Жалпыланған тригонометриялық функциялар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

2 Жалпыланған тригонометриялық функциялар

2.1 Бір параметрлі жалпыланған тригонометриялық функциялар

Жаңа тригонометриялық функциялар жалпыланған тригонометриялық функциялар деп аталады және олар, сөзсіз, бірінші ретті сызықтық емес бастапқы шарттармен қарапайым дифференциалдық теңдеулермен анықталады. Бұл жүйе Hamilton жүйесімен байланысты. Осы парақта, біз бұл функцияларды үшін теңдеуін қолдану арқылы анықтаймыз. Біз жалпыланған тригонометриялық функциялардың графигін, тригонометриялық тепе-теңдіктерді және осы функциялардың бірнеше жалпы қасиеттерін зерттейміз. Егер m жұп және тақ болғандағы бірінші ретті туындыларын табамыз.
Қарапайым тригонометрия R2 Евклид кеңістігінде үшбұрыштарды қарастырады. Қарапайым тригонометриялық функцияларды нақты сандарда анықтаудың бірнеше жолдары бар. Олар: тік бұрышты үшбұрыш анықтамасы, бірлік шеңбер анықтамасы, қатарлар анықтамасы, дифференциалдық теңдеулер арқылы анықтамалары және функционалдық теңдеулерді қолдану арқылы анықтамасы. Олардың қолдану арқылы біз геометриялық мәселелерді, комплексті аналитикалық мәселелерді және күрделі Фурье қатарының мәселелерін шеше аламыз. Сонымен қатар, олардың периодтылығы маңызды. Барлық алты тригонометриялық функциялар синус және косинус функциялары арқылы өрнектелінеді.
Көптеген әдебиеттерде ([1], [2], [3], [4]) жаңа тригонометриялық функциялар бастапқы шарттылы сызықтық емес қарапайым дифференциалдық теңдеулердің бірінші ретті жүйесі арқылы анықталады. Бұл жүйе Hamilton жүйесімен байланысты. Жаңа тригонометриялық функциялар жалпыланған тригонометриялық функциялар деп аталады және үшін деп белгіленеді. Егер және деп алатын болсақ, теңдігі орындалады.
Енді біз , теңдігін пайдалана отырып, осы функциялардың графиктерін және қасиеттерін зерттейміз. Сосын m натурал сан болғанда бірінші туындыларын табамыз.Бұрыннан бері тригонометриялық функциялар Фурье қатарында, Фурье түрлендіруінде қолданылып келеді.
Енді теңдеуін қарастырамыз. Бұл теңдеудің графигі Картезиан жоспары бойынша х осіне қарағанда симметриялы. Егер болса, функциясының графигі центрі бас нүктеден, төбелері (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) өтетін бірлік квадрат. Барлық m0 болғанда, - теңдеуінің графигі болсын. үшін графигі бірлік шеңбер. кез келген үшін теңдеуінің графигі болсын. Біз оны бірлік жартылай квадрат деп атайық. Бастапқы сәулесі оң х осімен ақырғы сәулесі графигін қиятын Pm(x,y) нүктесі арқылы өтетін бірлік жартылай квадратының центрінде орналасқан бұрышын стандарт позицияда орналасқан дейміз. бұрышын стандарт позицияда орналасқан делік және Pm(x,y) нүктесі және ақырғы сәуленің қиылысуы. Одан кейін ақырлы сәулемен бірге келесілерді аламыз:
1. ұмтылғанда және
2. ұмтылғанда .
16-суретте m0 болғандағы кейбір мәндерін және нүктесін көрсете отырып
теңдеуінің графигін бейнеледік.

сурет 16. тең болғанда теңдеуінің графигі

Анықтама 2.1. Картезиан кеңістігінде, егер кеңістіктің центрі арқылы өтетін және бастапқы сәулесі оң х осіне сәйкес келетін бұрыш болса, біз келесілерді аламыз:
1. Егер ақырлы сәуле оң x-осі мен оң у-осінің арасында орналасса, . Егер немесе , онда.
2. Егер ақырлы сәуле теріс х-осі мен оң у-осінің арасында орналасса, . Егер немесе , онда.
3. Егер ақырлы сәуле теріс х-осі мен теріс у-осінің арасында орналасса, . Егер немесе , онда.
4. Егер ақырлы сәуле оң х-осі мен теріс у-осінің арасында орналасса, . Егер немесе , онда.
Анықтама 2.2. Берілген m0 және бірлік жартылай квадрат үшін - стандартты орында орналасқан бұрыш болсын. Ақырлы сәуле бірлік жартылай квадратын P(x,y) нүктесінде қияды (17-суреттегідей) деп есептелік. бұрышының төрт жалпыланған тригонометриялық функцияларын келесідей анықтаймыз:

сурет 17

1. бұрышының синусы: .
2. бұрышының косинусы: .
3. бұрышының тангенсі: ,.
4. бұрышының котангенсі: .
Келесі кестеден жалпыланған тригонометриялық функциялардың кейбір бұрыштардағы мәндері берілген:

кесте 3

0

0
1
0
-1
0

1
0
-1
0
1

0
-
0
-
0

Теорема 2.1. Барлық үшін қасиеттер орындалады.
1. .
2. .
3. .

18-суретті пайдаланып жалпыланған тригонометриялық функцияларды классикалық тригонометриялық функциялардың көмегімен өрнектеу формуласын аламыз.

сурет 18. Картезиан координатасының полярлық түрі

бірлік жартылай квадраттың полярлық теңдеуін келесі түрде анықтаймыз:

Осы теңдеуді пайдалану арқылы қарапайым тригонометриялық функция мен жалпыланған тригонометриялық функциялар арасындағы байланысты көрсететін теңдеуді аламыз және келесі теоремада көрсетеміз:
Теорема 2.2. Барлық үшін
1. .
2. .
3. . Егер болса, .
4. . Егер болса, онда .

Салдар 2.1. функциясы жалпыланған тригонометриялық функция болсын. Кез келген және үшін орындалады. Бұл деген жалпыланған тригонометриялық функциялар периодты екенін білдіреді.
Теорема 2.3. Айталық, болсын. Онда

1..
2..
3. .
4. .

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.