Жалпыланған тригонометриялық функциялар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

2 Жалпыланған тригонометриялық функциялар

2. 1 Бір параметрлі жалпыланған тригонометриялық функциялар

Жаңа тригонометриялық функциялар жалпыланған тригонометриялық функциялар деп аталады және олар, сөзсіз, бірінші ретті сызықтық емес бастапқы шарттармен қарапайым дифференциалдық теңдеулермен анықталады. Бұл жүйе Hamilton жүйесімен байланысты. Осы парақта, біз бұл функцияларды

\[m>0\]

үшін

теңдеуін қолдану арқылы анықтаймыз. Біз жалпыланған тригонометриялық функциялардың графигін, тригонометриялық тепе-теңдіктерді және осы функциялардың бірнеше жалпы қасиеттерін зерттейміз. Егер m жұп және тақ болғандағы бірінші ретті туындыларын табамыз.

Қарапайым тригонометрия R ² Евклид кеңістігінде үшбұрыштарды қарастырады. Қарапайым тригонометриялық функцияларды нақты сандарда анықтаудың бірнеше жолдары бар. Олар: тік бұрышты үшбұрыш анықтамасы, бірлік шеңбер анықтамасы, қатарлар анықтамасы, дифференциалдық теңдеулер арқылы анықтамалары және функционалдық теңдеулерді қолдану арқылы анықтамасы. Олардың қолдану арқылы біз геометриялық мәселелерді, комплексті аналитикалық мәселелерді және күрделі Фурье қатарының мәселелерін шеше аламыз. Сонымен қатар, олардың периодтылығы маңызды. Барлық алты тригонометриялық функциялар синус және косинус функциялары арқылы өрнектелінеді.

Көптеген әдебиеттерде ([1], [2], [3], [4] ) жаңа тригонометриялық функциялар бастапқы шарттылы сызықтық емес қарапайым дифференциалдық теңдеулердің бірінші ретті жүйесі арқылы анықталады. Бұл жүйе Hamilton жүйесімен байланысты. Жаңа тригонометриялық функциялар жалпыланған тригонометриялық функциялар деп аталады және

\[m\succ0\]

үшін

\[\mathrm{SiII}_{m}\ X,\mathrm{COS}_{m}\ X,\ell g_{m}X,C i g_{m}X\]

деп белгіленеді. Егер

\[\textstyle x=\cos_{m}x\]

және

\[y=\sin_{m}x\]

деп алатын болсақ,

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдігі орындалады.

Енді біз

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

\[m>1\]

теңдігін пайдалана отырып, осы функциялардың графиктерін және қасиеттерін зерттейміз. Сосын m натурал сан болғанда бірінші туындыларын табамыз. Бұрыннан бері тригонометриялық функциялар Фурье қатарында, Фурье түрлендіруінде қолданылып келеді.

Енді

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдеуін қарастырамыз. Бұл теңдеудің графигі Картезиан жоспары бойынша х осіне қарағанда симметриялы. Егер

\[m=1\]

болса,

\[|x|+|y|=1\]

функциясының графигі центрі бас нүктеден, төбелері (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) өтетін бірлік квадрат. Барлық m>0 болғанда,

\[\mathrm{S}_{m}\]

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдеуінің графигі болсын.

\[\scriptstyle{m=2}\]

үшін графигі бірлік шеңбер.

\[\mathrm{S}_{m}\]

кез келген

\[m>0\]

үшін

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдеуінің графигі болсын. Біз оны бірлік жартылай квадрат деп атайық. Бастапқы сәулесі оң х осімен ақырғы сәулесі

\[\mathrm{S}_{m}\]

графигін қиятын P _m (x, y) нүктесі арқылы өтетін

\[\mathrm{S}_{m}\]

бірлік жартылай квадратының центрінде орналасқан

\[\left(\beta\right)\]

бұрышын стандарт позицияда орналасқан дейміз.

\[\scriptstyle{q={\frac{\pi}{4}}}\]

бұрышын стандарт позицияда орналасқан делік және P _m (x, y) нүктесі

\[\mathrm{S}_{m}\]

және ақырғы сәуленің қиылысуы. Одан кейін ақырлы сәулемен бірге келесілерді аламыз:

\[m\cdots0\]

ұмтылғанда

\[P_{m}\to(0,0)\]

және

\[m\otimes\ \infty\]

ұмтылғанда

\[P_{m}\to(1,1)\]

16-суретте m>0 болғандағы кейбір мәндерін және

\[\textstyle P_{m}\]

нүктесін көрсете отырып

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдеуінің графигін бейнеледік.

сурет 16.

\[m={\frac{1}{3}},1,2,3,4,10,100\]

тең болғанда

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдеуінің графигі

Анықтама 2. 1. Картезиан кеңістігінде, егер кеңістіктің центрі арқылы өтетін және бастапқы сәулесі оң х осіне сәйкес келетін бұрыш болса, біз келесілерді аламыз:

1. Егер ақырлы сәуле оң x-осі мен оң у-осінің арасында орналасса,

\[\theta\in Q_{1}\]

. Егер

\[\theta\in Q_{1}\]

немесе

, онда

\[\theta\in Q_{1}^{\ast}\]

2. Егер ақырлы сәуле теріс х-осі мен оң у-осінің арасында орналасса,

\[\theta\in Q_{2}\]

. Егер

\[\theta\in Q_{2}\]

немесе

\[q={\frac{P}{2}}+2n\pi\,,n\in\mathbb{Z}\]

, онда

\[\theta\in Q_{2}\ast\]

3. Егер ақырлы сәуле теріс х-осі мен теріс у-осінің арасында орналасса,

\[\theta\in Q_{3}\]

. Егер

\[\theta\in Q_{3}\]

немесе

\[q=p+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\]

, онда

\[\theta\in Q_{3}^{\ \ \ \pm}\]

4. Егер ақырлы сәуле оң х-осі мен теріс у-осінің арасында орналасса,

\[\theta\in Q_{4}\]

. Егер

\[\theta\in Q_{4}\]

немесе

\[q={\frac{3p}{2}}+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\]

, онда

\[\theta\in Q_{4}\ast\]

Анықтама 2. 2. Берілген m>0 және

\[\mathrm{S}_{m}\]

бірлік жартылай квадрат үшін

- стандартты орында орналасқан бұрыш болсын. Ақырлы сәуле

\[\mathrm{S}_{m}\]

бірлік жартылай квадратын P(x, y) нүктесінде қияды (17-суреттегідей) деп есептелік.

бұрышының төрт жалпыланған тригонометриялық функцияларын келесідей анықтаймыз:

сурет 17

1. бұрышының синусы:

\[\sin_{m}\theta=y\]

2. бұрышының косинусы:

\[\cos_{m}\theta=x\]

3. бұрышының тангенсі:

\[t g_{m}\theta=\frac{y}{x}\]

\[x\neq0\]

4. бұрышының котангенсі:

\[\tilde{n}t g_{m}\theta=\frac{x}{y},y\ \ne0\]

Келесі кестеден жалпыланған тригонометриялық функциялардың кейбір бұрыштардағы мәндері берілген:

кесте 3

\[\frac{\overline{{T}}}{\overline{{Z}}}\]

\[{\mathcal{T}}\]

\[\frac{3\pi}{2}\]

\[{\mathcal{D}}_{T}\]

\[\sin_{m}\theta\]

0: 0

: 1

: 0

: -1

: 0

\[\cos_{m}\theta\]

0: 1

: 0

: -1

: 0

: 1

\[\iota_{G_{n}}\theta\]

0: 0

: -

: 0

: -

: 0

Теорема 2. 1. Барлық

\[\theta\ {\mathbf{\delta}}\in R\]

үшін қасиеттер орындалады.

\[\left|\cos_{m}Q\right|^{m}+\left|\sin_{m}\theta\right|^{m}=1\]

\[1+\left|t g_{,m}q\right|^{m}=\left|{\mathrm{sec}}_{m}\theta\right|^{m}\]

\[1+\vert c t g_{m}q\vert^{m}=\vert\mathrm{csc}_{m}\theta\vert^{m}\]

18-суретті пайдаланып жалпыланған тригонометриялық функцияларды классикалық тригонометриялық функциялардың көмегімен өрнектеу формуласын аламыз.

сурет 18. Картезиан координатасының полярлық түрі

\[\mathrm{S}_{m}\]

бірлік жартылай квадраттың полярлық теңдеуін келесі түрде анықтаймыз:

\[r={\frac{1}{\rho{\Big|}\mathrm{{COS}}q{\Big|}^{m}+{\big|}\mathrm{{Sin}}\,\theta{\Big|}^{m}}}\]

Осы теңдеуді пайдалану арқылы қарапайым тригонометриялық функция мен жалпыланған тригонометриялық функциялар арасындағы байланысты көрсететін теңдеуді аламыз және келесі теоремада көрсетеміз:

Теорема 2. 2. Барлық

\[\theta\in R\]

үшін

\[\sin_{m}q=\frac{\sin q}{\pi\sqrt{|\cos q|^{m}+|\sin\theta|^{m}}}\]

2. .

\[t g_{m}q=\frac{t g q}{m\!\left|\mathrm{cos}q\right|^{m}+\left|\mathrm{sin}\,\theta\right|^{m}}\]

. Егер

\[\cos{\theta}\ \ne0\]

болса,

\[t g_{m}q=t g\theta\]

\[c t g_{m}q=\frac{c t g q}{v\overline{{{\bigl|}}}[\mathrm{cos}q^{\bigl|}+\bigl|\mathrm{sin}\,\theta]^{m}}\]

. Егер

\[\sin\theta\ \neq0\]

болса, онда

\[c t_{\Theta}^{0}=c t_{\Theta}^{2}\theta\]

Салдар 2. 1.

\[y=f(\theta)\]

функциясы жалпыланған тригонометриялық функция болсын. Кез келген

\[k\ \in\mathbb{Z}\]

және

\[\theta\ {\underline{{\in}}}K\]

үшін

\[f({\boldsymbol{q}}+{\underline{{2p}}}\,)=f({\boldsymbol{\theta}}\,)\]

орындалады. Бұл деген жалпыланған тригонометриялық функциялар периодты екенін білдіреді.

Теорема 2. 3. Айталық,

\[\theta\ {\underline{{\in}}}K\]

болсын. Онда

\[\sin{{\frac{\Re}{\wp}}q}+{\frac{p}{2}}{\frac{\breve{\wp}}{\wp}}=\cos_{m}\theta\]

\[\cos_{m}\frac{\Re}{\mathbb{Q}}+{\frac{p}{2}}{\frac{\tilde{\Phi}}{\tilde{\phi}}}=-\sin_{m}\theta\]

\[\sin_{m}(Q\cap P)=-\sin_{m}\theta\]

\[\cos_{m}(Q\uparrow\uparrow\uparrow)=\pm\cos_{m}\theta\]

Классикалық тригонометриялық функциялар мен жалпыланған тригонометриялық функциялар арасындағы байланысты және Graph-4. 4. 2 графиктік бағдарламасын қолдана отырып,

\[m={\frac{1}{3}},1\]

және 4 болғанда жалпыланған тригонометриялық функциялардың графигін19, 20, 21-суреттерде бейнеледік.

\[\iota_{G_{n}}\theta\]

және

\[c l g_{s}\theta\]

функцияларының графиктерін

\[t g\theta\]

және

\[c o\,\theta\]

графиктерімен дәлме-дәл сәйкес келетіндіктен ескермедік.

сурет 19.

\[\scriptstyle{m=1}\]

болғанда жалпыланған тригонометриялық функциялардың графигі

сурет 20.

\[m={\frac{1}{3}}\]

болғанда жалпыланған тригонометриялық функциялардың графигі

сурет 21.

\[\scriptstyle{m=4}\]

болғанда жалпыланған тригонометриялық функциялардың графигі

Бір параметрлі жалпыланған тригонометриялық функцияларға арналған негізгі тепе-теңдіктер және жалпы қасиеттерін зерттейік.

Жалпыланған тригонометриялық функциялар, сөзсіз, және

\[m>0\]

үшін келесі тікелей жалпы қасиеттерге ие болады:

\[|\!\sin_{m}x|\ \Sigma1\]

және

\[\left|\cos_{m}x\right|\leq1\]

2. Барлық жалпыланған тригонометриялық функциялар периодты. Сонымен қатара,

\[\mathrm{SiII}_{m}\ X,\mathrm{COS}_{m}\ X\]

функцияларының периоды

\[{\mathcal{D}}_{T}\]

, ал

\[I{\mathcal{G}}_{m}{\mathcal{X}}\]

және

\[c l g_{m}X\]

функцияларының периоды

\[{\mathcal{T}}\]

\[y{\overline{{-}}}\operatorname{cos}_{m}\chi\]

және

\[y{\overline{{=}}}\mathrm{sG}_{m}\chi\]

функциялары жұп функциялар, ал қалған жалпыланған тригонометриялық функциялар тақ функциялар болады.

Теорема 2. 4. Кез келген

\[q_{1},\theta_{2}\in R\]

және

\[m>0\]

үшін

Дәлелдеме.

\[\left|x\right|^{m}+\left|y\right|^{m}=1\]

теңдеуінің графигі

\[\mathrm{S}_{m}\]

-ді тек І ширекте қарастырамыз (22-суретте көрсетілгендей) .

\[{\theta}_{1}\]

және

\[{\hat{\cal O}}_{2}\]

екі бұрышының ақырлы сәулелері ретінде сәйкесінше

\[\overline{{0a}}\]

және

\[\overline{{O C}}\]

екі векторларын жүргіземіз. Сонда келесідей болады:

сурет 22.

\[\mathrm{S}_{m}\]

-нің І ширектегі графигі

\[o b=\cos_{m}q_{1},o d=\cos_{m}q_{2},a b=\sin_{m}q_{1},c d=\sin_{m}\theta_{2}\]

Онда

\[={\frac{\cos q_{1}\cos q_{2}+\sin q_{1}\sin q_{2}}{\tilde{\sqrt{\left|\cos q_{1}\cos q_{2}+\sin q_{1}\sin q_{2}\right|^{m}+\left|\sin q_{1}\cos q_{2}-\cos q_{1}\sin\theta_{2}\right|^{m}}}}}=\]

\[=\frac{o b.o d+a b.c d}{\sqrt{\left|o b.o d+a b.c d\right|^{m}+\left|a b.o d-\ o b.c d\right|^{m}}}\cdot\frac{o}{\sqrt{\left|o a.o c\right|^{m}}}=\]

\[\frac{\cos_{m}q_{1}\cos_{m}q_{2}+\sin_{m}q_{1}\cos_{m}q_{2}+\sin_{m}q_{1}\sin_{m}q_{2}}{\sqrt{|\cos_{m}q_{1}\cos_{m}q_{2}+\sin_{m}q_{1}\sin_{m}q_{2}|^{m}+|\sin_{m}q_{1}\cos_{m}q_{2}-\cos_{m}q_{1}\sin_{m}\beta_{2}|^{m}}}\]

Салдар 2. 2. Кез келген

\[q_{1},\theta_{2}\in R\]

үшін

\[\cos_{m}2q={\frac{\cos_{m}^{2}{q}\ -\ \sin_{m}^{2}{q}}{\frac{\theta}{\sqrt{\left|\cos_{m}^{2}{q}\ -\ \sin_{m}^{2}{q}\right|^{m}+\left|2\sin_{m}{q}\cos_{m}{\theta}\right|^{m}}}}}\]

Келесі теореманың дәлелдемесі 2. 4-теоремадан тікелей немесе ұқсас жолмен дәлелденеді.

Теорема 2. 5. Кез келген

\[q_{1},\theta_{2}\in R\]

үшін

\[\sin_{m}2q={\frac{2\sin_{m}q\,\cos_{m}q}{\pi\!{\sqrt{\left|\cos_{m}q\,-\,\sin_{m}^{2}q\,\right|^{m}+\left|2\sin_{m}q\,\cos_{m}\theta\right|^{m}}}}}\]

\[t g_{m}(q_{1}-q_{2})=\frac{t g_{m}q_{1}-t g_{m}q_{2}}{1+t g_{m}q_{1}t g_{m}\theta_{2}}\]

\[t g_{m}(q_{1}+q_{2})=\frac{t g_{m}q_{1}+t g_{m}q_{2}}{1-t g_{m}q_{1}t g_{m}\theta_{2}}\]

\[t g_{m}2q={\frac{2t g_{m}q}{1-t g_{m}^{2}\theta}}\]

\[\cos_{m}^{2}\left(Q\right)+\sin_{m}^{2}\left(\theta\right)=r^{2}\]

Теорема 2. 6. Кез келген

\[\scriptstyle m\times0\]

үшін

\[\operatorname*{lim}_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin_{m}q}{\theta}=1\]

орындалады.

2. 2Бір параметрлі жалпыланған тригонометриялық функциялардың туындылары

Бұл бөлімде m-ді натурал сан ретінде қарастырамыз. m жұп натурал сан және

\[\mathrm{S}_{m}\]

бірлік жартылай квадрат болсын. Сосын

\[\mathrm{S}_{m}\]

-нің полярлық теңдеуі

\[r=\left(\cos^{m}q+\sin_{m}\theta\right)^{\frac{1}{m}}\]

түрінде болсын. Онда

бойынша

\[{\mathcal{J}}^{\circ}\]

-дің бірінші ретті туындысы

\[\frac{d r}{d q}=r\big(\mathrm{cos}_{m}^{m-1}Q\;\mathrm{sin}_{m}q-\mathrm{sin}_{m}^{m-1}Q\;\mathrm{cos}_{m}\theta\big)\]

тең болады.

Теорема 2. 7. Егер m жұп болса, онда

\[\frac{d}{d q}\big(\cos_{m}q\big)=-\,\sin_{m}^{m-1}q\left(\sin_{m}^{2}q+\cos_{m}^{2}\theta\right)\]

\[\frac{d}{d q}\big(\mathrm{sin}_{m}q\,\big)\!\!\!/=\mathrm{cos}_{m}^{m-1}q\,\big(\mathrm{sin}_{m}^{2}\,q+\mathrm{cos}_{m}^{2}\,\theta\,\big)\]

\[{\frac{d}{d q}}\bigl(t g_{m}q\bigr)={\frac{1}{\cos^{2}\theta}}\]

\[\frac{d}{d q}(c t g_{m}q){=}-\frac{1}{\sin^{2}\theta}\]

Егер mжұп болса, онда барлық

\[x\in R\]

үшін

\[\left|\chi\right|^{m}=\chi^{m}\]

болады. Бірақ егер m тақ болса, онда

\[|x|^{2n}\]

шамасы х -тің таңбасына байланысты. m жұп және m тақ болғанда жалпыланған тригонометриялық функциялардың туындылары толығымен бір-бірінен өзгеше. Сонымен қатар, m тақ болған жағдайда жалпыланған тригонометриялық функциялардың туындылары

\[p n=1\]

және

\[m>1\]

болғанда әртүрлі формада болады. Егер m тақ болса,

\[\mathrm{S}_{m}\]

-нің полярлық теңдеуі

бұрышына тәуелді төрт жағдайда келесідей болады:

m тақболғанда, жалпыланған тригонометриялық функциялардың туындыларын ықшамдау үшін келесі төрт функцияларды анықтаймыз:

\[d(q)=\bigcup_{k=1,\theta}^{\infty\mid\iota,q}\frac{Q_{1}\textrm{E}Q_{2},}{Q_{3}\textrm{E}Q_{4}.}\]

\[g*(g)=\frac{\alpha!,q}{\left|g^{-}\right|}\stackrel{\alpha\uparrow}{\sim}\underbrace{\left|\alpha_{1}^{*}\right|^{\infty}}_{2}\stackrel{\left|\beta\right.}{\left|\beta\right|}\stackrel{\alpha\uparrow}{\ ,}Q_{3}^{*}.\]

Бұдан

\[n\ \in\mathbb{Z}\]

үшін егер

\[q\ ^{\ 1}\setminus(2n+1){\frac{\pi}{2}}\]

болса, онда

\[d(q)={\frac{\left|\sin q\right|}{\sin\theta}}\]

және егер

\[q\ \barwedge n\]

болса, онда

\[g(g)={\frac{|\cos q|}{\cos\theta}}\]

Теорема 2. 8. m тақнатурал сан және

\[\mathrm{S}_{m}\]

-нің полярлық теңдеуі болсын. Онда

\[q\vdash n{\frac{\pi}{2}},n\in Z\]

үшін

\[\frac{d r}{d q}=r\big(g\big(q\big)\mathrm{sin}_{m}q\;\mathrm{cos}_{m}^{m-1}q-d\big(q\big)\mathrm{sin}_{m}^{m-1}q\;\mathrm{cos}_{m}\theta\big)\]

Дәлелдеме. Біз

m тақ болса, m-1 жұп болады және біз

\[\cdot\frac{\alpha}{\mathrm{K}}{\mathrm{cos}}^{m-1}q\ \mathrm{sin}\,q\,\frac{|\cos q|}{\cos q}-\sin^{m-1}q\cos q\,\frac{|\sin q|}{\sin\theta}{\frac{\mathrm{lin}}{\phi}}=\]

\[=r\frac{\alpha}{\mathrm{e}}{\mathrm{cos}}_{m}^{m-1}q\;{\mathrm{sin}}_{m}\underline{{{q}}}_{G\mathrm{G}q}\mathrm{~sin}_{m}\underline{{{q}}}\;{\mathrm{cos}}_{m}\underline{{{q}}}\left|\ \!\mathrm{sin}q\right|\!\Big\vert_{\Big\Vert}^{2}\]

аламыз.

\[q\ 1\ n\frac{\pi}{2},n\in Z\]

болғандықтан

\[\frac{d r}{d q}=r\frac{\Re}{\hat{\mathrm{e}}}\,\frac{g\left(q\right)\mathrm{cos}_{m}^{m-1}q\;\mathrm{sin}_{m}q}{\hat{\mathrm{e}}}\stackrel{\mathbb{Q}}{\hat{\mathrm{e}}}\]

Теорема 2. 9. Егер m=1 болса, онда барлық

\[q=n{\frac{\pi}{2}},n\in Z\]

үшін

\[\frac{d r}{d\theta}\]

табылмайды.

Дәлелдеме. m=1 үшін r -дің бойынша

\[q=m\tau\]

тең болғандағы оң жақты және сол жақты туындылары

\[\frac{\mathrm{e}d r}{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{e}}=-\,l a n d\frac{\mathrm{e}d r}{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=1\]

тең болады.

Онда барлық

\[q=n{\frac{\pi}{2}},n\in Z\]

үшін

\[\frac{d r}{d\theta}\]

табылмайды.

Осыған ұқсас, барлық

\[q={(2n+1){\frac{\pi}{2}},n\in Z}\]

үшін

Теорема 2. 10. Егер mтақ және

\[m\neq1\]

болса, онда барлық

\[q=n{\frac{\pi}{2}},n\in Z\]

үшін

\[{\frac{d r}{d\theta}}=0\]

Дәлелдеме. Егер

\[m>1\]

болса, онда

\[{}^{*}q=n{\frac{\pi}{2}},n\in Z\]

\[\cos_{m}^{m-1}q\ \mathrm{sin}_{m}\theta=0\]

және

\[\sin_{m}^{m-1}q\cos_{m}\theta=0\]

. Бұл келесіні шығарады:

\[\left.{\frac{x d r}{c}}\right.{\frac{\partial^{+}}{\Vert}_{q=n_{2}^{p}}}={\frac{\alpha d r}{\mathrm{e}}}\left.{\frac{\partial}{\bar{\phi}}}\right|_{q=n_{2}^{p}}=0.\]

Ескету 2. 1. Барлық

\[m>0\]

үшін және

\[q\ 1\ n\frac{\pi}{2},n\in Z\]

үшін біз

\[d\left(q\right)=d^{\,*}\left(\theta\right)\]

және

\[g(q)=g^{*}(\theta)\]

ие боламыз да

\[{\frac{d r}{d q}}=r{\frac{\propto}{\xi}}{\frac{g*\left(q\right)\cos_{m}^{m-1}q\,\sin_{m}q}{g\ln_{m}^{m-1}q\,\cos_{m}\theta}}.\]

Сонымен қатар, егер

\[m\ \neq{\mathfrak{k}}\]

және

\[q=n{\frac{\pi}{2}},n\in Z\]

болса,

\[r=1,d*(\theta)\]

және

\[g\ \ ^{\ \cdot\ 4}(\theta)\]

шамалары 1 немесе -1 тең болады және

\[\cos_{m}^{m-1}q\sin_{m}q=0,\mathrm{sin}_{m}^{m-1}q\cos_{m}\theta=0\]

болады. Онда

\[\frac{d r}{d q}=r\frac{\propto}{\hat{\mathrm{e}}}\,g^{\ast\ast}\,{\left(q\right)}\mathrm{cos}_{m}^{m-1}\,q\,\sin_{m}q\mathrm{\tiny~\frac{~\hat{\Phi}}{\hat{\Phi}}}=1(g\ast(q)\lambda0-d\ ^{\ast}(\theta)\chi0)=0.\]

Осы ескертуді қолдана отырып, келесі қорытынды теореманы аламыз.

Теорема 2. 11. m тақ натурал сан және

\[r={\bigg(}{\cos q}{\bigg|}^{m}+{\vert}{\sin\theta}{\bigg|}^{m}{\bigg)}^{\frac{1}{m}}\]

\[\mathrm{S}_{m}\]

бірлік жартылай квадратының полярлық теңдеуі болсын. Онда

а.

\[m=1\]

және

\[q\ 1\ n\frac{\pi}{2},n\in Z\]

үшін

\[\frac{d r}{d q}=\,\rlap{v}{\cal{H}}(q)\mathrm{sin}_{1}q-d(q)\mathrm{cos}_{1}\theta\,).\]

\[m\ \not\in{\mathfrak{T}}\]

және барлық

үшін

\[\frac{d r}{d q}=r\big(g\ast\big(q\big)\mathrm{cos}_{m}^{m-1}q\ \mathrm{sin}_{m}q-d\ ^{\ast\ k}\big(q\big)\mathrm{sin}_{m}^{m-1}q\ \mathrm{cos}_{m}\theta\big)\]

Теорема 2. 12.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.