Гильберт кеңістігі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

М. Х. Дулати атындағы Тараз Мемлекеттік Өңірлік Университеті

Курстық жұмыс

Тақырыбы:

«Гильберт кеңістігі ерекшелігі. Мысалдар»

Тобы: М-18-3

Курс: 3

Қабылдаған: Муслимов Билібай

Орындаған: Абишова Назерке

Тараз 2021 жыл

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1. Гильберт кеңістігі

1. 1 Скалярлық көбейтіндісі . . . 5

1. 2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы . . . 8

1. 3 Толық және жабық гильберт кеңістігі. Гильберт негізі

2. 1

2. 2 Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Гильбертке дейінгі (немесе күрделі евклидтік) кеңістік дегеніміз - H сызықтық кеңістігі (сандар өрісі үстінде), онда скаляр көбейтінді енгізіледі.

Гильберт кеңістігінің мақсаты мен міндеттері: Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:

1) (x, αy) = α (x, y) ;

2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y) ;

3) (x, y) = $\overline{(у, \ х) }$ ;

4) (x, x) > 0 кезінде x $\neq$ 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.

Онда (·, ·) функциясы скаляр көбейтіндісі (немесе ішкі туындысы) деп аталады, ал L кеңістігі - эвклид (R-ден жоғары) немесе унитарлы (C-ден) кеңістік.

Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:

(x, y) $ǀ^{2}$ $\leq$ (x, x) (y, y) .

Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:

ǀǀx + yǀ $ǀ^{2}$ + ǀǀx - yǀ $ǀ^{2}$ = 2ǀǀxǀ $ǀ^{2}$ + 2ǀǀyǀ $ǀ^{2}$ ;

(x + αy, x + αy) = (x, x) + $\overline{\alpha}$ (x, y) + α (y, x) + α $ǀ^{2}$ (y, y) .

4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) > 0 деп есептесек, онда

$\alpha = - \frac{(х, у) }{(у, у) }$

Айтылғанның негізінде:

(х, х) $- \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } - \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } + \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } \geq 0$

Яғни,

$(х, х) (у, у) - ǀ(х, у) ǀ^{2} \geq 0$

Тексеріп көрейік:

$ǀǀ\alpha ǀǀ ≝ (\alpha, \alpha) ^{1/2}$ шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.

Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік

$ǀǀ\alpha + bǀǀ \leq ǀǀ\alpha ǀǀ + ǀǀbǀǀ$

Мына өрнектер тізбегі орын алады:

$ǀǀ\alpha + bǀǀ^{2} = (\alpha + b, \ \alpha + b) = ǀǀ\alpha ǀǀ^{2} + ǀǀbǀǀ^{2} + (\alpha, b) + (b + \alpha) \leq ǀǀ\alpha ǀǀ^{2} + ǀǀbǀǀ^{2} + 2ǀ(\alpha, b) ǀ \leq ǀǀ\alpha ǀǀ^{2} + ǀǀbǀǀ^{2} + 2ǀǀ\alpha ǀǀ\ ǀǀbǀǀ = (ǀǀ\alpha ǀǀ + ǀǀbǀǀ) ^{2}$

Бұл метрикалық бізге Гильбертке дейінгі кеңістікті қарастыруға мүмкіндік береді. Оның толықтығы туралы сұрақ туындайды және біз Гильберт кеңістігінің маңызды тұжырымдамасына келеміз.

1. Гильберт кеңістігі

1. 1 Скалярлық көбейтіндісі

Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:

1) (x, αy) = α (x, y) ;

2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y) ;

3) (x, y) = $\overline{(у, \ х) }$ ;

4) (x, x) > 0 кезінде x $\neq$ 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.

Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:

(x, y) $ǀ^{2}$ $\leq$ (x, x) (y, y) .

Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:

ǀǀx + yǀ $ǀ^{2}$ + ǀǀx - yǀ $ǀ^{2}$ = 2ǀǀxǀ $ǀ^{2}$ + 2ǀǀyǀ $ǀ^{2}$ ;

(x + αy, x + αy) = (x, x) + $\overline{\alpha}$ (x, y) + α (y, x) + α $ǀ^{2}$ (y, y) .

4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) > 0 деп есептесек, онда

$\alpha = - \frac{(х, у) }{(у, у) }$

Айтылғанның негізінде:

(х, х) $- \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } - \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } + \frac{ǀ(х, у) ǀ^{2}}{(у, у) } \geq 0$

Яғни,

$(х, х) (у, у) - ǀ(х, у) ǀ^{2} \geq 0$

Тексеріп көрейік:

$ǀǀ\alpha ǀǀ ≝ (\alpha, \alpha) ^{1/2}$ шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.

Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік

$ǀǀ\alpha + bǀǀ \leq ǀǀ\alpha ǀǀ + ǀǀbǀǀ$

Мына өрнектер тізбегі орын алады:

Анықтама 1: Гильберт кеңістігі H - бұл жоғарыда енгізілген нормаға сәйкес Гильбертке дейінгі кез келген кеңістік.

Көрсетілгендей, Гильбертке дейінгі кеңістікті аяқтаған кезде, сызықтық амалдар мен скаляр кеңістік толықтырылған кеңістікке дейін кеңейтілген және біз Гильберт кеңістігін аламыз.

Гильберт кеңістігін зерттеу кезінде элементтердің ортогоналдылығы ұғымы маңызды болып шығады. Анықтамалар қатарын келтірейін.

Анықтама 2: Гильберт кеңістігінің х және у элементтері Н ортогональ деп аталады, егер (х, у) = 0. Бұл жағдайда біз x ⊥ y-деп жазамыз.

Анықтама 3: Егер x A $\subset$ H жиынының әрбір элементіне ортогональ болса, онда x ⊥ A деп жазамыз.

Анықтама 4: Егер $А_{1}$ ⊂ H жиынының әрбір элементі болса $А_{2}$ ⊂ H жиынының әрбір элементіне ортогональ болады, сонда олар оны $А_{1}$ ⊥ $А_{2}$ деп жазады.

Анықтама 5: Берілген $\varepsilon$ ⊂ H жиынтығына ортогональды барлық элементтердің жиынтығы $\varepsilon$ жиынының ортогональды толықтырушысы деп аталады және $\varepsilon^{┴}$ арқылы белгіленеді.

Параллелограммның теңдігін дәлелдейік:

$ǀǀx\ + \ yǀǀ^{2}\ + \ ǀǀx\ -\ yǀǀ^{2}\ = \ 2\ \lbrack ǀǀxǀǀ^{2}\ + \ 2ǀǀyǀǀ^{2}\rbrack\$

ǀǀx + yǀ $ǀ^{2}$ + ǀǀx - yǀ $ǀ^{2}$ = 2ǀǀxǀ $ǀ^{2}$ + 2ǀǀyǀ $ǀ^{2} + (х, у) + (у, х) - (х, у) - (у, х)$

Пифагор теоремасы да маңызды. x ⊥ y болсын. Онда $ǀǀx\ + \ yǀǀ^{2} = ǀǀxǀǀ^{2}\ + \ ǀǀyǀǀ^{2}$ болады.

Тексеріп көрейік:

$ǀǀx\ + \ yǀǀ^{2} = (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у) = ǀǀxǀǀ^{2}\ + \ ǀǀyǀǀ^{2}$

Теорема дәлелденді.

Кейде нақты Гильберт пен Гильбертке дейінгі кеңістіктер қарастырылады. Олар түпнұсқа болса алынады сызықтық кеңістік нақты сандар өрісінің үстінде болады және скаляр көбейтінді тек нақты мәндерді алады. Басты күрделі Гильберт кеңістігі үшін осы дәрісте алынған нәтижелер нақтыға да сәйкес келеді. Алайда, егер барлығы төменде басқаша көрсетілмесе, бұл күрделі Гильберт кеңістігі деп түсініледі.

Мысалы , мына кеңістік скалярлық көбейтінді болып табылады:

${\ \ l}_{2}^{n}(R) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{n}{x_{k}y_{k}}$

${\ \ l}_{2}^{n}(C) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{n}{x_{k}y_{k}}$

$l_{2}(R) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{\infty}{x_{k}y_{k}}$

$l_{2}(C) :(х, у) = \sum_{k = 1}^{\infty}{x_{k}y_{k}}$

Бұл скалярлық көбейтінділер шығаратын нормалар бұрын енгізілгендермен сәйкес келеді.

1. 2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы

X және y векторлары (x, y) = 0 тең болады. Егер (x ⊥ y) -ге ортогональ болса. Кез келген есептелетін сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі {x1, x2, x3, . . . } мүмкін Грам - Шмидт процесі бойынша ортонормаланған:

$y_{1} = x_{1}$ , $z_{1} = \frac{y_{1}}{{ǀǀyǀǀ}_{1}}$