Меншікті мәндер мен меншікті функциялар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ
1 Меншікті мәндер мен меншікті функциялар
1.1 Меншікті мәндері мен меншікті функцияның анықтамалары
1.2 Меншікті мәндердегі есептердің мысалдары
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

КІРІСПЕ
Инженерлік есептердің тұтас сериясы, егер оларға енгізілген кейбір параметрдің мәні белгілі болған жағдайда ғана, бірегей шешімі бар теңдеулер жүйесін қарастыруға дейін азаяды. Бұл арнайы параметр жүйенің сипаттамалық немесе ішкі мәні деп аталады. Инженер әр түрлі жағдайда өзіндік құндылық проблемаларына тап болады. Сонымен, кернеу тензорлары үшін меншікті мәндер негізгі қалыпты кернеулерді анықтайды, ал меншікті векторлар осы мәндерге байланысты бағыттарды белгілейді. Механикалық жүйелерді динамикалық талдауда меншікті мәндер тербелістердің табиғи жиіліктеріне сәйкес келеді, ал меншікті векторлар бұл тербелістердің режимдерін сипаттайды. Құрылымдарды есептеу кезінде меншікті мәндер критикалық жүктемелерді анықтауға мүмкіндік береді, олардың асып кетуі тұрақтылықтың жоғалуына әкеледі.
Берілген инженерлік есеп үшін меншікті мәндерді немесе меншікті векторларды анықтаудың тиімді әдісін таңдау теңдеулер типіне, қалаған өзіндік мәндер саны мен олардың табиғаты сияқты бірқатар факторларға байланысты болады. Меншікті мән есептерін шығарудың алгоритмдері екі топқа бөлінеді. Итерациялық әдістер өте ыңғайлы және ең кіші және ең үлкен мәндерді анықтауға өте ыңғайлы. Ұқсастықты түрлендіру әдістері біршама күрделі, бірақ олар барлық мәндер мен меншікті векторларды анықтауға мүмкіндік береді.

Бұл мақалада меншікті мәселелерді шешудің кең таралған әдістері қарастырылады. Алайда, алдымен матрица және векторлық есептеу теориясынан меншікті мәндерді анықтау әдістері негізделген кейбір негізгі ақпаратты ұсынамыз.

1 Меншікті мәндер мен меншікті функциялар
1.1 Меншікті мәндері мен меншікті функцияның анықтамалары
λ саны L оператордың меншікті мәні деп атайды, егер L оператордың D анықталу облысында
Ly=λy 1.1
орындалатындай y≢0 функциясы болса.
Бұл y функциясы λ меншікті мәніне сәйкес келетін L оператордың меншікті функциясы деп аталады.
L операторын туындататын ly және
U1y=0,...,Umy=0 1.2
дифференциалдық өрнек және шекаралық шарттар. y меншікті функциясы L оператордың анықталу облысына тиісті болу қажет, онда ол (1.2) шартын қанағаттандыру керек.сонымен қатар, Ly=l(y), демек, (1.1)-ден
l(y)=λy (1.3)
аламыз. Демек:
L оператордың меншікті мәндерінің мәні
ly=λy, Uvy=0, v=1,2,...,m (1.4)
біртекті шекаралық есебінің тривиалды емес шешімі болатын λ параметрінің мәндері, бұл тривиалды емес шешімдер меншікті функцияларға сәйкес.
Бір λ меншікті мәнге сәйкес болатын меншікті функцияның сызықты комбинациясы λ-ға сәйкес болатын меншікті функция болады. Егер Lyi=λy1 және Ly2=λy2, онда Lc1y1+c2y2=λ(c1y1+c2y2), кез-келген c1, c2 тұрақтылары кезінде.
Берілген λ кезінде (1.3) біртекті теңдеуінің n-нен аспайтын сызықты тәуелсіз шешімдері болатын болса, бір меншікті мәнге тең келетін барлық меншікті функцияның жиынының өлшемі =n бола алатын ақырлы өлшемді кеңістік болып туралды. Кеңістіктің өлшемі λ берілген меншікті мәні кезіндегі (1.4) шекаралы қесептің сызықты тәуелсіз шешімініңсаны болады және ол сан меншікті мәндердің еселігі деп аталады.
Меншікті мәндерді табатын шарттарды іздестірейік.
yj(v-1)a,λ={0, j!=v1, j=v (1.6)
бастапқы шартпен анықталған (1.3) дифференциалдық теңдеу шешімінің фундаменталды жүйесін
y1x,λ, y2x,λ,...,ynx,λ (1.5)
белгілейік.
Сызықты дифференциалдық теңдеулерді шешу жайлы теоремадан a,b-дан алынған кез келген бекітілген x үшін (1.5) функциялары λ параметрінің бүтін аналитикалық функциялары болады. 4 пунктінің §1 парагрыфының нәтижесінен (1.4) шекаралық есептің сонда және тек сонда ғана тривиалды емес шешімі болады, егер
U=U1(y1)...U1(yn) ... ... .Um(y1)... Um(yn)
матрицаның r рангы n-нен кіші болса.
Егер mn, онда rn; бұл жаңдайда (1.4) шекаралық есептің кез келген λ мәндерінде тривиалды емес шешімі болады. Демек, mn кезінде кез келген λ меншікті болады.
Егер m=n, онда U матрицасының рангы n-нен кіші болады сонда және тек сонда ғана, U матрицасының n реттегі барлық анықтауыштары нөльге тең болса. Бірақ, осы анықтауыштың әрқайсысы λ-дан алынған бүтін аналитикалық функция болады. Сондықтан, келесі жағдайлар мүмкін:
1. U матрицасының барлық n ретті анықтауыштары нөльге тең. Бұл жағдайда да кез келген λ мәні меншікті.
2. U матрицасының n ретті анықтауыштарының кемінде біреуі нөльге тең емес. Бұл жағдайда меншікті мәндер U матрицасының n ретті анықтауыштарының қалғандары да нөльге айналатын тек осы анықтауыштардың нөльдері ғана бола алады.
Нөльге тең емес бүтін емес функциясының ақырлы шектік нүктесі жоқ саны саналымды нөльдері бар. Демек, 2-ші жағдайда L операторының ақырлы шектікнүктесі жоқ саналымдыдан аспайтын меншікті мәндері бар.
Барлық жағдайларды біріктіріп, келесі альтернативаны аламыз:
Ι. Кез келген L дифференциалдық операторы үщін тек келесі 2 мүмкіндік орынды:
1). Кез келген λ саны L операторының меншікті мәні.
2). L оператордың меншікті мәндерінің жиыны саналымдыдан аспайды және ақырлы шектік нүктелері жоқ.
m=n жағдайы қызығырақ. Келешекте, егер келісіп алынған болмаса, біз тек осы жағдайларды қарастырамыз. m=n кезінде
∆λ=U1(y1)...U1(yn) ... ... .Un(y1).. .Un(yn) (1.7)
Алдыңғыдан, ∆λ - λ-дан алынған бүтін аналитикалық функция. Ол L оператордың сипаттамалық анықтауышы деп аталады.
Алдыңғы тұжырымдар бұл жағдайда келесі тұжырымдарға келеді:
ΙΙ. L оператордың меншікті мәндері ∆(λ) функциясының нөльдері. Егер ∆(λ) нөльге тең болса, онда кез келген λ саны L оператордың меншікті мәні.
Егер ∆(λ) функциясы нөльге айналмаса, онда L оператордың ақырлы шектік нүктесі болмайтын саналымдыдан аспайтын меншікті мәндердің саны бар.
Егер дербес жағдайда, ∆(λ) нөль болмаса, онда L оператордың меншікті мәндері болмайды.
ΙΙΙ. Егер λ0 - V еселі ∆(λ) сипаттамалық анықтауышының нөлі болса, онда λ0 меншікті мәнінің еселігі V-дан аспайды.
Дәлелі:
r - ∆(λ0) анықтауыш матрицасының рангы болсын, онда λ0 меншікті мән еселігі n-r болады.
Екінші жағынан, анықтауыштардың дифференциалдық ережесінен λ=λ0 кезінде (n-r-1) ретке дейінгі ∆(λ) анықтауышының туындылары нөльге тең. Себебі, λ0 - V-ң нөльдік еселігі, онда бұдан қорытындыласақ, n-r-1=v-1; демек, n-r=v.
Егер дербес жағдайда, v=1, онда n-r=1; екінші жағынан, n-r=1, немесе ∆λ0=0, демек, n-r=1 келесі нәтижеге келеміз:
ΙV. Егер λ0 - ∆(λ)сипаттамалық анықтауыштың жай нөлі болса, онда L оператордың λ0 меншікті мәндердің еселігі бірге тең. Меншікті мән жай деп аталады, егер ол ∆(λ)сипаттамалық анықтауыштың жай нөлі болса.
Қосылған функциялар.
l(y) дифференциалдық өрнегі мен Uv(y) формаларының коэффициенттері λ параметрінің аналитикалық функциялары болатын ly=0, Uvy=0,v=1,2,...,n меншікті мәндердегі жалпыланған есепті қарастырайық. λ0 - меншікті мәндер, ал φ(х) - осы есептің сәйкес меншікті функциясы. φ1x,φ2x,...,φk(x) функциялар жүйесі φ(х) функциясына қосылған функцияның тізбегі деп аталады, егер φ0, φ1, ..., φк мұнда, φ0=φ, λ=λ0 кезінде
lφq+11!dldλφq-1+...+1q!dqldλqφ0=0, q=0,...,k (1.9)
дифференциалдық теңдеулер мен
U0φq+11!dUvdλφq-1+...+1q!dqUvdλqφ0= 0, q=0,...,k, v=1,...,n;(1.10)
шарттарын қанағаттандырса. Мұнда, dqldλq дифференциалдық өрнегін, ал dqUvdλq сәйкес l және Uv коэффициенттерінен λ айнымалысы бойынша q ретіндегі туындыларға тең коэффициенттері бар шекаралық форма.
Лемма А: Φ(x,λ) функциясы a=x=b кезінде λ0 нүктесінің кейбір маңайында жинақталатын
Φx,λ=φ0x+φ1xλ-λ0+φ2xλ-λ02+... (1.11 )
дәрежелік қатарға жіктелсін. φ0, φ1, ..., φк функциялары (1.9) және (1.2.10) теңдеулерін қанағаттандыру үшін λ0 a=x=b кезінде әрбір l(Φ) және U1Φ,...,Un(Φ) функцияларының k еселігінің нөлі болу қажетті және жеткілікті.
Дәлелі: (1.9)-ң сол жағы l(Φ) жіктеуінде λ-λ0q кезінде λ-λ0 дәрежесі бойынша коэффициенттке тең; (1.10)-ң сол жағында осыған ұқсас түрде болады.
Лемма Б: φ0, φ1, ..., φк функциялары (1.9) теңдігін қанағаттандырсын, ал Φx,λ функциясы (1.11) формуласымен анықталсын. Егер ly=0 (a=x=b) теңдеуінің шешімі yx,λ - x= a кезінде Φx,λ функциясы қанағаттандыратын бастапқы шарттарды қанағаттандырса, онда yx,λ және Φx,λ функциясының λ-λ0 дәрежесі бойынша алғашқы k+1 мүшесі сәйкес келеді.
Дәлелі: (1.12) шарты бойынша
lyx.λ=0y(q)a,λ=Φ(q)a,λ, q=0,...,n-1 (1.1.12)
Φ(q)a,λ0=φ0(q)(a) болғандықтан, онда дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің жалғыздығы туралы теоремадан yx,λ0=φ0(x). Жіктеудің келесі коэффициенттерінің сәйкес келуі λ бойынша дифференциалданатын (1.12)-ден алынатын қатынастардың көмегімен дәлелденеді.
Салдар: yx.λ функциясы лемма Б-ң шарттарын және сонымен қатар φ0, φ1, ..., φк (1.9) және (1.10) шарттарын қанағаттандырсын. Онда λ0 әрбір U1y,...,Un(y) функцияларының k еселігінің нөлі болады.
φn(x) меншікті функциясының m0 еселігі бар деп айтамыз, егер m0-1 функциядан тұратын оған қосылған функцияның тізбегі бар болса және m0 функциясынан құралған тізбек болмаса.
V. егер λ0 - m еселі Δ(λ) функциясының нөлі болса, онда λ0 -ге жауап беретін кез келген меншікті функцияның еселігі m-нен аспайды.
Дәлелі: φ0(x) - m0 еселігі меншікті функция, k=m0-1 және φ1x,φ2x,...,φk(x) - қосылған функциялардың сәйкес тізбегі болсын.
y1x,λ=y(x,λ), мұнда y(x,λ) - Б леммасының шартын қанағаттандыратын функция болсын. y2x,λ,...,,ynx,λарқылы λ=λ0 нүктесінің аймағында y1x,λ мен бірге ly=0 теңдеу шешімінің фундаменталды жүйесін құратын функцияны белгілейік. Алдыңғы салдардан λ0 сәйкес Δ(λ) анықтауышының k еселігінің нөлі болады. Демек, km, яғни, m0=m.
φ1 максималды еселікті меншікті функция; φ2 - φ1-ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялардың арасында максимал еселікті меншікті функция; φj - φ1,φ2,...,φj-1-ден сызықты тәуелсіз меншікті функциялар арасында максимал еселікті меншікті функция болсын. Осындай функциялардың жалпы саны λ0 меншікті мәндерінің p еселігіне тең екені айқын. mj арқылы φj меншікті функциясының еселігін, ал φj1, φj2,...,φj,mj-1 арқылы қосылған функцияның сәйкес тізбегін белгілейміз. mj сандарының анықтамасынан m1=m2=...=mp шығалы. Алынған φj1, φj2,...,φj,mj-1, j=1,2,...,p функцияның жүйесі меншікті және қосылған функциялардың каноникалық жүйесі деп аталады.
VΙ. m1+m2+...+mp еселіктің қосындысы Δ(λ) функциясының λ0 нөлінің еселігіне тең. m1+m2+...+mp=m.
Дәлелі: yjx,λ - x=a кезінде
φix+φj1xλ-λ0+...+φjmj-1(x)(λ-λ0)m0- 1
функциясы бастапқы шарттарды қанағаттандыратын ly=0 теңдеуінің шешімі болсын және yp+1x,λ,...,ynx,λ функциялары y1x,λ,...,ypx,λ мен бірге λ0 нүктесінің аймағында ly=0 теңдеуінің шешімінің фундаменталды жүйесін құрады. y1x,λ,...,ynx,λ функциясының көмегімен Δ(λ) анықтауышын құрамыз. Себебі, А және Б леммаларынан λ0 i=1,...,p кезінде Δ(λ) анықтауышының i-ші баған элементтернің =mi еселігінің нөлі болғандықтан, онда m=m1+...+mp , мұнда m - Δ(λ)-ң түбірі ретінде λ0 -ң еселігі. Кері теңсіздікті дәлелдеу үшін
Δλ=λ-λ0m1+...+mpΔ1(λ) болсын, және біздің тұжырымға қарамай, Δ1(λ0)=0 . Онда Δ1(λ0) анықтауышының j нөмірі бар бағаны нөмірлері j бағанының сызықты комбинациясы болатындай j бар болады. αj+1,...,αn арқылы осы сызықты комбинацияның сәйкес коэффициенттерін белгілейміз және
yx,λ=yjx,λ-ijαiyi(x,λ)
болсын, мұнда, yix,λ=λ-λ0mj-miyix,λ, ij; Осы кезде біз ip үшін mi=0 деп есептейміз. yx,λ функциясын осылай анықтау кезінде λ0 саны l(yx,λ) функциясының кез келген еселігінің нөлі(бұл ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.