Сандық қатарлар және оларға қолданылатын кейбір амалдар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 51 бет
Таңдаулыға:

1 Қатарлар

1. 1 Сандық қатарлар

1. 1. 1 Сандық қатарлар және оларға қолданылатын кейбір амалдар

Негізгі ұғымдар.

Анықтама 1. 1. 1. [28] Сандардың мынадай шектеусіз тізбегі берілсін:

$a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}, \ \ldots, \ a_{n}, \ldots$ (1. 1. 1)

Осы сандардан құралған

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} + \ldots$ (1. 1. 2)

символды қатар деп, ал (1. 1. 1) сандардың өзін қатардың мүшелері деп атайды. (1. 1. 2) орнына, қосындының таңбасын пайдаланып, көбінесе былай жазады:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}; }\$ (1. 1. 2а)

$n$ мұнда 1-ден $\infty$ -ке дейін барлық мәндерді қабылдайды.

Қатардың мүшелерін өз ара біртіндеп қосып, (шектеусіз көп) қосындылар құрайық:

$\left. \ \begin{array}{r} S_{1} = a_{1}, \ S_{2} = a_{1} + a_{2}, \ S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}, \ \ldots \\ \ldots, \ S_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}, \ldots; \end{array} \right\}$ (1. 1. 3)

бұларды қатардың дербес қосындылары не кесінділері деп атайды. Дербес қосындылардың осы $\left\{ S_{n} \right\}$ тізбегін біз әрқашан (1. 1. 2) қатарымен салыстырып отырамыз: (1. 1. 2) символдың негізгі ролі осы тізбекті тудыруында.

(1. 1. 2) қатардың дербес қосындысы $S_{n}$ -нің $n \rightarrow \infty$ жағдайдағы ақырлы не ақырсыз шегі $S$ -ны:

$S = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$

қатардың қосындысы деп атайды да, (1. 1. 2) не (1. 1. 2а) символына мағына беріп, оны мына түрде жазады:

$S = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}. }$

Анықтама 1. 1. 2. Егер қатардың шектеулі қосындысы бар болса, онда оны жинақты қатар деп, ал олай болмаса (яғни қосындысы $\pm \infty$ -ке тең болса немесе тіпті қосындысы болмаса) жинақсыз қатар деп атайды.

Мысал 1. 1. 1. Қатардың қосындысын тап $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 3) }$ .

Шешуі. Қатардың жалпы мүшесі:

$a_{n} = \frac{1}{n(n + 3) } = \frac{1}{3} \bullet \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \right) .$

Алынған формуланы қолданып, қатардың $n$ -ші бөлік қосындысын табайық:

$S_{n} = \frac{1}{3}\left( a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} \right) = = \frac{1}{3}\left( \frac{1}{1 \bullet 4} + \frac{1}{2 \bullet 5} + \frac{1}{3 \bullet 6} + \ldots + \frac{1}{(n - 1) (n + 2) } + \frac{1}{n(n + 3) } \right) =$

$= \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 2} \right) + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \right) = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \right) .$

Сонымен,

$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{11}{18}.$

Ендеше, берілген қатар жинақты жəне оның қосындысы $S = \frac{11}{18}$ .

Мысал 1. 1. 2. [17] $a + aq + aq^{2} + \ldots + aq^{n - 1} + \ldots,$ $a \neq 0$ түріндегі қатарды

(геометриялық прогрессия) жинақталыққа зерттеңіз.

Шешуі. Бөлік қосынды:

$S_{n} = \frac{a - aq^{n}}{1 - q} = \frac{a}{1 - q} - \frac{aq^{n}}{1 - q}.$

1) Егер $q < 1 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}q^{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \frac{a}{1 - q}$

2) Егер $q > 1 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\left q^{n} \right = \infty \Rightarrow \frac{a - aq^{n}}{1 - q} \rightarrow \pm \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$ - табылмайды.

3) Егер $q = 1$ , онда

а) $q = 1 \Rightarrow a + a + \ldots + a + \ldots \Rightarrow S_{n} = n \bullet a \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}n \bullet a = \infty$ ( $a > 0$ болса)

б) $q = - 1 \Rightarrow a - a + a - a + \ldots \Rightarrow S_{n} = 0$ , егер $n$ -жұп болса жəне $S_{n} = a$ , егер $n$ -тақ болса, $\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$ - табылмайды.

Сонымен, қатар $\mathbf{}q\mathbf{} < 1$ болғанда ғана жинақты.

Қатардың соңғы мүшелерін лақтырып тастағаннан оның жинақтылығы өзгермейді. Жинақты қатар:

$a = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots$

$b = b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} + \ldots$

үшін келесі теңдіктер орынды:

а) $ca = ca_{1} + ca_{2} + \ldots + ca_{n} + \ldots$ , $c\ -\ const$

б) $a \pm b = \left( a_{1} \pm b_{1} \right) + \left( a_{2} \pm b_{2} \right) + \ldots + \left( a_{n} \pm b_{n} \right) + \ldots$

Сөйтіп, (1. 1. 2) қатардың жинақтылығы жөнінде мәселе, бұл анықтама бойынша, (1. 1. 3) тізбектің шектелу шегі болу туралы мәселемен пара-пар. Керісінше алдын ала қандай да бір

$x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, \ldots, \ x_{n}, \ \ldots$

тізбегін алсақ та, оның шектеулі шегінің болатындығы мынадай қатардың жинақтылық мәселесіне келіп тіреледі:

$x_{1} + \left( x_{2} - x_{1} \right) + \left( x_{3} - x_{2} \right) + \ldots + \left( x_{n} - x_{n - 1} \right) + \ldots$ (1. 1. 4)

ал бұл қатардың дербес қосындылары сол тізбектің мүшелері болып табылады да, қатардың қосындысы мен тізбектің шегі бірдей болады.

Басқаша айтқанда, шектеусіз қатарды және оның қосындысын қарастыру дегеніміз тізбекті және оның шегін оқып үйренудің тек жаңа формасы болмақ. Осымен байланысты шектеусіз қатарлар математикалық анализдегі және оның қолдануларындағы зерттеу ісінің маңызды құралы болып табылады.

Ең қарапайым теоремалар

Анықтама 1. 1. 3. Егер (1. 1. 2) қатардың алдыңғы m мүшесін сызып тастаса, (1. 1. 2) қатардың m-нші мүшесінен кейінгі қалдығы деп аталатын мынадай қатар шығады:

$a_{m + 1} + a_{m + 2} + \ldots + a_{m + k} + \ldots = \sum_{n = m + 1}^{\infty}a_{n}, \ \$ (1. 1. 5)

1º. Егер (1. 1. 2) қатар жинақты болса, онда оның (1. 1. 5) қалдықтарының кез келгені де жинақты болады; керісінше (1. 1. 5) қалдықтың жинақтылығынан бастапқы (1. 1. 2) қатарының жинақтылығы шығады.

m- ді белгілеп алып, (1. 1. 5) қатардың k -дербес қосындысын $S_{k}'$ деп белгілейміз:

$S_{k}' = a_{m + 1} + a_{m + 2} + \ldots + a_{m + k}.$

Сонда, әрине, мынадай болады:

$S_{k}' = S_{m + k} - S_{m}. \ \$ (1. 1. 6)

Егер (1. 1. 2) қатар жинақты болса, демек $S_{n} \rightarrow S$ , онда - k шектеусіз өскенде - $S_{k}'$ қосындысының шектеулі

$S' = S - S_{m}$ (1. 1. 7)

шегі болады, ал мұның өзі (1. 1. 5) қатардың жинақтылығын көрсетеді.

Керісінше, егер (1. 1. 5) қатар жинақталатын болса, демек $S_{k}' \rightarrow S'$ , онда $k = n - m$ деп алып ( $n > m$ болғанда), (1. 1. 6) теңдікті былай қайьа көшіріп жазамыз:

$S_{n} = S_{m} + S_{n - m}';$

бұдан n шектеусіз өскендегі дербес $S_{n}$ қосындының шегі

$S = S_{m} + S'$ (1. 1. 8)

екендігін байқауға болады, яғни (1. 1. 2) қатар жинақты.

Басқаша айтқанда, қатардың саны шектеулі бастапқы мүшелерін алып тастағаннан не оның алдыңғы жағына бірнеше жаңа мүшелерді қосып тіркеп жазғаннан оның (жинақты не жинақсыз болуы жөніндегі) сипаты өзгермейді.

(1. 1. 5) қатар жинақты болса, оның қосындысын $\alpha_{m}$ символымен белгілейміз. Мұндағы $m$ қай мүшеден кейін алғанын көрсетеді. Сонда (1. 1. 8) және (1. 1. 7) өрнектер мына түрде қайта жазылады:

$S = S_{m} + \alpha_{m}, \ \ \alpha_{m} = S - S_{m}$ . (1. 1. 9)

Егер $m$ шексіздікке дейін өссе, онда $S_{m} \rightarrow S$ және $\alpha_{m} \rightarrow 0$ . Сөйтіп:

2º. Егер (1. 1. 2) қатар жинақты болса, онда $m$ өскен сайын $m$ -мүшеден кейінгі қалдықтың қосындысы $\alpha_{m}$ нольге ұмтыла түседі.

Жинақты қатарлардың мынадай қарапайым қасиеттерін де атап өтелік:

3º. Егер жинақты (1. 1. 2) қатардың мүшелерін бір ғана $c$ санына көбейтсе, мұнан оның жинақтылығы бұзылмайды, тек қосындысы сол $c$ санына көбейтіледі.

Шынында да,

$ca_{1} + ca_{2} + \ldots + ca_{n} + \ldots$

қатарының дербес $\overline{S_{n}}$ қосындысы

$\overline{S_{n}} = ca_{1} + ca_{2} + \ldots + ca_{n} = c\left( a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} \right) = cS_{n}$

екендігі және оның шегі $cA$ болатындығы түсінікті.

4º. Жинақты екі қатарды:

$A = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots$

және

$B = b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} + \ldots$

мүшелеп қосуға не азайтуға болады. Одан шыққан

$\left( a_{1} \pm b_{1} \right) + \left( a_{2} \pm b_{2} \right) + \ldots + \left( a_{n} \pm b_{n} \right) + \ldots$

қатары да жинақты және оның қосындысы $A \pm B$ -ге тең болады.

Егер $A_{n}$ , $B_{n}$ және $C_{n}$ арқылы жоғарыда аталған қатарлардың дербес қосындыларын белгілесек, онда

$C_{n} = \left( a_{1} \pm b_{1} \right) + \left( a_{2} \pm b_{2} \right) + \ldots + \left( a_{n} \pm b_{n} \right) = = \left( a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} \right) \pm \left( b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} \right) = A_{n} \pm B_{n}$

екендігі түсінікті. Енді осыдан шек тапсақ,

$\lim_{n \rightarrow \infty}C_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}A_{n} \pm \lim_{n \rightarrow \infty}B_{n}$

шығады да, сонымен теорема дәлелденеді.

5º. Жинақты қатардың жалпы $a_{n}$ мүшесі нольге ұмтылады.

Дәлелдеу: $S_{n}$ -нің (ал онымен бірге $S_{n - 1}$ -дің де) шектеулі $S$ шегі болатындықтан,

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \rightarrow 0$

болады.

Бұл айтылған қорытынды - қатардың жинақты болуының қажетті шарты деп аталады. Егер бұл шарт орындалмаса, онда қатардың жинақты болмайды. Алайда бұл жағдай қатардың жинақты болуының жеткілікті шарты еместігін ескерген жөн. Басқаша айтқанда, ол шарт орындалған жағдайда да қатар жинақсыз болуы мүмкін. Бұған төмендегі қатар мысал бола алады:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}. }$

Мысал 1. 1. 3. $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{3}{7} + \ldots + \frac{n}{2n + 1} + \ldots$ қатары жинақсыз, себебі қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындалмайды: $\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{2n + 1} = \frac{1}{2} \neq 0$ . $\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0$ болу шартынан қатардың жинақты екенi шықпайды.

6º. (1. 1. 2) қатар жинақты және оның қосындысы $S$ болсын. Егер осы қатардың мүшелерінің орнын өзгертпей, кез келген тәсілмен толықтырсақ (мысалы $\left( a_{1} + a_{2} \right) + \left( a_{3} + a_{4} + a_{5} \right) + \ldots$ ), онда алынған жаңа қатар да жинақты және оның қосындысы $S$ санына тең болады. Өйткені, жаңа қатардың дербес қосындылары (1. 1. 2) қатардың дербес қосындыларының жинақты болатын тізбегінің ішкі тізбегі.

1. 1. 2 Оң қатарлардың жинақтылығы

Қатарлар теориясындағы басты сұрақ - қатардың жинақты немесе жинақсыз болатынын білу. Бұл сұрақты әрбір қатарға Коши критерийін қолданып шешуге де болар еді. Бірақ бұл жағдайда берілген қатардың ерекшелігі ескерілуімен бірге, олардың әрбіреуі үшін жұмысты «бос орыннан» қайта бастап отырған болар едік. Сондықтан бізге қатарды жинақтылыққа зерттеудің ыңғайлы жалпы әдістерін білген жөн. Біз мұнда солардың бірнешеуін келтіреміз.

Оң қатардың жинақтылығының шарты. [25] Енді қатардың жинақтылығын не жинақсыздығын тағайындау мәселесін қарастырайық. Мүшелері теріс емес сандар болатын қатарлар үшін бұл мәселе өте жеңіл шешіледі. Мұндай қатарларды қысқаша тек оң қатарлар деп аталады.

Мына қатар

$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots\ \$ (1. 1. 10)

оң болсын, яғни $a_{n} \geq 0$ ( $n = 1, \ 2, \ 3, \ldots$ ) . Сонда

$S_{n + 1} = S_{n} + a_{n + 1} \geq S_{n}$

екендігі түсінікті, яғни $S_{n}$ айнымалы өсіп отыратын, өспелі айнымалы болады. Монотонды айнымалының шегі туралы теореманы еске түсірсек, біз бірден оң қатарлар теориясындағы мына негізгі теоремаға келеміз:

Теорема 1. 1. 1. Оң (1. 1. 10) қатардың әр қашан да қосындысы болады; егер қатардың дербес қосындылары жоғарыдан шектелген болса, бұл қосынды шектеулі (демек, қатр да жинақты) болады, ал бұған қарсы жағдайда ол қосынды шектеусіз (қатар жинақсыз) болады.

Оң қатарлардың жинақтылығының және жинақсыздығының практикалық белгілерінің барлығы сайып келгенде осы қарапайым теоремаға негізделеді. Алайда бұл теореманы тікелей қолдану арқылы тек сирек жағдайларда ғана қатардың қатардың сипатын анықтауға болады.

Қатарларды салыстыру теоремалары. Оң қатардың жинақты не жинақсыздығын көбінесе жинақты не жинақсыздығы алдын ала белгілі қатармен салыстыру арқылы анықтайды. Мұндай салыстыру мынадай қарапайым теоремаға негізделеді.

Теорема 1. 1. 2. Екі оң қатар берілсін дейік

$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots$ (A)

және

$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n} = b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} + \ldots\$ (B)

Егер қандай да бір орыннан бастап (айталық $n > N$ үшін) $a_{n} \leq b_{n}$ теңсіздігі орындалса, онда (В) қатардың жинақтылығынан (А) қатардың жинақтылығы шығады не - бәрібір - (А) қатардың жинақсыздығынан (В) қатардың жинақсыздығы шығады.

Дәлелдеме. Қатардың саны шектеулі бастапқы мүшелерін алып тастағаннан оның сипаты өзгермейтінін еске алып, $a_{n} \leq b_{n}$ теңсіздігі барлық $n = 1, \ 2, \ 3, \ldots$ мәндерінде де орындалады деуімізге болады. Бұл ұйғаруымыз теорманың жалпылық қасиетін бұзбайды. (А) және (В) қатарлардың дербес қосындыларын сәйкес $A_{n}$ және $B_{n}$ арқылы белгілесек,

$A_{n} \leq B_{n}$

болады.

Айталық (В) қатары жинақты болсын, онда, негізгі теорема бойынша, $B_{n}$ қосындылары шектелген болады:

$B_{n} \leq L\ (L = const; n = 1, \ 2, \ 3, \ldots) .$

Алдыңғы теңсіздік бойынша, сөзсіз

$A_{n} \leq L$

болады. Бұдан сол теорема бойынша, (А) қатардың жинақтылығы шығады,

Мысал 1. 1. 4 . Қатарды жинақтылыққа зертте:

$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \ldots + \frac{1}{n^{n}} + \ldots$ (1. 1. 11)

Шешуі. Жинақты (мысал 1. 1. 2, $q = \frac{1}{2}, \ a = 1$ ) болатын

$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} + \ldots$

қатарын қарастыралық, $n \geq 2$ үшін: $\frac{1}{n^{n}} \leq \frac{1}{2^{n}}$ болғандықтан, $\frac{1}{2^{2}} \leq \frac{1}{2^{2}}, \frac{1}{3^{3}} < \frac{1}{2^{3}}, \ldots$ ендеше (1. 1. 11) қатары жинақты.

Практикада кейде бірінші теоремадан шығатен мына теорема қолайрырақ болады:

Теорема 1. 1. 3. Егер мынадай шек:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = K\ \left( b_{n} \neq 0, \ 0 \leq K \leq \infty \right)$

болса, онда $K < \infty$ болғанда (В) қатардың жинақтылығынан (А) қатардың жинақтылығы шығады, ал бірінші қатардың $K > 0$ болғанда жинақсыздығынан екінші қатардың жинақсыздығы туады. (Сонымен, $0 < K < \infty$ болғанда бұл қатарлардың екеуі бірдей не жинақты, не жинақсыз болады. )

Дәлелдеме. Айталық (В) қатар жинақты және $K < \infty$ болсын. Шектің анықтамасы бойынша, кез келген $\varepsilon > 0$ санын алып, жеткілікті үлкен $n$ сандары үшін

$\frac{a_{n}}{b_{n}} < K + \varepsilon,$ бұдан $a_{n} < (K + \varepsilon) b_{n}$

деп алуға болады, жинақты қатарлардың 3º қасиеті бойынша, (В) қатарымен қоса $\sum_{}^{}{(K + \varepsilon) b_{n}}$ қатары да жинақты болады, өйткені бұл соңғы қатар (В) қатарының мүшелерін тұрақты $K + \varepsilon$ санына көбейткеннен шыққан. Осыдан алдыңғы теорема бойынша, (А) қатардың жинақтылығы шығады.

Ал егер (В) қатары жинақталмайтын болса және $K > 0$ болса, онда бұл жағдайда кері $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ ( $a_{n} \neq 0$ ) қатынасының шектеулі шегі болады; ал (А) қатары жинақсыз болуға тиіс, өйткені, егер ол жинақты болса, онда, дәлелдегеніміз бойынша, (В) қатары да жинақты болар еді.