Теңсіздіктерді шешуде мәндес түрлендірулерді пайдалану әдістемесі

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 51 бет
Таңдаулыға:

Академик Е.А. Бөкетов атындағы Қарағанды университеті математика және ақпараттық технологиялар факультеті
Математика және Информатиканы оқыту әдістемесі кафедрасы

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Теңсіздіктерді шешуде мәндес түрлендірулерді пайдалану әдістемесі

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
І. ТЕҢСІЗДІКТЕР ШЕШУДІҢ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРІ
1.1 Теңсіздіктер және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.2 Теңсіздік ұғымының анықтамасын ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілі ... ... ... ... ... ... ... ..
ІІ. ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІҢ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРІ
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілі ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Тенсіздіктердің аналитикалық тәсілі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Теңсіздіктердің синтетикалық тәсілі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын қарсы жору әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5 Қиындығы жоғары теңсіздіктерге туындыны қолдану ... ... ... ... ... ... ..
3 ОРТА МЕКТЕПДЕГІ ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
3.1 Логарифмдік теңсіздіктерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Көрсеткіштік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.3 Бір айнымалылы квадрат теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.4 Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.5 Рационал теңсіздіктер интервалдар әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

КІРІСПЕ
Ел басшысы Н.Ә.Назарбаевтың "Қазақстан экономикалық, әлеуметтік тұрғыдан - "атты Қазақстан халқына Жолдауында XXI ғасырда өз білімін дамыта алмаған ел бір орында тұрғаны анық. Біздің болашағымыздың жоғары технологиялық ғылыми әзірлемелері. өндірістер мен мекемелер үшін біз мамандар қорын құруымыз керек. Қазақстанның жоғары оқу орындары қарапайым стандарттар деңгейінде білім беруге тиіс. Жетекші оқу орындарының дипломдары бүкіл әлемде танылуы тиіс. Олар мұны істеуге міндетті. Бірақ бәрі мектептен басталады " - деген.
Мектеп-бұл оқушының жеке басы мен санасының дамуы қуатты болатын ерекше құнды, ерекше кезең, өйткені дәл осы мектепте болашақтың, сауатты және сау адамның әртүрлі қасиеттері қалыптасады.
Сондықтан балалардағы математикалық білімді дамытудың бір әдісі-мәселені тұжырымдау. Мәселені тұжырымдау оқушылардың логикалық ойлауын теориялық тәжірибемен, оқумен өмірмен байланыстыруға, математикалық ұғымдарды қалыптастыруға және т.б. мүмкіндік береді. мәселені тұжырымдау арқылы балалар танымдық және тәрбиелік тұрғыдан маңызды факторлармен танысады.
Зерттеу мақсаты: - математика сабақтарындағы теңсіздіктерді стандартты және стандартты емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ойлауын дамыту әдістемесін ғылыми негіздеу және әзірлеу.
Зерттеудің өзектілігі: - егер оқушылардың ойлау қабілеті стандартты және стандартты емес тәсілдермен теңсіздіктерді дәлелдеу арқылы дамитын болса, онда олардың математика бойынша білім деңгейі артады, өйткені пәнге қызығушылық қалыптасады .
Зерттеудің ғылыми жаңалығы: - математика сабағындағы теңсіз-діктерді стандартты және стандартты емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ойлауын дамыту жолдары мен әдістерін ғылыми негіздеу.
Зерттеу нысаны-оқушылардың математиканы оқыту процесі.
Зерттеу пәні-математика сабағындағы теңсіздіктерді стандартты және стандартты емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ойлауын дамыту жолдары мен әдістері.
Зерттеу міндеттері -
1. зерттеу тақырыбымен байланысты әдебиеттермен танысу және оларға ғылыми-әдістемелік шолу беру;
2. Математика сабағындағы теңсіздіктерді стандартты және стандартты емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ойлау қабілетін дамыту мүмкіндіктерін дамыту;
3.математика сабағындағы теңсіздіктерді стандартты және стандартты емес тәсілдермен дәлелдеу арқылы оқушылардың ойлауын дамытудың әдістемесі мен тиімділігін тексеру.
Зерттеудің практикалық құндылығы келесілерден тұрады: - Математиканы оқыту; пәндерді оқыту әдістемесін жетілдіру; арнайы курстарда, студенттердің педагогикалық практикасында көмекші құрал ретінде математика мамандығы студенттерінің математиканы оқыту әдістемесін қолдану.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: кіріспеден, үш негізгі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

І. ТЕҢСІЗДІКТЕР ШЕШУДІҢ СТАНДАРТ ТӘСІЛДЕРІ
1.1 теңсіздіктер және олардың қасиеттері
Теңсіздіктер келесі белгілердің біреуін (үлкен), (үлкен немесе тең; кем емес), (Кіші), (Кіші немесе тең; Көп емес), 0 (теңсіздік) құрайтын екі өрнек (сандар) теңсіздіктер деп аталады.
Екі жағы бірдей алгебралық өрнектер болып табылатын теңсіздіктер алгебралық теңсіздіктер деп аталады.
Мына теңсіздіктер жұбы және және және және қарама-қырсы мағынадағы теңсіздіктер деп аталады.
Ал мына теңсіздіктер жұбы және және және және бірдей мағынадағы теңсіздіктер деп аталады.
Мысалы, 8 4 және 9 6 - бірдей мәні бар теңсіздіктер, , ал және қарама-қарсы мәні бар теңсіздіктер.
Мұнда және белгілер қатаң деп аталады, ал ал және белгілер қатаң емес теңсіздіктер деп аталады.
Нақты сандар өрісі тапсырыс беру қасиетіне ие: кез-келген екі нақты санның біреуі екіншісінен үлкен немесе оған тең немесе одан аз. Бұл қатыстыларды таңбаларымен анықтайды. Егер нақты сандар болса, онда олардың арасында осы қатынастардың біреуі ғана орындалады.
қатыстарын теңсіздіктер дейді. ол теңсіздіктің мүшелері делінеді. деген, мен -ның айырымы оң сан, деген мен -ның айырымы теріс сан деген сөз. мен теңсіздіктерін бір мағыналы, ал мен теңсіздіктерін қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер дейді. Олар қатаң теңсіздіктер болады.
Олармен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастыры-лады.
теңсіздігі болғанда да, болғанда да дұрыс, ал болғанда дұрыс емес. , екі теңсіздіктің орнына немесе қос теңсіздігін пайдалануға болады. Сандық теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар:
Егер болса, онда болады. Бұл теңсіздіктің қайтымсыздық қасиеті.
Егер болса, онда кез келген үшін болады.
Егер болса, онда болады. (Бұл теңсіздіктің транзитивтік қасиеті).
Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда кез келген үшін ал үшін болады.
Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда болады.
Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады. Керісінше болғанда болса, онда болады.
Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
Егер болса, онда кез келген натурал сан үшін болады.
Сан модуліне арналған кейбір теңсіздіктерді дәлелдейік.
Кез келген саны үшін болады.
Шешуі: болса, онда ал болса, онда
болатындықтан қатаң теңсіздігі орындалады. Сонымен
болған екі жағдай үшін болады.
Кез келген және сандары үшін болады.
Шешуі: 13 бойынша болады, оларды қоссақ 5
қасиет бойынша: болып шығады. Ал,
болғандықтан, қоссақ .
Сонда мен -ден болады. Мұндағы
теңдік болғанда орын алады.
15. Кез келген және сандары үшін болады.
Шешуі: болады. Бұған 14 пайдалансақ:
, бұдан .
Екі нақты санды өзара салыстыру үшін түрлі әдістер қолданылады.
Егер екі бүтін сан берілсе, онда олардың қайсысының екіншісінен үлкен не кіші екенін ажырату тікелей анықталады.
Екі бөлшек сандарды салыстыру үшін, олардың не алымдарын, не бөлімдерін бірдей күйге келтіру керек.
және бөлшектерін ортақ бөлімге келтірсек және
болса, онда болар еді де, қысқартқаннан соң
болып шығады.
1-мысал. және бөлшектерін салыстыру үшін, ортақ бөлімге
келтіреміз және . болғандықтан , бұдан
болады.
3. Түбірлерді (радикалдарды) салыстыру үшін, түбірлердің дәрежелерін теңестіріп, түбір астындағы санды салыстыру керек.
Мәселен, болса, мына және күйге келтіріп болса, онда болады да, болып шығады.
2-мысал. түбірлерін салыстыру үшін, түбір дәрежелерін,
тең күйге келтіреміз. Сонда болып
болғандықтан , бұдан болып
шығады.
Логарифмді салыстырғанда мыналарды ескеру керек:
а) болғанда, егер болса, болады.
б) болғанда, егер болса болады.
3-мысал.
Бірінші теңсіздікте , екінші теңсіздікте
4-мысал. . Егер деп жорысақ, онда болар еді. Түрлендірсек болар еді.
Бұл теңсіздік дұрыс емес, сондықтан Дәл осы есепті былайша да салыстыруға болады, әр түбірді жеке-жеке бағалаймыз:

Бұдан қай түбірлер қосындысының үлкен екендігі байқалмайды. Өйткені 6 мен 8-дің арасында жатқан сан 7 мен 9-дың арасында жатқан саннан кіші болады деуге болмайды. Мәселен, бірінші 7,9 екіншісі 7,5 болуы мүмкін. Сондықтан, енді ол қосылғыштарды 0,1 дәлдікте бағалаймыз.

Бұдан екінші қосылғыштың көп екені көрінеді, оның аз мәнінің өзі бірінші қосылғыштың артығымен алынған мәнінен көп болып кетті:
Сонымен
5-мысал. және сандарын салыстыру
керек:
Ал,
Сонымен мен аралықта жатыр екен. аралықтың қақ ортасы . Берілген сандар немесе аралықтың қайсысында жататынын анықтаймыз:
дейік, онда
Бұл дұрыс теңсіздік. Сондықтан яғни аралықта жатады екен.
Енді дейік, онда Бұл дұрыс емес теңсіздік. Сондықтан Сонымен
болып шығады.
6-мысал. және сандарын салыстырыңдар:

және алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнегінің сан мәні сол сандарға сай келетін өрнегінің сан мәнінен үлкен (кіші) болатын болса, теңсіздігі жиынында теңбе-тең теңсіздік делінеді.
Мысалы: теңсіздігі нақты сандар жиынында теңбе-тең теңсіздік болады, өйткені -тың кез келген нақты мәнінде бұл теңсіздік дұрыс теңсіздік.
Егер жиыны берілмесе, онда теңбе-тең теңсіздік ол теңсіздікке кіретін өрнектердегі мүмкін мәндері жиынында қарастырылады.
Алгебралық өрнектерде де қатаң теңсіздіктермен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастырылады. Қатаң емес теңсіздікте бұл өрнектердің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнектерінің сан мәндері не тең, не -ның сан мәні -ның сан мәнінен үлкен деп түсіну керек.
Теңбе-тең теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар.
алгебралық өрнектерінің мүмкін мәндері облысынан алынған жиынында:
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады.
болса, онда болады. -натурал сан.
болса, онда болады. -натурал сан.
болса, онда болады. -натурал сан.
болса, онда болады. -натурал сан.
болса, онда болады. -натурал сан.
болса, онда болады. -натурал сан.
Бұл келтірілген қасиеттер теңсіздіктері үшін де дұрыс. Көптеген жағдайда теңсіздіктердің берілген жиынында немесе ол теңсіздіктерге кіретін алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері жиыны облысында теңсіздіктердің дұрыс, не қате екенін дәлелдеуге тура келеді.
Дәлелдеу түрлі жолмен іске асады. Ол жолдардың кейбіреулеріне мысалдар келтірейік.

1.2 Теңсіздік ұғымының анықтамасын
Теңсіздіктің анықтамасы бойынша болу ұшін болуы жеткілікті. Сондықтан және алгебра-лық өрнектері үшін екенін көрсету үшін айнымалылар-дың қарастырылып отырған жиыннан алынатын кезкелген сан мәндері үшін екенін дәлелдеу керек.
1-мысал. Таңбалас кез келген екі нақты санның бір-біріне қатынастарының қосындысы 2 -ден кем болмайтындығын ,яғни болса, онда болатындығын дәлелдеңіздер?
Шешуі: Мына айырымды қарастырамыз.

Бұл өрнек болса оң, ал болса нөлге тең. Сондықтан дұрыс теңсіздік.
2-мысал. Екі оң нақты санның арифметикалық ортасы, сол сандардың геометриялық ортасынан кем болмайды, яғни болса, онда болады(Коши теңсіздігі).
Шешуі. Айырымын қарастырамыз.

Соңғы өрнек кез келген сандары үшін оң, ал болса нөл. Сондықтан теңсіздік дұрыс.
3-мысал. Оң сан үшін болатындығын шешіңіз.
Шешуі Айырымы
Бұл кез келген үшін оң сан. Сондықтан теңсіздік дұрыс. Тепе-теңдік тек болғанда орындалады.
4-мысал. теңсіздігін дәлелдеңіздер.
Шешуі. Айырма

кезкелген нақты сан үшін оң сан болады. Сондықтан, дұрыс теңсіздік.
5-мысал. Кез келген оң сандар үшін теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеңіздер.
Шешуі. Айырым

Бұл кез келген үшін оң сан. Сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.

Берілген сандар жиынында қарастырылатын теңсіздіктің екі жағының да сандық мағынасы болатын теңсіздіктің құрамына енетін әріптердің мүмкін мәндерін теңсіздіктің мүмкін мәндері деп атайды.
Мысал-1. Теңсіздіктің мүмкін мәндерін табыңдар: .
Шешуі. Егер яғни болса, онда теңсіздіктің сол жағының мағынасы болады. Егер болса, теңсіздіктің оң жағының мағынасы болады.
Жауабы: Теңсіздіктегі әріптердің мүмкін мәндері:
Теңсіздіктің құрамына енетін әріптердің барлық мүмкін мәндерінде дұрыс болатын теңсіздіктерді теңбе-тең теңсіздіктер деп атайды.
Анықтама . Егер болса, онда саны санынан үлкен (кіші) деп атайды. Оларды сәйкесінше былай жазады: .

1.3 Теңсіздіктің қасиеті
Теңсіздіктердің негізгі қасиеттері төмендегі теоремалар арқылы өрнектеледі.
Теорема 1. Егер болса, онда болады (қайтымсыздық қасиеті).
Шешуі: Айталық болсын, онда болады. Сонда - ға қарама-қарсы сан теріс таңбалы сан болады, яғни бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы дәлелденді.
Теорема 2. Егер және болса, онда болады (транзитивтік қасиеті).
Шешуі: Шарт бойынша - оң таңбалы сан, және - оң таңбалы сан; олардың қосындысы саны да оң таңбалы. Демек, (анықтама бойынша).
Теорема 3. Егер болса, онда болады.
Шешуі: Айталық, яғни болсын. Сонда бұдан болатындығы айқын.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Теңбе-тең теңсіздіктің мүшелерін оның бір жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбамен шығаруға болады.
Теорема 4. Егер және болса, онда болады.
Шешуі: Айталық, , яғни және болатындықтан, екі оң санның көбейтіндісі де оң сан болады, яғни бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Егер және болса, онда болады.
Теорема 5. Егер және болса, онда болады.
Шешуі: Айталық, яғни, және болатындықтан, оң таңбалы сан мен теріс таңбалы санның көбейтіндісі теріс таңбалы сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Салдар. Егер және болса, болады.
Теорема 6. Егер және болса, онда болады, яғни бірдей мағыналы теңсіздіктерді қосқанда сондай мағыналы теңсіздік шығады.
Шешуі: Айталық, және , яғни және болсын. Сонда екі оң таңбалы санның қосындысы да оң таңбалы сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Теорема 7. Егер және болса, онда болады, яғни қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктерді алғанда шегеретін азайғыш теңсіздікпен мағыналас теңсіздік шығады.
Шешуі: Айталық, және яғни және яғни болсын. Сонда екі оң таңбалы санның қосындысы да оң сан болатындықтан, бұдан болады.
Сонымен, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығы да дәлелденді.
Теорема 8. Егер және мұнда , , , болса, онда болады, яғни мүшелері оң бірдей мағыналы теңсіздіктерді көбейткенде сондай мағыналы теңсіздік шығады.
Шешуі: теңсіздігінің екі жағында бірдей -ға көбейтіп табатынымыз:
теңсіздігінің екі жағында бірдей -ға көбейтіп табатынымыз:

Транзитивтік қасиет бойынша
Теорема 9. Егер және мұнда , , , болса, онда болады, яғни мүшелері оң қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктерді мүшелеп бөлгенде бөлгіш теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Шешуі: Шынында да, өйткені ,яғни болатындықтан, яғни және екі оң таңбалы санның көбейтіндісі ретінде болады, олай болса, бұдан болады.
Теорема 10. Егер мұндағы , және - натурал сан болса, онда болады, яғни мүшелері оң теңсіздіктің екі жағында бірдей натурал дәрежеге шығарғанда берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Шешуі: Расында да, теңсіздіктің бұл қасиетінің дұрыстығына мағыналас теңсіздіктерді өзара мүшелеп рет көбейту арқылы көз жеткізуге болады.
Теорема 11. Егер мұндағы , және - натурал сан болса, онда болады, яғни мүшелері оң теңсіздіктің екі жағынан бірдей натурал көрсеткішті түбір тапқанда, берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.
Теореманың дұрыстығы қарсы жору әдісімен оп-оңай дәлелденеді [82].
Теңсіздіктерді бұл тәсіл бойынша дәлелдеу артық және кіші ұғымдарының тікелей анықтамасына негізделген және теңсіздіктің сол жағы мен оң жағында тұрған айырманың таңбасын анықтауға арналған.
Бұл тәсіл бойынша теңсіздігін дәлелдеудің орнына берілген теңсіздіктің мүмкін мәндеріне теңсіздігінің орындалатындығын көрсету жеткілікті. Ал, теңсіздігін дәлелдеудің орнына сәйкес теңсіздігін дәлелдеу қажет.
Сонымен, бұл тәсіл бойынша немесе теңсіздігінің ақиқаттығын көрсету үшін айырмасын құрып, оның таңбасын зерттеу қажет. Сонда, егер онда ал егер болса, онда болады.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. теңсіздігін шешіңіз.
Шешуі. . Олай болса, берілген теңсіздік кез келген үшін орындалады.
.
2-мысал. Кез келген және сандары үшін теңсіздігі орындалатынын шешіңіз.
Шешуі: болғандықтан, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
3-мысал. Егер , болса, онда теңсіздігі орындалатынын шешіңіз.
Шешуі: Анықтама бойынша, егер болса, онда теңсіздігінің ақиқаттығы шығады:
.
4-мысал. Барлық және үшін теңсіздігінің орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Айырманың таңбасын анықтайық: . Сонда , болғандықтан, бұл бөлшектің теріс таңбалы емес екендігі айқын. Олай болса, егер , болса, онда және , демек, теңсіздігі орындалады.
5-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: , мұндағы .
Шешуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:

,
бұл айырма болғанда, теріс таңбалы емес. Сондықтан теңсіздіктің анықтамасы бойынша теңсіздігі ақиқат.
6-мысал. Кез келген нақты ,, сандары үшін теңсіздігінің орындалатынын шешіңіз.
Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын да бірдей 2-ге көбейтіп, сондағы шыққан айырманы қарастырайық:
.
Олай болса, .
7-мысал. болғанда, теңсіздігі орындалатынын шешіңіз.
Шешуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз: .
Сонда , болғандықтан, бұл айырма теріс таңбалы емес. Сондықтан берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
8-мысал. Коши теңсіздігін шешіңіз: , мұндағы , (оң сандардың арифметикалық ортасы олардың геометриялық ортасынан кем емес).
Шешуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда , болғанда, болатындықтан, бұл айырма оң таңбалы, яғни теріс таңбалы емес. Сондықтан берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
9-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: екендігін ескеріп, айырманың таңбасын анықтаймыз:
.
Сонда , болғандықтан, бұл айырма оң таңбалы, олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
10-мысал. Теңсіздікті шешіңіз:
.
Шешуі: Теңсіздіктің айырымын деп белгілеп, оның таңбасын қарастырамыз:
.
Сонда , , , болғандықтан, бұл айырма оң таңбалы, олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.
11-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Айырманың таңбасын қарастырамыз:

.
Сонда болғандықтан, бұл айырма теріс таңбалы емес. Олай болса, берілген теңсіздік анықтама бойынша дұрыс.

ІІ. ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІҢ СТАНДАРТ ЕМЕС ТӘСІЛДЕРІ
2.1 Теңсіздікті оның мүшелерін жуықтап бағалау тәсілі
Бұл әдісті кейде теңсіздікті күшейту немесе бәсеңдету әдісімен дәлелдеу деп те атайды. Бұл әдісте берілген теңсіздіктің мүшелерін жоғарыдан немесе төменнен бағалау арқылы дәлелдейді. Айталық, бізге теңсіздігін дәлелдеу керек болсын. Сонда егер де біз және теңсіздіктерін дәлелдей алсақ, онда теңсіздіктің транзитивті қасиеті бойынша теңсіздігі дәлелденген болып шығады. Бұл әдісті теңсіздікті күшейту әдісімен дәлелдеу деп атайды.
1-мысал. Кез келген үшін теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: екендігін ескеріп, теңсіздіктің сол жағын бағалаймыз: - еселігі -ге тең геометриялық прогрессияның мүшесінің қосындысы. Оның қосындысы мынаған тең: екені белгілі.
Сонда болғандықтан, кез келген үшін .

2-мысал. Теңсіздіктің дұрыстығын шешіңіз: .
Шешуі: теңдігін пайдаланып табатынымыз:

.
Сөйтіп, теңсіздігінің дұрыстығы дәлелденді.

3-мысал. Кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: екені айқын. Сондықтан
.
Олай болса, теңсіздігі ақиқат.

4-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: ; болсын. екені айқын. Сонда . Бұдан .

5-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: , ,..., . Осы теңсіздіктерді мүшелеп қосып табатынымыз: .

6-мысал. және шарттарын қанағаттандыратын кез келген нақты ,,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Теңсіздікті күшейту әдісі арқылы дәлелдейік. Модульдің қасиеті мен Коши теңсіздігін қолданып табатынымыз:
.
.
7-мысал. Егер болса, онда теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Коши теңсіздігін қолданып, берілген теңсіздікке енетін әрбір түбірді бағалаймыз:
.
Осы сияқты, , .
Осы теңсіздіктерді мүшелеп қосып табатынымыз:
.
Берілген теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеу үшін соңғы теңсіздікте теңдік белгісінің орындалмайтындығын көрсетуіміз қажет.
Шынында да, теңдік белгісі мына теңдіктер бір мезгілде орындалған жағдайда ғана болуы мүмкін: , , , яғни , , болғанда.
Онда шарты орындалмайды.
Сөйтіп, , дәлелдеу керегі де осы еді.
.
8-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: , болсын. Сонда , ,..., болатындықтан . Олай болса, .

9-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Әрбір қосылғыштың бөліміндегі иррационалдықты жойып табатынымыз:

.

10-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: , мұндағы , .
Шешуі: Дұрыс бөлшектің қасиетін пайдаланып табатынымыз:
.

Теңсіздікті бәсеңдету тәсілімен дәлелдеу деп берілген теңсіздіктен оған қарағанда бәсең теңсіздікке көшу әдісін айтады. Айталық, бізге теңсіздігін дәлелдеу керек болсын. Сонда егер де біз және теңсіздіктерінің дұрыстығын көрсете алсақ, онда теңсіздіктің транзитивті қасиеті бойынша теңсіздігі дәлелденген болып шығады.
Енді осы әдіске мысалдар келтірейік.
11-мысал. Енді біз жоғарыдағы қарастырылған 6-мысалды бәсеңдету әдісі арқылы дәлелдейік.
Есептің шарты бойынша және екенін ескеріп, мынаны табамыз: , өйткені ,,,-ның кез келген нақты мәндерінде өрнегі тек теріс емес мәндер қабылдайды. Соңғы арақатыстан екені шығады.
.
12-мысал. Егер , , болса, онда болатындығын шешіңіз..
Шешуі: Анығырақ болу үшін болсын. , деп белгілейік.
екенін ескереміз, бұдан . Сонда берілген теңсіздік мынадай түрге келеді:
.

13-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Есептің шарты бойынша: .
Сонда болатындықтан, теңсіздігі орындалады.

14-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Теңсіздіктің сол жағында тұрған өрнекті түрлендіріп табатынымыз:

.
Сонда болатындықтан, , олай болса, болады.

15-мысал. Кез келген натурал саны үшін теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Кез келген натурал саны үшін болатындықтан,

.

16-мысал. болатынын шешіңіз.
Шешуі: Бөлшектің бөлімі артқан сайын, оның шамасы кіші болатындықтан, .
.
Рационал сандарды салыстыру үшін теңсіздіктің екі бөлігін де 1 санынан азайту әдісін қолданған тиімді.
Көптеген жағдайларда теңсіздіктің екі бөлігін өз алдына түрлендіріп, ықшамдап алғаннан кейін, олардың екі бөлігін жеке-жеке 1-ден шегеріп, сондағы шыққан нәтижені салыстыру арқылы дәлелдейді. Сонда соңғы теңсіздіктің қай бөлігі кіші болып шықса, бастапқы берілген теңсіздіктің сол бөлігі үлкен болып шығады.
Енді осы әдіске мысалдар келтірейік.

17-мысал. және сандарын салыстыру керек.
Шешуі: Әрине, бұл сандарды ортақ бөлімге келтіріп алып, салыстыруға болады. Ал бұл жұмысты калькуляторсыз орындау өте күрделі. Дегенмен, есепті жеңіл жолмен шешуге болады. Ол үшін берілген сандарды 1-мен салыстыру керек. Сонда , және болғандықтан, теңсіздігі орындалады.
Жауабы: .
18-мысал. Қай бөлшек бірлікке жақын: дұрыс бөлшек немесе бұрыс
бөлшек (, ) ?
Шешуі: Айталық болсын. Сонда , бұдан .
Демек, бірлікке бұрыс бөлшек жақын.
Жауабы: Бұрыс бөлшек.
Кейде екі шаманы өзара салыстыру үшін олардың қатынасының неге тең екенін қарастырған тиімді. Мысалы, А және В шамаларын салыстыру үшін олардың қатынасы -ны табамыз. Сонда болса, онда , ал болса, онда болып шығады. Енді осы әдіске мысалдар қарастырайық.
19-мысал. Мына сандардың қайсысы үлкен: немесе ?
Шешуі: Екінші санның біріншісінен артық екенін дәлелдейік. Ол үшін бірінші санның екінші санға қатынасын қарастырамыз.
Бұл қатынасты былайша түрлендіруге болады:

.
Сонымен, біз қатынастың әрқайсысы бірден кіші болатын екі санның көбейтіндісіне тең екенін көреміз. Демек, қатынастың өзі бірден кіші болады.
Жауабы: Екінші сан біріншісінен үлкен.
20-мысал. Мына сандардың қайсысы үлкен: немесе ?
Шешуі: Бірінші санды екінші санға бөліп табатынымыз: .
Демек, бірінші сан үлкен.
Жауабы: Бірінші сан.
21-мысал. және сандарының қайсысы үлкен?
Шешуі: Берілген сандардың екеуі де оң таңбалы екендігін ескеріп, олардың қатынасын қарастырайық: , бірақ , өйткені , яғни . Олай болса, [82].
Жауабы: .
2.2 Тенсіздіктерді аналитикалық тәсілі

Теңсіздіктерді бұл тәсілмен дәлелдегенде берілген теңсіздікті дұрыс деп ұйғарып, теңсіздіктердің негізгі қасиеттеріне сүйене отырып, оны дұрыстығына күмән келтірмейтін түрге келтіреді. Одан кейін соңғы теңсіздіктен бастапқы берілген теңсіздікті шығарып алады. Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Кез келген оң ,, сандары үшін теңсіздігінің орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Теңсіздікті дұрыс деп жорып, жақшаларды ашайық:
; .
Бұл дұрыс теңсіздік. Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.

2-мысал. , және болсын. Мынаны шешіңіз: .
Шешуі: Есептің шарты бойынша алатынымыз:
.

3-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Берілген теңсіздік мына теңсіздікке мәндес:
.
Сонда бұл теңсіздік дұрыс, өйткені , , болатындықтан, . Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.

4-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: , (, , ).
Шешуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазамыз:
, немесе , немесе
.
Бұл дұрыс теңсіздік, өйткені егер , болса, онда теңсіздігі орындалады. Теңдік белгісі болғанда ғана орындалады.

5-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Алатынымыз:
.
Сондықтан .
.
6-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Дәлелденілуге тиісті теңсіздік оның екі жағын да бірдей 2-ге көбейткен соң мынадай түрде келеді:
, немесе , немесе .
Бұл теңсіздіктің орындалуы ақиқат.
Теңдік белгісі тек болғанда ғана орындалады.

7-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: Есептің шарты бойынша:
.

8-мысал. Айталық, ,, - әртүрлі оң сандар болсын. теңсіздігінің тура болатындығын шешіңіз.
Шешуі: Расында да, берілген теңсіздікті былай жазуға болады:
.
Сонда өзара кері екі оң санның қосындысы екіден артық болатындықтан, соңғы теңсіздіктің орындалатындығы ақиқат.
9-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: , (, ).
Шешуі: Теңсіздіктің екі жағында бірдей квадрат дәрежеге шығарып табатынымыз:
, бұдан .
Екі оң санның көбейтіндісі оң сан болатындықтан, бұл теңсіздік дұрыс. Олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.

10-мысал. Егер , , болса, онда
теңсіздігі орындалатынын шешіңіз.
Шешуі: Алатынымыз:

.
Сонда өзара кері екі оң санның қосындысы 2-ге тең не одан артық болатындықтан, бұл теңсіздік дұрыс, олай болса, берілген теңсіздік те дұрыс.

2.3 Теңсіздіктерді синтетикалық тәсілі.

Бұл тәсілді кейде тірек теңсіздіктер тәсілі деп те атайды. Бұл - берілген теңсіздікті қандай да бар ақиқат теңсіздіктің немесе алдын ала дәлелденген теңсіздіктердің көмегі арқылы дәлелдеу тәсілі. Осындай көмекші теңсіздіктерді тірек теңсіздіктер деп атайды. Мысалы, , , (, ); , () өрнектерін тірек теңсіздіктер ретінде қарастыруға болады.
Енді осы тәсілге бірнеше мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Әрбір теріс емес ,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Тірек теңсіздіктер ретінде ; ; теңсіздіктерін аламыз. Бұларды мүшелеп көбейту арқылы дәлелдеуге тиісті жоғарыдағы теңсіздікті шығарып аламыз:
.
2-мысал. Әрбір теріс емес ,, сандары үшін теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Мұнда тірек теңсіздіктер ретінде теңсіздіктерін аламыз. Оларды мүшелеп қосып: теңсіздігін аламыз. Соңғы теңсіздіктің екі жақ бөлігіне де 3-ті қосу арқылы немесе теңсіздігін аламыз. Осыдан теңсіздігі шығады.
3-мысал. Егер болса, онда екенін шешіңіз.
Шешуі: Ақиқат теңсіздікті түрлендіріп табатынымыз: . Теңсіздіктің екі жағында бірдей -ға бөліп анықтайтынымыз: .
Мұнда болғанда берілген теңсіздіктің мына теңсіздікке мәндес екенін ескертеміз.
4-мысал. Егер ,, болса, онда теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Егер , болса, онда , болатындығы айқын. Осы теңсіздікке сүйеніп мынаны табамыз:
.

5-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: болсын, сонда . Бұдан
екені айқын.
Осы теңсіздіктің екі жағында бірдей - ге бөліп, дәлелденілуге тиіс теңсіздікті шығарып аламыз.

6-мысал. Теңсіздікті шешіңіз: .
Шешуі: , теңсіздігін қолданып, табатынымыз:

.

7-мысал. Теңсіздікті шешіңіз:
, мұндағы , , .
Шешуі: Кез келген саны үшін екені белгілі. Сондықтан
.

8-мысал. Егер болса, онда теңсіздігі орындалатындығын шешіңіз.
Шешуі: Мұнда тірек теңсіздігі ретінде теңсіздігін алып, мынаны табамыз: .

9-мысал. кез келген нақты сан болғанда болатынын шешіңіз:
Шешуі: Теңсіздіктің сол жақ бөлігін түрлендіреміз, одан кейін өзара кері екі оң санның қосындысының қасиетін пайдаланамыз:
.

10-мысал. Кез келген мен натурал сандары үшін теңсіздігінің тура болатынын шешіңіз.
Шешуі: , натурал сандары үшін , теңсіздіктерінің орындалатындығы айқын. Бұдан бірінші теңсіздікті-ға, ал екінші теңсіздікті -ға көбейтсек, , болады. Соңғы екі теңсіздікті мүшелеп қосқанда мынау шығады: .
Дербес жағдайда , болғанда, не , болғанда болады.
Олай болса, кез келген натурал сан мен үшін теңсіздігі орындалады.

2.4 Теңсіздіктердің дұрыстығын қарсы жору әдісі

Енді біз математикалық логикадағы контр позиция заңына сүйене отырып,

оның орта мектепте теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуын қарастырайық.
1-мысал. болғанда теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын аралығында қарастырайық. Бұл функция көрсетілген аралықта үздіксіз және дифференциалданатын функция.
Функцияның туындысын табайық: .
Сонда болғанда болғандықтан, функциясы аралығында кемімелі функция болады. Сондықтан болғанда теңсіздігі орындалады.
.
2-мысал. болғанда (1) теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: аралығында функциясын қарастырайық. Бұл функцияның туындысы мынаған тең: .
Сонда болғанда орындалатындығы айқын. Олай болса, функциясы аралығында кемімелі. Сондықтан болғанда болады. Бірақ .
Демек, (1) теңсіздік ақиқат.
3-мысал. және болғанда теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын аралығында қарастырайық. Бұл функция көрсетілген аралықта екі дифференциалданатын функцияның айырымы ретінде дифференциалданатын функция болады.
Функцияны монотондылыққа зерттейік. Ол үшін оның туындысын табамыз: .
функциясы аралығында өспелі, олай болса, .
Демек, функциясы аралығында өспелі. Сондықтан болғанда, , яғни теңсіздігі орындалады.
4-мысал. болғанда теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: аралығында анықталған көмекші функциясын қарастырайық. Бұл функция көрсетілген аралықта екі дифференциалданатын функцияның айырымы ретінде дифференциалданатын функция болады.
Оның туындысын табайық: .
Сонда болғанда, теңсіздігінің орындалатындығы ақиқат. Олай болса, функциясы аралығында өспелі функция, сондықтан болғанда, теңсіздігі орындалады.
5-мысал. -ның барлық мүмкін мәндерінде теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын қарастырамыз және оның анықталу облысын табамыз:

Бұл функция аралығында дифференциалданатын функция және оның туындысы мынаған тең: .
Сонда болғанда, болатындықтан, функциясы аралығында өспелі функция.
Сондықтан болғанда теңсіздігі орындалады.
6-мысал. болғанда, теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын қарастырамыз. Оның туындысын табамыз: .
Бұдан болғанда, теңсіздігі орындалатыны, яғни функциясының аралығында өспелі функция болатындығы ақиқат.
Сондықтан болғанда, , яғни теңсіздігінің орындалатындығы айқын.
.
7-мысал. Кез келген натурал болғанда теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: болғанда теңсіздіктің орындалатыны ақиқат. функциясын аралығында қарастырайық. Оның туындысы , болғанда оң таңбалы, яғни функциясы монотонды өспелі. Бұдан дербес жағдайда, болғанда , олай болса, болғанда теңсіздігінің орындалатындығы шығады.
.
8-мысал. болғанда, теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын аралығында қарастырамыз. болғанда, болады. Сонда біз, бұл функцияның көрсетілген аралықта монотонды өспелі екендігін, яғни теңсіздігі орындалатынын көрсете алсақ, онда берілген теңсіздіктің дұрыстығы ақиқат болады.
Функцияның туындысын табайық:

Сонда болғандықтан, болады. Олай болса, болғанда теңсіздігінің, ал бұл теңсіздігінің дұрыс екенін көрсетеді.
9-мысал. -тің барлық нақты мәндерінде теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын қарастырамыз.
Оның туындысы -ге тең. болғанда, теріс таңбалы, ал болғанда, оң таңбалы және болғанда нөлге тең. Олай болса, функциясы аралығында кемімелі, ал аралығында өспелі. Сонда нүктесінде функцияның мәні нольге тең болғандықтан, оның барлық қалған мәндері оң таңбалы, яғни болады. Бұдан теңсіздігінің орындалатыны ақиқат екені шығады.
10-мысал. болғанда, теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Шешуі: функциясын аралығында қарастырайық. Бұл функцияның туындысы аралығында оң таңбалы, өйткені бұл аралықта , және . Олай болса, функциясы аралығында монотонды өспелі.
Сонда болғандықтан, болғанда, , яғни немесе теңсіздігінің орындалатыны ақиқат екені шығады.
11-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , .
Шешуі: Алатынымыз: . Айталық болсын. Сонда .
болатындығын дәлелдейік. болсын. болғанда . Туындыны табамыз: . Сонда болғанда, болады. Теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді. теңсіздігінің дұрыстығы да осы сияқты дәлелденеді.
12-мысал. және , болғанда, теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Шешуі: Теңсіздіктің екі жағында бірдей -не бөліп табатынымыз: немесе , мұндағы .
функциясын үшін қарастырайық. болғанда . Туындысын табайық: .
Есептің шарты бойынша және болатындықтан, барлық тер үшін . Олай болса, функциясы аралығында өспелі, яғни . Бұдан теңсіздігінің орындалатыны шығады. Егер болса, онда , .
13-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы .
Шешуі: функциясының туындысын табайық: . Сонда болғанда, болғандықтан, функциясы аралығында кемиді, сондықтан , мұндағы , яғни болғанда болады.
14-мысал. -тің барлық оң мәндерінде болатынын дәлелдеңдер.
Шешуі: Алдымен берілген теңсіздіктің екі жағын да бірдей логарифмдеу арқылы шыққан теңсіздіктің дұрыстығын көрсетейік. функциясын қарастырайық. Барлық үшін бұл функцияның туындысы бар . болғанда болатындығы, яғни интервалында функциясының монотонды өсетіндігі айқын. болғанда , яғни функциясы аралығында монотонды кемиді. нүктесінде . Демек, - нүктесі функциясының минимум нүктесі, сондықтан барлық -тер үшін мына теңсіздік орындалады: , яғни . Дәлелденілген теңсіздіктен барлық үшін теңсіздігі келіп шығады.
15-мысал. Айталық, , әртүрлі оң сандар болсын. Мына теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеңдер: .
Шешуі: Жалпылыққа нұқсан келтірмей деп алайық. Сонда . Есептің шартында берілген теңсіздікті мына түрде жазуға болады: , немесе , мұндағы . (1)
Осы теңсіздіктерді дәлелдейік:
а) Айталық болсын. Сонда болғанда болғандықтан, функциясы болғанда қатаң өседі, сондықтан болғанда болады. Сөйтіп, болғанда болады.
б) болсын. Сонда болғанда болғандықтан, функциясы болғанда қатаң өседі. Сондықтан болғанда болады. Сонымен, біз (1) теңсіздіктің екеуінде дәлелдедік.
16-мысал. болғанда, теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Шешуі: аралығында берілген теңсіздік теңсіздігіне мәндес. Оның туындысы , аралығында оң мәндер қабылдайды. Демек, көрсетілген аралықта функциясы қатаң өспелі, сондықтан , яғни болғанда, теңсіздігі орындалады.
17-мысал. болғанда, теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Шешуі: аралығында берілген теңсіздік мына теңсіздікке мәндес. функциясын қарастырайық. Сонда болғанда және болғанда болатындықтан,
болады.
Демек, функциясы аралығында қатаң өспелі, сондықтан , яғни болғанда, теңсіздігі орындалады.
18-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , .
Шешуі: Бұл жерде функциясын қарастырамыз. Оның аралықтағы туындысы мынаған тең: . Сонда аралықтағы барлық -тер үшін болатындықтан, функциясы аралықта монотонды өседі. Мұнда тек болғанда ғана орындалады. Сондықтан аралықтағы кез келген үшін немесе , яғни теңсіздігі орындалады.
19-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , .
Шешуі: Мынадай көмекші функция енгізіп, оны аралығында қарастырамыз. Оның туындысы мынаған тең:
. Бұл жерде тек қана болғанда ғана орындалады. Сонда аралықтағы барлық -тер үшін болатындықтан, функциясы көрсетілген аралықта монотонды өседі. Ендеше аралықтағы кез келген үшін немесе , яғни теңсіздігі келіп шығады.
20-мысал. Кез келген үшін теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
Шешуі: болатындықтан, , мұндағы болады. Бұл жағдайда берілген теңсіздікті мына түрде жазуға болады: , яғни . (1)
функциясын аралығында қарастырайық. екені айқын. функциясының аралығында қатаң өспелі екенін көрсетейік.
Шынында да, болғанда теңсіздігі орындалады, олай болса, функциясы аралығында қатаң өседі. Сондықтан, , яғни
болады.
21-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: , мұндағы .
Шешуі: функциясын қарастырайық. екені айқын. болғанда ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.