Көп айнымалылардың функциялық тәуелділігі. Евклидтік өлшемді кеңістік
2.Көп айнымалылардың функциялық тәуелділігі.Евклидтік өлшемді кеңістік.
Табиғатта, практикада бір шаманың бір-біріне тәуелсіз басқа екі айнымалының өзгеруінен тәуелді болып келетіні жиі кездеседі. Мысалы, тік төртбұрыштың ауданы z оның қабырғалары x пен y-тің өзгерісіне тәуелді, дәлірек айтқанда z=x*y. Бұл жерде айнымалы z-пен басқа екі айнымалы x және y-тің арасындағы функиялық тәуелділікпен кездесіп отырмыз.
Егер жазықтықта орналасқан екі нүкте M1x1,y1, M2x2,y2 берілсе, онда ол нүктелердің арақашықтығы формуласымен анықталады.Мұндағы айнымалы шама d басқа x1,x2, y1,y2 төрт айнымалылардың (берілген нүктелердің координаталарының) өзгерісіне тәуелді.
Бір айнымалының өзгерісі басқа екі, үш, төрт, одан да көп айнымалылардың өзгерісіне тәуелді болатынына көзіміз жетті. Міне осындай тәуелділікті бір айнымалылардың көп айнымалыларға функциялық тәуелділігі деп атаймыз.
Егер m өлшемді кеңістік беріліп, оның А(a1, a2,..., am) мен В(в1, в2,..., вm) екі нүктесінің ара қашықтығы формуласы бойынша анықталса, ол кеңістік m өлшемді евклидтік кеңістік деп аталады да, En деп белгіленеді. A және В нүктелерінің ара қашықтығы p(A,В) деп белгілеу қабылданған. Демек, m өлшемді евклидтік кеңістікте мына формула орындалады:
m өлшемді евклидтік кеңістіктің нүктелерінің p(A,В) ара қашықтығының төмендегі кейбір қасиеттері:
1) p(A,В)=0, яғни нүктелердің ара қашықтығы теріс сан емес, ал p(A,В)=0 болу үшін А мен В нүктелері бір-бірімен беттесуі қажет және жеткілікті.
2) p(A,В)= p(В,А), яғни екі нүктенің ара қашықтығы оны А-дан бастап В-ге дейін немесе керісінше, өлшеуден тәуелді емес.
3)Егер En евклидтік кеңістігіндегі кез келген үшінші бір С(с1, с2,..., сm) нүктесін алсақ, онда үшбұрыштар теңсіздігі деп аталып кеткен мына теңсіздік орындалады: p(A,C)= p(А,В)+ p(В,С)
3.Көп айнымалылар функциясының анықтамасы және бар болу облысы. Ашық және жабық жиындар.
Егер заң немесе ереже бойынша x пен y аргумент мәндерінің әрбір қос мәніне айнымалы z шамасының бір мәні сәйкес қойылса, айнымалы z екі аргументтің функциясы деп аталады және бұл функция былай белгіленеді:z=f(x,y)
Егер аргументтер x пен y-тің нақты мәндерінен құрылған М жиынының құрамындағы әрбір(x,y)-ке сәйкес белгілі бір заң немесе ереже бойынша, сол аргументтердің функциясы z толық анықталған бір нақты мән қабылдаса, М жиыны екі аргументтің функциясы z-тің бар болу облысы деп аталады.
Егер M жиынының барлық шекаралық нүктелері сол жиынның құрамына енген болса, ондай жиын жабық жиын деп аталады.
Егер жазықтықтағы нүктелерден тұратын L жиынының
1)кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса,
2) L жиынының кез келген екі нүктесін бүтіндей сол жиынның ішінде жатқан үзіліссіз қисықпен қосу мүмкін болса, L ашық жиын деп аталады.
Ашық жиынның анықтамасындағы екінші шарт орындалса, жазықтықтағы нүктелердің бұл жиыны байланысқан жиын деп аталады.
Егер жазықтықтағы нүктелерден тұратын N жиынының құрамындағы A∈N нүктесі өзінің қандайда болса бір δ маңайымен бірге сол N жиынының ішінде жатса, A нүктесі N жиынының ішкі нүктесі деп аталады.
Егер жазықтықтағы нүктелерден тұратын M жиынының құрамындағы болуы да, болмауы да мүмкін В нүктесінің δ маңайында, М жиынының нүктелерімен бірге, ол жиынның құрамында жоқ нүктелер деп жатса, В нүктесі М жиынының шекаралық нүктесі деп аталады. M жиынының шекаралық нүктелерінің жинағы сол жиынның шекарасын құрайды.
5.Көп аргументті функцияның үзіліссіздігі. Көп аргументті функцияның үзіліссіздігінің анықтамасы.
z= f(x,y)=f(Р) функциясы P0(x0,y0) нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер:
1) z=f(Р) функциясы P0 нүктесінде және оның қандай да бір аймағында анықталған
2) P--P0 ұмтылғанда z= f(x,y) функциясының шегі бар болу керек
3)Осы шектің мәні функцияның осы нүктедегі мәніне тең болу керек: limP--P0 f(Р)=f(P0)
4.Көп аргументті функцияның шегі.
Коши бойынша (ε - тілінде). Егер кез келген ε0 санына δ0 саны табылып, 0p(A,A0) δ теңсіздікті қанағаттандыратын функцияның анықталу жиынындағы кез келген A нүкте үшін fA-b δ теңсіздігі орындалса, онда b саны u= fA функциясының A0 нүктедегі шегі деп аталады.
Гейне бойынша (тізбек тілінде). Егер u= fA функцияның анықталу A жиынындағы A0 - ге тең емес An нүктелер тізбегі A0 нүктеге жинақты болса және осы нүктелер тізбегіне сәйкес келетін функция мәндерінің fAn тізбегі b-ға жинақты болса, онда b саны u= fA функциясының A0 нүктедегі шегі деп аталады. A0 нүктедегі немесе A-- A0 ұмтылғандағы u= fA функциясының шегі A0(a1, a2,..., am)
6.Көп аргументті функцияның үзіліс ұғымы.
Егер z=f(Р) функциясы P0 нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда осы нүктеде функция үзіледі(үзілісті болады), P0 нүктесі - үзіліс нүктесі деп аталады.
7.Көп аргументті үзіліссіз функциялардың қасиеттері.
Екі айнымалы функцияларының үзіліссіздігінің қасиеттері(компактылы облыста):
Компактылы облыс деп тұйық, шектелген аймақты айтады.
1) z=f(x,y) функциясы компактылы аймақта үзіліссіз болса, онда осы аймақта функция шектелген болады.
2) Компактылы аймақта үзіліссіз болатын z=f(x,y) осы аймақта өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.
3) z=f(Р) функциясы қандайда бір G аймақта үзіліссіз болсын, онда осы аймақтың P1 және P2 нүктелерін алмасақ та f(P1) және f(P2) аралығында орналасқан кез келген C сан үшін G облысына тиісті болатын P0∈G табылады. f(P1)=C (аралық мән теоремасы деп аталады)
Дербес жағдайда, егер f(P1)0, f(P1)0 онда G аймағының функцияның мәні 0-ге тең болатындай нүктесі табылады.
Жалпы жағдайда 3-қасиет орындалады.
8.Көп аргументті функциялардың туындылары мен дифференциалдары.
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі х бойынша дербес туындысы деп ∆xz дербес өсімшесінің ∆х өсімшесіне қатынасының ∆х--0 ұмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады да, символдарының біреуімен белгілейді. Сонымен
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі у бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және ол
Бұл анықтамадан дербес туындыларды есептеу ережелері бір айнымалды функцияның тундыларын есептеу ережелерімен бірдей екенін көреміз. Әрине, бұл жағдайда дербес туынды айнымалылардың қайсысы бойынша ізделініп отырғаны есте болуы керек, ал қалған айнымалылар тұрақты сан рөлін атқарады.
Берілген z=f(x,y) функциясының кез келген бір айнымалысы бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол айнымалының өсімшесінің көбейтіндісі функцияның дербес дифференциалы деп аталады. x және у айнымалы шамаларының дифференциалдары олардың өсімшелеріне тең, яғни dx=∆x dy=∆y
9.Дербес туындылар мен дербес дифференциалдар.
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі х бойынша дербес туындысы деп ∆xz дербес өсімшесінің ∆х өсімшесіне қатынасының ∆х--0 ұмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады да, символдарының біреуімен белгілейді. Сонымен
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі у бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және ол
Бұл анықтамадан дербес туындыларды есептеу ережелері бір айнымалды функцияның тундыларын есептеу ережелерімен бірдей екенін көреміз. Әрине, бұл жағдайда дербес туынды айнымалылардың қайсысы бойынша ізделініп отырғаны есте болуы керек, ал қалған айнымалылар тұрақты сан рөлін атқарады.
Берілген z=f(x,y) функциясының кез келген бір айнымалысы бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол айнымалының өсімшесінің көбейтіндісі функцияның дербес дифференциалы деп аталады. x және у айнымалы шамаларының дифференциалдары олардың өсімшелеріне тең, яғни dx=∆x dy=∆y
12.Толық дифференциалдың жуықтап есептеуде қолданылуы.
(x,y) нүктесіндегі дифференциалданатын z=f(x,y) функцияның және Fx'(x,y), Fy'(x,y) дербес туындыларының мәндері белгілі болсын. (x+∆x, y+∆y) нүктесінде функцияның мәнін есептейік:
∆z-ті dz толық дифференциалмен алмастырамыз да жуық мәнді табамыз:
10.Толық өсімше, толық дифференциал және көп аргумент функцияларының дифференциалдануының шарты.
Егер x пен y аргументтеріне сәйкес ∆x және ∆y өсімшелерін берсек, онда z үшін жаңа ∆z өсімшесін аламыз.Ол z функцияның толық өсімшесі деп аталады:
z=f(x,y) функцияның үзіліссіз болуы үшін Р0x0,y0 нүктесінде ∆z толық өсімшесі ∆x, ∆y өсімшелерінің нөлге ұмтылғандағы шегі нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті. lim∆x--0∆y--0∆z=0
z=f(x,y) функциясының толық дифференциалы ∆x пен ∆y-ке қатысты сызықтық болатын және функция өсімшесінен -ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз кіші функцияға ғана айырмашылығы болатын өрнекті айтады.
Егер z=f(x,y) функциясы х, у нүктеде дифференциалданса, онда оның өсімшесінің осы нүктедегі сызықты бас бөлігі z=f(x,y) функциясы толық дифференциалы деп аталады.
∆x, ∆y тәуелсіз айнымалылар өсімшелерін х пен у тәуелсіз айнымалыларының дифференциалдары деп атайды да оларды dx және dy арқылы белгілейді. Онда толық дифференциал келесі түрге ие болады:
Көп аргумент функцияларының дифференциалдануының шарты: z=f(x,y) функциясы дифференциалдану үшін оның осы нүктеде дербес туындыларының болуы қажетті, ал үзіліссіз дербес туындыларының бар болуы жеткілікті.
42.Дәрежелік қатардың жинақталу радиусы туралы Коши-Адамар теоремасы.
R санын жинақталу радиусы дейді, яғни барлық x үшін xR болғанда қатар абсолютті жинақталатын, ал xR болғанда қатар жинақталмайтын R0 санын айтады.
R=1limn--infinitynan
11.Көп аргументті күрделі функцияларды дифференциалдау.
1)Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φt, y=ψ(t) яғни z=f [(φt,ψ(t)] функциясының t бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdt=dzdxdxdt+dzdydydt
2) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда y=ψ(x) яғни z=f [x,ψ(t)] функциясының x бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdx=dzdx+dzdydydx
3) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φu,v, y=ψ(u,v) яғни z=f [(φu,v,ψ(u,v)] функциясының u және v бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdu=dzdxdxdu+dzdydydu
dzdv=dzdxdxdv+dzdydydv
17.Тейлор формуласы.
z=f(x,y) функцияcы беріліп, A0x0,y0 мен A1x0+∆x,y0+∆y (∆x, ∆y аргумент өсімшелері) нүктелерін қосатын кесінді A0x0,y0 нүктесінің маңайынан шықпайтын болсын.
Теорема. Егер f(x,y) функцияcы A0x0,y0 нүктесінің маңайында n+1 рет туындыланып, дербес туындылардың барлығы да үзіліссіз болса, ол функцияның толық өсімшесі үшін мына теңдік орындалады:
13.Көп аргумент функцияларының жоғары ретті туындылары мен дифференциалдары.
Жоғарғы ретті туындылар. z=f(M) функцияcы M(x,y) нүктесінің кейбір маңайында анықталған және осы маңайдың әрбір нүктесінде fx'(x,y) және fy'(x,y) дербес туындылары бар болсын. Бұл жағдайда дербес туындылар M нүктесінің осы маңайында x және y айнымалылардың функциясы болады. Бұларды бірінші ретті дербес туындылар деп атайды және белгіленуі
zx '=dzdx, zy'= dzdy
zx '=fx'(x,y) және zy '=fy'(x,y) функциялардың M(x,y) нүктесінде x және y айнымалылар бойынша дербес туындылары бар болса, оларды f(M) функцияcының осы нүктедегі екінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі
(zx ')x'=zxx ''=zx2 ''=fxx''x,y=d2zdx2
(zy ')y'=zyy ''=zy2 ''=fyy''x,y=d2zdy2
(zx ')y'=zxy ''=fxy''x,y=d2zdxdy және (zy ')x'=zyx ''=fyx''x,y=d2zdydx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
Екінші ретті дербес туындылардан x және y айнымалылар бойынша алынған дербес туындылар үшінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі:
(zxx '')x'=zxxx '''=d3zdx3 (zyy '')y'=zyyy '''=d3zdy3
(zxx '')y'=d3zdx2dy ; (zyy '')x'=d3zdxdydx ; (zyx '')x'=d3zdydx2
(zxy '')y'=d3zdxdy2 ; (zyx '')y'=d3zdydxdy ; (zyy '')x'=d3zdy2dx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
fxy''x,y және fyx''x,y туындылары аралас деп аталады, оның біріншісі алдымен x, содан соң y бойынша, ал екіншісі, керісінше, алдымен y, содан соң x бойынша дифференциалдау арқылы алынған.
Теорема. z=f(x,y) функцияcы және оның дербес туындылары P0x0,y0 нүктесінің белгілі бір маңайында анықталсын. Егер d2zdxdy және d2zdydx аралас туындылары P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d2zdxdy=d2zdydx.
Бұл теорема кез келген жоғары ретті аралас дербес туындылар үшін жалпыланады. Мысалы, үшінші ретті аралас дербес туындылар P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d3zdx2dy=d3zdxdydx=d3zdydx2 d3zdxdy2=d3zdydxdy=d3zdy2dx
z=f(x,y) функцияcының дифференциалын бірінші ретті дифференциал деп атайды. dz=dzdxdx+dzdydy
d(dz) дифференциалын z=f(x,y) функцияcының екінші ретті дифференциалы деп атайды және d2z деп белгілейді.
d2z=d(dz)
dz=dzdxdx+dzdydy
d2z=ddzdxdx+dzdydy=dzdxdx+dzdydyx'd x+dzdxdx+dzdydyy'dy=d2zdx2dx+d2zdyd xdydx+d2zdxdydx+d2zdy2dydy=d2zdx2dx 2+d2zdydxdydx+d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2 =d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2=d dxdx+ddy2(z)
d2z=d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy 2 d2z=ddxdx+ddy2(z)
d3z=d3zdx3dx3+3d3zdx2dydx2dy+3d3zdx dy2dxdy2+d3zdy3dy3 d3z=ddxdx+ddy3(z)
dnz=ddxdx+ddyn(z)
22.Экстремум бар болудың жеткілікті шарттары
Жеткілікті шарты: z=f(x,y) функциясы үшін P0(x0,y0) нүктесі стационар нүкте болсын. Осы нүктеде екінші ретті дербес туындыларын табайық: fxx''x0,y0=A fxy''x0,y0=B fyy''x0,y0=C
Егер (x0,y0) стационар нүктеде ∆0(∆=AC-B2) теңсіздігі орындалса, онда осы нүктеде функцияның экстремумы бар болады, егер A0 болса (x0,y0) нүктеде минимум, ал A0 максимум болады.
Егер (x0,y0) стационар нүктеде ∆0 болса, онда экстремум жоқ.
Егер ∆=0 болса, онда экстремум бар болуын зерттеу үшін қосымша зерттеулер (экстремум нүктесінің анықтамасын) жүргізу қажет
14.Жоғарғы ретті туындылар ұғымы.
z=f(M) функцияcы M(x,y) нүктесінің кейбір маңайында анықталған және осы маңайдың әрбір нүктесінде fx'(x,y) және fy'(x,y) дербес туындылары бар болсын. Бұл жағдайда дербес туындылар M нүктесінің осы маңайында x және y айнымалылардың функциясы болады. Бұларды бірінші ретті дербес туындылар деп атайды және белгіленуі
zx '=dzdx, zy'= dzdy
zx '=fx'(x,y) және zy '=fy'(x,y) функциялардың M(x,y) нүктесінде x және y айнымалылар бойынша дербес туындылары бар болса, оларды f(M) функцияcының осы нүктедегі екінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі
(zx ')x'=zxx ''=zx2 ''=fxx''x,y=d2zdx2
(zy ')y'=zyy ''=zy2 ''=fyy''x,y=d2zdy2
(zx ')y'=zxy ''=fxy''x,y=d2zdxdy және (zy ')x'=zyx ''=fyx''x,y=d2zdydx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
Екінші ретті дербес туындылардан x және y айнымалылар бойынша алынған дербес туындылар үшінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі:
(zxx '')x'=zxxx '''=d3zdx3 (zyy '')y'=zyyy '''=d3zdy3
(zxx '')y'=d3zdx2dy ; (zyy '')x'=d3zdxdydx ; (zyx '')x'=d3zdydx2
(zxy '')y'=d3zdxdy2 ; (zyx '')y'=d3zdydxdy ; (zyy '')x'=d3zdy2dx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
36.Үздіксіз функциялар тізбегінің бірқалыпты жинақталуы туралы теорема.
Барлық мүшелері [a;b] сегментте анықталған үзіліссіз fn(x) функционалдық тізбектің мүшелері кемімейтін(өспейтін) болса,
яғни f1x=f2x=...=fnx=... (f1x=f2x=...=fnx=...) және ол [a;b] сегментте үзіліссіз f(x) функцияға жинақты болса, онда fn(x) тізбегі[a;b] сегментте бірқалыпты жинақты болады.(ДИНИ БЕЛГІСІ)
15.Аралас туындылар. Жоғарғы ретті дифференциалдар.
fxy''x,y және fyx''x,y туындылары аралас деп аталады, оның біріншісі алдымен x, содан соң y бойынша, ал екіншісі, керісінше, алдымен y, содан соң x бойынша дифференциалдау арқылы алынған.
Теорема. z=f(x,y) функцияcы және оның дербес туындылары P0x0,y0 нүктесінің белгілі бір маңайында анықталсын. Егер d2zdxdy және d2zdydx аралас туындылары P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d2zdxdy=d2zdydx.
Бұл теорема кез келген жоғары ретті аралас дербес туындылар үшін жалпыланады. Мысалы, үшінші ретті аралас дербес туындылар P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d3zdx2dy=d3zdxdydx=d3zdydx2 d3zdxdy2=d3zdydxdy=d3zdy2dx
z=f(x,y) функцияcының дифференциалын бірінші ретті дифференциал деп атайды. dz=dzdxdx+dzdydy
d(dz) дифференциалын z=f(x,y) функцияcының екінші ретті дифференциалы деп атайды және d2z деп белгілейді.
d2z=d(dz)
dz=dzdxdx+dzdydy
d2z=ddzdxdx+dzdydy=dzdxdx+dzdydyx'd x+dzdxdx+dzdydyy'dy=d2zdx2dx+d2zdyd xdydx+d2zdxdydx+d2zdy2dydy=d2zdx2dx 2+d2zdydxdydx+d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2 =d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2=d dxdx+ddy2(z)
d2z=d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy 2 d2z=ddxdx+ddy2(z)
d3z=d3zdx3dx3+3d3zdx2dydx2dy+3d3zdx dy2dxdy2+d3zdy3dy3 d3z=ddxdx+ddy3(z)
dnz=ddxdx+ddyn(z)
16.Күрделі функциялардың дифференциалдануы.
1)Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φt, y=ψ(t) яғни z=f [(φt,ψ(t)] функциясының t бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdt=dzdxdxdt+dzdydydt
2) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда y=ψ(x) яғни z=f [x,ψ(t)] функциясының x бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdx=dzdx+dzdydydx
3) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φu,v, y=ψ(u,v) яғни z=f [(φu,v,ψ(u,v)] функциясының u және v бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdu=dzdxdxdu+dzdydydu
dzdv=dzdxdxdv+dzdydydv
43.Дәрежелік қатардың жинақталу радиусы туралы Даламбер теоремасы.
Даламбер белгісі бойынша: R санын жинақталу радиусы дейді, яғни барлық x үшін xR болғанда қатар абсолютті жинақталатын, ал xR болғанда қатар жинақталмайтын R0 санын айтады.
R=limn--infinityanan+1
Егер limn--infinityan+1an=0 онда барлық сандық осьте абсолютті жинақталады. Бұл жағдайда R=infinity. Егер limn--infinityan+1an=infinity, R=0.
18.Айқындалмаған функциялардың жалпы теориясы. Функциялық анықтауыштар.
Место для формулы.
41.Дәрежелік қатардың бірқалыпты жинақталуы туралы Абель теоремасы.
Егер [1] дәрежелік қатарының жинақталу аралығы ( - R;R) болса, онда ол қатар осы аралықта жататын кез келген [a;b]∈( - R;R) кесіндісінде абсолют және бірқалыпты жинақты болады.
Егер дәрежелік қатар ( - R;R) жинақталу интервалының шеткі x=R нүктесінде жинақты болса, онда дәрежелік қатар [0;R] сегментте бірқалыпты жинақты болады. Сол сияқты, егер дәрежелік қатар x=-R немесе x=R, x=-R нүктесінде жинақты болса, онда дәрежелік қатар -R;0немесе [-R;R] сегментте жинақты болады.
19.Айқындалмаған функция ұғымы. Бар болу теоремасы.
Бір аргументті функция мен көп аргументті функцияның анықтамаларынан бірінші жағдайда екі айнымалы шаманың x пен y-тің біреуінің, мысалы y-тің өзгерісі екіншісінің өзгерісінен тәуелді болса, айнымалы х-тің функциясы, ал екінші жағдайда айнымалы шамалар x1, x2, ...,xn және у-тің біреуінің, мысалы у-тің, өзгерісі қалған айнымалылар x1, x2, ...,xn функциясы деп аталады.
Айнымалылар арасында бұл тәуелділіктер әр түрлі тәсілмен берілуі мүмкін. Мәселен, х пен у-тің арасындағы тәуелділік(яғни, олардың арасындағы сәйкестік заңы) y=f(x) формуласымен берілсе, онда функция у айқын түрде, яғни у арқылы шешілген түрде берілген деп аталады.
Ал егер х пен у-тің арасындағы тәуелділік F(x,y)=0 теңдеуі түрінде берілсе, онда функция у айқындалмаған түрде берілген, яғни у арқылы шешілмеген түрде берілген дейміз. F(x,y)=0 теңдеуі у арқылы шешілуі де шешілмейтін болуы да мүмкін. Қай жағдайда да айнымалы у айнымалы х-тің өзгерісінен тәуелді мәндерді кейбір заңға сәйкес қабылдайды. Сол себепті у функциясы F(x,y)=0 теңдеу түрінде берілген кезде, ол теңдеуді дәлірек былай жазу керек: F(x,y(х))=0
Көп аргументті айқындалмаған функция ұғымы да осы сияқты енгізіледі, дәлірек айтқанда: шама у-тің өзгерісінің айнымалы x1, x2, ...,xn қабылдайтын мәндерден тәуелділігі F(x1, x2, ...,xn,y)=0 теңдеуі түрінде берілсе, шама у аргументтер x1, x2, ...,xn дердің айқындалмаған функциясы деп аталады.
x-тің функциясы y айқындалмаған т үрде F(x,y)=0[1] теңдеумен берілсін. Сонда F(x,y) екі аргументті функция деп қарауға болады.
Егер F(x,y) функциясы:
а)центрі N0x0,y0 нүктесіндегі Q=[x0 - a, x0+a,y 0 - b, y0+b] тікбұрышында анықталған және үзіліссіз;
в)функцияның N0 нүктесіндегі мәні нөлге тең, яғни F(x0,y0) =0
с) F(x,y) функциясы x-тің тұрақты мәнінде шама y-тің өсуімен бірге бір сарынды кемитін немесе у-тің өсуімен бірге бір сарынды өсетін болса, мына бекітімдер орындалады:
1) F(x,y)=0[1] теңдеу x0,y0 нүктесінің маңайында y шамасын бір мәнді функция y=f(x) түрінде анықтайды.
2)x=x0 болғанда бір мәнді y=f(x) функциясы y0=f(x0) мәнін қабылдайды
3) f(x) функциясы үзіліссіз болады.
Ал n айнымалының F(x1, x2, ...,xn,y)=0 теңдеуімен берілген айқындалмаған функциясы бар болуы жөнінде мына теореманы қарастырайық.
Егер функция F(x1, x2, ...,xn,y):
а)Кейбір n+1 өлшемді центрі (x10, x20, ..., xn0, y0) нүктесіндегі R=[x10-a1, x10+a1, ..., xn0-an, xn0+an, y 0 - b, y0+b] параллелепипедінде анықталған және үзіліссіз;
в)Дербес туындылары Fx1', Fx2', ...,Fxn', Fy' берілген параллелепипедте бар және үзіліссіз;
с) F(x10, x20, ..., xn0, y0)=0
d) Fy'(x10, x20, ..., xn0, y0)!=0
болса, мына бекітімдер орындалады:
1) (x10, x20, ..., xn0, y0) нүктесінің маңайында F(x1, x2, ...,xn,y)=0 теңдеу y-ті аргументтер x1, x2, ...,xn-дердің бір мәнді функциясын, яғни бір мәнді y=f(x1, x2, ...,xn) түрінде анықтайды.
2) x1=x10, x2=x20, ...,xn=xn0 болғанда y=f(x1, x2, ...,xn) функция y0=f(x10, x20, ..., xn0) мәнін қабылдайды
3) f(x1, x2, ...,xn) функциясы аргументтер жиынтығы бойынша үзіліссіз
4)үзіліссіз дербес туындылар fx1', fx2', ...,fxn', бар болады.
21.Көп аргументті функциялардың экстремумдары. Көп аргументті функцияның экстремумы және оның бар болуының қажетті шарттары.
z=f(x,y) функциясы қандай да бір G облысында үзіліссіз болсын. P0∈G
P0 нүктесі z=f(x,y) функциясының максимум нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің аймағындағы барлық P нүктелері үшін f(P0)=fP орындалса.
P0 нүктесі z=f(x,y) функциясының минимум нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің аймағындағы барлық P нүктелері үшін f(P0)=fP орындалса.
Көп аргументті функцияның минимумы мен максимумы біріктіріліп, функцияның нүктедегі экстремумдары деп аталады.
Қажетті шарты: Егер z=f(x,y) дифференциалданатын функция үшін P0 нүктесі экстремум нүктесі болса, онда осы нүктедегі функцияның бірінші ретті дербес туындылары нөлге тең болады.
23.Көп аргументті функцияның ең кіші және ең үлкен мәндері.
z=f(x,y) функциясының ең үлкен және ең кіші мәнін G облысында табу керек:
1)Функцияның G ішкі облысына тиісті барлық кризистік нүктелеріндегі мәнін табамыз.
2) D облысының шекарасында функциясының ең үлкен және ең кіші мәнін табамыз.
3)Барлық табылған мәндерден ең үлкен және ең кіші мәнін таңдап аламыз.
20.Айқындалмаған функцияның дифференциалдану шарты. Айқындалмаған функциялардың туындылары.
Теңдеу F(x,y)=0[1] мен берілген бір аргументті айқындалмаған функцияның дифференциалдануын қамтамасыз ететін шарт:
Егер F(x,y) функциясы:
1)центрі x0,y0 нүктесіндегі Q=[x0 - a, x0+a, Y0 - b, x0+b] тікбұрышында анықталған және үзіліссіз;
2)бұл Q тікбұрышында дербес туындылар Fx' пен Fy' бар және үзіліссіз;
3) Fx'=(x0,y0)=0
4) Fy'=(x0,y0)!=0
болса, мына бекітімдер орындалады:
1) F(x,y)=0[1] теңдеу x0,y0 нүктесінің маңайында y шамасын бір мәнді функция y=f(x) түрінде анықтайды.
2)x=x0 болғанда бір мәнді y=f(x) функциясы y0=f(x0) мәнін қабылдайды
3) f(x) функциясы үзіліссіз болады және f(x) функциясының үзіліссіз туындысы бар болады
Тәуелсіз x-тің қандай да бір y функциясы F(x,y)=0[1] теңдеуімен айқын емес түрде берілсін.
Теорема. Координаттары [1] теңдеуді қанағаттандыратын (x,y) нүктесі G аймағында жатсын. Егер G аймағында F(x,y), Fx'(x,y), Fy'(x,y) функциялары үзіліссіз, ал Fy'(x,y)!=0 болса, онда y=y(x) функциясының туындысы бар және
Енді келесі теңдеуді қарастырайық: u= F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 [1].Егер қандай да бір аймақтан алынған әрбір x пен y сандар жұбына [1] теңдеуді қанағаттандыратын z - тің бір немесе бірнеше) мәні сәйкес келсе, онда бұл теңдеу x және y айнымалыларының бір немесе бірнеше) z функциясын анықтайды.
dudx=-dFdxdFdz dudy=-dFdydFdz
24.Шартты экстремумдар.
z=f(x,y) функциясының шартты экстремумы деп осы функцияның, x және y айнымалыларының φ(х,у)=0 теңдеуімен байланысты болған жағдайдағы экстремум мәнін айтады. Мұндағы φ(х,у)=0 теңдеуі байланыс теңдеуі деп аталады. Шартты экстремумды табу үшін Лагранж функциясы деп аталатын L(x,y,λ)=f(x,y)+λ*φ(х,у). Мұндағы λ - Лагранж көбейткіші деп аталады.
Шартты экстремумның қажетті шарттары: Осы шарттардан x0,y0,λ0 табылады. M0x0,y0-сындық нүкте, яғни бұл нүктеде шартты экстремум бар болуы мүмкін.
Шартты экстремумның жеткілікті шарттары: Айталық ,M0x0,y0λ0 жүйесінің бір шешімі болсын және
Сонда егер ∆0 болса, онда z=f(x,y) функцияның M0x0,y0 нүктесінде шартты максимумы болады. Егер ∆0 болса, M0x0,y0 онда осы нүктеде нүктесінде шартты минимум болады.
45.Жинақталу интервалындағы дәрежелік қатардың қосындысының үздіксіздігі.
дәрежелік қатардың S(x) қосынды жинақтылық интервалдың ішкі нүктелерінде үзіліссіз болады. Осы сияқты, егер дәрежелік қатар x= - Rx=R нүктеде жинақты болса, онда қатардың қосындысы да x= - Rx=R нүктеде үзіліссіз болады.
25.Оң мүшелері бар сандық қатарлар. Жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты.
[1]
[1] түріндегі берілген өрнекті сандық қатар деп айтады, мұндағы u1,u2,...,un-нақты немесе комплекс сандар, қатардың мүшелері, un-жалпы мүшесі деп аталады.
Егер қатардың un-жалпы мүшесі белгілі болса, онда қатар берілді дейді, un=f(n)-функция түрінде жазуға болады.
Егер сандық қатарының мүшелері un=0 (n=1,2, ... , n, ...) [2] шартын қанағаттандырса, [1] қатар мүшелері оң қатар деп аталады.
[1] қатар мүшелерін оң деп алып, ол қатардың дербес қосындыларын құрайық: S1=a1 S2=a1+a2,..., Sn=a1+...+an, ... [3]
Берілген [1] қатар үшін [2] шарт орындалғандықтан, кез келген n үшін Sn+1=Sn болатыны айқын. Демек [1] қатардың [3] дербес қосындыларының тізбегі теріс емес сандардан құралған кемімейтін тізбек болады. Сонымен бірге бұл [3] тізбек:
1)шенелмеген тізбек болуы мүмкін, яғни бұл жағдайда [1] қатар жинақталмайды.
2)жоғарыдан шенелген тізбек болуы мүмкін, яғни ақырлы оң шек бар. Бұл жағдайда [1] қатар жинақталады, яғни берілген қатар қосындысы бар болады.
Жинақталуының қажетті шарты: Егер [1] қатар жинақталса, онда оның un-жалпы мүшесі n--infinity ұмтылғанда нөлге ұмтылады, яғни
Жинақталуының жеткілікті шарты: Егер немесе бұл шектің мәні жоқ болса, онда қатар жинақталмайды.
26.Оң мүшелері бар сандық қатарлар. Оң мүшелері бар қатарлар жинақталуының теңсіздік түрінде салыстыру белгісі.
[1]
[1] түріндегі берілген өрнекті сандық қатар деп айтады, мұндағы u1,u2,...,un-нақты немесе комплекс сандар, қатардың мүшелері, un-жалпы мүшесі деп аталады.
Егер қатардың un-жалпы мүшесі белгілі болса, онда қатар берілді дейді, un=f(n)-функция түрінде жазуға болады.
Егер сандық ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Табиғатта, практикада бір шаманың бір-біріне тәуелсіз басқа екі айнымалының өзгеруінен тәуелді болып келетіні жиі кездеседі. Мысалы, тік төртбұрыштың ауданы z оның қабырғалары x пен y-тің өзгерісіне тәуелді, дәлірек айтқанда z=x*y. Бұл жерде айнымалы z-пен басқа екі айнымалы x және y-тің арасындағы функиялық тәуелділікпен кездесіп отырмыз.
Егер жазықтықта орналасқан екі нүкте M1x1,y1, M2x2,y2 берілсе, онда ол нүктелердің арақашықтығы формуласымен анықталады.Мұндағы айнымалы шама d басқа x1,x2, y1,y2 төрт айнымалылардың (берілген нүктелердің координаталарының) өзгерісіне тәуелді.
Бір айнымалының өзгерісі басқа екі, үш, төрт, одан да көп айнымалылардың өзгерісіне тәуелді болатынына көзіміз жетті. Міне осындай тәуелділікті бір айнымалылардың көп айнымалыларға функциялық тәуелділігі деп атаймыз.
Егер m өлшемді кеңістік беріліп, оның А(a1, a2,..., am) мен В(в1, в2,..., вm) екі нүктесінің ара қашықтығы формуласы бойынша анықталса, ол кеңістік m өлшемді евклидтік кеңістік деп аталады да, En деп белгіленеді. A және В нүктелерінің ара қашықтығы p(A,В) деп белгілеу қабылданған. Демек, m өлшемді евклидтік кеңістікте мына формула орындалады:
m өлшемді евклидтік кеңістіктің нүктелерінің p(A,В) ара қашықтығының төмендегі кейбір қасиеттері:
1) p(A,В)=0, яғни нүктелердің ара қашықтығы теріс сан емес, ал p(A,В)=0 болу үшін А мен В нүктелері бір-бірімен беттесуі қажет және жеткілікті.
2) p(A,В)= p(В,А), яғни екі нүктенің ара қашықтығы оны А-дан бастап В-ге дейін немесе керісінше, өлшеуден тәуелді емес.
3)Егер En евклидтік кеңістігіндегі кез келген үшінші бір С(с1, с2,..., сm) нүктесін алсақ, онда үшбұрыштар теңсіздігі деп аталып кеткен мына теңсіздік орындалады: p(A,C)= p(А,В)+ p(В,С)
3.Көп айнымалылар функциясының анықтамасы және бар болу облысы. Ашық және жабық жиындар.
Егер заң немесе ереже бойынша x пен y аргумент мәндерінің әрбір қос мәніне айнымалы z шамасының бір мәні сәйкес қойылса, айнымалы z екі аргументтің функциясы деп аталады және бұл функция былай белгіленеді:z=f(x,y)
Егер аргументтер x пен y-тің нақты мәндерінен құрылған М жиынының құрамындағы әрбір(x,y)-ке сәйкес белгілі бір заң немесе ереже бойынша, сол аргументтердің функциясы z толық анықталған бір нақты мән қабылдаса, М жиыны екі аргументтің функциясы z-тің бар болу облысы деп аталады.
Егер M жиынының барлық шекаралық нүктелері сол жиынның құрамына енген болса, ондай жиын жабық жиын деп аталады.
Егер жазықтықтағы нүктелерден тұратын L жиынының
1)кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса,
2) L жиынының кез келген екі нүктесін бүтіндей сол жиынның ішінде жатқан үзіліссіз қисықпен қосу мүмкін болса, L ашық жиын деп аталады.
Ашық жиынның анықтамасындағы екінші шарт орындалса, жазықтықтағы нүктелердің бұл жиыны байланысқан жиын деп аталады.
Егер жазықтықтағы нүктелерден тұратын N жиынының құрамындағы A∈N нүктесі өзінің қандайда болса бір δ маңайымен бірге сол N жиынының ішінде жатса, A нүктесі N жиынының ішкі нүктесі деп аталады.
Егер жазықтықтағы нүктелерден тұратын M жиынының құрамындағы болуы да, болмауы да мүмкін В нүктесінің δ маңайында, М жиынының нүктелерімен бірге, ол жиынның құрамында жоқ нүктелер деп жатса, В нүктесі М жиынының шекаралық нүктесі деп аталады. M жиынының шекаралық нүктелерінің жинағы сол жиынның шекарасын құрайды.
5.Көп аргументті функцияның үзіліссіздігі. Көп аргументті функцияның үзіліссіздігінің анықтамасы.
z= f(x,y)=f(Р) функциясы P0(x0,y0) нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер:
1) z=f(Р) функциясы P0 нүктесінде және оның қандай да бір аймағында анықталған
2) P--P0 ұмтылғанда z= f(x,y) функциясының шегі бар болу керек
3)Осы шектің мәні функцияның осы нүктедегі мәніне тең болу керек: limP--P0 f(Р)=f(P0)
4.Көп аргументті функцияның шегі.
Коши бойынша (ε - тілінде). Егер кез келген ε0 санына δ0 саны табылып, 0p(A,A0) δ теңсіздікті қанағаттандыратын функцияның анықталу жиынындағы кез келген A нүкте үшін fA-b δ теңсіздігі орындалса, онда b саны u= fA функциясының A0 нүктедегі шегі деп аталады.
Гейне бойынша (тізбек тілінде). Егер u= fA функцияның анықталу A жиынындағы A0 - ге тең емес An нүктелер тізбегі A0 нүктеге жинақты болса және осы нүктелер тізбегіне сәйкес келетін функция мәндерінің fAn тізбегі b-ға жинақты болса, онда b саны u= fA функциясының A0 нүктедегі шегі деп аталады. A0 нүктедегі немесе A-- A0 ұмтылғандағы u= fA функциясының шегі A0(a1, a2,..., am)
6.Көп аргументті функцияның үзіліс ұғымы.
Егер z=f(Р) функциясы P0 нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда осы нүктеде функция үзіледі(үзілісті болады), P0 нүктесі - үзіліс нүктесі деп аталады.
7.Көп аргументті үзіліссіз функциялардың қасиеттері.
Екі айнымалы функцияларының үзіліссіздігінің қасиеттері(компактылы облыста):
Компактылы облыс деп тұйық, шектелген аймақты айтады.
1) z=f(x,y) функциясы компактылы аймақта үзіліссіз болса, онда осы аймақта функция шектелген болады.
2) Компактылы аймақта үзіліссіз болатын z=f(x,y) осы аймақта өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.
3) z=f(Р) функциясы қандайда бір G аймақта үзіліссіз болсын, онда осы аймақтың P1 және P2 нүктелерін алмасақ та f(P1) және f(P2) аралығында орналасқан кез келген C сан үшін G облысына тиісті болатын P0∈G табылады. f(P1)=C (аралық мән теоремасы деп аталады)
Дербес жағдайда, егер f(P1)0, f(P1)0 онда G аймағының функцияның мәні 0-ге тең болатындай нүктесі табылады.
Жалпы жағдайда 3-қасиет орындалады.
8.Көп аргументті функциялардың туындылары мен дифференциалдары.
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі х бойынша дербес туындысы деп ∆xz дербес өсімшесінің ∆х өсімшесіне қатынасының ∆х--0 ұмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады да, символдарының біреуімен белгілейді. Сонымен
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі у бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және ол
Бұл анықтамадан дербес туындыларды есептеу ережелері бір айнымалды функцияның тундыларын есептеу ережелерімен бірдей екенін көреміз. Әрине, бұл жағдайда дербес туынды айнымалылардың қайсысы бойынша ізделініп отырғаны есте болуы керек, ал қалған айнымалылар тұрақты сан рөлін атқарады.
Берілген z=f(x,y) функциясының кез келген бір айнымалысы бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол айнымалының өсімшесінің көбейтіндісі функцияның дербес дифференциалы деп аталады. x және у айнымалы шамаларының дифференциалдары олардың өсімшелеріне тең, яғни dx=∆x dy=∆y
9.Дербес туындылар мен дербес дифференциалдар.
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі х бойынша дербес туындысы деп ∆xz дербес өсімшесінің ∆х өсімшесіне қатынасының ∆х--0 ұмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады да, символдарының біреуімен белгілейді. Сонымен
z=f(x,y) функциясының Р(x,y) нүктесіндегі у бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және ол
Бұл анықтамадан дербес туындыларды есептеу ережелері бір айнымалды функцияның тундыларын есептеу ережелерімен бірдей екенін көреміз. Әрине, бұл жағдайда дербес туынды айнымалылардың қайсысы бойынша ізделініп отырғаны есте болуы керек, ал қалған айнымалылар тұрақты сан рөлін атқарады.
Берілген z=f(x,y) функциясының кез келген бір айнымалысы бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол айнымалының өсімшесінің көбейтіндісі функцияның дербес дифференциалы деп аталады. x және у айнымалы шамаларының дифференциалдары олардың өсімшелеріне тең, яғни dx=∆x dy=∆y
12.Толық дифференциалдың жуықтап есептеуде қолданылуы.
(x,y) нүктесіндегі дифференциалданатын z=f(x,y) функцияның және Fx'(x,y), Fy'(x,y) дербес туындыларының мәндері белгілі болсын. (x+∆x, y+∆y) нүктесінде функцияның мәнін есептейік:
∆z-ті dz толық дифференциалмен алмастырамыз да жуық мәнді табамыз:
10.Толық өсімше, толық дифференциал және көп аргумент функцияларының дифференциалдануының шарты.
Егер x пен y аргументтеріне сәйкес ∆x және ∆y өсімшелерін берсек, онда z үшін жаңа ∆z өсімшесін аламыз.Ол z функцияның толық өсімшесі деп аталады:
z=f(x,y) функцияның үзіліссіз болуы үшін Р0x0,y0 нүктесінде ∆z толық өсімшесі ∆x, ∆y өсімшелерінің нөлге ұмтылғандағы шегі нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті. lim∆x--0∆y--0∆z=0
z=f(x,y) функциясының толық дифференциалы ∆x пен ∆y-ке қатысты сызықтық болатын және функция өсімшесінен -ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз кіші функцияға ғана айырмашылығы болатын өрнекті айтады.
Егер z=f(x,y) функциясы х, у нүктеде дифференциалданса, онда оның өсімшесінің осы нүктедегі сызықты бас бөлігі z=f(x,y) функциясы толық дифференциалы деп аталады.
∆x, ∆y тәуелсіз айнымалылар өсімшелерін х пен у тәуелсіз айнымалыларының дифференциалдары деп атайды да оларды dx және dy арқылы белгілейді. Онда толық дифференциал келесі түрге ие болады:
Көп аргумент функцияларының дифференциалдануының шарты: z=f(x,y) функциясы дифференциалдану үшін оның осы нүктеде дербес туындыларының болуы қажетті, ал үзіліссіз дербес туындыларының бар болуы жеткілікті.
42.Дәрежелік қатардың жинақталу радиусы туралы Коши-Адамар теоремасы.
R санын жинақталу радиусы дейді, яғни барлық x үшін xR болғанда қатар абсолютті жинақталатын, ал xR болғанда қатар жинақталмайтын R0 санын айтады.
R=1limn--infinitynan
11.Көп аргументті күрделі функцияларды дифференциалдау.
1)Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φt, y=ψ(t) яғни z=f [(φt,ψ(t)] функциясының t бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdt=dzdxdxdt+dzdydydt
2) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда y=ψ(x) яғни z=f [x,ψ(t)] функциясының x бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdx=dzdx+dzdydydx
3) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φu,v, y=ψ(u,v) яғни z=f [(φu,v,ψ(u,v)] функциясының u және v бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdu=dzdxdxdu+dzdydydu
dzdv=dzdxdxdv+dzdydydv
17.Тейлор формуласы.
z=f(x,y) функцияcы беріліп, A0x0,y0 мен A1x0+∆x,y0+∆y (∆x, ∆y аргумент өсімшелері) нүктелерін қосатын кесінді A0x0,y0 нүктесінің маңайынан шықпайтын болсын.
Теорема. Егер f(x,y) функцияcы A0x0,y0 нүктесінің маңайында n+1 рет туындыланып, дербес туындылардың барлығы да үзіліссіз болса, ол функцияның толық өсімшесі үшін мына теңдік орындалады:
13.Көп аргумент функцияларының жоғары ретті туындылары мен дифференциалдары.
Жоғарғы ретті туындылар. z=f(M) функцияcы M(x,y) нүктесінің кейбір маңайында анықталған және осы маңайдың әрбір нүктесінде fx'(x,y) және fy'(x,y) дербес туындылары бар болсын. Бұл жағдайда дербес туындылар M нүктесінің осы маңайында x және y айнымалылардың функциясы болады. Бұларды бірінші ретті дербес туындылар деп атайды және белгіленуі
zx '=dzdx, zy'= dzdy
zx '=fx'(x,y) және zy '=fy'(x,y) функциялардың M(x,y) нүктесінде x және y айнымалылар бойынша дербес туындылары бар болса, оларды f(M) функцияcының осы нүктедегі екінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі
(zx ')x'=zxx ''=zx2 ''=fxx''x,y=d2zdx2
(zy ')y'=zyy ''=zy2 ''=fyy''x,y=d2zdy2
(zx ')y'=zxy ''=fxy''x,y=d2zdxdy және (zy ')x'=zyx ''=fyx''x,y=d2zdydx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
Екінші ретті дербес туындылардан x және y айнымалылар бойынша алынған дербес туындылар үшінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі:
(zxx '')x'=zxxx '''=d3zdx3 (zyy '')y'=zyyy '''=d3zdy3
(zxx '')y'=d3zdx2dy ; (zyy '')x'=d3zdxdydx ; (zyx '')x'=d3zdydx2
(zxy '')y'=d3zdxdy2 ; (zyx '')y'=d3zdydxdy ; (zyy '')x'=d3zdy2dx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
fxy''x,y және fyx''x,y туындылары аралас деп аталады, оның біріншісі алдымен x, содан соң y бойынша, ал екіншісі, керісінше, алдымен y, содан соң x бойынша дифференциалдау арқылы алынған.
Теорема. z=f(x,y) функцияcы және оның дербес туындылары P0x0,y0 нүктесінің белгілі бір маңайында анықталсын. Егер d2zdxdy және d2zdydx аралас туындылары P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d2zdxdy=d2zdydx.
Бұл теорема кез келген жоғары ретті аралас дербес туындылар үшін жалпыланады. Мысалы, үшінші ретті аралас дербес туындылар P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d3zdx2dy=d3zdxdydx=d3zdydx2 d3zdxdy2=d3zdydxdy=d3zdy2dx
z=f(x,y) функцияcының дифференциалын бірінші ретті дифференциал деп атайды. dz=dzdxdx+dzdydy
d(dz) дифференциалын z=f(x,y) функцияcының екінші ретті дифференциалы деп атайды және d2z деп белгілейді.
d2z=d(dz)
dz=dzdxdx+dzdydy
d2z=ddzdxdx+dzdydy=dzdxdx+dzdydyx'd x+dzdxdx+dzdydyy'dy=d2zdx2dx+d2zdyd xdydx+d2zdxdydx+d2zdy2dydy=d2zdx2dx 2+d2zdydxdydx+d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2 =d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2=d dxdx+ddy2(z)
d2z=d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy 2 d2z=ddxdx+ddy2(z)
d3z=d3zdx3dx3+3d3zdx2dydx2dy+3d3zdx dy2dxdy2+d3zdy3dy3 d3z=ddxdx+ddy3(z)
dnz=ddxdx+ddyn(z)
22.Экстремум бар болудың жеткілікті шарттары
Жеткілікті шарты: z=f(x,y) функциясы үшін P0(x0,y0) нүктесі стационар нүкте болсын. Осы нүктеде екінші ретті дербес туындыларын табайық: fxx''x0,y0=A fxy''x0,y0=B fyy''x0,y0=C
Егер (x0,y0) стационар нүктеде ∆0(∆=AC-B2) теңсіздігі орындалса, онда осы нүктеде функцияның экстремумы бар болады, егер A0 болса (x0,y0) нүктеде минимум, ал A0 максимум болады.
Егер (x0,y0) стационар нүктеде ∆0 болса, онда экстремум жоқ.
Егер ∆=0 болса, онда экстремум бар болуын зерттеу үшін қосымша зерттеулер (экстремум нүктесінің анықтамасын) жүргізу қажет
14.Жоғарғы ретті туындылар ұғымы.
z=f(M) функцияcы M(x,y) нүктесінің кейбір маңайында анықталған және осы маңайдың әрбір нүктесінде fx'(x,y) және fy'(x,y) дербес туындылары бар болсын. Бұл жағдайда дербес туындылар M нүктесінің осы маңайында x және y айнымалылардың функциясы болады. Бұларды бірінші ретті дербес туындылар деп атайды және белгіленуі
zx '=dzdx, zy'= dzdy
zx '=fx'(x,y) және zy '=fy'(x,y) функциялардың M(x,y) нүктесінде x және y айнымалылар бойынша дербес туындылары бар болса, оларды f(M) функцияcының осы нүктедегі екінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі
(zx ')x'=zxx ''=zx2 ''=fxx''x,y=d2zdx2
(zy ')y'=zyy ''=zy2 ''=fyy''x,y=d2zdy2
(zx ')y'=zxy ''=fxy''x,y=d2zdxdy және (zy ')x'=zyx ''=fyx''x,y=d2zdydx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
Екінші ретті дербес туындылардан x және y айнымалылар бойынша алынған дербес туындылар үшінші ретті дербес туындылары деп атайды және белгіленуі:
(zxx '')x'=zxxx '''=d3zdx3 (zyy '')y'=zyyy '''=d3zdy3
(zxx '')y'=d3zdx2dy ; (zyy '')x'=d3zdxdydx ; (zyx '')x'=d3zdydx2
(zxy '')y'=d3zdxdy2 ; (zyx '')y'=d3zdydxdy ; (zyy '')x'=d3zdy2dx -аралас екінші ретті дербес туындылары.
36.Үздіксіз функциялар тізбегінің бірқалыпты жинақталуы туралы теорема.
Барлық мүшелері [a;b] сегментте анықталған үзіліссіз fn(x) функционалдық тізбектің мүшелері кемімейтін(өспейтін) болса,
яғни f1x=f2x=...=fnx=... (f1x=f2x=...=fnx=...) және ол [a;b] сегментте үзіліссіз f(x) функцияға жинақты болса, онда fn(x) тізбегі[a;b] сегментте бірқалыпты жинақты болады.(ДИНИ БЕЛГІСІ)
15.Аралас туындылар. Жоғарғы ретті дифференциалдар.
fxy''x,y және fyx''x,y туындылары аралас деп аталады, оның біріншісі алдымен x, содан соң y бойынша, ал екіншісі, керісінше, алдымен y, содан соң x бойынша дифференциалдау арқылы алынған.
Теорема. z=f(x,y) функцияcы және оның дербес туындылары P0x0,y0 нүктесінің белгілі бір маңайында анықталсын. Егер d2zdxdy және d2zdydx аралас туындылары P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d2zdxdy=d2zdydx.
Бұл теорема кез келген жоғары ретті аралас дербес туындылар үшін жалпыланады. Мысалы, үшінші ретті аралас дербес туындылар P0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда d3zdx2dy=d3zdxdydx=d3zdydx2 d3zdxdy2=d3zdydxdy=d3zdy2dx
z=f(x,y) функцияcының дифференциалын бірінші ретті дифференциал деп атайды. dz=dzdxdx+dzdydy
d(dz) дифференциалын z=f(x,y) функцияcының екінші ретті дифференциалы деп атайды және d2z деп белгілейді.
d2z=d(dz)
dz=dzdxdx+dzdydy
d2z=ddzdxdx+dzdydy=dzdxdx+dzdydyx'd x+dzdxdx+dzdydyy'dy=d2zdx2dx+d2zdyd xdydx+d2zdxdydx+d2zdy2dydy=d2zdx2dx 2+d2zdydxdydx+d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2 =d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy2=d dxdx+ddy2(z)
d2z=d2zdx2dx2+2d2zdxdydxdy+d2zdy2dy 2 d2z=ddxdx+ddy2(z)
d3z=d3zdx3dx3+3d3zdx2dydx2dy+3d3zdx dy2dxdy2+d3zdy3dy3 d3z=ddxdx+ddy3(z)
dnz=ddxdx+ddyn(z)
16.Күрделі функциялардың дифференциалдануы.
1)Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φt, y=ψ(t) яғни z=f [(φt,ψ(t)] функциясының t бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdt=dzdxdxdt+dzdydydt
2) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда y=ψ(x) яғни z=f [x,ψ(t)] функциясының x бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdx=dzdx+dzdydydx
3) Дифференциалданатын z=f(x,y) функциясы берілсін, мұнда x=φu,v, y=ψ(u,v) яғни z=f [(φu,v,ψ(u,v)] функциясының u және v бойынша туындысы мына формула бойынша анықталады:
dzdu=dzdxdxdu+dzdydydu
dzdv=dzdxdxdv+dzdydydv
43.Дәрежелік қатардың жинақталу радиусы туралы Даламбер теоремасы.
Даламбер белгісі бойынша: R санын жинақталу радиусы дейді, яғни барлық x үшін xR болғанда қатар абсолютті жинақталатын, ал xR болғанда қатар жинақталмайтын R0 санын айтады.
R=limn--infinityanan+1
Егер limn--infinityan+1an=0 онда барлық сандық осьте абсолютті жинақталады. Бұл жағдайда R=infinity. Егер limn--infinityan+1an=infinity, R=0.
18.Айқындалмаған функциялардың жалпы теориясы. Функциялық анықтауыштар.
Место для формулы.
41.Дәрежелік қатардың бірқалыпты жинақталуы туралы Абель теоремасы.
Егер [1] дәрежелік қатарының жинақталу аралығы ( - R;R) болса, онда ол қатар осы аралықта жататын кез келген [a;b]∈( - R;R) кесіндісінде абсолют және бірқалыпты жинақты болады.
Егер дәрежелік қатар ( - R;R) жинақталу интервалының шеткі x=R нүктесінде жинақты болса, онда дәрежелік қатар [0;R] сегментте бірқалыпты жинақты болады. Сол сияқты, егер дәрежелік қатар x=-R немесе x=R, x=-R нүктесінде жинақты болса, онда дәрежелік қатар -R;0немесе [-R;R] сегментте жинақты болады.
19.Айқындалмаған функция ұғымы. Бар болу теоремасы.
Бір аргументті функция мен көп аргументті функцияның анықтамаларынан бірінші жағдайда екі айнымалы шаманың x пен y-тің біреуінің, мысалы y-тің өзгерісі екіншісінің өзгерісінен тәуелді болса, айнымалы х-тің функциясы, ал екінші жағдайда айнымалы шамалар x1, x2, ...,xn және у-тің біреуінің, мысалы у-тің, өзгерісі қалған айнымалылар x1, x2, ...,xn функциясы деп аталады.
Айнымалылар арасында бұл тәуелділіктер әр түрлі тәсілмен берілуі мүмкін. Мәселен, х пен у-тің арасындағы тәуелділік(яғни, олардың арасындағы сәйкестік заңы) y=f(x) формуласымен берілсе, онда функция у айқын түрде, яғни у арқылы шешілген түрде берілген деп аталады.
Ал егер х пен у-тің арасындағы тәуелділік F(x,y)=0 теңдеуі түрінде берілсе, онда функция у айқындалмаған түрде берілген, яғни у арқылы шешілмеген түрде берілген дейміз. F(x,y)=0 теңдеуі у арқылы шешілуі де шешілмейтін болуы да мүмкін. Қай жағдайда да айнымалы у айнымалы х-тің өзгерісінен тәуелді мәндерді кейбір заңға сәйкес қабылдайды. Сол себепті у функциясы F(x,y)=0 теңдеу түрінде берілген кезде, ол теңдеуді дәлірек былай жазу керек: F(x,y(х))=0
Көп аргументті айқындалмаған функция ұғымы да осы сияқты енгізіледі, дәлірек айтқанда: шама у-тің өзгерісінің айнымалы x1, x2, ...,xn қабылдайтын мәндерден тәуелділігі F(x1, x2, ...,xn,y)=0 теңдеуі түрінде берілсе, шама у аргументтер x1, x2, ...,xn дердің айқындалмаған функциясы деп аталады.
x-тің функциясы y айқындалмаған т үрде F(x,y)=0[1] теңдеумен берілсін. Сонда F(x,y) екі аргументті функция деп қарауға болады.
Егер F(x,y) функциясы:
а)центрі N0x0,y0 нүктесіндегі Q=[x0 - a, x0+a,y 0 - b, y0+b] тікбұрышында анықталған және үзіліссіз;
в)функцияның N0 нүктесіндегі мәні нөлге тең, яғни F(x0,y0) =0
с) F(x,y) функциясы x-тің тұрақты мәнінде шама y-тің өсуімен бірге бір сарынды кемитін немесе у-тің өсуімен бірге бір сарынды өсетін болса, мына бекітімдер орындалады:
1) F(x,y)=0[1] теңдеу x0,y0 нүктесінің маңайында y шамасын бір мәнді функция y=f(x) түрінде анықтайды.
2)x=x0 болғанда бір мәнді y=f(x) функциясы y0=f(x0) мәнін қабылдайды
3) f(x) функциясы үзіліссіз болады.
Ал n айнымалының F(x1, x2, ...,xn,y)=0 теңдеуімен берілген айқындалмаған функциясы бар болуы жөнінде мына теореманы қарастырайық.
Егер функция F(x1, x2, ...,xn,y):
а)Кейбір n+1 өлшемді центрі (x10, x20, ..., xn0, y0) нүктесіндегі R=[x10-a1, x10+a1, ..., xn0-an, xn0+an, y 0 - b, y0+b] параллелепипедінде анықталған және үзіліссіз;
в)Дербес туындылары Fx1', Fx2', ...,Fxn', Fy' берілген параллелепипедте бар және үзіліссіз;
с) F(x10, x20, ..., xn0, y0)=0
d) Fy'(x10, x20, ..., xn0, y0)!=0
болса, мына бекітімдер орындалады:
1) (x10, x20, ..., xn0, y0) нүктесінің маңайында F(x1, x2, ...,xn,y)=0 теңдеу y-ті аргументтер x1, x2, ...,xn-дердің бір мәнді функциясын, яғни бір мәнді y=f(x1, x2, ...,xn) түрінде анықтайды.
2) x1=x10, x2=x20, ...,xn=xn0 болғанда y=f(x1, x2, ...,xn) функция y0=f(x10, x20, ..., xn0) мәнін қабылдайды
3) f(x1, x2, ...,xn) функциясы аргументтер жиынтығы бойынша үзіліссіз
4)үзіліссіз дербес туындылар fx1', fx2', ...,fxn', бар болады.
21.Көп аргументті функциялардың экстремумдары. Көп аргументті функцияның экстремумы және оның бар болуының қажетті шарттары.
z=f(x,y) функциясы қандай да бір G облысында үзіліссіз болсын. P0∈G
P0 нүктесі z=f(x,y) функциясының максимум нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің аймағындағы барлық P нүктелері үшін f(P0)=fP орындалса.
P0 нүктесі z=f(x,y) функциясының минимум нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің аймағындағы барлық P нүктелері үшін f(P0)=fP орындалса.
Көп аргументті функцияның минимумы мен максимумы біріктіріліп, функцияның нүктедегі экстремумдары деп аталады.
Қажетті шарты: Егер z=f(x,y) дифференциалданатын функция үшін P0 нүктесі экстремум нүктесі болса, онда осы нүктедегі функцияның бірінші ретті дербес туындылары нөлге тең болады.
23.Көп аргументті функцияның ең кіші және ең үлкен мәндері.
z=f(x,y) функциясының ең үлкен және ең кіші мәнін G облысында табу керек:
1)Функцияның G ішкі облысына тиісті барлық кризистік нүктелеріндегі мәнін табамыз.
2) D облысының шекарасында функциясының ең үлкен және ең кіші мәнін табамыз.
3)Барлық табылған мәндерден ең үлкен және ең кіші мәнін таңдап аламыз.
20.Айқындалмаған функцияның дифференциалдану шарты. Айқындалмаған функциялардың туындылары.
Теңдеу F(x,y)=0[1] мен берілген бір аргументті айқындалмаған функцияның дифференциалдануын қамтамасыз ететін шарт:
Егер F(x,y) функциясы:
1)центрі x0,y0 нүктесіндегі Q=[x0 - a, x0+a, Y0 - b, x0+b] тікбұрышында анықталған және үзіліссіз;
2)бұл Q тікбұрышында дербес туындылар Fx' пен Fy' бар және үзіліссіз;
3) Fx'=(x0,y0)=0
4) Fy'=(x0,y0)!=0
болса, мына бекітімдер орындалады:
1) F(x,y)=0[1] теңдеу x0,y0 нүктесінің маңайында y шамасын бір мәнді функция y=f(x) түрінде анықтайды.
2)x=x0 болғанда бір мәнді y=f(x) функциясы y0=f(x0) мәнін қабылдайды
3) f(x) функциясы үзіліссіз болады және f(x) функциясының үзіліссіз туындысы бар болады
Тәуелсіз x-тің қандай да бір y функциясы F(x,y)=0[1] теңдеуімен айқын емес түрде берілсін.
Теорема. Координаттары [1] теңдеуді қанағаттандыратын (x,y) нүктесі G аймағында жатсын. Егер G аймағында F(x,y), Fx'(x,y), Fy'(x,y) функциялары үзіліссіз, ал Fy'(x,y)!=0 болса, онда y=y(x) функциясының туындысы бар және
Енді келесі теңдеуді қарастырайық: u= F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 [1].Егер қандай да бір аймақтан алынған әрбір x пен y сандар жұбына [1] теңдеуді қанағаттандыратын z - тің бір немесе бірнеше) мәні сәйкес келсе, онда бұл теңдеу x және y айнымалыларының бір немесе бірнеше) z функциясын анықтайды.
dudx=-dFdxdFdz dudy=-dFdydFdz
24.Шартты экстремумдар.
z=f(x,y) функциясының шартты экстремумы деп осы функцияның, x және y айнымалыларының φ(х,у)=0 теңдеуімен байланысты болған жағдайдағы экстремум мәнін айтады. Мұндағы φ(х,у)=0 теңдеуі байланыс теңдеуі деп аталады. Шартты экстремумды табу үшін Лагранж функциясы деп аталатын L(x,y,λ)=f(x,y)+λ*φ(х,у). Мұндағы λ - Лагранж көбейткіші деп аталады.
Шартты экстремумның қажетті шарттары: Осы шарттардан x0,y0,λ0 табылады. M0x0,y0-сындық нүкте, яғни бұл нүктеде шартты экстремум бар болуы мүмкін.
Шартты экстремумның жеткілікті шарттары: Айталық ,M0x0,y0λ0 жүйесінің бір шешімі болсын және
Сонда егер ∆0 болса, онда z=f(x,y) функцияның M0x0,y0 нүктесінде шартты максимумы болады. Егер ∆0 болса, M0x0,y0 онда осы нүктеде нүктесінде шартты минимум болады.
45.Жинақталу интервалындағы дәрежелік қатардың қосындысының үздіксіздігі.
дәрежелік қатардың S(x) қосынды жинақтылық интервалдың ішкі нүктелерінде үзіліссіз болады. Осы сияқты, егер дәрежелік қатар x= - Rx=R нүктеде жинақты болса, онда қатардың қосындысы да x= - Rx=R нүктеде үзіліссіз болады.
25.Оң мүшелері бар сандық қатарлар. Жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты.
[1]
[1] түріндегі берілген өрнекті сандық қатар деп айтады, мұндағы u1,u2,...,un-нақты немесе комплекс сандар, қатардың мүшелері, un-жалпы мүшесі деп аталады.
Егер қатардың un-жалпы мүшесі белгілі болса, онда қатар берілді дейді, un=f(n)-функция түрінде жазуға болады.
Егер сандық қатарының мүшелері un=0 (n=1,2, ... , n, ...) [2] шартын қанағаттандырса, [1] қатар мүшелері оң қатар деп аталады.
[1] қатар мүшелерін оң деп алып, ол қатардың дербес қосындыларын құрайық: S1=a1 S2=a1+a2,..., Sn=a1+...+an, ... [3]
Берілген [1] қатар үшін [2] шарт орындалғандықтан, кез келген n үшін Sn+1=Sn болатыны айқын. Демек [1] қатардың [3] дербес қосындыларының тізбегі теріс емес сандардан құралған кемімейтін тізбек болады. Сонымен бірге бұл [3] тізбек:
1)шенелмеген тізбек болуы мүмкін, яғни бұл жағдайда [1] қатар жинақталмайды.
2)жоғарыдан шенелген тізбек болуы мүмкін, яғни ақырлы оң шек бар. Бұл жағдайда [1] қатар жинақталады, яғни берілген қатар қосындысы бар болады.
Жинақталуының қажетті шарты: Егер [1] қатар жинақталса, онда оның un-жалпы мүшесі n--infinity ұмтылғанда нөлге ұмтылады, яғни
Жинақталуының жеткілікті шарты: Егер немесе бұл шектің мәні жоқ болса, онда қатар жинақталмайды.
26.Оң мүшелері бар сандық қатарлар. Оң мүшелері бар қатарлар жинақталуының теңсіздік түрінде салыстыру белгісі.
[1]
[1] түріндегі берілген өрнекті сандық қатар деп айтады, мұндағы u1,u2,...,un-нақты немесе комплекс сандар, қатардың мүшелері, un-жалпы мүшесі деп аталады.
Егер қатардың un-жалпы мүшесі белгілі болса, онда қатар берілді дейді, un=f(n)-функция түрінде жазуға болады.
Егер сандық ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz