Гильберт кеңістігі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

М.Х.Дулати атындағы Тараз Мемлекеттік Өңірлік Университеті

Курстық жұмыс
Тақырыбы:
Гильберт кеңістігі ерекшелігі. Мысалдар

Тобы: М-18-3
Курс: 3
Қабылдаған: Муслимов Билібай
Орындаған: Абишова Назерке

Тараз 2021 жыл

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...3
1. Гильберт кеңістігі
1.1 Скалярлық көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Грам-Шмидтің ортогоналдануы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .8
1.3 Толық және жабық гильберт кеңістігі. Гильберт негізі
2.1
2.2 Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Гильбертке дейінгі (немесе күрделі евклидтік) кеңістік дегеніміз - H сызықтық кеңістігі (сандар өрісі үстінде), онда скаляр көбейтінді енгізіледі.

Гильберт кеңістігінің мақсаты мен міндеттері: Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:
1) (x, αy) = α (x, y);
2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y);
3) (x, y) = (у, х);
4) (x, x) 0 кезінде x != 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.
Онда (·, ·) функциясы скаляр көбейтіндісі (немесе ішкі туындысы) деп аталады, ал L кеңістігі - эвклид (R-ден жоғары) немесе унитарлы (C-ден) кеңістік.
Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:
(x, y)ǀ2 = (x, x) (y, y).
Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:
ǀǀx + yǀǀ2 + ǀǀx - yǀǀ2 = 2ǀǀxǀǀ2 + 2ǀǀyǀǀ2 ;
(x + αy, x + αy) = (x, x) + α (x, y) + α (y, x) + αǀ2 (y, y).
4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) 0 деп есептесек, онда
α=-(х,у)(у,у)
Айтылғанның негізінде:
(х,х)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)+ǀ (х,у)ǀ2(у,у)=0
Яғни,
х,ху,у-ǀ(х,у)ǀ2=0
Тексеріп көрейік:
ǀǀαǀǀ≝(α,α)12 шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.
Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік
ǀǀα+bǀǀ=ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ
Мына өрнектер тізбегі орын алады:
ǀǀα+bǀǀ2=α+b, α+b=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+α,b+b+α=ǀǀαǀǀ2+ǀ ǀbǀǀ2+2ǀα,bǀ=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+2ǀǀαǀǀ ǀǀbǀǀ=(ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ)2
Бұл метрикалық бізге Гильбертке дейінгі кеңістікті қарастыруға мүмкіндік береді. Оның толықтығы туралы сұрақ туындайды және біз Гильберт кеңістігінің маңызды тұжырымдамасына келеміз.

1. Гильберт кеңістігі
1.1 Скалярлық көбейтіндісі

Гильберт кеңістігі - бұл ақырлы өлшемді (эвклидтік) кеңістік. Сондықтан әр түрлі теорияларда кең қолданыста болады. Оған келесі шарттарды қанағаттандыратын сандық функция (х, у) енгізіледі:
1) (x, αy) = α (x, y);
2) (z, x + y) = (z, x) + (z, y);
3) (x, y) = (у, х);
4) (x, x) 0 кезінде x != 0-ге; (x, x) = 0 кезінде x = 0.

Онда (·, ·) функциясы скаляр көбейтіндісі (немесе ішкі туындысы) деп аталады, ал L кеңістігі - эвклид (R-ден жоғары) немесе унитарлы (C-ден) кеңістік.
Скалярлық көбейтіндісін Коши - Буняковский теңсіздігі қанағаттандырады:
(x, y)ǀ2 = (x, x) (y, y).
Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін мына өрнекті қарастырамыз:
ǀǀx + yǀǀ2 + ǀǀx - yǀǀ2 = 2ǀǀxǀǀ2 + 2ǀǀyǀǀ2 ;
(x + αy, x + αy) = (x, x) + α (x, y) + α (y, x) + αǀ2 (y, y).
4) шарты бойынша, бұл өрнек теріс емес, қандай болса да α саны. (Y, y) 0 деп есептесек, онда
α=-(х,у)(у,у)
Айтылғанның негізінде:
(х,х)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)-ǀ(х,у)ǀ2(у,у)+ǀ (х,у)ǀ2(у,у)=0
Яғни,
х,ху,у-ǀ(х,у)ǀ2=0
Тексеріп көрейік:
ǀǀαǀǀ≝(α,α)12 шынымен де Гильбертке дейінгі кеңістіктегі норма.
Шынында да, мұны тексеру ғана қалады теңсіздік
ǀǀα+bǀǀ=ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ
Мына өрнектер тізбегі орын алады:
ǀǀα+bǀǀ2=α+b, α+b=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+α,b+b+α=ǀǀαǀǀ2+ǀ ǀbǀǀ2+2ǀα,bǀ=ǀǀαǀǀ2+ǀǀbǀǀ2+2ǀǀαǀǀ ǀǀbǀǀ=(ǀǀαǀǀ+ǀǀbǀǀ)2
Бұл метрикалық бізге Гильбертке дейінгі кеңістікті қарастыруға мүмкіндік береді. Оның толықтығы туралы сұрақ туындайды және біз ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.