Гильберт кеңістігі ерекшелігі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

«ҰСТАЗ» ИНСТИТУТЫ

Кафедра _ Математика _

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәні: Функционалды анализ

Тақырыбы: Гильберт кеңістігі ерекшелігі. Мысалдар

Білімгер __ Абишова Назерке Тобы М18-3

/Аты-жөні. / /қолы/

Жетекші Мусилимов Б.

/Аты-жөні. / /қолы/

Қорауға жіберілді «__20___» Мамыр 2021_г.

Қорғалды «__27___» Мамыр 2021_г. , бағасы

Комиссия мүшелері: Мусилимов Б. . _

/Аты -жөні/ /қолы/

Сулеймбекова А. О. _

/Аты-жөні/ /қолы/

Тараз - 2021ж.

ТАПСЫРМА

Функционалды анализ пәні бойынша

курстық жобаға, жұмысқа білімгер Абишова Назерке

ТақырыбыГильберт кеңістігі ерекшелігі. Мысалдар.
Тапсырма бойынша арнайы нұсқаулар

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері

Көлемі, %

Орындалу уақыты

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: Гильберт кеңістігі

Көлемі, %: 20%

Орындалу уақыты: 9. 03-12. 03

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: Скалярлық көбейтіндісі

Көлемі, %: 18%

Орындалу уақыты: 15. 03-20. 03

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: Грам-Шмидтің ортогоналдануы

Көлемі, %: 20%

Орындалу уақыты: 23. 03-29. 03

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: Толық және жабық гильберт кеңістігі. Гильберт негізі

Көлемі, %: 15%

Орындалу уақыты: 02. 04-18. 04

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: Гильберт кеңістігінің изоморфизмі

Көлемі, %: 17%

Орындалу уақыты: 24. 04-3. 05

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: Функционалды және әлсіз конвергенция

Көлемі, %: 10%

Орындалу уақыты: 10. 05-20. 05

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: 4. Графикалық материалдар тізімі (сызба масштабын көрсетіңіз)

Көлемі, %:

Орындалу уақыты:

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: 5. Жобаны, жұмысты өрнектеу

Көлемі, %:

Орындалу уақыты:

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері: 6. Қорғау

Көлемі, %:

Орындалу уақыты: 27. 05. 2021ж

Тапсырма “” _ _ ж. № хаттамамен кафедра мәжілісінде бекітілді.

ЖетекшіМусилимов Б.

(аты-жөні, қызметі) (қолы)

Тапсырма орындауға қабылданды «_9_»__Наурыз__2021_ ж.

(білімгердің қолы)

Мазмұны

Кіріспе . . . 4

1. Гильберт кеңістігі

1. 1 Скалярлық көбейтіндісі . . . 6

1. 2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы . . . 8

1. 3 Толық және жабық гильберт кеңістігі. Гильберт негізі . . . 10

1. 4 Гильберт кеңістігінің изоморфизмі . . . 11

1. 5 Функционалды және әлсіз конвергенция . . . 11

Қорытынды . . . 12

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 14

Кіріспе

Гильбертке дейінгі (немесе күрделі евклидтік) кеңістік дегеніміз - H сызықтық кеңістігі (сандар өрісі үстінде), онда скаляр көбейтінді енгізіледі.

Гильберт кеңістігінің мақсаты мен міндеттері: Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:

1) (x, αy) = α (x, y) ;

2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y) ;

3) (x, y) = $\overline{(у, \ х) }$ ;

4) (x, x) > 0 кезінде x $\neq$ 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.

Онда (·, ·) функциясы скаляр көбейтіндісі (немесе ішкі туындысы) деп аталады, ал L кеңістігі - эвклид (R-ден жоғары) немесе унитарлы (C-ден) кеңістік.

Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:

(x, y) $ǀ^{2}$ $\leq$ (x, x) (y, y) .

Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:

ǀǀx + yǀ $ǀ^{2}$ + ǀǀx - yǀ $ǀ^{2}$ = 2ǀǀxǀ $ǀ^{2}$ + 2ǀǀyǀ $ǀ^{2}$ ;

(x + αy, x + αy) = (x, x) + $\overline{\alpha}$ (x, y) + α (y, x) + α $ǀ^{2}$ (y, y) .

4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) > 0 деп есептесек, онда

$\alpha = - \frac{(х, у) }{(у, у) }$

Айтылғанның негізінде:

(х, х) $- \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } - \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } + \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } \geq 0$

Яғни,

$(х, х) (у, у) - ǀ(х, у) ǀ^{2} \geq 0$

Тексеріп көрейік:

$ǀǀ\alpha ǀǀ ≝ (\alpha, \alpha) ^{1/2}$ шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.

Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік

$ǀǀ\alpha + bǀǀ \leq ǀǀ\alpha ǀǀ + ǀǀbǀǀ$

Мына өрнектер тізбегі орын алады:

$ǀǀ\alpha + bǀǀ^{2} = (\alpha + b, \ \alpha + b) = ǀǀ\alpha ǀǀ^{2} + ǀǀbǀǀ^{2} + (\alpha, b) + (b + \alpha) \leq ǀǀ\alpha ǀǀ^{2} + ǀǀbǀǀ^{2} + 2ǀ(\alpha, b) ǀ \leq ǀǀ\alpha ǀǀ^{2} + ǀǀbǀǀ^{2} + 2ǀǀ\alpha ǀǀ\ ǀǀbǀǀ = (ǀǀ\alpha ǀǀ + ǀǀbǀǀ) ^{2}$

Бұл метрикалық бізге Гильбертке дейінгі кеңістікті қарастыруға мүмкіндік береді. Оның толықтығы туралы сұрақ туындайды және біз Гильберт кеңістігінің маңызды тұжырымдамасына келеміз.

1. Гильберт кеңістігі

1. 1 Скалярлық көбейтіндісі

Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:

1) (x, αy) = α (x, y) ;

2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y) ;

3) (x, y) = $\overline{(у, \ х) }$ ;

4) (x, x) > 0 кезінде x $\neq$ 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.

Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:

(x, y) $ǀ^{2}$ $\leq$ (x, x) (y, y) . (1. 1)

Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:

ǀǀx + yǀ $ǀ^{2}$ + ǀǀx - yǀ $ǀ^{2}$ = 2ǀǀxǀ $ǀ^{2}$ + 2ǀǀyǀ $ǀ^{2}$ ; (1. 2)

(x + αy, x + αy) = (x, x) + $\overline{\alpha}$ (x, y) + α (y, x) + α $ǀ^{2}$ (y, y) .

4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) > 0 деп есептесек, онда

$\alpha = - \frac{(х, у) }{(у, у) }$

Айтылғанның негізінде:

(х, х) $- \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } - \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } + \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } \geq 0$

Яғни,

$(х, х) (у, у) - ǀ(х, у) ǀ^{2} \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1. 3)

Тексеріп көрейік:

$ǀǀ\alpha ǀǀ ≝ (\alpha, \alpha) ^{1/2}$ шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.

Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік

$ǀǀ\alpha + bǀǀ \leq ǀǀ\alpha ǀǀ + ǀǀbǀǀ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 4)$

Мына өрнектер тізбегі орын алады:

Анықтама 1: Гильберт кеңістігі H - бұл жоғарыда енгізілген нормаға сәйкес Гильбертке дейінгі кез келген кеңістік.

Көрсетілгендей, Гильбертке дейінгі кеңістікті аяқтаған кезде, сызықтық амалдар мен скаляр кеңістік толықтырылған кеңістікке дейін кеңейтілген және біз Гильберт кеңістігін аламыз.

Гильберт кеңістігін зерттеу кезінде элементтердің ортогоналдылығы ұғымы маңызды болып шығады. Анықтамалар қатарын келтірейін.

Анықтама 2: Гильберт кеңістігінің х және у элементтері Н ортогональ деп аталады, егер (х, у) = 0. Бұл жағдайда біз x ⊥ y-деп жазамыз.

Анықтама 3: Егер x A $\subset$ H жиынының әрбір элементіне ортогональ болса, онда x ⊥ A деп жазамыз.

Анықтама 4: Егер $А_{1}$ ⊂ H жиынының әрбір элементі болса $А_{2}$ ⊂ H жиынының әрбір элементіне ортогональ болады, сонда олар оны $А_{1}$ ⊥ $А_{2}$ деп жазады.

Анықтама 5: Берілген $\varepsilon$ ⊂ H жиынтығына ортогональды барлық элементтердің жиынтығы $\varepsilon$ жиынының ортогональды толықтырушысы деп аталады және $\varepsilon^{┴}$ арқылы белгіленеді.

Параллелограммның теңдігін дәлелдейік:

$ǀǀx\ + \ yǀǀ^{2}\ + \ ǀǀx\ -\ yǀǀ^{2}\ = \ 2\ \lbrack ǀǀxǀǀ^{2}\ + \ 2ǀǀyǀǀ^{2}\rbrack\$

ǀǀx + yǀ $ǀ^{2}$ + ǀǀx - yǀ $ǀ^{2}$ = 2ǀǀxǀ $ǀ^{2}$ + 2ǀǀyǀ $ǀ^{2} + (х, у) + (у, х) - (х, у) - (у, х)$

Пифагор теоремасы да маңызды. x ⊥ y болсын. Онда $ǀǀx\ + \ yǀǀ^{2} = ǀǀxǀǀ^{2}\ + \ ǀǀyǀǀ^{2}$ болады.

Тексеріп көрейік:

$ǀǀx\ + \ yǀǀ^{2} = (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у) = ǀǀxǀǀ^{2}\ + \ ǀǀyǀǀ^{2}$ (1. 6)

Теорема дәлелденді.

Кейде нақты Гильберт пен Гильбертке дейінгі кеңістіктер қарастырылады. Олар түпнұсқа болса алынады сызықтық кеңістік нақты сандар өрісінің үстінде болады және скаляр көбейтінді тек нақты мәндерді алады. Басты күрделі Гильберт кеңістігі үшін осы дәрісте алынған нәтижелер нақтыға да сәйкес келеді. Алайда, егер барлығы төменде басқаша көрсетілмесе, бұл күрделі Гильберт кеңістігі деп түсініледі.

Мысалы , мына кеңістік скалярлық көбейтінді болып табылады:

${\ \ l}_{2}^{n}(R) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{n}{x_{k}y_{k}}$

${\ \ l}_{2}^{n}(C) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{n}{x_{k}y_{k}}$

$l_{2}(R) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{\infty}{x_{k}y_{k}}$

$l_{2}(C) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{\infty}{x_{k}y_{k}}$

Бұл скалярлық көбейтінділер шығаратын нормалар бұрын енгізілгендермен сәйкес келеді.

1. 2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы

Әр эвклид кеңістігінің ортонормальды негізі бар ма? Бұл сұрақтың жауабын анықтамадан тікелей алу мүмкін емес. Сонымен қатар, сұраққа ресми жауап жеткіліксіз, сіз осындай негіздерді таба және құра білуіңіз керек.

Қойылған сұраққа жауап оң болып табылады және ортонормальды негізді кейбір бастапқы негіздерден бастап Грам - Шмидт ортогонализация процесі деп аталатын алгоритмнің көмегімен құруға болады. Осы алгоритмнің қысқаша сипаттамасын берейік.

F = (f1 . . . fn) -өлшемді эвклид кеңістігінде қандай да бір негіз болсын. Осы негізді өзгерту арқылы біз жаңа негіз құрамыз e = (e1 . . . en), ол ортонормальды болады.

X және y векторлары (x, y) = 0 тең болады. Егер (x ⊥ y) -ге ортогональ болса. Кез келген есептелетін сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі {x1, x2, x3, . . . } мүмкін Грам - Шмидт процесі бойынша ортонормаланған:

$y_{1} = x_{1}$ , $z_{1} = \frac{y_{1}}{{ǀǀyǀǀ}_{1}}$