Көп айнымалы функциялардың экстремумдері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН
РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ ДЕНСАУЛЫҚ САҚТАУ МИНИСТРЛІГІ
ҚАЗАҚСТАН
РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ ДЕНСАУЛЫҚ САҚТАУ МИНИСТРЛІГІ
ОҢТҮСТІК
ҚАЗАҚСТАН
МЕДИЦИНА
АКАДЕМИЯСЫ

ОҢТҮСТІК
ҚАЗАҚСТАН
МЕДИЦИНА
АКАДЕМИЯСЫ

Медициналық биофизика және ақпараттық технологиялар кафедрасы

РЕФЕРАТ
Тақырыбы: Көп айнымалы функциялардың экстремумдері

Орындаған: Туленди Д.
Тобы: В-ФӨТҚБ 02-21
Қабылдаған: Иманбаева А.

Шымкент 2022 ж
Жоспар:
Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Негізі ұғымдар мен теоремалар.
2. Экстремумның қажеттті шарты
3. Квадраттық форма
4. Локальды экстремум үшін жеткіліктілік шарты.
Қорытынды
ПАйдаланылған әдебиеттер

Кіріспе
Теорема. (экстремумның қажетті және жеткілікті шарты). N(x0; y0) нүктесінде дифференциалданатын z=f(x; y) функциясының экстремумы бар болса, онда оның бірінші ретті дербес туындылары осы нүктеде нөлге тең:

.
(11.1)
z=f(x; y) функциясының бірінші ретті дербес туындысының нөлге тең болғандағы нүктесі z функциясының стационар нүктесі деп аталады, яғни fx'=0, fy'=0.
Функцияның стационар нүктелері мен оның ең болмағанда бір дербес туындысы болмайтын нүктелерді күдікті нүктелер деп атайды.
Күдікті нүктелерде функцияның экстремумдары болуы да мүмкін және болмауы да мүмкін. Дербес туындылардың нөлге тең болуы ол функцияның экстремумы болуының жеткілікті болу шарты бола алмайды, ол қажеттілік шарты болады.

Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
1. Экстремумнің қажетті, жеткілікті шарттары
Анықтама. Егер (х0, у0) нүктесі үшін

теңсіздігі орындалатындай U(x0,y0) маңайы табылса, онда z = f(x,y) функциясы (х0,у0) нүктесінде локальдік (төңіректік) максимумге (минимумге) ие болады дейді.
(х0,у0) - нүктесін локальдік максимум (минимум) нүктесі, ал функцияның ол нүктеге сәйкес мәнін - функцияның максимум (минимум) мәні деп атайды. Локальдік максимум мен минимум мәндері жалпы атаумен - локальдік экстремум деп аталады. Экстремум анықтамасынан (х0,у0) нүктесінің жеткілікті шағын (аз) маңайында функция өсімшесі: ∆f= f(x,y)-f(х0,у0) таңбасын өзгертпейтінін көреміз:
локальдік максимум (max) үшін ∆f 0;
локальдік минимум (min) үшін ∆ f = 0.
Енді, алдымен, экстремумнің қажетті шартын дифференциалданатын функциялар үшін қарастырамыз.
Теорема (экстремумнің кажетті шарты). Егер дифференциалданатын z = f(x,y) функциясының P0(х0,у0) нүктесінде экстремумі бар болса, онда оның осы нүктедегі дербес туындылары нөлге тең:

Салдар. Егер P0(х0,у0) нүктесінде дифференциалданатын z = f(x,y) функциясы осы P0 нүктеде экстремумге ие болса, онда

1-Ескерту. f функциясының P0(х0,у0) нүктесінде экстремумі болуы үшін (1) - шарт жеткілікті бола алмайды.
Егер f функциясының үзіліссіз дербес туындылары үшін P0(х0,у0) нүктесінде 1- шарт орындалса, онда Р0 - f(x,y) функциясының стационар нүктесі деп аталады.
z = f(x,y) бетінің Р0(х0,у0) - стационар нүктесіндегі жанама жазықтығының, теңдеуі
Z = Z0
түрінде жазылады. Өйткені, бұл нүктеде (1) шарт орындалады да, жанама жазықтық теңдеуінің, яғни

теңдеуінің оң жағы нөлге тең болады.
Дифференциалданатын z = f(x,y) функциясының Р0(х0,у0) нүктедегі экстремумнің жеткілікті шартының геометриялық, мағынасы - функция графигінің осы нүктедегі жанама жазықтығының x,y - тәуелсіз айнымалылар жазықтығына параллель болатынын көрсетеді.
2-ескерту. Берілген нүктелерде үзіліссіз функцияның дифференциалы жоқ болса да ол нүктелер экстремум нүктелері болуы мүмкін.
f функциясының стационар нүктелері мен оның дифференциалданбайтын нүктелерін - критикалық (күндікті) нүктелер деп жалпы түрде атайды.
Экстремумнің жеткілікті шартын жалпы жағдайда келесі түрде тұжырымдауға болады.
Р0(х0,у0) нүктесі z = f(x,y) функциясының стационар нүктесі, ал функция Р0 нүктесінің қандайда бір маңайында екі рет дифференциалданып Р0 нүктесіндегі барлық екінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болсын. Онда:
1) егер екінші ретті дифференциал x, y өсімшелерінің функциясы ретінде, бір мезгілде нөлге тең емес х,у-тің барлық мәндер жиынтығында тұрақты таңба сақтаса, ондаz = f(x,y) Р0-нүктесінде экстремумге ие болады, атап айтқанда, d2z(Р0, x,y)0 болса - максимум,
d2z(Р0, x,y)0 болса -- минимум
қабылдайды;
2) егер d2z(Р0, x,y)x,y -тің таңба айнымалы функциясы болса, ондаР0 -нүктесінде функция экстремум қабылдамайды;
3) егер d2z(Р0, x,y)0 немесе d2z(Р0, x,y)0 болып, екінші дифференциал нөлге тең болатынх,у мәндер жиынтығы (х,у-бір мезгілде нөлге тең емес) бар болса, онда қосымша зерттеу қажет болады.
2. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері. Егер ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.