Гильберт кеңістігі ерекшелігі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М.Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ
ҰСТАЗ ИНСТИТУТЫ

Кафедра _Математика_

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәні: Функционалды анализ

Тақырыбы: Гильберт кеңістігі ерекшелігі. Мысалдар

Білімгер __Абишова Назерке______ Тобы _____М18-3_____ ________________
Аты-жөні. қолы
Жетекші__________Мусилимов Б._______________ _______________________
Аты-жөні. қолы

Қорауға жіберілді __20_______Мамыр________2021_г.

Қорғалды __27_______Мамыр____2021_г. , бағасы

Комиссия мүшелері: ___________Мусилимов Б. ______._ ______________________
Аты - жөні қолы

_____Сулеймбекова А.О.________ ______________________
Аты-жөні қолы

Тараз - 2021ж.
ТАПСЫРМА
____________Функционалды анализ____________пәні бойынша
курстық жобаға, жұмысқа білімгер_______Абишова Назерке________________

1. Тақырыбы____Гильберт кеңістігі ерекшелігі. Мысалдар.
2. Тапсырма бойынша арнайы нұсқаулар__________________________ ______

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері
Көлемі, %
Орындалу уақыты
Гильберт кеңістігі
20%
9.03-12.03
Скалярлық көбейтіндісі
18%
15.03-20.03
Грам-Шмидтің ортогоналдануы
20%
23.03-29.03
Толық және жабық гильберт кеңістігі. Гильберт негізі
15%
02.04-18.04
Гильберт кеңістігінің изоморфизмі
17%
24.04-3.05
Функционалды және әлсіз конвергенция
10%
10.05-20.05
4. Графикалық материалдар тізімі (сызба масштабын көрсетіңіз)

5. Жобаны, жұмысты өрнектеу

6. Қорғау

27.05.2021ж

Тапсырма "______"____________ ж. №______ хаттамамен кафедра мәжілісінде бекітілді.
Жетекші___________Мусилимов Б.________________ _______________
(аты-жөні, қызметі) (қолы)
Тапсырма орындауға қабылданды _9___Наурыз__2021_ ж. _____________
(білімгердің қолы)

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1. Гильберт кеңістігі
1.1 Скалярлық көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...8
1.3 Толық және жабық гильберт кеңістігі. Гильберт негізі ... ... ... ... ... ... ... . ..10
1.4 Гильберт кеңістігінің изоморфизмі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.5 Функционалды және әлсіз конвергенция ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...11
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14

Кіріспе
Гильбертке дейінгі (немесе күрделі евклидтік) кеңістік дегеніміз - H сызықтық кеңістігі (сандар өрісі үстінде), онда скаляр көбейтінді енгізіледі.
Гильберт кеңістігінің мақсаты мен міндеттері: Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:
1) (x, αy) = α (x, y);
2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y);
3) (x, y) = (у, х);
4) (x, x) 0 кезінде x != 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.
Онда (·, ·) функциясы скаляр көбейтіндісі (немесе ішкі туындысы) деп аталады, ал L кеңістігі - эвклид (R-ден жоғары) немесе унитарлы (C-ден) кеңістік.
Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:
(x, y)ǀ2 = (x, x) (y, y).
Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:
ǀǀx + yǀǀ2 + ǀǀx - yǀǀ2 = 2ǀǀxǀǀ2 + 2ǀǀyǀǀ2 ;
(x + αy, x + αy) = (x, x) + α (x, y) + α (y, x) + αǀ2 (y, y).
4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) 0 деп есептесек, онда
α=-(х,у)(у,у)
Айтылғанның негізінде:
(х,х)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)+ǀ (х,у)ǀ2(у,у)=0
Яғни,
х,ху,у-ǀ(х,у)ǀ2=0
Тексеріп көрейік:
ǀǀαǀǀ≝(α,α)12 шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.
Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік
ǀǀα+bǀǀ=ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ
Мына өрнектер тізбегі орын алады:
ǀǀα+bǀǀ2=α+b, α+b=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+α,b+b+α=ǀǀαǀǀ2+ǀ ǀbǀǀ2+2ǀα,bǀ=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+2ǀǀαǀǀ ǀǀbǀǀ=(ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ)2
Бұл метрикалық бізге Гильбертке дейінгі кеңістікті қарастыруға мүмкіндік береді. Оның толықтығы туралы сұрақ туындайды және біз Гильберт кеңістігінің маңызды тұжырымдамасына келеміз.

1. Гильберт кеңістігі
1.1 Скалярлық көбейтіндісі
Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:
1) (x, αy) = α (x, y);
2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y);
3) (x, y) = (у, х);
4) (x, x) 0 кезінде x != 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.
Онда (·, ·) функциясы скаляр көбейтіндісі (немесе ішкі туындысы) деп аталады, ал L кеңістігі - эвклид (R-ден жоғары) немесе унитарлы (C-ден) кеңістік.
Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:
(x, y)ǀ2 = (x, x) (y, y). (1.1)
Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:
ǀǀx + yǀǀ2 + ǀǀx - yǀǀ2 = 2ǀǀxǀǀ2 + 2ǀǀyǀǀ2 ; (1.2)
(x + αy, x + αy) = (x, x) + α (x, y) + α (y, x) + αǀ2 (y, y).
4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) 0 деп есептесек, онда
α=-(х,у)(у,у)
Айтылғанның негізінде:
(х,х)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)+ǀ (х,у)ǀ2(у,у)=0
Яғни,
х,ху,у-ǀх,уǀ2=0 (1.3)
Тексеріп көрейік:
ǀǀαǀǀ≝(α,α)12 шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.
Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік
ǀǀα+bǀǀ=ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ (1.4)
Мына өрнектер тізбегі орын алады:
ǀǀα+bǀǀ2=α+b, α+b=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+α,b+b+α=ǀǀαǀǀ2+ǀ ǀbǀǀ2+2ǀα,bǀ=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+2ǀǀαǀǀ ǀǀbǀǀ=(ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ)2 (1.5)
Бұл метрикалық бізге Гильбертке дейінгі кеңістікті қарастыруға мүмкіндік береді. Оның толықтығы туралы сұрақ туындайды және біз Гильберт кеңістігінің маңызды тұжырымдамасына келеміз.
Анықтама 1: Гильберт кеңістігі H - бұл жоғарыда енгізілген нормаға сәйкес Гильбертке дейінгі кез келген кеңістік.
Көрсетілгендей, Гильбертке дейінгі кеңістікті аяқтаған кезде, сызықтық амалдар мен скаляр кеңістік толықтырылған кеңістікке дейін кеңейтілген және біз Гильберт кеңістігін аламыз.
Гильберт кеңістігін зерттеу кезінде элементтердің ортогоналдылығы ұғымы маңызды болып шығады. Анықтамалар қатарын келтірейін.
Анықтама 2: Гильберт кеңістігінің х және у элементтері Н ортогональ деп аталады, егер (х, у) = 0. Бұл жағдайда біз x ⊥ y-деп жазамыз.
Анықтама 3: Егер x A ⊂ H жиынының әрбір элементіне ортогональ болса, онда x ⊥ A деп жазамыз.
Анықтама 4: Егер А1 ⊂ H жиынының әрбір элементі болса А2 ⊂ H жиынының әрбір элементіне ортогональ болады, сонда олар оны А1 ⊥ А2 деп жазады.
Анықтама 5: Берілген ε ⊂ H жиынтығына ортогональды барлық элементтердің жиынтығы ε жиынының ортогональды толықтырушысы деп аталады және ε┴ арқылы белгіленеді.
Параллелограммның теңдігін дәлелдейік:
ǀǀx + yǀǀ2 + ǀǀx - yǀǀ2 = 2 [ǀǀxǀǀ2 + 2ǀǀyǀǀ2]
ǀǀx + yǀǀ2 + ǀǀx - yǀǀ2 = 2ǀǀxǀǀ2 + 2ǀǀyǀǀ2+х,у+у,х-х,у-(у,х)

Пифагор теоремасы да маңызды.x ⊥ y болсын. Онда ǀǀx + yǀǀ2=ǀǀxǀǀ2 + ǀǀyǀǀ2 болады.
Тексеріп көрейік:
ǀǀx + yǀǀ2=х,х+х,у+у,х+(у,у)=ǀǀxǀǀ2 + ǀǀyǀǀ2 (1.6)
Теорема дәлелденді.
Кейде нақты Гильберт пен Гильбертке дейінгі кеңістіктер қарастырылады. Олар түпнұсқа болса алынады сызықтық кеңістік нақты сандар өрісінің үстінде болады және скаляр көбейтінді тек нақты мәндерді алады. Басты күрделі Гильберт кеңістігі үшін осы дәрісте алынған нәтижелер нақтыға да сәйкес келеді. Алайда, егер барлығы төменде басқаша көрсетілмесе, бұл күрделі Гильберт кеңістігі деп түсініледі.
Мысалы, мына кеңістік скалярлық көбейтінді болып табылады:
l2nR:(х,у)=k=1nxkyk
l2nC:(х,у)=k=1nxkyk
l2R:(х,у)=k=1infinityxkyk
l2C:(х,у)=k=1infinityxkyk
Бұл скалярлық көбейтінділер шығаратын нормалар бұрын енгізілгендермен сәйкес келеді.

1.2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы
Әр эвклид кеңістігінің ортонормальды негізі бар ма? Бұл сұрақтың жауабын анықтамадан тікелей алу мүмкін емес. Сонымен қатар, сұраққа ресми жауап жеткіліксіз, сіз осындай негіздерді таба және құра білуіңіз керек.
Қойылған сұраққа жауап оң болып табылады және ортонормальды негізді кейбір бастапқы негіздерден бастап Грам - Шмидт ортогонализация процесі деп аталатын алгоритмнің көмегімен құруға болады. Осы алгоритмнің қысқаша сипаттамасын берейік.
F = (f1 ... fn)-өлшемді эвклид кеңістігінде қандай да бір негіз болсын. Осы негізді өзгерту арқылы біз жаңа негіз құрамыз e = (e1 ... en), ол ортонормальды болады.
X және y векторлары (x, y) = 0 тең болады. Егер (x ⊥ y) -ге ортогональ болса. Кез келген есептелетін сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі {x1, x2, x3, ...} мүмкін Грам - Шмидт процесі бойынша ортонормаланған:
y1=x1, z1=y1ǀǀyǀǀ1
y2=x2=(x2,z1)z1 z2=y2ǀǀyǀǀ2
... ... (1.7)
yn=xn-k=1n-1(xn, zk)zk zn=ynǀǀyǀǀn
Алынған zk векторлары ортонормальды, яғни, (zizj) = δij.
Евклид кеңістігінің нөлдік емес х, у векторлары үшін бұрыш φ = arccos (x,y)ǀǀxǀǀ ǀǀyǀǀ
мәні болады.
Мысал: Соболев кеңістігінде H1 (−1,1) 1, х және х функциялар жүйесін қарастырайық. Скалярлық Н1 көбейтіндісін ортонормалдандырыңыз.
Біріншіден, бұл жүйенің тәуелділігі анық. Шынында да: α1 + βx + γx ≡ 0 ⇔ α1 + (β − γ)x ≡ 0, x 0 и α1 + (β + γ)x ≡ 0, x = 0, яғни, α = 0, β − γ = 0 и β ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.