Математиканы оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
№8 Математиканы оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен қалыптасты. Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек философы Сократтың (б. э. д. 469-399 жж.) еңбектерінде кездеседі. Индукция термині латынның inductio - түрткі, кірістіру, жекеден көпке, жалқыдан жалпыға көше отырып пайымдау жолы деген сөзі. Оның негізгі үш мәні бар: ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі - екі немесе бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау; кейбір нысандар жиынын үйрету үшін жеке нысандарды қарастырады. Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздестіріледі, жеке айғақтан жасалған тұжырым барлық нысандардың қасиеті ретінде алынады; оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып табылады. 1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысады. Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады. Дербес пікірлер: эллипс, парабола, гипербола - конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар жиынын құрайды. Жаңа жалпы пікір: екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысуы мүмкін. 2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін қарастырайық (6-кесте) 6-кесте - Қате пікірлердің пайда болуына мысал тақ сан тақ сан тақ сан Қорытынды тақ сан Қорытынды қате пікір: құрама сан Математикалық индукция қағидасы орындалған жоқ Толымсыз индукция Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция - жеке айғақтар өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмауы да мүмкін алғашқы жеке айғақтарда бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық үдерісте, әсіресе жеке дәйектер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес дәйектерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адамның іс-тәжірибесінде бұрыннан сыналған (мысалы, ықтималдар теориясы мен математикалық статитикада). Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз. Мысалы, осы әдіспен мектепте арифметикалық, геометриялық прогрессия өтіледі. Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелерден, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады. Толық индукция Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытынды болады. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды көбейткіштерге жіктейміз. 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. Сонымен, толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес, толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз (4, 5, 6-суреттер): а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады. б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады - бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. . Индукциялық ой қорыту нысандардың арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде нысандар арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту - белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп атайды. Оқыту үдерісінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістемесі ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады). Дедукция Дедукция (латынша deductio - бір жола шығару). Бір жалпы пікірден және бір дербес пікірден жаңа, барынша жалпы немесе дербес пікірге көшуді дедукция, деп атаймыз. Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас (1-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас (2-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болады (жаңа пікір - қорытынды). Осы жағдайлардан жаңа қорытынды шығарайық. Пікірлер логикасында қорытылған жаңа пікірді алғы шарт деп атайды. Олардан қорытылған жаңа пікірді ой қорыту деп атайды. Жоғарыдағы мысалда жалпы сөз тіркесі Дұрыс аттас көпбұрыштар. Дедукцияның мәні - берілген дербес жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып табылады. Дедукциялық ойлаудың дұрыстығы алғашқы екі тұжырымға тәуелді. Егер екі тұжырым дұрыс болса және дұрыс қорытынды шығарылса, онда қорытындысы да ешбір талассыз дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың келесі түрлері болуы мүмкін: - барынша жалпы жағдайдан ой қорытудан барынша дербес жеке жағдайдағы ой қорытуға көшу. - жалпы жағдайдағы ой қорытудан жалпы жағдайға көшу. Мысалы, барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді; барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді, ешбір жұп сан бір мезгілде тақ сан бола алмайды. Жеке пікірден дербес пікірге көше отырып ой қорыту. Мысалы, 2 саны - жай сан; 2 саны - натурал сан, кейбір натурал сан жай сан болып табылады Математикалық ой қорытулар көбінесе дедукциялық болады. Қысқаша айту мақсатында кейбір тұжырымдар қалдырылады: Мысалы, берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас, себебі олар аттас. Математика дедукциялық ғылым. Шынында да математикалық пәнді қатаң баяндағанда негізгі ұғымдар мен олардың өзара қатысы, байланысы орнатылады (олар белгілі ұғымдар мен олардың қатынасы арқылы анықталады), бұдан соң бұл ұғымдар мен қатыстарды байланыстыратын аксиомалар жүйесі құрастырылады. Негізгі ұғымдар мен қатыстар аксиомалар жүйесінің негізінде жаңа ұғым пайда болады, тікелей ой қорыту ережесі пікір мен оның салдары логикалық реттілікпен баяндалады. Теореманы дедукциялық тұрғыдан дәлелдеу жүргізілген қадамның тек логикалық реттілігі болып қана қоймай, бұрыннан белгілілерге сүйеніп, сонымен бірге әрбір қадамның, тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу болып табылады. Мысалы, теңбүйірлі. Қорытынды: . Дедукция процесі математикалық логиканың тілінде қатаң түрде өрнектеледі. Дедукция белгілі бір ережелердің нәтижесінде бейнелейді. Зерттеу әдісі ретінде нысандар арасындағы ортақ қасиеттер мен байланыстарды табу арқылы сипатталады, нысандар класының нақты қасиеттері туралы пікір айтуға мүмкіндік береді. Мысалы, шаршының қасиетін қарастыра отырып, оның ең алдымен ромб екенін білеміз. Сонымен ромбыға тән қасиет шаршыға да тән. (Шаршының диагоналдары өзара перпендикуляр). Математикалық сөйлемдерді баяндауда жетілдірілген индукция деген атпен индукция мен дедукция тығыз байланысты түрде жиі кездеседі. Жетілдірілген индукция әдісі Индукциялық жолмен алынған қорытындыны логикалық жолмен негіздеу қажеттігі туғанда әдетте жетілдірілген индукция қолданылады. Толық математикалық индукция белгілі дәйекке қолданылғанда келесі түрде біртіндеп қолданылады: бақылау және тәжірибе; болжам; болжамды дәлелдеу. Мысалы, элементтері санаулы жиында n элементтен тұратын алмастыруды қанша әдіспен жасауға болады? 1-ші кезең. Ізделінді алмастыру санын x арқылы белгілейік, ал жиын элементтерін арқылы дербес мәндерінде бұл жағдайды зерттейік (7-кесте). 7-кесте - Дербес мәндерде жағдайды зерттеу Мәні Тәжірибе және байқау -тің мәні 1 1 2 2 3 , , , , 6 4 24 2-ші кезең. Тәжірибенің қорытындысын шығарайық (8-кесте) 8-кесте - Тәжірибенің қорытындысы Элементтер саны Тәжірибе Қорытынды Егер қандай да бір натурал саны үшін тұжырымдалған құрылым үшін тура болып, үшін тура деп алынып, үшін тура екені дәлелденетін болса, онда бұның п үшін тура екені дәлелденеді. Математикалық индукция әдісі математикалық индукция қағидасына негізделген. Математикалық индукция әдісін бөлінгіштіктерді дәлелдеуге пайдалануға болады. 1 Есеп. Кез келген п натурал саны үшін (1) екенін дәлелдейік. Шешуі: үшін тура. үшін тура делік. үшін тура екенін дәлелдейік. Шыққан қосындыдағы әрбір қосылғыш 64-ке бөлінеді, ендеше қосынды 64-ке бөлінеді. Яғни, (1) орындалатыны дәлелденді. 2 Есеп. теңдеуінің дұрыстығын дәлелдейік (. Оқылуы: n факториал). 1). үшін тура; 2). үшін: тура деп аламыз; 3). үшін тура екенін дәлелдейік: осыдан: , сол жақтағы 1-ші және 3-ші қосылғыштардан -ді жақша сыртына шығарсақ: осыдан , д.к.о. Аналогиялардың маңызы және оның түрлері Салыстыру мен аналогия - ойлаудың логикалық тәсілі, ол ғылыми зерттеулерде және оқыту үдерісінде қолданылады. Математикалық білім алу үдерісінде өз бетінше жаңа нәтижеге қол жеткізу процестері, ең алдымен, оқушының өзіндегі бар білімді және оның кең көлемде аналогиясы арқылы жаңа білім алуға байланысты. Мысалы, (а1 -- а2 планиметрия - стереометрия, шаршы - куб) т. б. Математикалық білімді меңгерудің барлық кезеңдерінде аналогия бойынша ой қорытудың маңызы ерекше. Традукциялық ой тұжырымының маңызды түрі - аналогия болып табылады. (грек, analogіa - сәйкестік, ұқсастық). Аналогия - танымның аса тиімді эвристикалық құралы. Аналогия - адамның қалыптасқан білімін жаңа алған білімге айналдыруда ұқсастықты қолданатын логикалық әдіс. Ол білім алдымен жорамал, болжам түрінде одан кейін мүмкіндігіне қарай дәлелденген нақты білімге айналады; өз бетінше кеңейтетін білімдер жүйесіне айналады. Адам ойының белсенді, ақыл ойының пәрменді дамуы оның аналогия бойынша ойлауына байланысты. Америка математиктері Д.Пойа, У.У.Сойер білімнің қай саласындағы жаңалық болса да аналогияның логикалық тәсілінсіз табылмағанын дәлелдеді . Салыстыру - материалдық нысандарды оларды оқып үйренгенде олардың ұқсастығы мен бір-бірінен айырмашылықтарын ойша байқайтын логикалық әдіс. Салыстырудың танымдық үдерісінде қаншалықты зор маңызы бар екені туралы мынадай белгілі нақыл бар: Барлығын да салыстыру арқылы танимыз. Салыстыру - зерттеу әдісі ретінде математикада ғана қолданып қоймай, нысандардың математикалық заңдылықтарын үйренуге, оларды байланыстыруға қолданылады. Салыстыру әдісін қолданғанда келесі жағдайларды басшылыққа алғанда ғана ол тұралы дұрыс қорытындыға әкеледі. Бір-бірімен белгілі байланыстағы біртекті нысандарды салыстыруға болады. Салыстырудың мағынасы болуы керек. Мысалы, өлшемдері бірдей арақашықтықтар, өлшемдері бірдей бұрыштар т.с.с. Екі функцияның қасиетін салыстыруға болады, үшбұрышты - үшбұрышпен, төртбұрышты - төртбұрышпен, ромбыны - ромбымен салыстырады. Мысалы, екі көпбұрыштың ұқсастығы, ауданы, параметрлері, т.б. қасиеттері бойынша салыстырылуы керек. Бір ғана нысанға ие болатын нысандар толық болу керек. Салыстыру математикалық ұғым анықтамалары таратып жазған кезде қолданылады. Бұл туралы К. Д. Ушинский Дидактикада салыстыру негізгі тәсіл болу керек деп есептеген. Бұл ой математиканы оқытуда өте сенімді тәсіл. Мысалы, тақтаға бірнеше дербес тізбектер жазып оларды салыстыру арқылы арифметикалық прогрессия анықтамасын оқушыларға тұжырымдатуға болады. Зиянды аналогиялар. Оқушылар шығарған есептерде аналогиялық қателер жиі. Мысалы: 1. Қосылғыштарды қысқару: (дұрысы: бұл қысқармайды); 2. Жиі кездесетін қателер түрі: өрнегі де жалған аналогия әдісімен табылған (дұрыс нақты сандар жиынында түбірі табылмайды); 3. Жалған аналогиялық қателер (дұрысы: ); 4. Өте кең таралған қателерді: психолог Н. А. Меншчинскаяның зерттеулері бойынша: Оқушылар 96:16=10 есебін шешкенде қате жіберді; 5. Кеңістікте берілген түзу арқылы осы тек бір ғана перпендикуляр түзу ғана болады - қате пікір. 6. Софизмдер. Софизм (грек. sophisma - қақпан, өтірік, басқатыру) - қорытындының негізі логикалық және семантикалық (тілдік мазмұнын, яғни мәнін) талдаудың жеткіліксіздігінен пайда болатын, таза субьективті әсерден туатын, жорамал дәлелдеу. 1-есеп. 5 = 1 софизмін дәлелдеуге тырысып, 5 және 1 сандарынан бірдей санды, яғни 3-ті шегереміз. Теңдеудің екі жағында шыққан 2 және -2 сандарын квадраттасақ, екеуінен де бірдей 4 санын аламыз: Ендеше 1 мен 5 тең болуы керек. Қатені табыңыз. Жауабы: квадраттардың теңдігінен сол сандардың өздерінің теңдігі шықпайды. 2-есеп. софизмін дәлелдеп, қатесін табыңыз. Шешуі. сандық тепе-теңдігін қарастырайық. Оң жағындағы және сол жағындағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарсақ: . Осы теңдеудің екі жағын жақша ішіндегі ортақ көбейткішке бөлсек: . Қате қайда? Жауабы: сандарды -ге бөлуге болмайды. Ой қорытындыларының маңызды бөліктерінің бірі традукциялық (транзитивтік) ой тұжырымы болып табылады (лат. raductіon - орын ауыстыру). Мұндағы екі және одан да көп пайымдардан қандайда бір жалпылама дәрежесі одан жоғары жаңа пайымдауға өтеді. Мысалы, а, b, және с - қандайда бір нақты сандар болатын, аb (бірінші пайым), bс (екінші пайым), ас (жаңа пайым). Зерттеу әдісі ретінде традукция қандайда бір қатынаста екі нысандардың сәйкестігін орнатқаннан кейін, осы нысандарды басқа қатынасқа келтіріледі.
Математикалық есептер
Оқушыларды есеп шығаруға үйрету мәселесі ертеден келе жатыр. Есеп шығара білу - оқу материалын игеру мен математикалық дамудың негізгі көрсеткіштерінің бірі. Оның жаңа аспекттерінің бәрі жоғарыда көрсетілген бағыттардың шешімін таппауына байланысты болады. Математиканы мектепте тереңдетіп оқытуда оқушылардың есептерге оқыту, конструкциялау және зерттеу объектісі ретіндегі қөзқарастарын қалыптастыру қажет. Сондықтан, есептер шығарудың әртүрлі оқыту әдістемелері талап етіледі. Олардың төмендегі классификациясын келтіруге болады: - нысандардың сипаттамасы бойынша (практикалық, қолданбалы); - теорияға қатысты (стандарт, стандарт емес); - талап ету сипаттамасы бойынша (ізделінділерді табу, дәлелдеу, салу) т.б. Аналогияны есептер шешуде қолдану Есепті шешу әдісін іздестіруде аналогияны саналы түрде қолдануға оқушыларды дағдыландырудың маңызы зор. Ол үшін мынадай жалпы жоспар ұсынамыз: берілгенге ұқсас есеп таңдап алу, яғни берілгендерін салыстыруға болатын шарттары ұқсас, қорытындысы да ұқсас болуы керек. Берілген есепке ұқсас тандап алынған есептің жеңіл шығару әдісі мен шешімі белгілі болу керек. қосымша есепті шешу керек, содан соң осыған ұқсас пайымдап, берілген есепті шешу қажет. Аналогияны, көбінесе, планиметриялық және стереометриялық есептерді шешуге пайдаланылады. Мысалы, кез келген төрт жазықтық арқылы кеңістікті неше бөлікке бөлуге болады? Бұл тетраэдрді анықтайды. Бұл фигура бізге жазықтықта қиылысатын үш түзуді еске түсіреді. Олай болса, планиметриядан берілгенге ұқсас көмекші есеп құрастырамыз. Кез келген үш түзу жазықтықты неше бөлікке бөледі? Алдымен осы қосымша есепті шешейік, жалпы алғанда кез келген үш түзу жазықтықты 7 бөлікке бөледі, оның бірі ішкі облыс (7-сурет). Жалпы алганда 4 жазықтық кеңістікті мынандай бөліктерге бөледі (8-сурет). Ішкі шектелген бөлік; кеңістіктің шектелмеген бөлігі ішкі облыспен, яғни тетраэдрмен шектелген (4 бөлік), тетраэдрдің жақтарымен шектелген бөлігі (6 бөлік), төбелері арқылы өтетін бөліктер (4 бөлік). Сонымен, кеңістік 1+4+6+4=15 бөлікке бөлінеді. Бұл әдістіі оқушылар жақсылап меңгеруі үшін аналогия әдісі пайдалы әсер ететіндей есептер шешуді қарастыру керек. Бұлардың мазмұны бір-бірімен байланысты , мұндай жағдайда екі есепті бірден тұжырымдау керек. Дәлелдеуге берілген есептер Тең бүйірлі үшбұрышта әр төбесінен табанына жүргізілген биссектрисалары тең екенін дәлелдеңіздер. Дәлелдеу: ABC тең бүйірлі үшбұрыш болсын, мұндағы АВ=ВС, AD және СЕ табандарына жүргізілген бұрыштың биссектрисалары болсын D ВС,E AB, AD = СЕ екенін дәлелдейміз. Үшбұрыштар теңдігінің DAC = ECA, (AC - ортақ, шарт бойынша A = C, ACE = CAD, себебі AD және СЕ - тең бұрыштардың биссектрисалары). DAC және ЕСА үшбұрыштарының тендігінен AD=CE шығады. Дәлелдеу керегі осы.
Математиканы оқытудағы есептің ролі
Педагогикалық күрделі мәселенің бірі - - оқушыларға есеп шығаруды үйрету. Оның күрделілігі кез келген есепті шығарудың кілті болатын жалпы ортақ әдістің жоқтығында. Бірақ типтік есептердің шығару әдістері бар. Дегенмен тәжірибе көрсеткендей, сол типтік есептерді шығаруды үйретудің өзі де жоғары дәрежеде емес. Математикалық есептердің білім берудегі мәні Математикалық есептерді шеше отырып, оқушылар көптеген жаңа мәселелерді таниды: есеп шартында жазылған жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияны есептерді шешуге қолданылуымен, есептер шешудің жаңа әдістемесімен, танымдық немесе есептер шешуге қажетті математиканың жаңа бір саласымен танысады, жеткілікті түрде жаттығу арқылы дағды қалыптастырып, математикалық білімін көтереді. Математикалық есептердің іс-тәжірибелік мәні Математикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімдерін іс-тәжірибелік қажеттіліктерге пайдаланады, өзінің болашақтағы іс-тәжірибелік қызметіне (қажетті) керекті істермен айналысады. Іс-тәжірибелік қажеттілігі бар барлық конструкторлық есептерде математикалық есептерді шешуге тура келеді. Үдерістерді сипаттап, математикалық аппараттын қолданбай, математикалық есептеулерсіз зерттеу жүргізу мүмкін емес. Математикалық есептер физикада, химияда, биологияда, электротехника мен радиотехникада т.б. зерттеулерде және теориялық негіздерді түсіндіруге қажет. Оқушылардың ойлау дағдысын дамытудағы математикалық есептердің мәні Математикалық есептер шешу оның шартында берілгендер мен ізделіндіні салыстыруға, керісінше салыстыруға, мәселелер мен қорытындыны бір-бірінен ажыратуға мүмкіндік береді. А.Я. Хинчиннің айтуынша математикалық есептер оқушыларды дәлелмен дұрыс ойлауға үйретеді. Есептер толығымен дәлелді, белгілі заңдар негізінде жалпы қорытындылар жасайды, дәлелді аналогияға сүйеніп, барлық жағдайларды қарастырады. Математикалық есептерді шешу арқылы ерекше ойлау стилі, ойымыздың формальді-логикалық формасы қалыптасады, ойдың орнықтылығы, ойлау жолының дәлдігі, символиканы қолдана білу дағдысы, еске сақтау, елестету дәлдігіне үйретеді. Математикалық есептердің тәрбиелік мәні Есептер өзінің мазмұны арқылы тәрбиелейді. Қоғам дамуына қарай есеп мазмұны да өзгереді. Ресейдің революциядан бұрынғы есептер жинақтарында және капиталистік елдерге тән: сатып алу, сату кезінде табыс табу, азартты ойындар туралы есептер бар. Кеңес мектебінің оқулықтарында оқушылардың моральдік сапасы, ғылыми дүниетаным, интернационализм, ұжымдасуға, Отанды сүюге тәрбиелейтін есептер бар. Отанды сүюге, халық шаруашылығының жетістіктерін насихаттайтын есептер бар. Есептерді шешу дұрыс жолға қойылса, оқушы ұстамдылыққа, шыдамдылыққа, өз жолдасының еңбегін бағалай білуге үйренеді. Мектепке математикалық талдаудың ендірілуі оқушылардың диалектикалық-материалистік дүниетанымын қалыптастыруға мүмкіндік берді. Білімнің негізі дүниетаным болып саналады. Математикалық есептер педагогикалық, дидактикалық, даму мақсаттарын алға қояды. Бұл мақсаттар есептің мазмұны және шығарылуы, қолданылуы арқылы іске асады. Математикалық есептердің оқытудағы білім, білік және дағдыларды қалыптастырудағы рөлі. Математикалық ұғымдарды меңгеру үшін есептер шешіледі. Математикалық жаттығулар орындап, есептер шешу арқылы ұғымды қалыптастырғанда ғана оқушының нақты білімі болады. Математикалық символиканы меңгерудегі есептердің ролі. Математиканы оқытудың бір мақсаты математиканың тілін, символикасын білу. Мысалы, өрнектерде жақша қандай роль атқарып тұрғанын анықтаңыз және өрнектерді ауызшы оқыңыз 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) t=-8, 8) мұндағы . Бірінші өрнектің оқылуы: екі бүтін екіден бір мен бестен екінің көбейтіндісі мен бір бүтін оннан бестің қосындысы мен ноль бүтін оннан бірдің айырмасы. Символиканы үйренудегі басты мәселе: есептер шешу барысында оны дұрыс қолдану.
Дәлелдеуді қажет ететін есептер Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі оқушыларға дәлелдеуді үйрету. Жай есептердің өзі дәлелдеуден басталады. Мұндай есептердің жауабын іздеу олардың шындығын іздеуге әкеледі. Есептер өзінің шешімін табуда берілген мәліметтер арқылы дәлелдеуге тиісті ұғымға логикалық қадам жасап, ілгерілеуге жетелейді. Күрделі есептер бірнеше логикалық тізбектен тұрады. Есептерді шешу - зерттеліп отырған ұғымды нақтылау, соның табиғатын түсіну, оның әр түрлі байланыстарын қарастыру, символика тілін пайдалану, дәлелдеу. Мысалы, а) x y теңсіздігінен х2 y2 теңсіздігі шыға ма? ә) екі биссектриса әрқашан перпендикуляр бола ма? б) екі биіктік әрқашан перпендикуляр бола ма? Математикалық білік және дағды қалыптастыруға арналған есептер
Мысалы, теплоход өзен ағысы бойынша 48 км жүзіп кейін қайтты, бүкіл жолға 5 сағат уақыт жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 4 кмсағ. Теплоходтың меншікті жылдамдығын табыңыздар. Егер теплоходтың меншікті жылдамдығын V кмсағ десек, 5V2 - 96V - 20, V ¹ +- 4. Квадрат теңдеуді шешу тәсілдері осылайша мәселелік жағдайға келтіріледі. Алғашқы бағасы 10000 теңге болатын бұйым 4 жыл ішінде әр жылы 5% арзандаған болса, оның бағасы енді қанша болды? Есептің шешуіне А = 10000(, формуласы қолданылады, мұндағы t = 4. A = 10000((т). Көрсеткіштік функция мәселелік жағдайға келтіріледі. Мысалы, берілгені Дк. DABM = DBCN болатынын бұл есепті шешу арқылы 8-сынып оқушылары Фалес теоремасын жеңіл дәлелдейді (9-сурет). 9-сурет Дарынды психолог, әрі математик Д. Пойа өзінің Есепті қалай шығару керек деген кітабында есеп шығарудың жалпы әдістерін жасауға ұмтылған. Автор есеп шығару барысын төрт кезеңге бөледі: а) Есепті түсіну (есептің шарты). ә) Есепті шығару жоспарын құру (талдау). б) Бұл жоспарды орындау (синтез). в) Өткенге көзқарас (есептің шешілуін ұғыну). Д. Пойа есеп шығаруды үйретудің тиімділігін арттыруда оларды іріктеу үлкен роль атқарады дейді. Бірақ біз тек есептерді іріктеу оқушылардың есеп шығарудың талдау (анализ), синтез, индукция, дедукция, т.с.с негізгі әдістері мен тәсілдерін меңгеруін қамтамасыз ете алмайды деп ойлаймыз. Талдау дегеніміз белгісізден белгіліге қарай пайымдау жолы, синтез дегеніміз белгіліден белгісізге қарай көшу жолы, ал индукция жекеден жалпыға көшу, дедукция жалпыдан жекеге көшу. Бұрынғы шығарған есеппен аналогияны іздестірудің өзі бұған ұқсасты еске түсіруді ғана емес, сол аналогияны табу үшін аналитикалық-синтетикалық әдісті қолдануды талап етеді. Сондықтан есептер жүйесін іріктеумен қатар әрбір есепті шығарғанда мұғалім мен оқушының жүргізген жұмысының әдістемесінің ролі мен маңызы үлкен. Мұғалімнің есеп шығарғандағы әдістемелік жұмысы, біріншіден шығарылған есептің шартын талдаушы, екінші жағынан синтездейотырып, есеп шығаруды үйретудің тиімділігін қамтамасыз етеді. Д. Пойаның ұсыныстары талқылау құрылымдарын қалыптастыруға ықпал етіп, есеп шығарушыны ізденіске бағыттайды. Бірақ, барлық ұсыныстарды орындау есептің шығарылуына толық кепілдік бере алмайды. Есеп шығаруды жеткілікті дәрежеде меңгеру үшін талдау, жалпылау, индукция, аналогия тәсілдерін үйрету керек. П. В. Стратилов өз тәжірибесіне сүйене келіп, теңдеулердің көмегімен есеп шығару жұмысының әдістемесі мынадай кезеңдерден тұрады деп көрсетуге болады: 1) есептің шартын оқып және ондағы шығармаларды анықтау; 2) есеп шартындағы шамалардың арасындағы тәуелділіктерді анықтау; 3) есептің сұрағына қарап белгісіздіктерді анықтау және белгілеу; 4) енгізілген қосымша белгісіздер мен есеп шартында берілген сандар арқылы есептің шартын ауыстыру; 5) есеп шартында қандай да бір шаманың мәнін анықтап, соның көмегімен теңдеу құру; 6) теңдеу шешу; 7) табылған мәндерді тексеру және жауабын жазу. Есеп шығаруды үйрету мұғалім мен оқушы әрекетінің күрделі және динамикалық жиынын білдіреді. Бұл әрекетті белгілі бір жолмен мұғалім ұйымдастырады, бағытайды, реттейді және басқарады, шығарылған есепке қойылатын талаппен үйлестіріледі. Бұл әрекеттердің мәні және мақсатты бағыттары, сол сияқты есеп шығару барысында іске асырылатын әдістер оның дұрыс шешімін алу үшін тиімді жағдай жасап қана қоймай, оның тәрбиелік мәні және дамытушылық әсерін күшейтуге де ықпал етуі тиіс. Есеп шығарылуы - қарастырылып отырған есеп түрін шығарумен оқушыларды таныстыру оны шығара білу іскерліктерін қалыптастыру. Бұл жағдайлардың қайсысында болсын, есеп шығаруды үйрету, көбінесе оқушылардың ойын дамытуға әсер етеді, өйткені ол талдау және синтез, нақтылау және жалпылау, салыстыру және қорыту сияқты ойлау операцияларын орындауды талап етеді. Сонымен бірге оқушылардың ойларының математикалық белсенділігін тәрбиелеуге көңіл аударған жөн. Белгілі бір әдістеме бойынша ойлаудың мұндай сапаларын тәрбиелеу есеп шығаруды үйренуге оң әсерін тигізеді. Оқушыға артық күш түсірмеу үшін есеп шығару үрдісін төрт кезеңге бөлуге болады: - есептің мазмұнымен танысу; - есептің шешуін іздеу; - есепті шығару; - есеп шығаруды көрсету. Әрбір кезеңнің оқушылар үшін өзіндік тәрбиелік әсері бар. Есеп шығару тәсілдері мен құралдарын таңдауда оқушыларға толық еріктілік беру керек. Есеп шығаруды қалай бастау керек? деген сұраққа ойланындар деп жауап береміз. Өзіміздің сұрақтарымызбен оқушыларды есепті нақтылы шешуге емес, шешудің жалпы идеяларына әкелу керек. Бұдан біз есеп шығармашылық көзқарас тудыру әдістемесінің негізін көреміз. Есеп шығаруда ойлану үрдісін түйінді үш кезеңге бөлеміз: оқушының ойы есептің мазмұнына анағұрлым терең бойлайды, ойлау әрекетінің белсенділігі ең жоғарғы деңгейге жетеді, есепті талдау, есепті алдын-ала зерттеу және таныс әдісті қолдану мүмкіндіктерін зерттейді. 1. Есептің шартын талдау. Есептің шартына кіретін шамалардың сан мәндерінің арасындағы байлаыстарды анықтау мақсатымен есептің берілгені мен белгісізін салыстыру немесе геометриялық фигуралардың жекелеген элементтерінің арасындағы байланыстарды анықтау және шамалар арасындағы тәуелділікті анықтау. 2. Есепті алдын-ала зерттеу. Берілген есептің түрлі нұсқасын қарастыру, есептің кейбір берілгендерін сақтай отырып, басқасын еркін өзгерту және бұл үрдістегі заңдылықты табу. 3. Таныс әдісті қолдану мүкіндігін зерттеу. Есепке белгілі бір көзқарас тұрғысынан қарау, есептің берілгені мен белгісіздігінің арасындағы зерттеу әдісіне тән ерекше байланыстарды анықтауға ықпал етеді. Математикалық есептердің түрлері: оқылатын бағдарламаға сәйкес: есептер стандарт және стандарт емес есептер, берілуі мен шығарылу тәсіліне қарай графиктік, геометриялық, кестелік, салу, есептеу, дәлелдеу, логикалық, қызықты, ойын есептер, қақпан есептер, математикалық викториналар, софизмдер, сөзтізбектер мен қиылысулар, мәселе есептер, ашық және жабық тестер т.б.; мазмұнына қарай пайыздарға, қозғалысқа, қоспаларға, пропорцияға т.б. берілген есептер, статистикалық, дифференциалдық есептер, элементар математикаға, жоғары математикаға берілген есептер, орындалу функциясына қарай белгісіз шаманы табу, теңдеуді, теңсіздікті шешу, функцияның анықталу аймағын, функцияның мәндерінің аймағын табу; күрделілігіне қарай қарапайым, орта, жоғары деңгейлік есептер, конкурстық (олимпиадалық, жарыс) жас ерекшеліктерге байланысты 1-сыныпқа арналған, 2-сыныпқа арналған т.с.с. болып бөлінеді. Конкурстық есептер: стандарт емес есептер, логикалық, қызықты, ойын есептер, қақпан есептер, математикалық викториналар, софизмдер, сөзтізбектер мен қиылысулар, мәселе есептер, жоғары деңгейлік есептер, олимпиадалық, жарыс т.б Қызықты есептер - қызықты математика есептері, ал қызықты математика деген термин орыстың занимательная математика деген сөзінен шыққан. Бұл жерде қызықты (занимательный) - сананы оятатын, ықылас, зейін тудыратын, үйіріп әкететін деген мағынада қолданылады. Қызықты математиканың мынадай жанрлары болады: стандарт емес ойлауға үйрететін есептер, бас қатыру есебі, сөзжұмбақ, сөзтізбек, математикалық викторина, софизм, сан ребусы, математикалық фокус, сиқырлы немесе дуалы шаршы, сиқырлы куб, су қую есептері, сіріңке немесе ши есептері, шешімі жоқ есептер, қалжың есептер, көңілді сұрақтар, көне есептер, стандарт емес есептер, өлең есептер, теоремалар мен ережелер, Сангаку, оюларға берілген есептер т.б
Математикалық сөйлемдерді дәлелдеу әдістері.
Есептерді шығару мен дәлелдеуде келесі әдістер пайдаланылады: есептеуді пайдалану, координаталық жүйені пайдалану, математикалық индукция қағидасын пайдалану, кері жору, аддитивтік әдіс, дедукцияны пайдалану, салудың әдістері, стандарт әдіс, стандарт емес әдістер, логикалық ойлау т.б. Дирихле қағидасы. Лежен Дирихле (1805-1859 жж.) қағидасы бойынша: егер тор жәшікте қояндарды орналастырсақ, онда 2 қоян орналасқан бір тор жәшік табылады. Мысалы, кез келген 6 натурал санның ішінен айырмалары 5-ке бөлінетін 2 сан табылады. Дәлелдеуі: ; дәлелденді. Есептердің мектеп оқушыларының математикадан білімдерін тексеру тесттері түріндегі формасы Қазірігі заманда қоғамның дамуы математикалық білімдердің жүйесіне нақты талаптар жүктейді, бұл білімдерді халықаралық бірлестіктер адам капиталы деп атайтын білім, білік дағдыларды қалыптастыру үшін қажет деп есептейді. Математикалық білімдердің белгілі бір көлемі, математикаға тән әдістерді игеру, оның арнайы тілімен таныс болу адам мәдениетінің ортақ элементтері болып табылады Осыған қоса математиканы оқытудың сапасын бағалау да үлкен көкейкесті мәселеге айналып отыр. Соңғы кезде білім беру жүйесінде болып жатқан өзгерістер тестерді білімді сапасын бағалау үшін пайдаланудың жасалған теориясы және әдістемесі мен оларды математиканы оқыту практикасындағы тиімді қолданылуы арасында қайшылық туындап отыр. Мектеп оқушыларының білімін бақылау тестерінің жүйесі математиканы блоктық оқыту технологиясында қолдану математикалық білім беру тиімділігін арттыруға көмегін тигізе алады.
Қазіргі кезде елімізде өтіп жатқан окытудың мазмұны мен әдістерін қайта құру кезеңінде оқушылардың білім, білік, дағдыларын шынайы тексеру және оларға дидактикалық сипаттама беру көкейтесті мәселелердің біріне айналып отыр. Кез келген адамға білім беруді бастаудан бұрын оның білім деңгейіне диагностика жасап, анықтап алу заңды құбылыс. Себебі дидактикалық диагностика оқытушыға нені және қалай оқыту керектігіне жол сілтейді, әрбір білім алушының деңгейлік сипаттамасын көрсетеді. Балалардың білім деңгейін саралап алмайынша ешбір дифференциалдық оқыту іске асырыла алмайды. Білім берудің әрбір кезеңінен, тіпті сабақтың әрбір кезеңінен екінші кезеңіне өтуде алынған білім, білік, дағдылар мен шығармашылық қабілеттерді, ойлау мүмкіндіктерін тексеріп алмайынша білім берудің ары қарай жүзеге асырылуы мумкін емес. Сондықтан, математикадағы тексеру жұмыстарының маңыздылығы алғашқы оқуды бастайтын кезден көкейтесті мәселелердің бірі болып табылады: - математика сабақтарындағы тексеру жұмыстарының орнын анықтау; - математикадан сабақ үрдісінде және сыныптан тыс жұмыстардағы тексеру жұмыстарының оқушылардың білімін жетілдірудегі ролін айқындау; - математика сабақтарындағы бақылау, тексеру жұмыстарының түрлерін басқа елдердегі білім деңгейін тексеру жұмыстарымен салыстыру; - математика сабақтарындағы тексеру жұмыстары арқылы оқушылардың білімі мен біліктілігін қалыптастырудың тиімді әдістерін жасау.
№9 Математикадан білім беру саласындағы бақылау, тексеру түрлері.
Тексеру тәсілдері: ауызша (жеке, топтық); жазбаша (диктант, мазмұндама, сынақ, зертханалық жұмыс, бақылау жұмысы); өз бетінше тексеру жұмысы, емтихан. Тексерудің көбі үлкен тақырып, бөлім аяқталғанда жүргізіледі. Әрбір сабақта, сабақтың әр кезеңінде оқушылардың білім, білік, дағдыларын тексеруден басқа, ауызша және жазбаша тексеру жұмыстарына бағытталған: бақылау жұмыстарына арналған сабақтар, зачет, емтихан, қабылдау, тест т.б. өткізу қажеттігі туындайды. Сабақ үрдісінде өткізілетін тексеру жұмыстарының бәрін қадағалап отыру үшін тақтаның бір бөлігіне немесе компьютердің белгілі бір файлына әрбір оқушының атын жазып, тұсына қойылған сұрақтарға берген жауаптарын (мысалы, плюс, минус, т.б.) белгілеп отырған жөн. Кейде мұғалім оқушылардың өздері белгілеп отыруын ұсынады. Бұл сабақтың соңында білім алушылардың өздерінің білімін өздері бағалауына мұғалімнің қойған бағасы мен білім алушының өзі қойған бағасының ынтымақтастықта қойылуына, бағаларға комментарий жасауға кететін уақытты үнемдеуге септігін тигізеді. Тексеру жұмыстарының өткізілу уақыты мен оның ұзақтығы оқушыларға алдын ала хабарлауды қажет етеді. Бұл оқушылардың психологиялық бейімделуін қамтамассыз етеді. Бақылау жұмысы немесе емтихан алдындағы қорқыныш сезімдерін жеңуге, стресс ахуалының алдын алуға септігін тигізеді. Бақылау жұмыстарының материалдарын жасағанда оқытушы қазіргі заманғы техникалық көбейткіш ксерокөшірме, компьютердің проектрлеуші қондырғылардың мүмкіндігін пайдаланып, жұмысын жеңілдеткені жөн. Сонымен бірге осындай тексеру сабақтарының жоспарын жасағанда білім алушылардың білімінің деңгейлік саралануын ескеріп құрылатын тапсырмалардың шешімдері мен жауаптарын сабақ жоспарына міндетті түрде ендіруі тиіс. Тексеру сабақтарының мынадай түрлері болады: ауызша және жазбаша; оқылған тақырыптан соң бірден алынатын бақылау жұмыстары және біраз уақыт өткізіп барып алынатын бақылау жұмыстары, көп уақыт өткізіп барып алынатын бақылау жұмыстары, яғни уақыт өткен сайын алынған білімдердің беріктігін тексеруге арналған жұмыстар т.б. Олардың дидактикалық мақсаты тек білім деңгейін тексерумен ғана шектелмейді. Тексеру сабақтары білім беру функциясын да атқарады, окушылардың даму деңгейін де анықтайды. Жазбаша тексеру жұмыстары сабақтың бір бөлігіне немесе бүтін бір немесе екі сабаққа есептеліп беріледі. Мазмұнында міндетті бөлікпен қатар математикаға қабілетті оқушылар үшін қосымша бөлігі жоспарланады. Оқушылардың үлгірім деңгейіне байланысты нұсқалар саны көп болғаны, тіпті әрбір білім алушының аты жөні жазылған, арнайы текстер берген тиімді. Оқушы өзінің аты жазылған арнайы тапсырма алғанда, оның жауапкершілігі артып, жұмысқа ықыласпен қарайтыны байқалады. Мұғалім бақылау жұмысында оқушылардың бәрі түгел тиімді жұмыспен айналысуын қадағалап, сұрақтарға жауап береді. Оқушыларды жазылған жұмыстарды уақытында өткізуге үйретеді. Келесі сабақтың бір бөлігін немесе түгел бақылау жұмыстарын талдауға, жиі кездесетін қателер мен жеке оқушылардың жіберген қателеріне, жұмыста жіберілген грамматикалық, символикалық, логикалық қателеріне талдау жасап, сараптауға арнаудың маңызы өте зор. Бұл осындай қателердің келесі бақылау жұмысында болдырмаудың кепілі бола алады және оқушыларды сауатты жазуға, логикалық ойлауын, сөз байлығын, шығармашылық кабілетін дамытуға ықпал етеді. Бақылау жұмысын нашар жазған оқушыларға қателерін талдап, көрсеткеннен кейін қосымша нұсқа беріп, бақылау жұмысын қайта жазуға мүмкіндік беріледі. Жазбаша бақылау жұмыстарының тестік тапсырмалардан бір артықшылығы оқушылардың жазу стиліне, математикалық сауатты жазуына, есептерді шығарғанда сөз байлығын пайдаланып, түсініктемелер, тұжырымдар жасауын тексеруге, сол арқылы олардың жазу сауаттылығы мен сөз байлығын, шығармашылық қабілеттерін, логикалық ойлауын тексеруге мүмкіндік беріледі. Ал, тестік тапсырмалар: уакытты үнемдеуге, оқушының да, тексерушінің де артық жұмыстарын азайтуға, білім беру функциясын, т.б дидактикалық функцияларды іске асыруға мумкіндік береді. Оқыту өнімділігі: санмен, сапамен, толықтылығымен, деректілігімен, тереңділігімен, - әділ бақыланумен тығыз байланыстылығы әдістемелік үрдістің ең жоғарғы заңдылығы ретінде қарастырылады. Оның іс-әрекетке айналып кетуі үшін бақылаудың тиімділігін негіздеп, әсер етуші факторларды ажыратып, түсінікті нақтылау қажет. Қазіргі теорияда әлі: баға, бақылау, тексеру, есеп және осылармен байланыстыларды ажырататын үйлесімділік жоқ. Оларды бір мағынада жиі алмастырып та, қолданып та жүр. Бақылау жалпы шығу түріне қарай оқушының білімін, біліктілігін бағалау мен өлшеуді білдіреді. Өлшеумен анықтауды тексеру дейді. Сондықтан тексеру - бақылаудың негізгі құрамы, оқушымен оқытушы арасындағы кері байланысты анықтайтын мұғалімнің оқушының нені дұрыс меңгере алмағанын, жіберген кемшілігінен әділ мәлімет беретін негізгі әдістемелік міндеті. Тексеру тек оқушылардың оқытылу сапасы мен деңгейін анықтамайды, сонымен бірге оқыту еңбегінің соңғы көлемін де білдіреді. Бақылау тексеруден басқа бағалау (әрекет ретінде) және тексеру (нәтиже ретінде) бағасын да қамтиды. Баға үлгерім табельдерінде, сынып журналдарында, мәліметтер жинағында т.б. белгі ретінде (шартты белгілердің көрсеткіші, кескіні, ескерту таңбасы) қойылады. Оқушылардың үлгерімін бағалау негізі бақылау (нәтижесі) қорытындысы болып табылады. Сонымен қатар оқушы жұмысының сапасы да, саны да ескеріледі. Сандық көрсеткіштерінің артықшылығы пайыз бен балл түрінде, ал сапалық - жақсы, қанағаттанарлық т.б. өлшеммен белгіленеді. Әрбір бағалау пікірге алдын-ала келісілген (белгіленген) ұпай, көрсеткіш (мысалы, өте жақсыға - 5 ұпай) қоса жазылады. Мұнда баға тек қана нәтиженің өлшемі мен айқындаушы емес, бағалау пікіріне қосымша мағына үстейтінін түсіндіру керек. Санды қолдан жасап қою бағалау пікіріне қайшылық келтіреді. Әлемнің көптеген елдерінде сандық өлшемге қызығушылықтан сақтану үшін әріптік белгілерді қолданады. Мысалы, А, В, С т.б. Осы критерий бойынша бағаны анықтау үшін ұсынылған мәліметтер мен игерілгендердің көлемін өлшеуді білу қажет. Бұл міндет ыңғайлы практикалық технология деңгейінде шешілген. Баға қызметі, бізге белгілі болғандай оқытылу деңгейімен ғана өлшенбейді. Баға - педагогтың жеке тұлғаның оқуын реттейтін, жағымды құралы. Әділ бағалау арқылы оқушы бойында өіне-өзі сын көзбен қарауы, өзін бағалауы қалыптасады. Сондықтан бағаның ең басты маңыздылығы, оның қызметінің түрі оқушының оқу әрекетінің барлық жағында оны жан-жақты аша алатындығында. Осы көзқарас негізінде қазіргі білім, біліктілікті бағалауда баға жүйесін диагностикалау маңызымен қоса қайта қарастыру қажет. Оқытуды диагностикалаудың, бақылаудың қағидалары болып: маңызы әділдік, жүйелілік, көрнекілік (жариялылық) болып табылады. Әділділік - педагогтың оқытатын шәкірттерінің біліктілігін, білімін диагностикалық тестерді (тапсырмалар, сұрақтар) диагностикалау тәртібін дәл, нақты, өзара түсінікті қатынас арқылы ғылыми негізге арқау ету болып табылады. Диагностикалаудың практикалық әділдігі диагностикалау көрсеткен педагогтың кез келген бақылау құралдары мен қолданған әдістерімен қойған бағасы үйлесімділік тауып отырады. Бастапқы білімді қабылдаудан бастап, оны практикада қолдануға дейінгі барлық әдістемелік үрдіс диагностикалық бақылау жүргізу - жүйелілік үрдістің түрлері болып табылады. Оқу мекемесінде үнемі жүргізілетін диагностикалау - оқитын шәкірттің бірінші күнінен бастап барлық әрекетін жүйелілікпен қамтиды. Бақылаудың түрлі формалары әдістері мен құралдары, тексерулер, бағалаулар диагностиканы кешенді жүргізуде жүйелілік қағадасын ескеруді талап етеді. Жеке әдістер мен диагностикалау құралдарының жан-жақтылығына назар аударған дұрыс. Диагностика үрдісінде әр оқушының салыстырмалы, көрнекті рейтингісі шығарылады. Баға - оқушылардың өздеріне деген талап үлгілерін және педагогикалық әділділігін салмақтайтын бағдар. Оқушылардың білік, білімін бағалау, тексеру, бақылау, диагностикалау оны қалай жүргізілетініне де байланысты болады.. Оқушылардың білім деңгейінің алдын ала шығарылған көрсеткіші - тексеру жүйесінің ең бірінші құрамдас бөлігі деп есептеледі. Ол оқу жылының басында оқушының өткен оқу жылындағы білімін анықтау үшін жүзеге асырылады. Алдын ала тексеру біліміндегі, дағдысындағы кемшіліктерді жою мақсатымен сәйкес жүргізіледі. Мұндай тексеру оқу жылының ортасында да, жаңа тарауды бастар алдында да жүргізуге болады. Әр тақырыпты меңгеру үрдісіндегі, ағымдағы бағалар білімді тексерудің екінші құрамдас бөлігі болып табылады. Бірақ ол әр сабақта жүргізілсе де оқушылардың белгілі бір өткен, меңгерген тақырыбы бойынша ғана диагностикалауға мүмкіндік береді. Мұндай тексерулердің әдістері мен формалары оқу материалының мазмұны, оның қиындығы, оқушылардың ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен қалыптасты. Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек философы Сократтың (б. э. д. 469-399 жж.) еңбектерінде кездеседі. Индукция термині латынның inductio - түрткі, кірістіру, жекеден көпке, жалқыдан жалпыға көше отырып пайымдау жолы деген сөзі. Оның негізгі үш мәні бар: ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі - екі немесе бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау; кейбір нысандар жиынын үйрету үшін жеке нысандарды қарастырады. Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздестіріледі, жеке айғақтан жасалған тұжырым барлық нысандардың қасиеті ретінде алынады; оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып табылады. 1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысады. Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады. Дербес пікірлер: эллипс, парабола, гипербола - конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар жиынын құрайды. Жаңа жалпы пікір: екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысуы мүмкін. 2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін қарастырайық (6-кесте) 6-кесте - Қате пікірлердің пайда болуына мысал тақ сан тақ сан тақ сан Қорытынды тақ сан Қорытынды қате пікір: құрама сан Математикалық индукция қағидасы орындалған жоқ Толымсыз индукция Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция - жеке айғақтар өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмауы да мүмкін алғашқы жеке айғақтарда бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық үдерісте, әсіресе жеке дәйектер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес дәйектерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адамның іс-тәжірибесінде бұрыннан сыналған (мысалы, ықтималдар теориясы мен математикалық статитикада). Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз. Мысалы, осы әдіспен мектепте арифметикалық, геометриялық прогрессия өтіледі. Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелерден, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады. Толық индукция Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытынды болады. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды көбейткіштерге жіктейміз. 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. Сонымен, толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес, толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз (4, 5, 6-суреттер): а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады. б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады - бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. . Индукциялық ой қорыту нысандардың арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде нысандар арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту - белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп атайды. Оқыту үдерісінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістемесі ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады). Дедукция Дедукция (латынша deductio - бір жола шығару). Бір жалпы пікірден және бір дербес пікірден жаңа, барынша жалпы немесе дербес пікірге көшуді дедукция, деп атаймыз. Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас (1-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас (2-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болады (жаңа пікір - қорытынды). Осы жағдайлардан жаңа қорытынды шығарайық. Пікірлер логикасында қорытылған жаңа пікірді алғы шарт деп атайды. Олардан қорытылған жаңа пікірді ой қорыту деп атайды. Жоғарыдағы мысалда жалпы сөз тіркесі Дұрыс аттас көпбұрыштар. Дедукцияның мәні - берілген дербес жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып табылады. Дедукциялық ойлаудың дұрыстығы алғашқы екі тұжырымға тәуелді. Егер екі тұжырым дұрыс болса және дұрыс қорытынды шығарылса, онда қорытындысы да ешбір талассыз дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың келесі түрлері болуы мүмкін: - барынша жалпы жағдайдан ой қорытудан барынша дербес жеке жағдайдағы ой қорытуға көшу. - жалпы жағдайдағы ой қорытудан жалпы жағдайға көшу. Мысалы, барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді; барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді, ешбір жұп сан бір мезгілде тақ сан бола алмайды. Жеке пікірден дербес пікірге көше отырып ой қорыту. Мысалы, 2 саны - жай сан; 2 саны - натурал сан, кейбір натурал сан жай сан болып табылады Математикалық ой қорытулар көбінесе дедукциялық болады. Қысқаша айту мақсатында кейбір тұжырымдар қалдырылады: Мысалы, берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас, себебі олар аттас. Математика дедукциялық ғылым. Шынында да математикалық пәнді қатаң баяндағанда негізгі ұғымдар мен олардың өзара қатысы, байланысы орнатылады (олар белгілі ұғымдар мен олардың қатынасы арқылы анықталады), бұдан соң бұл ұғымдар мен қатыстарды байланыстыратын аксиомалар жүйесі құрастырылады. Негізгі ұғымдар мен қатыстар аксиомалар жүйесінің негізінде жаңа ұғым пайда болады, тікелей ой қорыту ережесі пікір мен оның салдары логикалық реттілікпен баяндалады. Теореманы дедукциялық тұрғыдан дәлелдеу жүргізілген қадамның тек логикалық реттілігі болып қана қоймай, бұрыннан белгілілерге сүйеніп, сонымен бірге әрбір қадамның, тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу болып табылады. Мысалы, теңбүйірлі. Қорытынды: . Дедукция процесі математикалық логиканың тілінде қатаң түрде өрнектеледі. Дедукция белгілі бір ережелердің нәтижесінде бейнелейді. Зерттеу әдісі ретінде нысандар арасындағы ортақ қасиеттер мен байланыстарды табу арқылы сипатталады, нысандар класының нақты қасиеттері туралы пікір айтуға мүмкіндік береді. Мысалы, шаршының қасиетін қарастыра отырып, оның ең алдымен ромб екенін білеміз. Сонымен ромбыға тән қасиет шаршыға да тән. (Шаршының диагоналдары өзара перпендикуляр). Математикалық сөйлемдерді баяндауда жетілдірілген индукция деген атпен индукция мен дедукция тығыз байланысты түрде жиі кездеседі. Жетілдірілген индукция әдісі Индукциялық жолмен алынған қорытындыны логикалық жолмен негіздеу қажеттігі туғанда әдетте жетілдірілген индукция қолданылады. Толық математикалық индукция белгілі дәйекке қолданылғанда келесі түрде біртіндеп қолданылады: бақылау және тәжірибе; болжам; болжамды дәлелдеу. Мысалы, элементтері санаулы жиында n элементтен тұратын алмастыруды қанша әдіспен жасауға болады? 1-ші кезең. Ізделінді алмастыру санын x арқылы белгілейік, ал жиын элементтерін арқылы дербес мәндерінде бұл жағдайды зерттейік (7-кесте). 7-кесте - Дербес мәндерде жағдайды зерттеу Мәні Тәжірибе және байқау -тің мәні 1 1 2 2 3 , , , , 6 4 24 2-ші кезең. Тәжірибенің қорытындысын шығарайық (8-кесте) 8-кесте - Тәжірибенің қорытындысы Элементтер саны Тәжірибе Қорытынды Егер қандай да бір натурал саны үшін тұжырымдалған құрылым үшін тура болып, үшін тура деп алынып, үшін тура екені дәлелденетін болса, онда бұның п үшін тура екені дәлелденеді. Математикалық индукция әдісі математикалық индукция қағидасына негізделген. Математикалық индукция әдісін бөлінгіштіктерді дәлелдеуге пайдалануға болады. 1 Есеп. Кез келген п натурал саны үшін (1) екенін дәлелдейік. Шешуі: үшін тура. үшін тура делік. үшін тура екенін дәлелдейік. Шыққан қосындыдағы әрбір қосылғыш 64-ке бөлінеді, ендеше қосынды 64-ке бөлінеді. Яғни, (1) орындалатыны дәлелденді. 2 Есеп. теңдеуінің дұрыстығын дәлелдейік (. Оқылуы: n факториал). 1). үшін тура; 2). үшін: тура деп аламыз; 3). үшін тура екенін дәлелдейік: осыдан: , сол жақтағы 1-ші және 3-ші қосылғыштардан -ді жақша сыртына шығарсақ: осыдан , д.к.о. Аналогиялардың маңызы және оның түрлері Салыстыру мен аналогия - ойлаудың логикалық тәсілі, ол ғылыми зерттеулерде және оқыту үдерісінде қолданылады. Математикалық білім алу үдерісінде өз бетінше жаңа нәтижеге қол жеткізу процестері, ең алдымен, оқушының өзіндегі бар білімді және оның кең көлемде аналогиясы арқылы жаңа білім алуға байланысты. Мысалы, (а1 -- а2 планиметрия - стереометрия, шаршы - куб) т. б. Математикалық білімді меңгерудің барлық кезеңдерінде аналогия бойынша ой қорытудың маңызы ерекше. Традукциялық ой тұжырымының маңызды түрі - аналогия болып табылады. (грек, analogіa - сәйкестік, ұқсастық). Аналогия - танымның аса тиімді эвристикалық құралы. Аналогия - адамның қалыптасқан білімін жаңа алған білімге айналдыруда ұқсастықты қолданатын логикалық әдіс. Ол білім алдымен жорамал, болжам түрінде одан кейін мүмкіндігіне қарай дәлелденген нақты білімге айналады; өз бетінше кеңейтетін білімдер жүйесіне айналады. Адам ойының белсенді, ақыл ойының пәрменді дамуы оның аналогия бойынша ойлауына байланысты. Америка математиктері Д.Пойа, У.У.Сойер білімнің қай саласындағы жаңалық болса да аналогияның логикалық тәсілінсіз табылмағанын дәлелдеді . Салыстыру - материалдық нысандарды оларды оқып үйренгенде олардың ұқсастығы мен бір-бірінен айырмашылықтарын ойша байқайтын логикалық әдіс. Салыстырудың танымдық үдерісінде қаншалықты зор маңызы бар екені туралы мынадай белгілі нақыл бар: Барлығын да салыстыру арқылы танимыз. Салыстыру - зерттеу әдісі ретінде математикада ғана қолданып қоймай, нысандардың математикалық заңдылықтарын үйренуге, оларды байланыстыруға қолданылады. Салыстыру әдісін қолданғанда келесі жағдайларды басшылыққа алғанда ғана ол тұралы дұрыс қорытындыға әкеледі. Бір-бірімен белгілі байланыстағы біртекті нысандарды салыстыруға болады. Салыстырудың мағынасы болуы керек. Мысалы, өлшемдері бірдей арақашықтықтар, өлшемдері бірдей бұрыштар т.с.с. Екі функцияның қасиетін салыстыруға болады, үшбұрышты - үшбұрышпен, төртбұрышты - төртбұрышпен, ромбыны - ромбымен салыстырады. Мысалы, екі көпбұрыштың ұқсастығы, ауданы, параметрлері, т.б. қасиеттері бойынша салыстырылуы керек. Бір ғана нысанға ие болатын нысандар толық болу керек. Салыстыру математикалық ұғым анықтамалары таратып жазған кезде қолданылады. Бұл туралы К. Д. Ушинский Дидактикада салыстыру негізгі тәсіл болу керек деп есептеген. Бұл ой математиканы оқытуда өте сенімді тәсіл. Мысалы, тақтаға бірнеше дербес тізбектер жазып оларды салыстыру арқылы арифметикалық прогрессия анықтамасын оқушыларға тұжырымдатуға болады. Зиянды аналогиялар. Оқушылар шығарған есептерде аналогиялық қателер жиі. Мысалы: 1. Қосылғыштарды қысқару: (дұрысы: бұл қысқармайды); 2. Жиі кездесетін қателер түрі: өрнегі де жалған аналогия әдісімен табылған (дұрыс нақты сандар жиынында түбірі табылмайды); 3. Жалған аналогиялық қателер (дұрысы: ); 4. Өте кең таралған қателерді: психолог Н. А. Меншчинскаяның зерттеулері бойынша: Оқушылар 96:16=10 есебін шешкенде қате жіберді; 5. Кеңістікте берілген түзу арқылы осы тек бір ғана перпендикуляр түзу ғана болады - қате пікір. 6. Софизмдер. Софизм (грек. sophisma - қақпан, өтірік, басқатыру) - қорытындының негізі логикалық және семантикалық (тілдік мазмұнын, яғни мәнін) талдаудың жеткіліксіздігінен пайда болатын, таза субьективті әсерден туатын, жорамал дәлелдеу. 1-есеп. 5 = 1 софизмін дәлелдеуге тырысып, 5 және 1 сандарынан бірдей санды, яғни 3-ті шегереміз. Теңдеудің екі жағында шыққан 2 және -2 сандарын квадраттасақ, екеуінен де бірдей 4 санын аламыз: Ендеше 1 мен 5 тең болуы керек. Қатені табыңыз. Жауабы: квадраттардың теңдігінен сол сандардың өздерінің теңдігі шықпайды. 2-есеп. софизмін дәлелдеп, қатесін табыңыз. Шешуі. сандық тепе-теңдігін қарастырайық. Оң жағындағы және сол жағындағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарсақ: . Осы теңдеудің екі жағын жақша ішіндегі ортақ көбейткішке бөлсек: . Қате қайда? Жауабы: сандарды -ге бөлуге болмайды. Ой қорытындыларының маңызды бөліктерінің бірі традукциялық (транзитивтік) ой тұжырымы болып табылады (лат. raductіon - орын ауыстыру). Мұндағы екі және одан да көп пайымдардан қандайда бір жалпылама дәрежесі одан жоғары жаңа пайымдауға өтеді. Мысалы, а, b, және с - қандайда бір нақты сандар болатын, аb (бірінші пайым), bс (екінші пайым), ас (жаңа пайым). Зерттеу әдісі ретінде традукция қандайда бір қатынаста екі нысандардың сәйкестігін орнатқаннан кейін, осы нысандарды басқа қатынасқа келтіріледі.
Математикалық есептер
Оқушыларды есеп шығаруға үйрету мәселесі ертеден келе жатыр. Есеп шығара білу - оқу материалын игеру мен математикалық дамудың негізгі көрсеткіштерінің бірі. Оның жаңа аспекттерінің бәрі жоғарыда көрсетілген бағыттардың шешімін таппауына байланысты болады. Математиканы мектепте тереңдетіп оқытуда оқушылардың есептерге оқыту, конструкциялау және зерттеу объектісі ретіндегі қөзқарастарын қалыптастыру қажет. Сондықтан, есептер шығарудың әртүрлі оқыту әдістемелері талап етіледі. Олардың төмендегі классификациясын келтіруге болады: - нысандардың сипаттамасы бойынша (практикалық, қолданбалы); - теорияға қатысты (стандарт, стандарт емес); - талап ету сипаттамасы бойынша (ізделінділерді табу, дәлелдеу, салу) т.б. Аналогияны есептер шешуде қолдану Есепті шешу әдісін іздестіруде аналогияны саналы түрде қолдануға оқушыларды дағдыландырудың маңызы зор. Ол үшін мынадай жалпы жоспар ұсынамыз: берілгенге ұқсас есеп таңдап алу, яғни берілгендерін салыстыруға болатын шарттары ұқсас, қорытындысы да ұқсас болуы керек. Берілген есепке ұқсас тандап алынған есептің жеңіл шығару әдісі мен шешімі белгілі болу керек. қосымша есепті шешу керек, содан соң осыған ұқсас пайымдап, берілген есепті шешу қажет. Аналогияны, көбінесе, планиметриялық және стереометриялық есептерді шешуге пайдаланылады. Мысалы, кез келген төрт жазықтық арқылы кеңістікті неше бөлікке бөлуге болады? Бұл тетраэдрді анықтайды. Бұл фигура бізге жазықтықта қиылысатын үш түзуді еске түсіреді. Олай болса, планиметриядан берілгенге ұқсас көмекші есеп құрастырамыз. Кез келген үш түзу жазықтықты неше бөлікке бөледі? Алдымен осы қосымша есепті шешейік, жалпы алғанда кез келген үш түзу жазықтықты 7 бөлікке бөледі, оның бірі ішкі облыс (7-сурет). Жалпы алганда 4 жазықтық кеңістікті мынандай бөліктерге бөледі (8-сурет). Ішкі шектелген бөлік; кеңістіктің шектелмеген бөлігі ішкі облыспен, яғни тетраэдрмен шектелген (4 бөлік), тетраэдрдің жақтарымен шектелген бөлігі (6 бөлік), төбелері арқылы өтетін бөліктер (4 бөлік). Сонымен, кеңістік 1+4+6+4=15 бөлікке бөлінеді. Бұл әдістіі оқушылар жақсылап меңгеруі үшін аналогия әдісі пайдалы әсер ететіндей есептер шешуді қарастыру керек. Бұлардың мазмұны бір-бірімен байланысты , мұндай жағдайда екі есепті бірден тұжырымдау керек. Дәлелдеуге берілген есептер Тең бүйірлі үшбұрышта әр төбесінен табанына жүргізілген биссектрисалары тең екенін дәлелдеңіздер. Дәлелдеу: ABC тең бүйірлі үшбұрыш болсын, мұндағы АВ=ВС, AD және СЕ табандарына жүргізілген бұрыштың биссектрисалары болсын D ВС,E AB, AD = СЕ екенін дәлелдейміз. Үшбұрыштар теңдігінің DAC = ECA, (AC - ортақ, шарт бойынша A = C, ACE = CAD, себебі AD және СЕ - тең бұрыштардың биссектрисалары). DAC және ЕСА үшбұрыштарының тендігінен AD=CE шығады. Дәлелдеу керегі осы.
Математиканы оқытудағы есептің ролі
Педагогикалық күрделі мәселенің бірі - - оқушыларға есеп шығаруды үйрету. Оның күрделілігі кез келген есепті шығарудың кілті болатын жалпы ортақ әдістің жоқтығында. Бірақ типтік есептердің шығару әдістері бар. Дегенмен тәжірибе көрсеткендей, сол типтік есептерді шығаруды үйретудің өзі де жоғары дәрежеде емес. Математикалық есептердің білім берудегі мәні Математикалық есептерді шеше отырып, оқушылар көптеген жаңа мәселелерді таниды: есеп шартында жазылған жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияны есептерді шешуге қолданылуымен, есептер шешудің жаңа әдістемесімен, танымдық немесе есептер шешуге қажетті математиканың жаңа бір саласымен танысады, жеткілікті түрде жаттығу арқылы дағды қалыптастырып, математикалық білімін көтереді. Математикалық есептердің іс-тәжірибелік мәні Математикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімдерін іс-тәжірибелік қажеттіліктерге пайдаланады, өзінің болашақтағы іс-тәжірибелік қызметіне (қажетті) керекті істермен айналысады. Іс-тәжірибелік қажеттілігі бар барлық конструкторлық есептерде математикалық есептерді шешуге тура келеді. Үдерістерді сипаттап, математикалық аппараттын қолданбай, математикалық есептеулерсіз зерттеу жүргізу мүмкін емес. Математикалық есептер физикада, химияда, биологияда, электротехника мен радиотехникада т.б. зерттеулерде және теориялық негіздерді түсіндіруге қажет. Оқушылардың ойлау дағдысын дамытудағы математикалық есептердің мәні Математикалық есептер шешу оның шартында берілгендер мен ізделіндіні салыстыруға, керісінше салыстыруға, мәселелер мен қорытындыны бір-бірінен ажыратуға мүмкіндік береді. А.Я. Хинчиннің айтуынша математикалық есептер оқушыларды дәлелмен дұрыс ойлауға үйретеді. Есептер толығымен дәлелді, белгілі заңдар негізінде жалпы қорытындылар жасайды, дәлелді аналогияға сүйеніп, барлық жағдайларды қарастырады. Математикалық есептерді шешу арқылы ерекше ойлау стилі, ойымыздың формальді-логикалық формасы қалыптасады, ойдың орнықтылығы, ойлау жолының дәлдігі, символиканы қолдана білу дағдысы, еске сақтау, елестету дәлдігіне үйретеді. Математикалық есептердің тәрбиелік мәні Есептер өзінің мазмұны арқылы тәрбиелейді. Қоғам дамуына қарай есеп мазмұны да өзгереді. Ресейдің революциядан бұрынғы есептер жинақтарында және капиталистік елдерге тән: сатып алу, сату кезінде табыс табу, азартты ойындар туралы есептер бар. Кеңес мектебінің оқулықтарында оқушылардың моральдік сапасы, ғылыми дүниетаным, интернационализм, ұжымдасуға, Отанды сүюге тәрбиелейтін есептер бар. Отанды сүюге, халық шаруашылығының жетістіктерін насихаттайтын есептер бар. Есептерді шешу дұрыс жолға қойылса, оқушы ұстамдылыққа, шыдамдылыққа, өз жолдасының еңбегін бағалай білуге үйренеді. Мектепке математикалық талдаудың ендірілуі оқушылардың диалектикалық-материалистік дүниетанымын қалыптастыруға мүмкіндік берді. Білімнің негізі дүниетаным болып саналады. Математикалық есептер педагогикалық, дидактикалық, даму мақсаттарын алға қояды. Бұл мақсаттар есептің мазмұны және шығарылуы, қолданылуы арқылы іске асады. Математикалық есептердің оқытудағы білім, білік және дағдыларды қалыптастырудағы рөлі. Математикалық ұғымдарды меңгеру үшін есептер шешіледі. Математикалық жаттығулар орындап, есептер шешу арқылы ұғымды қалыптастырғанда ғана оқушының нақты білімі болады. Математикалық символиканы меңгерудегі есептердің ролі. Математиканы оқытудың бір мақсаты математиканың тілін, символикасын білу. Мысалы, өрнектерде жақша қандай роль атқарып тұрғанын анықтаңыз және өрнектерді ауызшы оқыңыз 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) t=-8, 8) мұндағы . Бірінші өрнектің оқылуы: екі бүтін екіден бір мен бестен екінің көбейтіндісі мен бір бүтін оннан бестің қосындысы мен ноль бүтін оннан бірдің айырмасы. Символиканы үйренудегі басты мәселе: есептер шешу барысында оны дұрыс қолдану.
Дәлелдеуді қажет ететін есептер Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі оқушыларға дәлелдеуді үйрету. Жай есептердің өзі дәлелдеуден басталады. Мұндай есептердің жауабын іздеу олардың шындығын іздеуге әкеледі. Есептер өзінің шешімін табуда берілген мәліметтер арқылы дәлелдеуге тиісті ұғымға логикалық қадам жасап, ілгерілеуге жетелейді. Күрделі есептер бірнеше логикалық тізбектен тұрады. Есептерді шешу - зерттеліп отырған ұғымды нақтылау, соның табиғатын түсіну, оның әр түрлі байланыстарын қарастыру, символика тілін пайдалану, дәлелдеу. Мысалы, а) x y теңсіздігінен х2 y2 теңсіздігі шыға ма? ә) екі биссектриса әрқашан перпендикуляр бола ма? б) екі биіктік әрқашан перпендикуляр бола ма? Математикалық білік және дағды қалыптастыруға арналған есептер
Мысалы, теплоход өзен ағысы бойынша 48 км жүзіп кейін қайтты, бүкіл жолға 5 сағат уақыт жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 4 кмсағ. Теплоходтың меншікті жылдамдығын табыңыздар. Егер теплоходтың меншікті жылдамдығын V кмсағ десек, 5V2 - 96V - 20, V ¹ +- 4. Квадрат теңдеуді шешу тәсілдері осылайша мәселелік жағдайға келтіріледі. Алғашқы бағасы 10000 теңге болатын бұйым 4 жыл ішінде әр жылы 5% арзандаған болса, оның бағасы енді қанша болды? Есептің шешуіне А = 10000(, формуласы қолданылады, мұндағы t = 4. A = 10000((т). Көрсеткіштік функция мәселелік жағдайға келтіріледі. Мысалы, берілгені Дк. DABM = DBCN болатынын бұл есепті шешу арқылы 8-сынып оқушылары Фалес теоремасын жеңіл дәлелдейді (9-сурет). 9-сурет Дарынды психолог, әрі математик Д. Пойа өзінің Есепті қалай шығару керек деген кітабында есеп шығарудың жалпы әдістерін жасауға ұмтылған. Автор есеп шығару барысын төрт кезеңге бөледі: а) Есепті түсіну (есептің шарты). ә) Есепті шығару жоспарын құру (талдау). б) Бұл жоспарды орындау (синтез). в) Өткенге көзқарас (есептің шешілуін ұғыну). Д. Пойа есеп шығаруды үйретудің тиімділігін арттыруда оларды іріктеу үлкен роль атқарады дейді. Бірақ біз тек есептерді іріктеу оқушылардың есеп шығарудың талдау (анализ), синтез, индукция, дедукция, т.с.с негізгі әдістері мен тәсілдерін меңгеруін қамтамасыз ете алмайды деп ойлаймыз. Талдау дегеніміз белгісізден белгіліге қарай пайымдау жолы, синтез дегеніміз белгіліден белгісізге қарай көшу жолы, ал индукция жекеден жалпыға көшу, дедукция жалпыдан жекеге көшу. Бұрынғы шығарған есеппен аналогияны іздестірудің өзі бұған ұқсасты еске түсіруді ғана емес, сол аналогияны табу үшін аналитикалық-синтетикалық әдісті қолдануды талап етеді. Сондықтан есептер жүйесін іріктеумен қатар әрбір есепті шығарғанда мұғалім мен оқушының жүргізген жұмысының әдістемесінің ролі мен маңызы үлкен. Мұғалімнің есеп шығарғандағы әдістемелік жұмысы, біріншіден шығарылған есептің шартын талдаушы, екінші жағынан синтездейотырып, есеп шығаруды үйретудің тиімділігін қамтамасыз етеді. Д. Пойаның ұсыныстары талқылау құрылымдарын қалыптастыруға ықпал етіп, есеп шығарушыны ізденіске бағыттайды. Бірақ, барлық ұсыныстарды орындау есептің шығарылуына толық кепілдік бере алмайды. Есеп шығаруды жеткілікті дәрежеде меңгеру үшін талдау, жалпылау, индукция, аналогия тәсілдерін үйрету керек. П. В. Стратилов өз тәжірибесіне сүйене келіп, теңдеулердің көмегімен есеп шығару жұмысының әдістемесі мынадай кезеңдерден тұрады деп көрсетуге болады: 1) есептің шартын оқып және ондағы шығармаларды анықтау; 2) есеп шартындағы шамалардың арасындағы тәуелділіктерді анықтау; 3) есептің сұрағына қарап белгісіздіктерді анықтау және белгілеу; 4) енгізілген қосымша белгісіздер мен есеп шартында берілген сандар арқылы есептің шартын ауыстыру; 5) есеп шартында қандай да бір шаманың мәнін анықтап, соның көмегімен теңдеу құру; 6) теңдеу шешу; 7) табылған мәндерді тексеру және жауабын жазу. Есеп шығаруды үйрету мұғалім мен оқушы әрекетінің күрделі және динамикалық жиынын білдіреді. Бұл әрекетті белгілі бір жолмен мұғалім ұйымдастырады, бағытайды, реттейді және басқарады, шығарылған есепке қойылатын талаппен үйлестіріледі. Бұл әрекеттердің мәні және мақсатты бағыттары, сол сияқты есеп шығару барысында іске асырылатын әдістер оның дұрыс шешімін алу үшін тиімді жағдай жасап қана қоймай, оның тәрбиелік мәні және дамытушылық әсерін күшейтуге де ықпал етуі тиіс. Есеп шығарылуы - қарастырылып отырған есеп түрін шығарумен оқушыларды таныстыру оны шығара білу іскерліктерін қалыптастыру. Бұл жағдайлардың қайсысында болсын, есеп шығаруды үйрету, көбінесе оқушылардың ойын дамытуға әсер етеді, өйткені ол талдау және синтез, нақтылау және жалпылау, салыстыру және қорыту сияқты ойлау операцияларын орындауды талап етеді. Сонымен бірге оқушылардың ойларының математикалық белсенділігін тәрбиелеуге көңіл аударған жөн. Белгілі бір әдістеме бойынша ойлаудың мұндай сапаларын тәрбиелеу есеп шығаруды үйренуге оң әсерін тигізеді. Оқушыға артық күш түсірмеу үшін есеп шығару үрдісін төрт кезеңге бөлуге болады: - есептің мазмұнымен танысу; - есептің шешуін іздеу; - есепті шығару; - есеп шығаруды көрсету. Әрбір кезеңнің оқушылар үшін өзіндік тәрбиелік әсері бар. Есеп шығару тәсілдері мен құралдарын таңдауда оқушыларға толық еріктілік беру керек. Есеп шығаруды қалай бастау керек? деген сұраққа ойланындар деп жауап береміз. Өзіміздің сұрақтарымызбен оқушыларды есепті нақтылы шешуге емес, шешудің жалпы идеяларына әкелу керек. Бұдан біз есеп шығармашылық көзқарас тудыру әдістемесінің негізін көреміз. Есеп шығаруда ойлану үрдісін түйінді үш кезеңге бөлеміз: оқушының ойы есептің мазмұнына анағұрлым терең бойлайды, ойлау әрекетінің белсенділігі ең жоғарғы деңгейге жетеді, есепті талдау, есепті алдын-ала зерттеу және таныс әдісті қолдану мүмкіндіктерін зерттейді. 1. Есептің шартын талдау. Есептің шартына кіретін шамалардың сан мәндерінің арасындағы байлаыстарды анықтау мақсатымен есептің берілгені мен белгісізін салыстыру немесе геометриялық фигуралардың жекелеген элементтерінің арасындағы байланыстарды анықтау және шамалар арасындағы тәуелділікті анықтау. 2. Есепті алдын-ала зерттеу. Берілген есептің түрлі нұсқасын қарастыру, есептің кейбір берілгендерін сақтай отырып, басқасын еркін өзгерту және бұл үрдістегі заңдылықты табу. 3. Таныс әдісті қолдану мүкіндігін зерттеу. Есепке белгілі бір көзқарас тұрғысынан қарау, есептің берілгені мен белгісіздігінің арасындағы зерттеу әдісіне тән ерекше байланыстарды анықтауға ықпал етеді. Математикалық есептердің түрлері: оқылатын бағдарламаға сәйкес: есептер стандарт және стандарт емес есептер, берілуі мен шығарылу тәсіліне қарай графиктік, геометриялық, кестелік, салу, есептеу, дәлелдеу, логикалық, қызықты, ойын есептер, қақпан есептер, математикалық викториналар, софизмдер, сөзтізбектер мен қиылысулар, мәселе есептер, ашық және жабық тестер т.б.; мазмұнына қарай пайыздарға, қозғалысқа, қоспаларға, пропорцияға т.б. берілген есептер, статистикалық, дифференциалдық есептер, элементар математикаға, жоғары математикаға берілген есептер, орындалу функциясына қарай белгісіз шаманы табу, теңдеуді, теңсіздікті шешу, функцияның анықталу аймағын, функцияның мәндерінің аймағын табу; күрделілігіне қарай қарапайым, орта, жоғары деңгейлік есептер, конкурстық (олимпиадалық, жарыс) жас ерекшеліктерге байланысты 1-сыныпқа арналған, 2-сыныпқа арналған т.с.с. болып бөлінеді. Конкурстық есептер: стандарт емес есептер, логикалық, қызықты, ойын есептер, қақпан есептер, математикалық викториналар, софизмдер, сөзтізбектер мен қиылысулар, мәселе есептер, жоғары деңгейлік есептер, олимпиадалық, жарыс т.б Қызықты есептер - қызықты математика есептері, ал қызықты математика деген термин орыстың занимательная математика деген сөзінен шыққан. Бұл жерде қызықты (занимательный) - сананы оятатын, ықылас, зейін тудыратын, үйіріп әкететін деген мағынада қолданылады. Қызықты математиканың мынадай жанрлары болады: стандарт емес ойлауға үйрететін есептер, бас қатыру есебі, сөзжұмбақ, сөзтізбек, математикалық викторина, софизм, сан ребусы, математикалық фокус, сиқырлы немесе дуалы шаршы, сиқырлы куб, су қую есептері, сіріңке немесе ши есептері, шешімі жоқ есептер, қалжың есептер, көңілді сұрақтар, көне есептер, стандарт емес есептер, өлең есептер, теоремалар мен ережелер, Сангаку, оюларға берілген есептер т.б
Математикалық сөйлемдерді дәлелдеу әдістері.
Есептерді шығару мен дәлелдеуде келесі әдістер пайдаланылады: есептеуді пайдалану, координаталық жүйені пайдалану, математикалық индукция қағидасын пайдалану, кері жору, аддитивтік әдіс, дедукцияны пайдалану, салудың әдістері, стандарт әдіс, стандарт емес әдістер, логикалық ойлау т.б. Дирихле қағидасы. Лежен Дирихле (1805-1859 жж.) қағидасы бойынша: егер тор жәшікте қояндарды орналастырсақ, онда 2 қоян орналасқан бір тор жәшік табылады. Мысалы, кез келген 6 натурал санның ішінен айырмалары 5-ке бөлінетін 2 сан табылады. Дәлелдеуі: ; дәлелденді. Есептердің мектеп оқушыларының математикадан білімдерін тексеру тесттері түріндегі формасы Қазірігі заманда қоғамның дамуы математикалық білімдердің жүйесіне нақты талаптар жүктейді, бұл білімдерді халықаралық бірлестіктер адам капиталы деп атайтын білім, білік дағдыларды қалыптастыру үшін қажет деп есептейді. Математикалық білімдердің белгілі бір көлемі, математикаға тән әдістерді игеру, оның арнайы тілімен таныс болу адам мәдениетінің ортақ элементтері болып табылады Осыған қоса математиканы оқытудың сапасын бағалау да үлкен көкейкесті мәселеге айналып отыр. Соңғы кезде білім беру жүйесінде болып жатқан өзгерістер тестерді білімді сапасын бағалау үшін пайдаланудың жасалған теориясы және әдістемесі мен оларды математиканы оқыту практикасындағы тиімді қолданылуы арасында қайшылық туындап отыр. Мектеп оқушыларының білімін бақылау тестерінің жүйесі математиканы блоктық оқыту технологиясында қолдану математикалық білім беру тиімділігін арттыруға көмегін тигізе алады.
Қазіргі кезде елімізде өтіп жатқан окытудың мазмұны мен әдістерін қайта құру кезеңінде оқушылардың білім, білік, дағдыларын шынайы тексеру және оларға дидактикалық сипаттама беру көкейтесті мәселелердің біріне айналып отыр. Кез келген адамға білім беруді бастаудан бұрын оның білім деңгейіне диагностика жасап, анықтап алу заңды құбылыс. Себебі дидактикалық диагностика оқытушыға нені және қалай оқыту керектігіне жол сілтейді, әрбір білім алушының деңгейлік сипаттамасын көрсетеді. Балалардың білім деңгейін саралап алмайынша ешбір дифференциалдық оқыту іске асырыла алмайды. Білім берудің әрбір кезеңінен, тіпті сабақтың әрбір кезеңінен екінші кезеңіне өтуде алынған білім, білік, дағдылар мен шығармашылық қабілеттерді, ойлау мүмкіндіктерін тексеріп алмайынша білім берудің ары қарай жүзеге асырылуы мумкін емес. Сондықтан, математикадағы тексеру жұмыстарының маңыздылығы алғашқы оқуды бастайтын кезден көкейтесті мәселелердің бірі болып табылады: - математика сабақтарындағы тексеру жұмыстарының орнын анықтау; - математикадан сабақ үрдісінде және сыныптан тыс жұмыстардағы тексеру жұмыстарының оқушылардың білімін жетілдірудегі ролін айқындау; - математика сабақтарындағы бақылау, тексеру жұмыстарының түрлерін басқа елдердегі білім деңгейін тексеру жұмыстарымен салыстыру; - математика сабақтарындағы тексеру жұмыстары арқылы оқушылардың білімі мен біліктілігін қалыптастырудың тиімді әдістерін жасау.
№9 Математикадан білім беру саласындағы бақылау, тексеру түрлері.
Тексеру тәсілдері: ауызша (жеке, топтық); жазбаша (диктант, мазмұндама, сынақ, зертханалық жұмыс, бақылау жұмысы); өз бетінше тексеру жұмысы, емтихан. Тексерудің көбі үлкен тақырып, бөлім аяқталғанда жүргізіледі. Әрбір сабақта, сабақтың әр кезеңінде оқушылардың білім, білік, дағдыларын тексеруден басқа, ауызша және жазбаша тексеру жұмыстарына бағытталған: бақылау жұмыстарына арналған сабақтар, зачет, емтихан, қабылдау, тест т.б. өткізу қажеттігі туындайды. Сабақ үрдісінде өткізілетін тексеру жұмыстарының бәрін қадағалап отыру үшін тақтаның бір бөлігіне немесе компьютердің белгілі бір файлына әрбір оқушының атын жазып, тұсына қойылған сұрақтарға берген жауаптарын (мысалы, плюс, минус, т.б.) белгілеп отырған жөн. Кейде мұғалім оқушылардың өздері белгілеп отыруын ұсынады. Бұл сабақтың соңында білім алушылардың өздерінің білімін өздері бағалауына мұғалімнің қойған бағасы мен білім алушының өзі қойған бағасының ынтымақтастықта қойылуына, бағаларға комментарий жасауға кететін уақытты үнемдеуге септігін тигізеді. Тексеру жұмыстарының өткізілу уақыты мен оның ұзақтығы оқушыларға алдын ала хабарлауды қажет етеді. Бұл оқушылардың психологиялық бейімделуін қамтамассыз етеді. Бақылау жұмысы немесе емтихан алдындағы қорқыныш сезімдерін жеңуге, стресс ахуалының алдын алуға септігін тигізеді. Бақылау жұмыстарының материалдарын жасағанда оқытушы қазіргі заманғы техникалық көбейткіш ксерокөшірме, компьютердің проектрлеуші қондырғылардың мүмкіндігін пайдаланып, жұмысын жеңілдеткені жөн. Сонымен бірге осындай тексеру сабақтарының жоспарын жасағанда білім алушылардың білімінің деңгейлік саралануын ескеріп құрылатын тапсырмалардың шешімдері мен жауаптарын сабақ жоспарына міндетті түрде ендіруі тиіс. Тексеру сабақтарының мынадай түрлері болады: ауызша және жазбаша; оқылған тақырыптан соң бірден алынатын бақылау жұмыстары және біраз уақыт өткізіп барып алынатын бақылау жұмыстары, көп уақыт өткізіп барып алынатын бақылау жұмыстары, яғни уақыт өткен сайын алынған білімдердің беріктігін тексеруге арналған жұмыстар т.б. Олардың дидактикалық мақсаты тек білім деңгейін тексерумен ғана шектелмейді. Тексеру сабақтары білім беру функциясын да атқарады, окушылардың даму деңгейін де анықтайды. Жазбаша тексеру жұмыстары сабақтың бір бөлігіне немесе бүтін бір немесе екі сабаққа есептеліп беріледі. Мазмұнында міндетті бөлікпен қатар математикаға қабілетті оқушылар үшін қосымша бөлігі жоспарланады. Оқушылардың үлгірім деңгейіне байланысты нұсқалар саны көп болғаны, тіпті әрбір білім алушының аты жөні жазылған, арнайы текстер берген тиімді. Оқушы өзінің аты жазылған арнайы тапсырма алғанда, оның жауапкершілігі артып, жұмысқа ықыласпен қарайтыны байқалады. Мұғалім бақылау жұмысында оқушылардың бәрі түгел тиімді жұмыспен айналысуын қадағалап, сұрақтарға жауап береді. Оқушыларды жазылған жұмыстарды уақытында өткізуге үйретеді. Келесі сабақтың бір бөлігін немесе түгел бақылау жұмыстарын талдауға, жиі кездесетін қателер мен жеке оқушылардың жіберген қателеріне, жұмыста жіберілген грамматикалық, символикалық, логикалық қателеріне талдау жасап, сараптауға арнаудың маңызы өте зор. Бұл осындай қателердің келесі бақылау жұмысында болдырмаудың кепілі бола алады және оқушыларды сауатты жазуға, логикалық ойлауын, сөз байлығын, шығармашылық кабілетін дамытуға ықпал етеді. Бақылау жұмысын нашар жазған оқушыларға қателерін талдап, көрсеткеннен кейін қосымша нұсқа беріп, бақылау жұмысын қайта жазуға мүмкіндік беріледі. Жазбаша бақылау жұмыстарының тестік тапсырмалардан бір артықшылығы оқушылардың жазу стиліне, математикалық сауатты жазуына, есептерді шығарғанда сөз байлығын пайдаланып, түсініктемелер, тұжырымдар жасауын тексеруге, сол арқылы олардың жазу сауаттылығы мен сөз байлығын, шығармашылық қабілеттерін, логикалық ойлауын тексеруге мүмкіндік беріледі. Ал, тестік тапсырмалар: уакытты үнемдеуге, оқушының да, тексерушінің де артық жұмыстарын азайтуға, білім беру функциясын, т.б дидактикалық функцияларды іске асыруға мумкіндік береді. Оқыту өнімділігі: санмен, сапамен, толықтылығымен, деректілігімен, тереңділігімен, - әділ бақыланумен тығыз байланыстылығы әдістемелік үрдістің ең жоғарғы заңдылығы ретінде қарастырылады. Оның іс-әрекетке айналып кетуі үшін бақылаудың тиімділігін негіздеп, әсер етуші факторларды ажыратып, түсінікті нақтылау қажет. Қазіргі теорияда әлі: баға, бақылау, тексеру, есеп және осылармен байланыстыларды ажырататын үйлесімділік жоқ. Оларды бір мағынада жиі алмастырып та, қолданып та жүр. Бақылау жалпы шығу түріне қарай оқушының білімін, біліктілігін бағалау мен өлшеуді білдіреді. Өлшеумен анықтауды тексеру дейді. Сондықтан тексеру - бақылаудың негізгі құрамы, оқушымен оқытушы арасындағы кері байланысты анықтайтын мұғалімнің оқушының нені дұрыс меңгере алмағанын, жіберген кемшілігінен әділ мәлімет беретін негізгі әдістемелік міндеті. Тексеру тек оқушылардың оқытылу сапасы мен деңгейін анықтамайды, сонымен бірге оқыту еңбегінің соңғы көлемін де білдіреді. Бақылау тексеруден басқа бағалау (әрекет ретінде) және тексеру (нәтиже ретінде) бағасын да қамтиды. Баға үлгерім табельдерінде, сынып журналдарында, мәліметтер жинағында т.б. белгі ретінде (шартты белгілердің көрсеткіші, кескіні, ескерту таңбасы) қойылады. Оқушылардың үлгерімін бағалау негізі бақылау (нәтижесі) қорытындысы болып табылады. Сонымен қатар оқушы жұмысының сапасы да, саны да ескеріледі. Сандық көрсеткіштерінің артықшылығы пайыз бен балл түрінде, ал сапалық - жақсы, қанағаттанарлық т.б. өлшеммен белгіленеді. Әрбір бағалау пікірге алдын-ала келісілген (белгіленген) ұпай, көрсеткіш (мысалы, өте жақсыға - 5 ұпай) қоса жазылады. Мұнда баға тек қана нәтиженің өлшемі мен айқындаушы емес, бағалау пікіріне қосымша мағына үстейтінін түсіндіру керек. Санды қолдан жасап қою бағалау пікіріне қайшылық келтіреді. Әлемнің көптеген елдерінде сандық өлшемге қызығушылықтан сақтану үшін әріптік белгілерді қолданады. Мысалы, А, В, С т.б. Осы критерий бойынша бағаны анықтау үшін ұсынылған мәліметтер мен игерілгендердің көлемін өлшеуді білу қажет. Бұл міндет ыңғайлы практикалық технология деңгейінде шешілген. Баға қызметі, бізге белгілі болғандай оқытылу деңгейімен ғана өлшенбейді. Баға - педагогтың жеке тұлғаның оқуын реттейтін, жағымды құралы. Әділ бағалау арқылы оқушы бойында өіне-өзі сын көзбен қарауы, өзін бағалауы қалыптасады. Сондықтан бағаның ең басты маңыздылығы, оның қызметінің түрі оқушының оқу әрекетінің барлық жағында оны жан-жақты аша алатындығында. Осы көзқарас негізінде қазіргі білім, біліктілікті бағалауда баға жүйесін диагностикалау маңызымен қоса қайта қарастыру қажет. Оқытуды диагностикалаудың, бақылаудың қағидалары болып: маңызы әділдік, жүйелілік, көрнекілік (жариялылық) болып табылады. Әділділік - педагогтың оқытатын шәкірттерінің біліктілігін, білімін диагностикалық тестерді (тапсырмалар, сұрақтар) диагностикалау тәртібін дәл, нақты, өзара түсінікті қатынас арқылы ғылыми негізге арқау ету болып табылады. Диагностикалаудың практикалық әділдігі диагностикалау көрсеткен педагогтың кез келген бақылау құралдары мен қолданған әдістерімен қойған бағасы үйлесімділік тауып отырады. Бастапқы білімді қабылдаудан бастап, оны практикада қолдануға дейінгі барлық әдістемелік үрдіс диагностикалық бақылау жүргізу - жүйелілік үрдістің түрлері болып табылады. Оқу мекемесінде үнемі жүргізілетін диагностикалау - оқитын шәкірттің бірінші күнінен бастап барлық әрекетін жүйелілікпен қамтиды. Бақылаудың түрлі формалары әдістері мен құралдары, тексерулер, бағалаулар диагностиканы кешенді жүргізуде жүйелілік қағадасын ескеруді талап етеді. Жеке әдістер мен диагностикалау құралдарының жан-жақтылығына назар аударған дұрыс. Диагностика үрдісінде әр оқушының салыстырмалы, көрнекті рейтингісі шығарылады. Баға - оқушылардың өздеріне деген талап үлгілерін және педагогикалық әділділігін салмақтайтын бағдар. Оқушылардың білік, білімін бағалау, тексеру, бақылау, диагностикалау оны қалай жүргізілетініне де байланысты болады.. Оқушылардың білім деңгейінің алдын ала шығарылған көрсеткіші - тексеру жүйесінің ең бірінші құрамдас бөлігі деп есептеледі. Ол оқу жылының басында оқушының өткен оқу жылындағы білімін анықтау үшін жүзеге асырылады. Алдын ала тексеру біліміндегі, дағдысындағы кемшіліктерді жою мақсатымен сәйкес жүргізіледі. Мұндай тексеру оқу жылының ортасында да, жаңа тарауды бастар алдында да жүргізуге болады. Әр тақырыпты меңгеру үрдісіндегі, ағымдағы бағалар білімді тексерудің екінші құрамдас бөлігі болып табылады. Бірақ ол әр сабақта жүргізілсе де оқушылардың белгілі бір өткен, меңгерген тақырыбы бойынша ғана диагностикалауға мүмкіндік береді. Мұндай тексерулердің әдістері мен формалары оқу материалының мазмұны, оның қиындығы, оқушылардың ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz