ (1. 1)

болатындай кесдейсоқ n бөлікке бөліп «1-сурет», әрбір элементарлық [ $x_{k - 1}; x_{k}$ ] кесіндісінен кез келген $\xi_{k}$ нүктесін алып, осы нүктедегі f( $\xi_{k}$ ) функцияның мәнін есептейміз және осындай әрбір кесіндінің ${\mathrm{\Delta}x}_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ ұзындығын табамыз. Функцияның f( $\xi_{k}$ ) табылған мәнін сәйкес кесіндінің ұзындығына көбейтеміз: f( $\xi_{k}$ ) ${\mathrm{\Delta}x}_{k, \ }\ \ k = 1, \ 2, \ldots, \ n.$ Осындай барлық көбейтінділердің $\sigma_{n}$ қосындысын қарастырамыз:

«1-сурет»

$$\sigma_{n} = {f(\xi}_{1}) {\mathrm{\Delta}x}_{1} + {f(\xi}_{2}) {\mathrm{\Delta}x}_{2} + \ldots + {f(\xi}_{n}) {\mathrm{\Delta}x}_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{{f(\xi}_{k}) {\mathrm{\Delta}x}_{k. }}$$

Бұл қосынды берілген f(x) функциясың [a; b] кесіндісіндегі интегралдық қосынды деп аталады.

Егер әрбір ε> 0 үшін δ> 0 болатын саны табылып, кездейсоқ таңдап алынған $\xi_{k}$ саны үшін max ∆ $x_{k}$ <δ болғанда $\sigma_{n} - I < \varepsilon$ теңсіздігі орындалса, онда $\sigma_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{{f(\xi}_{k}) {\mathrm{\Delta}x}_{k}\ }$ қосындысының ақырғы I шегі бар болады.

1-анықтама. [a; b] кесіндісін бөлетін элементарлық кесінділердің ең үлкен ұзындығы n→∞ ұмтылғанда $\lambda = max\mathrm{\Delta}x_{k} \rightarrow 0$ нөлге ұмтылғандағы (1. 1) интегралдық қосындысының шегі f(x) функциясының [a; b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады және мына түрде жазылады:

$$I = \int_{a}^{b}{f(x) dx = \lim_{\begin{array}{r} \lambda \rightarrow 0 \\ (n \rightarrow \infty) \end{array}}{\sigma_{n} = \lim_{\begin{array}{r} \lambda \rightarrow 0 \\ (n \rightarrow \infty) \end{array}}\sum_{k = 1}^{n}{f\left( \xi_{k} \right) {\mathrm{\Delta}x}_{k}, }}}$$

мұндағы a және b интегралдаудың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері, f (x) −интеграл астындағы функция, f(x) dx−интеграл астындағы өрнек, x −интегралдау айнымалысы, ал [a; b] кесіндісі интегралдау облысы деп аталады.

1-теорема (анықталған интегралдың бар болуы) . Егер f (x) функциясы [a; b] кесіндісінде үзіліссіз болса, онда интегралдық қосындының шегі бар болады және ол[a; b] кесіндісін элементарлық кесінділерге бөліктеу әдісінен және де $\xi_{k}$ нүктелерін таңдап алудан тәуелсіз болады.

1. Егер функция f(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса, ол [a, b] аралығында да интегралданады және

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = - \int_{b}^{a}{f(x) dx}}$$

Анықтама бойынша

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = 0}$$

Функция f(x) мына үш [a, b], [a, c] және [c, b] аралықтардың ең үлкенінде интегралданатын болсын; онда бұл функция қалған аралықтардың екеуінде де интегралданатын болады.

Дәлелдеуі. С нүктесі а мен b-нің арасында жататын болсын, яғни $\ a < c < b, \ \ \ \ f(x) \ \ \ \ \lbrack a, \ \ b\rbrack\$ аралығында интегралданатын функция. Олай болса, бұл функция [a, c] және [c, b] аралықтарында интегралданатынын біз жоғарыда айтып кеттік.

[a, b] аралығын бөлшек сегменттерге бөлеміз және с нүктесін бөлу нүктесінің бірі деп есептейміз де, интегралдық қосындысын құрамыз, сонда

$$\sum_{a}^{b}{f(\varepsilon_{i}}) \mathrm{\Delta}x_{i} = \sum_{a}^{c}{f\left( \varepsilon_{i} \right) \mathrm{\Delta}x_{i} + \sum_{c}^{b}{f(\varepsilon_{i}) \mathrm{\Delta}x_{i}}}$$

Егер max $\mathrm{\Delta}x_{i} - ді\$ нольге ұмтылтып, кейінгі теңдіктің екі жағынан шек аламыз, сонда

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx =}\int_{a}^{c}{f(x) dx +}\int_{c}^{b}{f(x) dx}$$

Енді с нүктесі [a, b] аралығының сыртында жатқан жағдайды қарастырайық. Сонымен, $\ a < b < c$ болсын онда формула бойынша

$$\int_{a}^{c}{f(x) dx =}\int_{a}^{b}{f(x) dx +}\int_{b}^{c}{f(x) dx}$$

Немесе бұл арадан

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx =}\int_{a}^{c}{f(x) dx -}\int_{b}^{с}{f(x) dx} = \int_{a}^{c}{f(x) dx +}\int_{c}^{b}{f(x) dx}$$

Сонымен, с нүктесі [a, b] аралығы жөнінде қалай орналасса да дұрыс болатын болды.

3. Егер функция f(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса, онда k f(x) да осы аралықта интегралданатын болады және

$$\int_{a}^{b}{kf(x) dx =}k\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

4. Егер екі функция f(x) және g(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса, онда f(x) $\pm g(x)$ да интегралданатын болады және

$$\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) \pm g(x) \right\rbrack dx =}\int_{a}^{b}{f(x) dx \pm \int_{a}^{b}{g(x) dx}}$$

5. Егер [a, b] аралығында интегралданатын функция f(x) теріс болмаса және a $<$ b, онда

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx \geq 0}$$

6. [a, b] аралығында интегралданатын функциялар f(x) жәнеg(x) осы аралықтың барлық нүктелері үшін мына теңсіздікті қанағаттандырса, f(x) $\leq g(x)$ немесе, f(x) $< g(x)$ онда

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx \leq}\int_{a}^{b}{g(x) dx\ немесе\ }\int_{a}^{b}{f(x) dx <}\int_{a}^{b}{g(x) dx}$$

Осының алдындағы қасиет бойынша

$$\int_{a}^{b}{\lbrack f(x) - g(x) \rbrack dx \leq 0}$$

Бұл арадан дәлелдейік деп отырған теңсіздік келіп шығады.

7. Егер функция f(x) [a, b] аралығында интегралданатын болса және a $<$ b болса, онда

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx \leq}\int_{a}^{b}{f(x) ˅dx}$$

Егер функция аралығында интегралданатын болса, онда да осы аралықта, интегралданатынын біз жоғарыда дәледеген болатынбыз.

F(b) - F(a) айырмасын y=f(x) функциясының [a; b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп атайды.

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

Мұндағы a және b сандары интегралдау шектері: a - төменгі шегі, ал b - жоғарғы шегі.

Анықталған интегралдың негiзгi қасиеттерi.

Берiлген анықталған интегралдың бар болу шарты орындалады деп есептейiк.

1. Тұрақты санды анықталған интеграл белгiсiнiң алдына шығаруға болады:

$\int_{a}^{b}{kf(x) dx = k\int_{a}^{b}{f(x) dx, }}$

мұнда k=const .

2. Бiрнеше функциялар қосындысының анықталған интегралы қосылғыштарының анықталған интегралдарының қосындысына тең:

$$\int_{a}^{b}\lbrack f_{1}(x) + f_{2}(x) + \ldots + f_{n}(x) \rbrack*dx = \int_{a}^{b}{f_{1}(x) dx +}\int_{a}^{b}{f_{2}(x) dx + \ldots +}\int_{a}^{b}{f_{n}(x) dx. }$$

Осы екi қасиет интегралдың сызықтық қасиетi деп аталады.

Егер [a; b] аралығын [a; c] және [c; b] аралықтарына бөлсек, онда

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{a}^{b}{kf(x) dx = \int_{a}^{c}{f(x) dx + \int_{c}^{b}{f(x) }, }}$

3. Егер интегралдың жоғарғы шегi мен төменгi шегiнiң орындарын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгередi:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{a}^{b}{f(x) dx = - \int_{a}^{b}{f(x) dx, }}$

4. Жоғарғы шегi мен төменгi шегi тең болатын интеграл 0-ге тең

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = 0, }$$

5. Егер [a; b] аралығындағы х айнымалысының барлық мәндерi үшiн f(x) $\geq 0$ болса, онда

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx \geq 0}$$

6. Егер [a; b] аралығындағы х айнымалысының барлық мәндерi үшiн f(x) $\geq \$ g(x) болса, онда

$\int_{a}^{b}{f(x) dx \geq \int_{a}^{b}{g(x) dx. }}$

7. Егер [a; b] аралығында функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерi сәйкес М және m сандары болса, онда

$$m(b - a) \leq \int_{a}^{b}{f(x) dx \leq M(b - a) . }$$

Ньютон-Лейбниц формуласы.

Ньютон Исаак (1643-1727) - ағылшын астрономы, физигі, әрі математигі. ХVII ғасырда дифференциалдық және интегралдық есептеулерді математикалық практикаға енгізді.

Туындыны дифференциалдау деп атаған және интеграл белгісін енгізген Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 жж. ) - XVII ғасырдағы неміс рухы туғызған терең де жан-жақты дамыған философ. Екінші жағынан, ол - математик, физик, саясаткер, тарихшы, құқықтанушы.

Теорема. Егер F(X) функциясы [a; b] аралығына f(x) функциясының алғашқы функциясының бiрi болса, онда

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{a}^{b}{f(x) dx = F(b) - F(a) . }$

Бұл теңдiк Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

Ньютон-Лейбниц формуласы.

Егер кесіндісінде үшін алғашқы функция болса, онда

. (1)

(1) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол формула кесіндісінде үздіксіз кез келген функциясы үшін тура.

айырмасын жазу ыңғайлы болу үшін қысқаша белгілеу қабылданған: .

Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын әдетте мына түрде жазып жүр:

. (2)

1. 2 Анықталған интегралды есептеп шығару

1. Бір аралықта берілген функцияның анықталған интегралын табу үшін, анықтама бойынша біз ең алдымен аралықты бөлшек сегменттерге бөліп, интегралдық қосындыны құрып, барлық бөлшек сегменттердің ұзындықтарын нольге ұмтылтып, жаңағы интегралдық қосындысының шегін табамыз.

Анықталған интегралдың мəнін бұл жолмен іздеу қиын жолдың бірі. Сондықтан бұдан гөрі оңайырақ жол табу керек. Ол жол - мына келесі теорема.

Теорема. Егер [a, b] аралығында интегралданатын f(x) функциясы үшін алғашқы функция

$$F(x) = \int_{}^{}{f(x) dx}$$

болатын болса, онда

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{a}^{b}{f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Формуланы Ньютон-Лейбниц формуласы деп атайды.

Дəлелдеу . [a, b] аралығына бсциссаларымына сандарға a= $x_{0, }x_{1, }x_{2, . \, . \, }x_{n - 1, }x_{n} = b$ тең нүктелермен n бөлшек сегменттерге бөлеміз; бұл бөлу нүктелерінің орналасу тəртібі былай:

$$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \ldots x_{n - 1} < x_{n} = b.$$

Енді мына F(b) -F(a) айырманық арайық. Бұл айырманың өзін былай етіп жазуға болады:

$$F(b) - F(a) = \left\lbrack F\left( x_{1} \right) - F\left( x_{0} \right) \right\rbrack + \lbrack F\left( x_{2} - F\left( x_{1} \right) \right\rbrack + \ldots + \left\lbrack F\left( x_{n} \right) - F\left( x_{n - 1} \right) \right\rbrack = \ \ \ \ \ \ = \sum_{i = 0}^{n - 1}{\left\lbrack F\left( x_{i + 1} \right) - F\left( x_{i} \right) \right\rbrack. }$$

Қосындының таңбасының ішіндегі əрбір айырмаға, шекті өсімше жөніндегі Лагранж теоремасын қолданамыз, сонда

... жалғасы

Шектері шексіз интегралдар

Қисық сызықты интегралдар

Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу

ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ҚОЛДАНУЛАРЫ. ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР

Функцияны Фурье интегралымен жазып көрсету

аНЫҚТАУЫШТАР

Еселі интегралдардың қолданулары

Меншіксіз интегралдар туралы

Статистикалық физика, термодинамика және физикалық кинетика негіздері

Екі еселік интегралдың геометриялық және физикалық есептерді шығаруда қолданулары

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс