Дифференциалдық геометрия

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 73 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

Дифференциалдық геометрия пәні - бұл геометриялық бейнелерді қарастыратын математиканың бөлігі. Геомертиялық бейнелер деп отырғанымыз ол : біріншіден қисықтар мен беттер және олардың шексіз аз өлшемдегі талдау әдістері. Дифференциалдық геометрияның ерекшелігі ол қисықтар мен беттердің қасиеттерін « аз бөліктерде » зерттейді, яғни қисықтар мен беттердің мүмкіндігінше кішігірім бөлшектеріндегі қасиеттерін қарастыру[1] .

Дифференциалдық геометрия математикалық талдау пәнімен қатар және тығыз байланыста бірге дамыды деседе болады. кейбір жағдайларда математикалық талдаудың өзі геометрияның есептернінен бастау алады. Мысалы, қисыққа жүргізілген жанама туынды ұғымынан бұрынырақ белгілі болып, оның дамуына себепкер болды немесе аудан және көлем ұғымдары интегралдық пайда болуына және дамуына жол ашты.

Дифференциалдық геометрияның алғашқы есептері мен ұғымдары математикалық талдаудың дүниеге келуімен байланысты және ол туралы мәліметтер Г. Лейбництің, И. Ньютонның тағы басқа 17 ғасырдың математиктерінің жұмыстарында кездеседі. Дифференциалдық геометрия бөлек пән ретінде Л. Эйлер және Г. Монж жұмыстарында қалыптаса бастады. Г. Монжтың ең танымал болған 1795 жылы жазылған «Талдауды геометрияғы қолдану » жұмысы.

Дифференциалдық геометрияның келесі даму уақыты К. Гаусстың атымен байланысты. Ол өзінің «Қисық беттерді жалпы зерттеу» жұмысында 1827 жылы беттің ішкі геометриясы идеясын дамытады.

Н. И. Лобачевский мен Б. Риман жұмыстарында кеңістік ұғымын жалпылау бағыты дамытылған . «Геометрия негіздері түбінде жатқан гипотезалар» атты Б. Риманның танымал лекцияларында (1854 ж. ) кеңістіктер теориясының негіздері берілген, енді олар риман кеңістіктері деп аталады. Содан кейін тензорлық талдау риман геометриясында көп қолданылатын аппарат болды.

Дифференциалдық көпбейнеліктерді енгізу дифференциалдық және геометриялық кеңістіктерді локалды қарастырудан жалпы зерттеуге өтуге көмектеседі.

Курсың негізгі мақсаты- классикалық дифференциалдық геометрияның әдістерін және көрнекті бейнелерді қолданып, білімгерлерді қазіргі дифференциалдық геометрияның негізгі түсініктерімен таныстыру болып табылады.

I бөлім

Қисықтар теориясы

Жалпы қисықты біз, жазықтықтағы немесе кеңістікте қозғалатын нүктенің ізі деп елестете аламыз.

Қисықтарды анықтау үшін келесі жолдарды қарастыруға болады, ол үшін біріншіден кәдімгі қисық түсінігін, содан соң параметрмен берілген жалпы қисықтарға түсінік береміз. Қисықтарды дифференциалдық тұрғыдан түсіндіру үшін, қисықтарға қосымша геометриялық шектеулер қоюлу керек. Мұндай шектеулер тегіс қисықтарға әкеледі. Ал одан да жоғарғы шектеулер қисықтарды регулярлы қисықтарға әкеледі. Мұндай қисықтар үшін, қисықтардың ( қисықтық бұрылу) маңызды скалярлық сипаттамалары анықталды. Бұл қасиеттерді қисықтардың локалды құрылымдарын зерттеуде қолдана отырып, қажетті және пайдалы қатынастарды алуға болады[4] .

§1. Қарапайым жазық қисықтар

сегментінде аргументі (параметрі) t болатын үзіліссіз және функциялары берілсін.

х және у координаталары төмендегі ара қатыспен анықталатын, нүктелерінің L жиынын қарастырайық.

, , . (1)

Егер сегментінде t параметрінің әртүрлі мәніне L жиынның әртүрлі нүктелері сәйкес келетін болса, онда L жиынын қарапайым жазық қисық деп атаймыз.

Егер $t$ параметрін физикалық шама ретінде, яғни - уақытпен деп есептесек, онда қисықты жазықтықтағы нүктенің қозғалысының троекториясы деп елестетуге болады.

Координаталары (1) теңдеумен анықталатын $\ M(x, y)$ нүктесін $L$ қисығының нүктесі деп атаймыз. $\ t$ параметрінің шеткі мәндері $\alpha$ және $\beta\$ -ға сәйкес болатын $A$ және $B$ нүктелерін $L$ қисығының шекаралық нүктелері деп атаймыз (1 сурет) .

1 сурет. $M(x, y)$ нүктесінің (1) заңдылық бойынша L қисығымен А нүктесінен В нүктесіне дейінгі қозғалысы.

2 сурет. $\ L_{1}$ және $L_{2}$ қарапайым қисықтарын қосқанда пайда болатын $L$ тұйық қисығы.

Қарапайым жазық қисықтарға мысал ретінде $\lbrack\alpha, \beta\rbrack$ сегментінде үзіліссіз болатын $y = f(x)$ функциясының графигін айтуға болады. Бұл графиктер $x$ және $y$ координаталары $\ x = t, \ \ y = f(t), \ \ \alpha \leq t \leq \beta$ қатынастарымен $M$ нүктесінің жиыны. $t$ параметрінің әртүрлі шамаларына графиктердің әр түрлі нүктелері сәйкес келеді. Енді келесі ескертулерді қисықтарды зерттегенде ескергеніміз жөн.

1 ескерту. Бір қарапайым қисық әртүрлі жолмен параметрленуі мүмкін. Мысалы, L қарапайым қисығының параметрленуін қарастырайық. Ол келесі $x = \varphi(t), \ y = \psi(t), \ \alpha \leq t \leq \beta$ параметрлерімен алынған, мұндағы t параметрін басқа $s$ параметрімен түрлендіруге болады, яғни $s:x = \varphi\left( t(s) \right), y = \psi\left( t(s) \right), \alpha_{1} \leq s \leq \beta_{1}.$

2 ескерту . Қарапайым тұйықталған жазық қисықтар туралы ұғымдарды қарастыру маңызды болып табылады. $L_{1}$ және $L_{2} -$ екі қарапайым жазық қисықтарының берілуі келесі тұжырымдамаларға сәйкес берілсін дейік: біріншіден, әрбір $L_{1}$ қисығының шеткі нүктесі $L_{2}$ қисығының шеткі нүктесіне сәйкес келеді; Екіншіден, $L_{1}$ және $L_{2}$ қисықтарының кез келген шеткі емес нүктелері әр түрлі . $L_{1}$ және $L_{2}$ қисықтарының қосындысы қарапайым тұйықталған жазық қисық деп аталады. Қарапайым тұйық жазық қисықтарды да (1) теңдеуімен параметрлеуге болады.

Жоғарыдағы тұжырымдамаларымыздың дұрыстығын келесі мысалмен көрсетейік [4, 8] .

Мысалы. $M(x, y)$ нүктелерінің жазықтықтағы қозғалысы төмендегі параметрлік теңдеулермен берілсін дейік, t параметрі $- \infty\ \$ және $+ \infty$ өзгереді

$x = a\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}\, \ \ \ y = at\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}, \ a > 0\,$

Бұл белгілі строфоида деп аталатын қисықты көрсетеді(3 сурет) .

3 сурет. Строфоида қисығы

Суретте көрініп тұрғандай t параметрі өзгергенде көрсетілген шектері қозғалыста строфоиданың $M(x, y)$ нүктесі $O(0, 0)$ бас координатаға екі рет беттеседі. Біз қарастырып отырған тізбек нүктелері қозғалыстағы ереже, строфоида нүктелері t параметріне жауап беретін әр түрлі мағынада түрліше есептеледі . Строфоидағы әрбір нүкте t параметріндегі нүктелерге жауап береді . Строфоиданы қарапайым жазық қисықтардың бірігуі депте қарастыруға болады.

Параметрлік тұрғыдан берілген қисықтың берілуін талдайық. t параметрінің өзгеру облысы $\{ t\}$ деп белгілесек. Ол түзудегі байланысқан келесі жиындарды беруі мүмкін :

сегмент;
жартылай сегмент немесе тұйықталған жартылай түзу;
интервал, ашық жарты түзу немесе түзудің барлық бойы.

$t\ параметріның\ функциялары\ \varphi(t)$ және $\psi(t) \ \$ функциялары $\{ t\}$ байланысқан жиынында үзіліссіз дейік.

Онда төмендегі қатынастар

$x = \varphi(t), y = \psi(t), \ t\ \epsilon\ \left\{ t \right\}\ \ \ \ \ \ \ (2)$

L жазық қисығының параметрлік теңдеулері екендігін көрсетеді .

Сонымен бірге, L қисығының да параметрлік (2) теңдеулерімен тығыз байланысты болады.

§2. Кеңістіктегі қисықтар.

Кеңістіктегі қисықтар түсінігін де жазық қисықтар ұғымы сияқты түсіндіруге болады.

Кеңістіктік қисық түсінігі тегіс қисық түсінігімен толық үйлестік табады.

Егер сегментінде t параметрінің әртүрлі мәніне L жиынның әртүрлі нүктелері сәйкес келетін болсын дейік [2, 3] .

Анықтама. x, y және z координаталары келесі ара қатыстармен анықталатын

, , , , (3)

М нүктелердің L жиынын жай кеңістіктегі қисық деп атаймыз, мұндағы - сегментіндегі үзіліссіз функциялар.

Егер t параметрі сегментіндегі әртүрлі мағынада жауап беретін болса, онда жиынның әртүрлі нүктелеріне сәйкес болады.

(3) қатынасты кеңістіктегі қисықтың параметрлік теңдеуі деп атайды.

Ескерту. $n$ -өлшемді $E^{n}$ евклид кеңістігінде мына қатынас арқылы қисық анықталады

$x_{1} = \varphi_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{n}\varphi_{n}(t),$

Мұндағы, $t\$ параметірі $\{ t\}$ байланысқан жиында өзгереді, ал $\varphi_{i}(t)$ функциясы үзіліссіз болады.

Қисықтарды екі беттің қиылысы ретінде де беруге болады.

Ф ₁ және Ф ₂ беттердің теңдеулері және сәйкес болсын.

(4)

(5)

(4), (5) теңдеулер жүйесін Ф ₁ және Ф ₂ беттерді қиып өтетін сызықтардың, $L$ қисықтың теңдеуі ретінде қарастыруға болады (4 сурет) .

Сурет 4. Кеңістіктегі қисықтар беттегі сызықтардың қиылысуы

Қисықтың М нүктесінің х, у және z координаталарының (4) және (5) теңдеулерін қанағаттандырады.

Егер (4) , (5) теңдеулер жүйесін y және z -ке қарағанда шешсек, яғни x- ты y және z функцияларының аргументі ретінде қарастырсақ:

$y = \psi(x), z = \chi(x)$

L қисығының маңайы болуы мүмкін егер мына шарт дәл М нүктесінде орындалса

$\left \begin{matrix} \frac{dF_{1}}{dy} & \frac{dF_{1}}{dz} \\ \frac{dF_{2}}{dy} & \frac{dF_{2}}{dz} \end{matrix} \right\ \neq o\$

Содан x- ты t параметрі ретінде таңдап, қисықтың параметрлік теңдеуін аламыз

$x = t, y = \psi(t), z = \chi(t) .$

Мысалы, Вивиани қисығы өзінің сызықтық қиылысуын сферада радиусы a және дөңгелек цилиндрда үстінгі диаметрі a, сфераның центрі арқылы біреуі өтеді. Егер бас координатаға сфераның центріне орналастырсақ, OZ осін цилиндрдің үстінгі жасаушысына бағыттасақ, сферасының теңдеуі $\Phi_{1}$ және $\Phi_{2}$ цилиндрлік бетті мынадай түрге келеді [4] .

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}, \ x^{2} + y^{2} - ax = 0.$

Осы Вивиани қисықтық теңдеуі (5 сурет) .

5 сурет . Вивиан қисығы.

Егер x-ты t-тың параметрі деп алсақ, онда келтірілген жүйеден Вивиани қисығының жеке бөлігінің параметрлік теңдеулерін аламыз:

$x = t, y = \pm \sqrt{at - t^{2}}, \ z = \pm \sqrt{a^{2} - at}, \ 0 \leq t \leq a.$

§3. Векторлық функцияның годографы.

$\left\{ t \right\} - R$ түзуіндегі нүктелердің байланысқан жиыны болсын ( ол сегмент, жартылай сегмент, аралық және тұйық жарты түзу, бүкіл түзу болуы мүмкін) [1, 3] .

$\{ t\}$ байланысқан жиынында $r = r(t)$ векторлық функциясы берілген дейміз, егер $t\epsilon\{ t\}$ -нің әрбір мәніне ережесі бойынша r(t) векторы сәйкестендірілетін болса. Егер бүкіл векторды бас координатадан бастап алсақ, t параметрі өзгергенде $\{ t\}$ жиынында $r(t)$ векторының соңы M нүктесі сызатын қисықты $r(t)$ векторлық функциясының годограф деп атаймыз. (6 сурет) .

6 сурет. Векторлық функцияның годографы.

Векторлық функция үшін де скалярлы функцияларға қатысты үзіліссіздік пен шектер түсінігін толық ұқсас.

Анықтама . $b$ векторы $r(t) \$ векторлық функциясының шегі деп аталады $t \rightarrow a\$ ( $\alpha\ нүктесінде$ ), егер кез келген $\varepsilon > 0\$ саны үшін $\delta > 0\ бар$ болып, мұндай $t\epsilon\left\{ t \right\}$ барлығы үшін, $0 < t - \alpha < \delta$ шарты қанағаттандырылып, келесі [5] .

$\left r(t) - b \right < \varepsilon\$

теңсіздігі орындалса және бұл шек келесі түрде белгіленеді.

${r(t) }_{t \rightarrow \alpha}^{\rightarrow}b, \ \ \ \lim_{t \rightarrow \alpha}{r(t) = b\ \ \ (6) \ }$

Анықтама. $r(t)$ векторлық функциясы $t_{0} \in \{ t\}$ нүктесіне үзіліссіз деп аталады, егер ${r(t) }_{t \rightarrow t_{0}}^{\rightarrow}r(t_{0})$ . Векторлық функция $\{ t\}$ жиынының әр нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер ол осы жиынның әр нүктесінде үзіліссіз болса [1] .

$r = r(t)$ векторлық функциясы берілсін, $x, y, z$ координаталары $r(t)$ айнымалы векторында $t \in \{ t\}$ функциясының параметрі болады:

$x = \varphi(t), y = \psi(t), z = \chi(t) \ \ \ (7)$

Егер, сонымен қатар $i, j, k - ось\ координаталары$ бірлік векторы десек, онда

$r(t) = \varphi(t) i + \psi(t) j + \chi(t) k$ .

Егер (7) функция берілген, r=r(t) векторлық функциясының координаталары деп алсақ болады. Осыдан көруге болады, егер ${r(t) }_{t \rightarrow \alpha}^{\rightarrow}b\, \ (7)$ функция $t \rightarrow \alpha$ шегі болады, b векторының координаталары тең қатысты. $r(t) \ \$ үзіліссіздігінен $\alpha$ нүктесі шығады.

Дұрыс және кері: $t \rightarrow \alpha\ \$ шегінің (7) функциясынан шығады шегі $r(t)$ векторлық функциясының координаталары екені анықталады.

Вектор функциясының үзіліссіздігі де скаляр функциялар сияқты анықталады.

Тұжырымдама. Егер $r(t)$ , $R(t)$ векторлық функциялары және $\ \lambda(t)$ скалярлы функциясы үзіліссіз болса, онда келесі функцияларда үзіліссіз:

$r(t) \pm R(t), \lambda(t) r(t), \left( r(t), R(t), r(t) \times R(t) \right)$

Дәлелдеу , мысалы, $(r(t), R(t) )$ функцияларының үзіліссіздігі

$\varphi(t), \psi(t), \chi(t)$ -берілген $r(t) \$ және $\Phi(t), \psi(t), \chi(t) \ \$ векторлық функцияларының координаталары- $R(t)$ болады.

Содан

$\left( r(t), R(t) \right) = \varphi(t) \Phi(t) + \psi(t) \Psi(t) + \lambda(t) X(t)$

скалярлы функцияның үзіліссіздігі және туындысы мен жалпы саны соңғы теңдеуін скалярлы теңдеуі $(r(t), R(t) )$ үзіліссіз.

$r = r(t) - \lbrack\alpha, \beta\ \rbrack$ сегментінде үзіліссіз векторлық функция t параметрінің әр түрлі мағынасы осы сегменттен әр мағынасы векторлық функция, годограф - жай қисық болады. Біз айтамыз, қисық параметрлік тапсырма (7) теңдеудің көмегіне қатысты, r=r(t) векторлық функциясының годографы. Параметрлік және векторлық тапсырма қисықтары теңдей.

Біз келесі терминалогияны пайдаланып:”L- қисығы $r = r(t)$ векторлық функциясында берілген” немесе “ $r = r(t) - L$ қисығының векторы”

§4. Тегіс және регулярлы қисықтар.

L қисығы төмендегі параметрлі теңдеулермен берілсін

, , , (1)

(мұндағы - жиынындағы үзіліссіз функциялар) . t параметрінің мәніне сәйкес келетін L қисығындағы нүктені M арқылы, ал t мәнінің кез келген аймағындағы t параметрінің мәніне сәйкес келетін L қисығындағы нүктені M деп белгілейік. Бұдан, егер болса, онда болатыны анық[1, 2] .

Анықтама. Егер ұмтылғанда, M ₀ T түзуі мен М ₀ М айнымалы түзу арасындағы θ бұрышы нөльге ұмтылса, онда M ₀ T түзуін М нүктесі арқылы өтетін L қисығына жанама деп атаймыз(7 сурет) .

7 сурет. М нүктесіне жүргізілген жанама.

Анықтама. Егер L қисығындағы М нүктесі арқылы өтетін жанама табылып және L қисығындағы М нүктесінің аймағы жанамаға проекцияланатын болса, онда L қисығы М нүктесінде тегіс деп аталады[4, 7] .

Тегіс емес қисықтың нүктелері ерекше деп аталады. (8 сурет) . ${\ \ M}_{0}\$ нүктесінің маңайы $L -$ қисығында көпмүшелігі M нүктесінде қисығы.

8 сурет. Ерекше нүктелер.

Тегіс қисықтың жеткілікті шарты. мәнінің аймағында үзіліссіз туындысы бар болатын векторлық функциямен L тегіс қисығы берілсін. Сонымен қатар, . Сонда, L қисығы мәніне жауап беретін М ₀ нүктесінде тегіс қисық болып табылады [7] .

§5. Векторлық функцияларды дифференциалдау және интегралдау.

$r(t) \ \$ векторлық функциясы $\{ t\}$ жиынында анықталсын.

Анықтама. $r(t)$ векторлық функциясының $t$ нүктесінде туындысы болады, егер келесі шек бар болса, яғни

$\lim_{\mathrm{\Delta}t \rightarrow 0}\frac{r(t + \mathrm{\Delta}t) - r(t) }{\mathrm{\Delta}t}.$

$r(t)$ векторының туындыны келесі түрде өрнектейді: $\frac{dr}{dt}, r'(t) .$

Векторлық функцияның туындысының геометриялық мағынасы төмендегі cуретте көрсетілген(9 сурет) .

9 сурет.

Егер $r'(t) \neq 0$ болса, онда $r(t)$ векторлық функциясы L годографының M нүктесінде жанамасы бар болады және $r'(t)$ векторы осы жанаманың бойымен бағытталады.

$\varphi(t), \psi(t), \chi(t) - r(t)$ векторлық функциясының координаталары болсын.

Егер $r(t) \$ функциясы t нүктесінде туындысы болса, онда әрбір $\varphi(t), \psi(t), \chi(t)$ функциялардың да t нүктесінде туындысы болады.

Бұл тұжырымды кері айтасақта болады: егер $\varphi(t), \psi(t), \chi(t)$ функцияларының t нүктесінде туындысы болса, онда $r(t)$ векторлық функциясының да осы нүктеде туындысы табылады [3] .

Егер $r(t), R(t) \ және\ \lambda(t)$ функциялары әрқайсы t нүктесінде туындылары болса, онда $r(t) \pm R(t), \lambda(t) r(t), \left( r(t), R(t) \right), r(t) \times R(t) \$ функциялары да әр нүктесінің туындысы табылып келесі қатынас орындалады:

$(r \pm R) ' = r' \pm R', (\lambda r) ' = \lambda'r + \lambda r', \ \$

${((r, R) ) }' = \left( r', R \right) + \left( r, R' \right), {(r \times R) }' = r' \times R + r \times R'.$

$r'(t)$ векторлық функциясы туындысы деп аталады екінші ретті туындысы $r(t) \$ векторлық функциясында . Осыған ұқсас үшінші ретті туындысы анықталады.