Қашықтықтан оқыту жағдайында 7-сыныпта математикадан олимпиадалық есептерді шешу электрондық факультативтік курсын әзірлеу
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі
А.Байтұрсынов атындағы Қостанай өңірлік университеті
Қорғауға жіберіледі
Математика кафедрасы
_______ А. Утемисова
___ _______2021ж.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Қашықтықтан оқыту жағдайында 7-сыныпта математикадан олимпиадалық есептерді шешуэлектрондық факультативтік курсын әзірлеу
5В010900-Математика мамандығы
Орындаған:
А.Дүйсенбай, күндізгі оқу
нысанының 4 курс студенті
Ғылыми жетекші:
ф.-м.ғ.к., доцент Р. Ысмагул
Қостанай, 2022
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3
1
Функцияны зерттеуге арналған есептерді шығаруды оқыту әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4
1.1
Математикадағы функция ұғымының даму тарихы ... ... ... ... ..
4
1.2
Функция, оның қасиеттері және графигі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
8
1.3
Элементар функциялардың анықталу облысы мен мәндерінің облысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
20
1.4
Негізгі мектеп курсында функцияларды зерттеудің әдістемелік схемасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
21
1.5
Негізгі мектеп бағдарламасындағы және мектептің математика оқулықтарындағы функцияны зерттеуге арналған есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
23
2
Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
26
2.1
10-сыныпта функцияны зерттеу және графигін салуға арналған есептерді шығаруды оқытуға нұсқаулық ... ... ... ... ...
26
2.2
10 В сыныбына жүргізілген педагогикалық сараптама ... ... .
48
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
56
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
57
Кіріспе
Қазақтың тұңғыш ғалымы Шоқан Уәлихановтың Халықтың кемеліне келіп, өркендеп өсуі үшін ең алдымен азаттық пен білім қажет деп айтқан қанатты сөзі бүгінгі тәуелсіз еліміздің жастары үшін болашаққа бастау мұраты болмақ. Бұлай дейтініміз, қазіргі қарыштап дамып жатқан әлем өркениетінің негізі сапалы оқу-біліммен тығыз байланысты екендігі баршамызға аян. Бұл мәселе Елбасы Жолдауында назардан тыс қалмаған. Тұңғыш Елбасымыз Н. Ә. Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауында: Ұлттық бәсекелестік қабілеті бірінші кезекте оның білімдік деңгейімен айқындалады деп айтылған.[1]
Есепті жеңу - ой жеңісі болып табылады.
Дипломдық жұмыстың өзектілігі: Математиканы оқыту барысында оқушылардың дайындықтарының тиімділігі мен білімдерінің сапасы дәстүрлі емес тұрпаттар, әдістер мен тәсілдер жүйесін құру арқылы жүзеге асырылуы мүмкін, сондықтан әдістемелік нұсқаулықтарды қолданып, функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару өзекті мәселелердің бірі болып табылады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Функцияны зерттеуге арналған есептерді шешуді оқыту әдістемесін зерделеп, әдістемелік нұсқаулық құру және оны практикада қолданылуын құрастырып, сараптама жүргізу.
Дипломдық жұмыстың міндеттері:
-функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару әдістемесінің теориялық негіздерін зерделеу;
- орта мектеп бағдарламасындағы оқулықтарға талдау жүргізу;
- 10-сыныпта функцияны зерттеуге арналған есептерді шығаруды оқыту әдістемесі бойынша нұсқаулық дайындау;
- гипотезаны тексеруге бағытталған сараптаманы өткізу.
Зерттеу объектісі: Функцияны зерттеуге арналған есептер.
Зерттеу пәні: 10 сынып оқушыларының функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару процесінде оқу қызметі.
Жаңашылдығы: Функцияны зерттеуге арналған есептердішығару әдістемесінің теориялық негіздері жүйелі зерделеніп, әдістемелік нұсқаулық құрастыру арқылы практикалық бөлімнің құрылуы болып табылады.
Тәжірибелік маңызы: Дипломдық жұмыс педагогикалық институттардың және университеттердің математика мамандығын таңдаған студенттер үшін машықтанудан өткенде, факультатив сабақтарын өткізгенде әдістемелік жәрдемші болады.
Ғылыми болжам: егер 10-шы сынып оқушылары функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару үшін қосымша құрал ретінде әдістемелік нұсқаулығын қолданса, онда олардың танымдылық белсенділіктері мен қызығушылықтары артады және оқу үлгерімі жоғарылайды.
1 Функцияны зерттеуге арналған есептерді шығарудың оқыту әдістемесі
1.1 Математикадағы функция ұғымының даму тарихы
Әлемді тануда функция ұғымы үлкен рөл атқарады.
Шамалар арасындағы алғашқы математикалық қатынастардан, сандарға қолданылатын алғашқы ережелерден, фигуралардың ауданы мен көлемін табудың алғашқы формулаларынан орын алған функционалдық тәуелділік осы идеяның (функцияның) ертеден бастау алғанын білдіреді.
Математикаға айнымалы шама ұғымының енгізілуімен XVII ғ. функционалдық тәуелділікті қолдану және оны зерттеу басталды.
Ол кезде функция ұғымы анық берілген жоқ, дегенмен функцияның алғашқы анықтамасын Р.Декарт Геометрия атты еңбегінде ұсынды. Бұл еңбегінде ол алгебралық теңдеулер көмегімен ғана дәл бейнеленетін қисықтарды қарастырды.
Біртіндеп функция ұғымы оның аналитикалық сипаттамасы - формуламен теңесті.
Функция сөзін (лат.functio - аяқтау, орындау) Г.В. Лейбниц берілген немесе басқа бір міндетті орындаушы шама мағынасында қолданды.
x-тен функция терминін алғаш Г.В. Лейбниц айнымалы және константа (тұрақты) терминдерін енгізді.
1718 ж. швейцариялық математик И. Бернулли функцияға дәлірек анықтама берді: Айнымалы шаманың функциясы деп осы айнымалы мен тұрақтыдан қандай да бір тәсілмен құрылған шаманы айтады.
Л. Эйлер Анализге кіріспе (1748 ж.) атты кітабында функцияның анықтамасын былай тұжырымдайды: Айнымалы шаманың функциясы дегеніміз - осы айнымалы шама мен сандардан немесе тұрақты шамадан құрылған аналитикалық өрнек.
Л. Эйлер қазіргі кезде қолданған функцияның белгілеулерін енгізген.
Функцияның берілу тәсілі қолданылмайтын сандық функцияның қазіргі анықтамасын орыс математигі Н. И. Лобачевский (1834 ж.) мен неміс математигі П. Дирихле (1837 ж.) бір-біріне тәуелсіз берген.
Функцияның математикалық тұжырымдамасы бір шаманың басқа шаманың мәнін қалай толық анықтайтындығы туралы интуитивті түсінікті білдіреді. Сонымен, x айнымалы мәні x2 өрнегінің мәнін анықтайды, сонымен қатар айдың мәні келесі айдың мәнін нақты анықтайды. Функцияның тағы бір мысалы:әр адам өзінің биологиялық анасымен ерекше байланыста бола алады.
Сол сияқты, кіріс деректерінің мәні бойынша алдын-ала жасалған алгоритм шығыс деректерінің мәнін береді.
Бұл анықтамалардың негізгі мағынасы мынадай: Егер х-тің әрбір мәніне y-тің белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда y бұл сәйкестіктің формуламен, графикпен, кесте түрінде немесе сөзбен берілгеніне қарамастан, x айнымалысының (a=x=b кесіндісінде) функциясы болады.
Анықталу облысы мен мәндер жиыны таңдап алынатын қазіргі кездегі функция туралы түсінік XX ғ. бірінші жартысында жиындар теориясын жасаған Г. Кантордың (1845-1918) еңбегінде тұжырымдалды. Жаңа абстрактілі ұғымды енгізу қажеттілігін түсіну үшін көптеген нақты есептерді шығару барысында осы ұғымды бөліп алып және оның мағынасын мүмкіндігінше дәл бейнелейтін анықтама беру қажет.
Жаратылыстану және басқа да ғылымдарда ашылып жатқан жаңалықтар функция ұғымының ғана емес, басқа да математикалық ұғымдардың дамуына жол ашады.
Көбінесе"функция" термині сандық функция деп түсініледі, яғни кейбір сандарды басқаларына сәйкестендіретін функция. Бұл функциялар графиктер түрінде ыңғайлы.[3]
Мысалы: fx=(4x3-6x2+1)x+13-x функциясының графигі (1 суретке қараңыз).
1 сурет - fx=(4x3-6x2+1)x+13-xфункциясын ың графигі.
"Функция" терминін (біршама тар мағынада) алғаш рет Лейбниц қолданған (1692). Өз кезегінде Иоганн Бернулли сол Лейбницке жазған хатында бұл терминді қазіргі заманға жақын мағынада қолданды.
Бастапқыда функция ұғымы аналитикалық ұсыну тұжырымдамасынан ажыратылмады. Кейіннен Эйлер (1751 жыл) берген функцияның анықтамасы пайда болды, содан кейін -- Лакройда (1806 жыл) -- қазіргі заманғы түрде. Сонымен, функцияның жалпы анықтамасын (қазіргі формада, бірақ сандық функциялар үшін) Лобачевский (1834) және Дирихле (1837) берді.
XIX ғасырдың аяғында функция ұғымы Сандық жүйелер шеңберінен асып түсті. Алдымен функция ұғымы векторлық функцияларға таралды, көп ұзамай Фрег логикалық функцияларды енгізді (1879), ал Дедекинд (1887) және Пеано (1911) жиынтық теориясы пайда болғаннан кейін олар қазіргі әмбебап анықтаманы тұжырымдады.
Ең қатаң-функцияның теориялық-көпше анықтамасы (екілік қатынас ұғымына негізделген). Көбінесе функцияны анықтаудың орнына функция ұғымы беріледі, яғни математикалық объектіні "заң", "ереже" немесе "сәйкестік"сияқты қарапайым тіл ұғымдарын қолдана отырып сипаттау.
Кестелерді құрудан функционалдық тәуелділіктің жалпы тұжырымдамасын қалыптастыруға көп уақыт өтті, бірақ бастама жасалды. Шамалар арасындағы жалпы қатынастарды зерттеуді 14 ғасырда француз ғалымы Николас Оресме бастаған. Оның қолжазбаларында қазіргі заманғы функциялар графикасына ұқсайтын суреттер бар.Ол тіпті осы графиктерді жіктеуге тырысты. Алайда оның идеялары сол кездегі ғылым деңгейінен озып тұрған. Олардың дамуы үшін формулалар арқылы шамалар арасындағы байланысты өрнектей білу қажет болды. Бірақ алфавиттік алгебра әлі болған жоқ. Ал 16 ғасырда ғана айнымалылар идеясының енуіне байланысты функция ұғымын одан әрі дамыту мүмкіндігі пайда болды.
Айнымалы ұғымын ғылымға француз математигі Рене Декарт енгізген (1596 - 1650). Шамалар арасындағы тәуелділіктер сандармен көрсетіле бастады. Бұл сандық аргументтің сандық функциясы туралы жасырын идея болды.
17 ғасырдың басында математиктер эллипсті, гиперболаны, параболаны және басқа қисықтарды жақсы білді. Бірақ содан кейін сызықтарды зерттеудің бірыңғай әдісі әлі болған жоқ. Р.Декарт пен П.Ферманың ашқан жаңалықтары олардың теңдеулерімен жаңа қисықтарды алуға және зерттеуге мүмкіндік берді.
Айнымалылар және алфавиттік алгебра туралы идея жасалғаннан кейін ғалымдардың күші шамалар арасындағы сәйкестікті зерттеуге бағытталды. Координаттарды пайдаланып, сәйкестік туралы мәліметтер графикалық түрде көрсетілді.
Бастапқыда функция ұғымы геометриялық, сондай-ақ механикалық бейнелермен тікелей байланысты болды. И.Ньютонның айнымалы туралы түсінігі механика сұрақтарын қарастыра отырып пайда болды.
Функциясы арқылы ол уақыт бойынша өзгеретін шаманы түсінді. Р.Декарт пен П.Ферма (1601 - 1665) айнымалы ұғымын геометрия мәселелерін зерттеумен байланыстырды.
Р.Декарт өзінің Геометрия деген еңбегінде: Сызықты бірінен соң бірі әр түрлі мағыналардың шексіз жиынтығын бере отырып, біз шексіз мағыналарды табамыз және осылайша әр түрлі нүктелердің шексіз санын аламыз ...; олар қажетті сызықты сипаттайтын болады .Мұнда хжәне ушамаларының тәуелділігін геометриялық өрнек идеясы, яғни функция графикасы айқын көрінеді.
"Функция" термині (латын функциясынан - орындау, орындау) алғаш рет 1673 жылы неміс математигі Г. Лейбниц қолданған. Алдымен бұл ұғым сөздің тар мағынасында қолданылды, тек геометриялық идеялармен байланысты болды.
Бұл қисықтарға тангенс сегменттері, олардың координаталар осіндегі проекциялары және "осы фигура үшін белгілі бір функцияны орындайтын басқа сызықтар"туралы болды. Яғни, функция ұғымы әлі де геометриялық түсіндіруден босатылған жоқ.
18 ғасырдың басында Математикалық талдаудың дамуымен функция туралы интуитивті-геометриялық идеядан оның аналитикалық анықтамасына көшу болды.
Осылайша, оның тарихи дамуындағы функция ұғымы-бірнеше кезеңнен өтті:
1. Пропедевтикалық-ежелгі дәуірден 17 ғасырға дейін.
2. Механикалық және геометриялық функциялар арқылы функция ұғымын енгізу
спектакльдер-17 ғасыр.
3. Функцияның аналитикалық анықтамасы - 17 ғасыр - 19 ғасырдың басы.
4. Функция бейнелену ретінде -19 ғасыр.
5. Функция ұғымының одан әрі дамуы 20 ғасырдан басталады.
1.2 Функция, оның қасиеттері және графигі
Сандық функция дегеніміз - анықталу облысы мен мәндер жиыны, сандар жиыны, әдетте, нақты сандар жиыны болатын функция.
Анықтама. Анықталу облысы D болатын сандық функция деп D жиынының кез келген x санына қандай да бір ереже бойынша x-тен тәуелді бір ғана y саны қойылатын сәйкестікті айтады.
Функция латын және грек әріптерімен белгілеу қалыптасқан.
Қандай да бір f функциясын қарастырайық. Бұл функцияның мәні қайсыбір x санына тәуелді болғандықтан. fx деп те жазуға болады.
f функциясының анықталу облысы Df деп белгіленеді.
y=f(x) функциясының анықталу облысы көрсетілмесе, онда функциясының анықталу облысы ретінде f(x) өрнегінің анықталу облысы алынады.
f функциясының мәндер жиыны E(f) деп белгіленеді.
Функцияның берілу тәсілдері
Функцияны беру дегеніміз аргументтің берілген мәндері үшін функкцияның сәйкес мәндерін қалай табуға болатынын көрсету екенін білесіңдер.
Функцияның формуламен берілу тәсілі аналитикалық тәсіл деп аталады.
Функцияның графигі деп жазықтықтағы координаталары x,fx болатын нүктелердің жиынын айтады (2 суретке қараңыз).
2 сурет - Функцияның графигі
Функцияның берілу тәсілдері
1. Аналитикалық тәсіл. Аналитикалық тәсіл x аргументінің әрбір сандық мәні бойынша оған сәйкес y функциясының сандық мәнін ( дәл немесе қандай да бір дәлдікпен алынған) табуға мүмкіндік береді. Функция математикалық формула арқылы беріледі. Мысалы: y=x2, y=lnx.
Егер x пен y-тің арасындағы тәуелдәләк формуламен, яғни y=f(x) түрінде берілсе, онда функция x-ке қатысты айқындалған түрде берілген дейді.
Егер x және y арасындағы тәуелділік Fx;y=0 түріндегі теңдеумен берілсе, яғни формула y арқылы өрнектелмесе, онда y=fx функциясы айқындалмаған түрде берілген дейді.
Функция өзінің анықталу облысының әртүрлі бөлігінде әртүрлі формулалармен берілуі мүмкін.
Аналитикалық тәсіл - функцияны берудің ең кең тараған түрлерінің бірі.
Анықталу облысынан алынған кез келген x үшін функцияның мәнін есептеу мүмкіндігінің болуы функцияның аналитикалық тәсілмен берілуінің негізі артықшылығы болып табылады.
2. Таблицалық тәсіл. Кесте арқылы берілген аргументтің мәніне сәйкес функцияның мәнін табуға болатындықтан, функцияны кестемен беруге болады. Мысалы:
1 кесте - Таблицалық тәсіл
x
1
2
3
4
5
y
2
4
6
8
10
Кестемен беру тәсілінде аргументтің кейбір мәндеріне сәйкес функцияның мәндері табылады. Бұл тәсіл функцияның анықталу облысы шектелген жиын болғанда ғана қолданылады.
Функцияны кесте арқылы беру тәсілі қосымша өлшемдер мен есептеулер жүргізбей, бірден нақты мәндерді анықтауға мүмкіндік береді. Кейбір жағдайларда кесте функцияны толық анықтамайды, оны аргументтің кейбір мәндері үшін ғана анықтайды және аргументтің өзгеруініе қарай функцияның өзгеруін көрнекі етпейді.
Функцияны графиктік тәсілмен беру ең кқрнекі тәсіл болып табылады.
3. Функцияның сөзбен берілуі. Функция сөзбен беріледі. Мысалы: Дирихле функциясы
fx=1, барлық рационал x-тер үшін 0, барлық иррационал x-тер үшін
4. Графиктік тәсіл. y=fx функциясының графигі деп координаталары берілген теңдікті қанағаттандыратын жазықтықтың барлық нүктелер жиынын айтатынын білесіңдер.[5]
Функцияны берудің графиктік тәсілі аргументтің барлық мәндерін табуға мүмкіндік бермейді. Бірақ басқа тәсілдерге қарағанда артықшылығы - ол оның көрнекілігінде.
Функцияны берудің графиктік тәсілі техникада және физикада жиі қолданылады.
Функцияның тұжырым арқылы берілуін баяндау тәсілі деп атайды.
Функцияның баяндау тәсілінің артықшылығы аналитикалық тәсілмен беруге болмайтын функцияларды беру мүмкіндігі болып табылады.
y=f(x+n) және y=fx+n (n∈R) түріндегі функцияның графигін салу
y=a(x+n)2 функциясының графигін y=ax2 функциясының графигінен n оң сан болғанда Ox осі бойымен n бірлік солға, n теріс сан болғанда n бірлік оңға орын ауыстыру (жылжыту, параллель көшіру) арқылы алуға болады.
Енді y=x2 функциясының графигін қолданып, y=(x-2)2 және y=(x+2)2 функциялары графиктерінің қалай салынғанын (3 суретке қараңыз) түсіндіріп көрейік.
3 сурет - Функцияны жылжыту
xO1y1 координаталар жүйесінде y=x2 функциясының графигі салынған (4 суретке қараңыз). O1y1 ордината осі 2 бірлікке оңға жылжыту арқылы алынған.
4 сурет - y=x-22 функциясының графигі
Неліктен y=(x-2)2 формуласы суреттегі xOy координаталар жүйесіндегі графиктің формуласы болатынын түсіндірейік. y=x2 функциясының графигін жылжытпай, y=(x+2)2 функциясының қалай салуға болады?
Функцияның графигін Ox осі бойымен оңға (солға) n бірлікке жылжытқанда алынған график Oy осін сонша бірлікке солға (оңға) көшіргенде алынған графикпен бірдей.
Функциялардың графиктеріне жүргізілген түрлендірулердің ақиқаттығын дәлелдейік.
Дәлелдеуі. Алдымен xOy координаталар жүйесінен кез келген A0(x0;y0) нүктесін алайық.
Алынған нүктені Ox осі бойымен оңға қарай n (n0) бірлікке жылжытайық. Сонда A нүктесі A1(x1;y1) нүктесіне көшеді және x1=x0+n, y1=y0 болады.
Керісінше, егер A0(x0;y0) және A1(x1;y1) нүктелері x1=x0+n n0, y1=y0 қатынастарымен байланысты болса, онда A0(x0;y0) нүктесін Ox осі бойымен n бірлікке оңға жылжыту арқылы A1(x1;y1) нүктесін алуға болады.
y=f(x) және y=fx-n(n0) функцияларын қарастырайық. xOy координаталар жүйесінде функциялардың графиктерін салыстырайық. Ол үшін y=f(x) функциясының графигінің бойынан кез келген A0(x0;y0) нүктесін аламыз. Ол y0=f(x0) теңдігі тура санды теңдік болатынын білдіреді.
Онда
y0=fx0=fx0+n-n (1)
санды теңдігі де тура болады.
y1=y0 және x1=x0+n алмастыруларын енгізсек, (1) теңдік
y1=fx1=f(x1-n) түріне келеді. Демек, A1(x1;y1) нүктесі
y=fx-n(n0) функциясының графигіне тиісті болады.
A0(x0;y0) және A1(x1;y1) нүктелерінің координаталары
x1=x0+n (n0) және y1=y0 қатынасымен байланысты болғандықтан, A0(x0;y0) нүктесін Ox осі бойымен n бірлікке оңға жылжыту арқылы A1(x1;y1) нүктесін алуға болады.
A0(x0;y0) нүктесі кез келген нүкте болғандықтан, y=f(x) функциясының графигіндегі барлық нүктелерді Ox осі бойымен n бірлікке оңға жылжыту арқылы y=fx-n(n0) функциясының (5 суретке қараңыз) графигін алуға болады.
5 сурет - Функцияны оңға жылжыту
Егер A2(x2;y2) нүктесі A0(x0;y0) нүктесінен Ox қсі бойымен n (n0) бірлікке солға жылжыту арқылы алынса, онда A0(x0;y0) және A2(x2;y2) нүктелері қандай формуламен байланысқанын түсіндірейік.
y=fx+n (n0) функциясының графигін y=f(x) функциясының графигінен Ox осі бойымен n бірлікке солға жылжыту арқылы (6 суретке қараңыз) алуға болатынын дәлелдейік.
6 сурет - Функцияны солға жылжыту
Сонымен, мына ережені аламыз:
y=fx+n, мұндағы n∈R, функциясының графигін алу үшін y=f(x) функциясының графигін Ox осі бойымен n оң сан болғанда солға, n теріс сан болғанда оңға қарай n бірлікке жылжыту керек.
Енді y=x2 функциясының графигін қолданып y=x2-3 және
y=x2+3 функциялары (7 суретке қараңыз) графиктерінің қалай салынғанын түсіндірейік.
7 сурет - Функцияны параллель көшіру
xOy координаталар жүйесінде кез келген B0(x0;y0) нүктесін қарастырайық.
Осы нүктені Oy осі бойымен жоғары n(n0) бірлікке жылжытамыз. Сонда B1(x1;y1) нүктесін аламыз және x1=x0, y1=y0+n болады.
Керісінше, егер B0(x0;y0) және B1(x1;y1) нүктелері x1=x0 және y1=y0+n(n0) қатынасымен байланысты болса, онда B1(x1;y1) нүктесін B0(x0;y0) нүктесінен Oy осі бойымен жоғары n бірлікке жылжыту арқылы алыға болады.
y=f(x) және y=fx+n(n0) функцияларын қарастырайық. Осы функциялардың графиктерін xOy координаталар жүйесінде салыстырайық. Ол үшін y=f(x) функциясының графигінен кез келген B0(x0;y0) нүктесін аламыз. Онда y0=f(x0) теңдігі тура болады. Демек,
y0=fx0=fx0+n-n немесе y0+n=fx0+n
санды теңдігі де тура.
y0+n=y1 және x0=x1 алмастыруларын енгізейік. Сонда
y0=fx0=fx0+n-n немесе y0+n=fx0+n теңдігі y1=fx1+n түріне келеді. Олай болса, B1(x1;y1) нүктесі y=fx+n (n0) функциясының графигіне тиісті.
B0(x0;y0) және B1(x1;y1) нүктелерінің координаталары x1=x0 және y1=y0+n қатынасымен байланысты болғандықтан, B0(x0;y0) нүктесін Oy осі бойымен жоғары қарай n бірлікке жылжыту арқылы B1(x1;y1) нүктесін алуға болады.
B0(x0;y0) нүктесі кез келген нүкте болғандықтан, барлық нүктелерді, яғни y=f(x) функциясының графигін Oy осі бойымен жоғары қарай n бірлікке жылжыту арқылы y=fx+n (n0) функциясының графигін алуға болады. (8 суретке қараңыз).
8 сурет - Функцияны n бірлікке жоғары жылжыту
y=afx, y=f(x), a∈R, түріндегі функциялардың графигін салу
a1, 0a1, a=-1 жағдайлары үшін y=af(x) функциясының графигін салуды қарастырайық.
9.1-Суретте Ax0,y0, Bx1,y1, C(x2,y2) нүктелері және оларға сәйкес абсциссалары өзара тең ординаталары a (a1) есе үлкен болатын A1x0;ay0, B1x1;ay1, C1(x2;ay2) нүктелері белгіленген.
Мысал. 9.2-Суретте A4;2, B-1;1, C(-5; -2,5) нүктелері және оларға сәйкес абсциссалары өзара тең ординаталары 3 есе артық A14;6, B1-1;3, C1(-5; -7,5) нүктелері берілген.
9 сурет - Oy осі бойымен созу
Мұндай жағдайда Ax0,y0, Bx1,y1, C(x2,y2) нүктелері Oy осі бойымен a (a1) есе солу нәтижесінде сәйкесінше A1x0;ay0, B1x1;ay1, C1(x2;ay2) нүктелеріне көшеді.
y=f(x) және y=af(x) фунцияларын қарастырайық. y=f(x) функциясының графигі берілсін (10 суретке қараңыз). y=afx(a1) функциясының графигін салу керек. Аргументтің бірдей мәндерінде y=fx функциясының сәйкес мәндерін a-ға көбейтіп, y=af(x) функциясының мәндері алынатынын байқауға болады (4.3.2-сурет).
Басқаша айтқанда, кез келген Ax0,y0 нүктесі y=f(x) функциясының графигіне тиісті болса, онда A1x0;ay0 нүктесі y=af(x) функциясының графигіне тиісті. Демек, y=afx(a1) функциясының графигі
10 сурет - Функцияны а есе созу
y=f(x) функциясының графигі Oy осі бойымен a есе солу арқылы алынады (10 суретке қараңыз).
Жиындар мен функциялардың қасиеттері
Тағайындау аймағының сипатына және мәндер ауқымына байланысты облыстардың келесі жағдайлары ажыратылады:
1) дерексіз жиынтықтар - ешқандай қосымша құрылымсыз
жиынтықтар;
2) белгілі бір құрылыммен жабдықталған жиынтықтар.
1 жағдайда картографиялау ең жалпы түрде қарастырылады және жалпы мәселелер шешіледі. Мұндай жалпы сұрақ, мысалы, жиынтықтарды түпнұсқалық бойынша салыстыру туралы мәселе: егер екі жиын арасында бір-біріне карта (биекция) болса, онда берілген екі жиын эквивалентті немесе эквипотенциалды деп аталады. Бұл жиынтықтарды бір масштаб түрінде жіктеуге мүмкіндік береді, алғашқы фрагмент келесідей:
* ақырлы жиындар - мұнда жиынтықтың маңыздылығы элементтер санымен сәйкес келеді;
* есептелетін жиындар - натурал сандар жиынтығына балама жиындар;
* континуумның кардинал жиынтығы (мысалы, нақты сызықтың кесіндісі немесе нақты сызықтың өзі).[6]
Тиісінше, келесі картографиялық мысалдарды қарастырған жөн:
* ақырлы функциялар - ақырлы жиындардың картасы;
* реттіліктер - есептелетін жиынды ерікті жиынға бейнелеу;
* үздіксіз функциялар - есептелмейтін жиындардың ақырғы, есептелетін немесе есептелмейтін жиынтықтарға кескінделуі.
2 жағдайда қарастырудың негізгі объектісі - бұл жиынтықта берілген құрылым (жиын элементтерінің қосымша қасиеттері) және картаға түсіру кезінде бұл құрылымға не болады: егер берілген құрылымның қасиеттері бір мәнге дейін сақталса - бір картаға түсіру, содан кейін олар екі құрылым арасында изоморфизм орнайды дейді. Сонымен, әртүрлі жиындарда берілген изоморфтық құрылымдарды ажырату мүмкін емес, сондықтан математикада бұл құрылымды изоморфизмге дейін деп айту әдетке айналды.[7]
Жиынтықтарға берілетін құрылымдардың алуан түрлілігі бар. Оған мыналар кіреді:
* реттік құрылым - жиын элементтерінің ішінара немесе сызықтық реті; алгебралық құрылым - топоид, жартылай топ, топ, сақина, дене, тұтастық домені немесе жиын элементтерінде анықталған өріс;
* метрикалық кеңістіктің құрылымы - қашықтық функциясы жиын элементтеріне орнатылады;
* эвклид кеңістігінің құрылымы - скаляр көбейтінді жиын элементтерінде көрсетілген;
* топологиялық кеңістіктің құрылымы - жиынтықта ашық жиынтықтар жиынтығы көрсетілген;
* жиынтықта өлшенетін кеңістіктің құрылымы - жиынтықтың бастапқы жиынының сигма-алгебрасы көрсетілген (мысалы, берілген сигма-алгебрасы бар өлшемді функция домені ретінде көрсету арқылы)
Сәйкес құрылымы жоқ жиындарда белгілі бір қасиеті бар функциялар болмауы мүмкін. Мысалы, жиынтықта анықталған функцияның үздіксіздік қасиетін тұжырымдау осы жиынтықта топологиялық құрылымды нақтылауды қажет етеді.[8]
Функцияның түрлері
1) Тұрақты функция
fx=c түрінде берілген функция, мұндағы c∈R, тұрақты функция деп аталады. Тұрақты функцияның графигі абсцисса осіне параллель және (0;c) нүктесі арқылы өтетін түзу.
Мысалы, fx=-4, fx=52 және т.с.с. тұрақты функциялар.
2) Тура пропорционалдық
Тура пропорционалдық деп, y=kx, формуласы мен берілген, мұндағы k!=0, функцияны айтады. k саны пропорционалдық коэффициенті.
y=kx функциясының кейбір қасиеттері:
1) Анықталу облысы- нақты сандар жиыны болып табылады (R)
2) Функция тақ, f-x=k-x=-kx=-f(x)
3) k0 болғанда функция өспелі, ал k0 болғанда функция кемімелі болады.
1) Сызықтық функция
y=kx+b формуласымен берілген функцияға сызықтық функция дейді, мұндағыk жәнеb- нақты сандар.
k!=0, b!=0 болғандағы y=kx+b функциясының кейбір қасиеттері:
1) Анықталу облысы- нақты сандар жиыны болып табылады (R)
2) Функция тақ та, жұп та емес.
3) k0 болғанда функция өспелі, ал k0 болғанда сан түзуінде кемімелі.
4) Сызықтық функцияның графигі-түзу.
1) Кері пропорционалдық
Кері пропорционалдық деп y=kx формуласымен берілген функцияны атайды, мұндағы k!=0. kсаны кері пропорционалдық коэффициенті деп аталады.
y=kx функциясының кейбір қасиеттері:
1) Анықталу облысы, x=0нүктесінен басқа, нақты сандар жиыны R∖0
2) Функция тақ f-x=k(-x)=-kx=-f(x)
3) k0 болғанда, функция R∖0-да кемімелі, ал k0 болғанда R∖0 өспелі.
4) Координаталар осі функция графигінің тік және көлденең асимптоталары болып табылады.
5) y=kx кері пропорционалдықтың графигі гипербола деп аталады. [9]
1) Квадраттық функция
y=ax2+bx+c түрінде берілген функция, мұндағы a,b,c- кез келген нақты сандар, a!=0, x- тәуелсіз айнымалы, квадраттық (екінші дәрежелі) функциядеп аталады.
Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.
Парабола төбесінің координаталары:
m,n, m=-b2a, n=-b2-4ac4a.
x=m түзуі параболаның симметрия осі деп аталады. a0 болғанда параболаның тармақтары төмен қарай, ал a0 болғанда тармақтары жоғары қарай бағытталған.
Кез келген квадраттық функцияны fx=a(x-m)2+n түріне келтіруге болады.
2) y=x3 түрінде берілген функция
Қасиеттері:
1) Анықталу облысы-R;
2) Функция тақ;
3) Функция өспелі;
4) Функцияның графигі кубтік парабола.
1) y=x түрінде берілген функция
Қасиеттері:
1) Анықталу облысы - x∈[0; +infinity)
2) Функция жұп та, тақ та емес
3) Функция [0; +infinity) сәулесінде өспелі
1) Көрсеткіштік функция
y=ax, түріндегі функция, мұндағы a0, a!=1,x- айнымалы, көрсеткіштік функция деп аталады. [10]
Көрсеткіштік функцияның кейбір қасиеттері келтірейік:
1) y=ax функциясының анықталу облысы-нақты сандар жиыны.
2) Барлық көрсеткіштік функциялардың графиктері (a1 немесе 0a1) 0;1 нүктесі арқылы өтеді.
3) a1 болғанда көрсеткіштік функция сан түзуінің барлық нүктелерінде өспелі, сонымен қатар x0 болғанда ax1, ал x0 болғанда ax1.
4) 0a1 болғанда көрсеткіштік функция бүкіл сан түзуінде кемімелі.
Функция ұғымын енгізу әдісі мектеп математикасы курсында
Мектеп оқулықтарында функция ұғымын анықтауға және енгізуге, сонымен қатар оны оқушылар арасында одан әрі қалыптастыруға қатысты әртүрлі тәсілдер бар. Бұл осы тұжырымдаманың пайда болуы мен дамуының бұрын қарастырылған тарихи аспектілеріне байланысты.
Функция ұғымын генетикалық тұрғыдан түсіндіру 19 ғасырдың ортасына дейін осы ұғымға енген негізгі белгілердің әдіснамалық дамуына негізделген. Осы интерпретациямен функционалды бейнелеу жүйесі келесі маңызды ұғымдарды қамтиды: айнымалы шама, айнымалы шамалардың функционалды тәуелділігі, формула, жазықтықтағы декарттық координаталар жүйесі.
Функция ұғымын логикалық түсіндірудің негізі алгебралық жүйені анықтау шеңберінде осы тұжырымдаманы әдістемелік талдауға негізделген функционалды көріністерді оқытуды құру болып табылады. Осы тәсілмен функция функционалдық шартты қанағаттандыратын екі жиын арасындағы қатынастың ерекше түрі ретінде пайда болады. Функция ұғымын зерттеудің бастапқы кезеңі оны қатынас тұжырымдамасынан шығару болып табылады.
Осы бағыттардың әрқайсысының өзіндік артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Сонымен, авторлар генетикалық интерпретация қоршаған әлем құбылыстарын зерттеуге қатысты функция ұғымының модельдік жағын оңай ашатынын атап өтті. Бұл интерпретация алгебра курсының қалған мазмұнымен табиғи байланыста болады, өйткені онда қолданылатын функциялардың көпшілігі алгебралық немесе кестелік түрде көрсетілген.
Алайда, авторлар бұл тәсілмен айнымалы әрқашан жанама түрде (немесе тіпті айқын) сандық мәндердің үздіксіз қатарынан өтеді деп болжанғанын көрсетеді. Байланысты тұжырымдама бұған негізінен тек бір сандық аргументтің сандық функцияларымен байланысты (сандық интервалда анықталған). Оқыту кезінде функционалды көріністерді қолданып, дамыта отырып, оны алғашқы сипаттау шектерінен үнемі өтіп отыру қажет.
Логикалық тәсілді қолданғанда мектеп математикасының тілін байытатын әр түрлі құралдарды қолданып функция ұғымын бейнелеу қажет. Формулалар мен кестелерден басқа, мұнда функцияны көрсеткілер, жұптар тізімі арқылы орнатуға болады. Математиканы оқытуда пайда болған тұжырымдаманы жалпылау және оған байланысты түрлі байланыстарды құру мүмкіндіктері осындай түсіндірудің негізгі артықшылықтары болып табылады.Алайда, авторлар атап өткендей, осы жолда жасалған жалпы тұжырымдама негізінен бір сандық аргументтің сандық функцияларымен, яғни генетикалық негізде қалыптастыру әлдеқайда жеңіл болатын аймақпен байланысты болады.
1.3 Элементар функциялардың анықталу облысы мен мәндерінің облысы
Анықтама. Егер fx функциясы дәреже көрсеткіші теріс есем бүтін сан болатын және коэффициенттері нақты сандар ғана болып келетін айнымалы x-тің дәрежелерінің қосындысы түрінде болып келсе, яғни
fx=a0x4+a1xn-1+...+an-1x+an,
мұндағы aii=1,2,...,n- нақты сандар, f(x) бүтін рационалдық функция деп аталады.
a0!=0 болса, натурал сан n бүтін рационалдық функция (көпмүшелік) тің дәреже көрсеткіші деп аталады. [11]
Бұл функцияның анықталу да, өзгеру облысы да барлық нақты сандар жиыны болып келеді, яғни Df=R, Ef=R
Орта мектепте бұл функцияныңn=1 болғанда, сызықтық y=kx+b, n=2 болғанда, квадраттық y=ax2+bx+c, n=3 болғанда, кубтық y=ax3+bx2+cx+d, n=4 болғанда, биквадраттық функция y=ax4+bx2+c деп аталатын түрлері қарастырылады.
Енді осы функциялардың әрқайсысына жеке тоқталып өтейік.
Сызықтық y=kx+b функциясының анықталу облысы: Dy=R- ге, ал мәндерінің облысы: Ey=R, k!=0,b, k=0- ге тең.
Квадраттық y=ax2+bx+c функциясының анықталу облысы: Dy=R- ге, ал өзгеру облысы мынаған тең: Ey=-D4a; +infinity, a0,-infinity; -D4a, a0, болғанда, мұндағы D=b2-4ac.
Кубтық y=kx3+bx2+cx+d функциясының анықталу облысы да, өзгеру облысы да Dy=R, Ey=R- ге тең.[12]
Биквадраттық y=ax4+bx2+c, a!=0 функциясының анықталу облысы:Dy=R- ге, ал өзгеру облысы y=ax4+bx2+c функциясының экстремуміне байланысты анықталады.
Элементар фуникиялардың графигі (11 суретке қараңыз).
11 сурет - Элементар фуникиялардың графигі
1.4 Негізгі мектеп алгебрасы курсында функцияларды зерттеудің әдістемелік схемасы
Отандық мектептің тәжірибесі көрсеткендей, негізгі мектепте нақты функцияларды келесі әдістемелік схема бойынша зерделеу пайдалы:[14]
1. Осы функцияға әкелетін нақты жағдайларды немесе міндеттерді қарастырыңыз. Осы кезеңде студенттер практикаға немесе теорияны одан әрі дамыту қажеттілігіне сүйене отырып, осы функцияны зерделеудің орындылығына көз жеткізуі керек.
2. Функцияның анықтамасын тұжырымдау және оны формула түрінде жазу.Бұл кезеңде студенттер осы функцияның маңызды қасиеттерін анықтайды, оның анықтамаларын тұжырымдайды, функцияны формуламен жазады, осы формулаға кіретін параметрлерді зерттейді. Мұнда функцияның анықтамасын ассимиляциялау жүреді, тану жаттығулары орындалады.
3. Оқушыларды осы функцияның кестесімен таныстыру.Бұл кезеңде студенттер зерттелетін функцияны графикалық түрде бейнелеуді, осы функцияны графикте көрсетілген басқа функциялардан ажыратуды, параметрлердің функцияның графикалық бейнесінің сипатына әсерін белгілеуді үйренеді.
4. Функцияны негізгі қасиеттерге зерттеңіз.Мұнда студенттер функцияның анықталу аймағын және көптеген мәндерін, өсу мен кему аралықтарын, тұрақты аралықтарды, нөлдерді, функцияның экстремасын табады, оны паритетке немесе таққа, кезеңділікке, шектеулерге, үздіксіздікке және т. б. зерттейді.
Негізгі мектепте функциялардың қасиеттері кесте бойынша, яғни көрнекі ойлар негізінде орнатылады, ал кейбіреулері аналитикалық түрде негізделген. 7-9 сыныптарда оқушылар функциялардың қасиеттерін үш "тілде" түсіндіруді үйренеді: графикалық, ауызша және символдық. Бұл дағды біртіндеп қалыптасады және үлкен дидактикалық мәнге ие.
5. Әр түрлі есептерді, атап айтқанда теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде функциялардың зерттелген қасиеттерін қолданыңыз.Бұл кезең зерттелетін функциямен байланысты негізгі ұғымдар мен теориялық ережелерді бекіту кезеңі, сондай-ақ тиісті дағдыларды қалыптастыру кезеңі болып табылады.
Бұл әдістемелік схема кез - келген функцияны зерттеуге арналған жоспар-бағдарлама болып табылады.
Ескерту. Мектептегі функцияларды зерттеу нақты оқу іс-әрекетінің жаңа түрімен - зерттеумен байланысты. Функцияларды зерттеуге дейін оқушылар ғылыми-зерттеу қызметімен кездеспеді деп айту дұрыс болмас еді, бірақ бұл іс-әрекеттің тікелей мақсаты болған жоқ, сонымен қатар зерттеушілік дағдыларды қалыптастырудың тәрбиелік міндеті қойылмады. Мектепте оқып жатқан кезде бірінші нақты функция - сызықтық, осындай мақсат қою керек.
Функционалды материалдың ерекшелігі функциялардың нақты процестердің модельдері екендігінде көрінеді. Процестердің жеке қасиеттерін зерттеу функцияларды зерттеу арқылы жүзеге асырылады. Бетон функциялары процестердің нақты қасиеттерінің абстракциясы болып табылатын белгілі бір қасиеттерге ие. Белгілі бір функция үшін белгілі бір қасиеттердің болуы мен ерекшелігін анықтау функцияны зерттеу болып табылады.[15]
Функциялардың белгілі бір қасиеттерін анықтау әдістері зерттеу әдістері болып табылады. Оларды: 1) координат әдісі; 2) қарапайым талдау (теңдеулер мен теңсіздіктерді қолдану арқылы); 3) математикалық талдау (туынды қолдану арқылы).
Функцияларды зерттеу кезінде қажет болатын зерттеу дағдылары - бұл функция белгілі бір қасиетке ие болатын жағдайларды анықтай білу және шарттардың өзгеруіне байланысты функциялардың қасиеттері қалай өзгеретінін анықтау мүмкіндігі. Аталған нақты зерттеушілік дағдыларды қалыптастыру жалпы зерттеу қызметін қалыптастыруға әсер етеді.
Мектептегі функцияларды оқығанда келесі нақты зерттеу әрекеттері қалыптасады және қолданылады: функция болатын сандық жиынды және осы жиынға қабылдай алатын мәндер жиынтығын құру; функцияның анықталу облысында немесе оның кейбір бөліктерінде азайып немесе көбейіп жатқанын, оның максимумы немесе минимумы бар ма, жоқ па, функцияның түбірлері қандай, егер бар болса, функция жұп па, тақ па, периодты ма, жоқ па, соны анықтаңыз; осы функцияның қандай графигі және т.б.[16]
5.5 Негізгі мектеп бағдарламасындағы және мектептің математика оқулықтарындағы функцияны зерттеуге арналған есептер
Мектеп математикасы курсының ең күрделі тақырыптарының бірі - функциялар. 7 сыныпта пайда болып, анда-санда оқығандықтан, функционалды тәуелділіктер 10-11 сыныптарда толығымен ұсынылған.[17]
А.Е. Әбілқасымова, Т.П. Кучер, В.Е. Корчевский, З. Ә. Жұмағұлова, 2019 жылғы 10-сынып Алгебра және анализ бастамалары оқулығы он тараудан және оқу жылының басында 7-9 сыныптардағы алгебра, оқу жылының соңында 10-сыныптағы алгебра және анализ бастамалары курсын қайталауға арналған жаттығулардан тұрады. Бірінші тарауда оқушылар Функция, оның қасиеттері және графигі туралы өтсе, екінші тарауда Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері мен графиктері, үшінші тарауда Кері тригонометриялық функциялар, төртінші тарауда Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер және ең соңғы бесінші тарауда Комбинаторика элементтері және ықтималдықтар теориясы жайлы білімдерін жетілдіреді. Тараулар параграфтарға бөлінген. Әр параграфта өздігінен орындауға арналған тапсырмалар; параграфтағы негізгі ұғымдарды, теория мен онда қарастырылған мысалдарды игеруді қажет ететін өзіндік тексеру сұрақтары берілген.
Оқулықтың әрбір параграфында А, В, және С әріптерімен белгіленген үш деңгейлі жаттығулар ұсынылған. Бірінші деңгейдегі жаттығуларды (А) барлық оқушылардың орынлауы міндетті деп саналады. Екінші деңгейдегі жаттығулар (В) орта деңгейдегі жаттығулар. Үшінші деңгейдегі жаттығулар (С) оның ішінде (*) белгісімен берілген жаттығулар дайындығы жоғары және математикаға қызығушылық танытқан оқушыларға арналған. А, В, С топтарының жаттығуларынан кейін шешуі келесі параграфтың материалын меңгеруге септігін тигізетін қайталау жаттығулары ұсынылған.
Біз бәріміз функциялар әлемінде өмір сүреміз, дегенмен оны үнемі байқай бермейміз. Көптеген физикалық, химиялық, биологиялық процестер, онсыз өмірді ойлау мүмкін емес, бұл уақыттың функциялары. Экономикалық процестер де функционалды тәуелділіктер болып табылады. Функциялар әр түрлі механизмдерді жобалауда, сақтандыруда, беріктікті есептеуде маңызды рөл атқарады. Функциялар және графиктер тақырыбы мектеп математикасы курсының маңыздыларының бірі болып табылады. Олар оны жетінші сыныпта оқи бастайды, ал он біріншіде аяқтайды.
10-11 сыныптарда алгебра курсында және математикалық анализдің басында элементар функциялар мен олардың қасиеттерін одан әрі зерттеу қарастырылған. Функционалды репрезентацияларды қалыптастыру осы сыныптарға арналған оқу бағдарламалары мен оқулықтардың негізгі өзегі болып табылады.
Орта мектепте сабақтастық, шек, туынды және интеграл ұғымдарының енгізілуі сызықтық, квадраттық, дәрежелік, тригонометриялық, экспоненциалдық және логарифмдік функциялардың қасиеттерін тереңірек зерттеуге, олардың практикалық қолданылуын көрсетуге мүмкіндік береді, сонымен қатар геометрия курсын талдаудың басталуымен, математиканы физикамен, технологиямен, химиямен тығыз байланыстыру.
Мектептегі математика курсының көптеген бөлімдерін игерудің жетістігі оқушылардың функцияны зерттеу кезінде схолники алған дағдыларды қалай игергендігіне байланысты.
Функциялар тақырыбы бойынша, сондай-ақ негізгі мектептегі математика курсының кез-келген басқа тақырыбы бойынша міндетті тапсырмаларды бөліп көрсету кезінде 7-9 сыныптарда оқыту ақырғы емес, аралық кезең болатындығын басшылыққа алу керек. әр оқушының математикалық білім беру жүйесінде. Ол алған математикалық дайындық негізінде оның әрі қарайғы білімі негізделеді. Ең алдымен, оқытудың келесі кезеңдерінде әр түрлі дағдыларды қолдану сипаты мен деңгейіне талдау жасау қажет.[18]
Сонымен қатар, оқушылардың математикалық білімдерін сабақтас мектеп пәндерінде қолдану табиғаты үлкен маңызға ие.
Функция тақырыбы бойынша теориялық және тапсырма материалдарын талдау дағдылардың екі тобын ажыратуға мүмкіндік береді, олардың қалыптасуын нақты функциялардың барлық түрлерін - функцияны анықтайтын формуламен жұмыс істей білу кезінде мұқият зерделеу керек. осы функцияның графигімен жұмыс жасау мүмкіндігі. (2 кестеге қараңыз).
2 кесте - Мектеп оқулықтарындағы есептер саны бойынша талдау
Оқулықтың авторлары
Функцияны зерттеуге арналған есептердің саны:
5-сынып [6]
6-сынып [7]
Т.А.Алдамұратова, Қ.С.Байшоланова, Е.С.Байшоланов. Математика, Алматы Атамұра 2018 ж.
0 есеп
0 есеп
7-сынып [8]
8-сынып [9]
А. Е. Әбілқасымова, Т.П. Кучер, В.Е Корчевский, З. Ә. Жұмағұлова. Алматы: Мектеп, 2017 ж
45 есеп
48 есеп
9-сынып [10]
10-сынып [11]
А. Е. Әбілқасымова, В.Е. Корчевский, З.Ә. Жұмағұлова. Алматы: Мектеп, 2019 ж.
16 есеп
185 есеп
Функцияны зерттеуге арналған есептер А.Е. Әбілқасымова, К.Д. Шойынбеков, В.Е. Корчевский, З.А. Жұмағұлова 10 сынып оқулығында жақсы берілген. Зерттеу барысында 10 сынып оқулығының бірінші, екінші, үшінші, төртінші тараулары осы функцияға байланысты екендігіне көзіміз жетті. Бірінші тарау Функция. Оның қасиеттері және графигі, екінші тарау Тригонометриялық функциялар, үшінші тарау Туынды, төртінші тарау Туындыны функциянв зерттеуге қолдану.
Графикалық дағдыларды қалыптастыру бастауыш сынып оқушыларын функционалды оқыту үшін өте маңызды. График - бұл мектепте көптеген пәндерде кеңінен қолданылатын көрнекі құрал. Орта мектепте функция графикалық бейнеленуімен бөлінбейді. Функцияның графигі бірқатар ұғымдарды қалыптастырудағы негізгі анықтамалық сурет ретінде қызмет етеді - функцияның ұлғаюы және төмендеуі, анықтығы мен бұлдырлығы, функцияның қайтымдылығы, экстремум ұғымы. Студенттердің графика туралы нақты идеяларысыз, алгебра курсының орталық тұжырымдамалары мен сабақтастық, туынды, интеграл сияқты талдау принциптерін қалыптастыруда геометриялық айқындылықты тарту мүмкін емес.
Сондықтан орта мектепте графикалық бейнелеуді қалыптастырумен айналысуға кеш болады. Осы уақытқа дейін студенттер графикалық графиканы құруда да, оқуда да мықты дағдыларды игеруі керек.
Функционалды материалды кейіннен қолдану үшін қажетті негіз студенттердің функционалды графиктерді оқудағы берік дағдылары болып табылады. Олар кестеге сүйене отырып, бірқатар сұрақтарға сенімді әрі еркін жауап беруі керек:[19]
* х немесе у айнымалыларының біреуінің берілген мәні бойынша, екіншісінің мәнін анықтаңыз;
* өсу және ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
А.Байтұрсынов атындағы Қостанай өңірлік университеті
Қорғауға жіберіледі
Математика кафедрасы
_______ А. Утемисова
___ _______2021ж.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Қашықтықтан оқыту жағдайында 7-сыныпта математикадан олимпиадалық есептерді шешуэлектрондық факультативтік курсын әзірлеу
5В010900-Математика мамандығы
Орындаған:
А.Дүйсенбай, күндізгі оқу
нысанының 4 курс студенті
Ғылыми жетекші:
ф.-м.ғ.к., доцент Р. Ысмагул
Қостанай, 2022
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3
1
Функцияны зерттеуге арналған есептерді шығаруды оқыту әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4
1.1
Математикадағы функция ұғымының даму тарихы ... ... ... ... ..
4
1.2
Функция, оның қасиеттері және графигі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
8
1.3
Элементар функциялардың анықталу облысы мен мәндерінің облысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
20
1.4
Негізгі мектеп курсында функцияларды зерттеудің әдістемелік схемасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
21
1.5
Негізгі мектеп бағдарламасындағы және мектептің математика оқулықтарындағы функцияны зерттеуге арналған есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
23
2
Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
26
2.1
10-сыныпта функцияны зерттеу және графигін салуға арналған есептерді шығаруды оқытуға нұсқаулық ... ... ... ... ...
26
2.2
10 В сыныбына жүргізілген педагогикалық сараптама ... ... .
48
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
56
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
57
Кіріспе
Қазақтың тұңғыш ғалымы Шоқан Уәлихановтың Халықтың кемеліне келіп, өркендеп өсуі үшін ең алдымен азаттық пен білім қажет деп айтқан қанатты сөзі бүгінгі тәуелсіз еліміздің жастары үшін болашаққа бастау мұраты болмақ. Бұлай дейтініміз, қазіргі қарыштап дамып жатқан әлем өркениетінің негізі сапалы оқу-біліммен тығыз байланысты екендігі баршамызға аян. Бұл мәселе Елбасы Жолдауында назардан тыс қалмаған. Тұңғыш Елбасымыз Н. Ә. Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауында: Ұлттық бәсекелестік қабілеті бірінші кезекте оның білімдік деңгейімен айқындалады деп айтылған.[1]
Есепті жеңу - ой жеңісі болып табылады.
Дипломдық жұмыстың өзектілігі: Математиканы оқыту барысында оқушылардың дайындықтарының тиімділігі мен білімдерінің сапасы дәстүрлі емес тұрпаттар, әдістер мен тәсілдер жүйесін құру арқылы жүзеге асырылуы мүмкін, сондықтан әдістемелік нұсқаулықтарды қолданып, функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару өзекті мәселелердің бірі болып табылады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Функцияны зерттеуге арналған есептерді шешуді оқыту әдістемесін зерделеп, әдістемелік нұсқаулық құру және оны практикада қолданылуын құрастырып, сараптама жүргізу.
Дипломдық жұмыстың міндеттері:
-функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару әдістемесінің теориялық негіздерін зерделеу;
- орта мектеп бағдарламасындағы оқулықтарға талдау жүргізу;
- 10-сыныпта функцияны зерттеуге арналған есептерді шығаруды оқыту әдістемесі бойынша нұсқаулық дайындау;
- гипотезаны тексеруге бағытталған сараптаманы өткізу.
Зерттеу объектісі: Функцияны зерттеуге арналған есептер.
Зерттеу пәні: 10 сынып оқушыларының функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару процесінде оқу қызметі.
Жаңашылдығы: Функцияны зерттеуге арналған есептердішығару әдістемесінің теориялық негіздері жүйелі зерделеніп, әдістемелік нұсқаулық құрастыру арқылы практикалық бөлімнің құрылуы болып табылады.
Тәжірибелік маңызы: Дипломдық жұмыс педагогикалық институттардың және университеттердің математика мамандығын таңдаған студенттер үшін машықтанудан өткенде, факультатив сабақтарын өткізгенде әдістемелік жәрдемші болады.
Ғылыми болжам: егер 10-шы сынып оқушылары функцияны зерттеуге арналған есептерді шығару үшін қосымша құрал ретінде әдістемелік нұсқаулығын қолданса, онда олардың танымдылық белсенділіктері мен қызығушылықтары артады және оқу үлгерімі жоғарылайды.
1 Функцияны зерттеуге арналған есептерді шығарудың оқыту әдістемесі
1.1 Математикадағы функция ұғымының даму тарихы
Әлемді тануда функция ұғымы үлкен рөл атқарады.
Шамалар арасындағы алғашқы математикалық қатынастардан, сандарға қолданылатын алғашқы ережелерден, фигуралардың ауданы мен көлемін табудың алғашқы формулаларынан орын алған функционалдық тәуелділік осы идеяның (функцияның) ертеден бастау алғанын білдіреді.
Математикаға айнымалы шама ұғымының енгізілуімен XVII ғ. функционалдық тәуелділікті қолдану және оны зерттеу басталды.
Ол кезде функция ұғымы анық берілген жоқ, дегенмен функцияның алғашқы анықтамасын Р.Декарт Геометрия атты еңбегінде ұсынды. Бұл еңбегінде ол алгебралық теңдеулер көмегімен ғана дәл бейнеленетін қисықтарды қарастырды.
Біртіндеп функция ұғымы оның аналитикалық сипаттамасы - формуламен теңесті.
Функция сөзін (лат.functio - аяқтау, орындау) Г.В. Лейбниц берілген немесе басқа бір міндетті орындаушы шама мағынасында қолданды.
x-тен функция терминін алғаш Г.В. Лейбниц айнымалы және константа (тұрақты) терминдерін енгізді.
1718 ж. швейцариялық математик И. Бернулли функцияға дәлірек анықтама берді: Айнымалы шаманың функциясы деп осы айнымалы мен тұрақтыдан қандай да бір тәсілмен құрылған шаманы айтады.
Л. Эйлер Анализге кіріспе (1748 ж.) атты кітабында функцияның анықтамасын былай тұжырымдайды: Айнымалы шаманың функциясы дегеніміз - осы айнымалы шама мен сандардан немесе тұрақты шамадан құрылған аналитикалық өрнек.
Л. Эйлер қазіргі кезде қолданған функцияның белгілеулерін енгізген.
Функцияның берілу тәсілі қолданылмайтын сандық функцияның қазіргі анықтамасын орыс математигі Н. И. Лобачевский (1834 ж.) мен неміс математигі П. Дирихле (1837 ж.) бір-біріне тәуелсіз берген.
Функцияның математикалық тұжырымдамасы бір шаманың басқа шаманың мәнін қалай толық анықтайтындығы туралы интуитивті түсінікті білдіреді. Сонымен, x айнымалы мәні x2 өрнегінің мәнін анықтайды, сонымен қатар айдың мәні келесі айдың мәнін нақты анықтайды. Функцияның тағы бір мысалы:әр адам өзінің биологиялық анасымен ерекше байланыста бола алады.
Сол сияқты, кіріс деректерінің мәні бойынша алдын-ала жасалған алгоритм шығыс деректерінің мәнін береді.
Бұл анықтамалардың негізгі мағынасы мынадай: Егер х-тің әрбір мәніне y-тің белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда y бұл сәйкестіктің формуламен, графикпен, кесте түрінде немесе сөзбен берілгеніне қарамастан, x айнымалысының (a=x=b кесіндісінде) функциясы болады.
Анықталу облысы мен мәндер жиыны таңдап алынатын қазіргі кездегі функция туралы түсінік XX ғ. бірінші жартысында жиындар теориясын жасаған Г. Кантордың (1845-1918) еңбегінде тұжырымдалды. Жаңа абстрактілі ұғымды енгізу қажеттілігін түсіну үшін көптеген нақты есептерді шығару барысында осы ұғымды бөліп алып және оның мағынасын мүмкіндігінше дәл бейнелейтін анықтама беру қажет.
Жаратылыстану және басқа да ғылымдарда ашылып жатқан жаңалықтар функция ұғымының ғана емес, басқа да математикалық ұғымдардың дамуына жол ашады.
Көбінесе"функция" термині сандық функция деп түсініледі, яғни кейбір сандарды басқаларына сәйкестендіретін функция. Бұл функциялар графиктер түрінде ыңғайлы.[3]
Мысалы: fx=(4x3-6x2+1)x+13-x функциясының графигі (1 суретке қараңыз).
1 сурет - fx=(4x3-6x2+1)x+13-xфункциясын ың графигі.
"Функция" терминін (біршама тар мағынада) алғаш рет Лейбниц қолданған (1692). Өз кезегінде Иоганн Бернулли сол Лейбницке жазған хатында бұл терминді қазіргі заманға жақын мағынада қолданды.
Бастапқыда функция ұғымы аналитикалық ұсыну тұжырымдамасынан ажыратылмады. Кейіннен Эйлер (1751 жыл) берген функцияның анықтамасы пайда болды, содан кейін -- Лакройда (1806 жыл) -- қазіргі заманғы түрде. Сонымен, функцияның жалпы анықтамасын (қазіргі формада, бірақ сандық функциялар үшін) Лобачевский (1834) және Дирихле (1837) берді.
XIX ғасырдың аяғында функция ұғымы Сандық жүйелер шеңберінен асып түсті. Алдымен функция ұғымы векторлық функцияларға таралды, көп ұзамай Фрег логикалық функцияларды енгізді (1879), ал Дедекинд (1887) және Пеано (1911) жиынтық теориясы пайда болғаннан кейін олар қазіргі әмбебап анықтаманы тұжырымдады.
Ең қатаң-функцияның теориялық-көпше анықтамасы (екілік қатынас ұғымына негізделген). Көбінесе функцияны анықтаудың орнына функция ұғымы беріледі, яғни математикалық объектіні "заң", "ереже" немесе "сәйкестік"сияқты қарапайым тіл ұғымдарын қолдана отырып сипаттау.
Кестелерді құрудан функционалдық тәуелділіктің жалпы тұжырымдамасын қалыптастыруға көп уақыт өтті, бірақ бастама жасалды. Шамалар арасындағы жалпы қатынастарды зерттеуді 14 ғасырда француз ғалымы Николас Оресме бастаған. Оның қолжазбаларында қазіргі заманғы функциялар графикасына ұқсайтын суреттер бар.Ол тіпті осы графиктерді жіктеуге тырысты. Алайда оның идеялары сол кездегі ғылым деңгейінен озып тұрған. Олардың дамуы үшін формулалар арқылы шамалар арасындағы байланысты өрнектей білу қажет болды. Бірақ алфавиттік алгебра әлі болған жоқ. Ал 16 ғасырда ғана айнымалылар идеясының енуіне байланысты функция ұғымын одан әрі дамыту мүмкіндігі пайда болды.
Айнымалы ұғымын ғылымға француз математигі Рене Декарт енгізген (1596 - 1650). Шамалар арасындағы тәуелділіктер сандармен көрсетіле бастады. Бұл сандық аргументтің сандық функциясы туралы жасырын идея болды.
17 ғасырдың басында математиктер эллипсті, гиперболаны, параболаны және басқа қисықтарды жақсы білді. Бірақ содан кейін сызықтарды зерттеудің бірыңғай әдісі әлі болған жоқ. Р.Декарт пен П.Ферманың ашқан жаңалықтары олардың теңдеулерімен жаңа қисықтарды алуға және зерттеуге мүмкіндік берді.
Айнымалылар және алфавиттік алгебра туралы идея жасалғаннан кейін ғалымдардың күші шамалар арасындағы сәйкестікті зерттеуге бағытталды. Координаттарды пайдаланып, сәйкестік туралы мәліметтер графикалық түрде көрсетілді.
Бастапқыда функция ұғымы геометриялық, сондай-ақ механикалық бейнелермен тікелей байланысты болды. И.Ньютонның айнымалы туралы түсінігі механика сұрақтарын қарастыра отырып пайда болды.
Функциясы арқылы ол уақыт бойынша өзгеретін шаманы түсінді. Р.Декарт пен П.Ферма (1601 - 1665) айнымалы ұғымын геометрия мәселелерін зерттеумен байланыстырды.
Р.Декарт өзінің Геометрия деген еңбегінде: Сызықты бірінен соң бірі әр түрлі мағыналардың шексіз жиынтығын бере отырып, біз шексіз мағыналарды табамыз және осылайша әр түрлі нүктелердің шексіз санын аламыз ...; олар қажетті сызықты сипаттайтын болады .Мұнда хжәне ушамаларының тәуелділігін геометриялық өрнек идеясы, яғни функция графикасы айқын көрінеді.
"Функция" термині (латын функциясынан - орындау, орындау) алғаш рет 1673 жылы неміс математигі Г. Лейбниц қолданған. Алдымен бұл ұғым сөздің тар мағынасында қолданылды, тек геометриялық идеялармен байланысты болды.
Бұл қисықтарға тангенс сегменттері, олардың координаталар осіндегі проекциялары және "осы фигура үшін белгілі бір функцияны орындайтын басқа сызықтар"туралы болды. Яғни, функция ұғымы әлі де геометриялық түсіндіруден босатылған жоқ.
18 ғасырдың басында Математикалық талдаудың дамуымен функция туралы интуитивті-геометриялық идеядан оның аналитикалық анықтамасына көшу болды.
Осылайша, оның тарихи дамуындағы функция ұғымы-бірнеше кезеңнен өтті:
1. Пропедевтикалық-ежелгі дәуірден 17 ғасырға дейін.
2. Механикалық және геометриялық функциялар арқылы функция ұғымын енгізу
спектакльдер-17 ғасыр.
3. Функцияның аналитикалық анықтамасы - 17 ғасыр - 19 ғасырдың басы.
4. Функция бейнелену ретінде -19 ғасыр.
5. Функция ұғымының одан әрі дамуы 20 ғасырдан басталады.
1.2 Функция, оның қасиеттері және графигі
Сандық функция дегеніміз - анықталу облысы мен мәндер жиыны, сандар жиыны, әдетте, нақты сандар жиыны болатын функция.
Анықтама. Анықталу облысы D болатын сандық функция деп D жиынының кез келген x санына қандай да бір ереже бойынша x-тен тәуелді бір ғана y саны қойылатын сәйкестікті айтады.
Функция латын және грек әріптерімен белгілеу қалыптасқан.
Қандай да бір f функциясын қарастырайық. Бұл функцияның мәні қайсыбір x санына тәуелді болғандықтан. fx деп те жазуға болады.
f функциясының анықталу облысы Df деп белгіленеді.
y=f(x) функциясының анықталу облысы көрсетілмесе, онда функциясының анықталу облысы ретінде f(x) өрнегінің анықталу облысы алынады.
f функциясының мәндер жиыны E(f) деп белгіленеді.
Функцияның берілу тәсілдері
Функцияны беру дегеніміз аргументтің берілген мәндері үшін функкцияның сәйкес мәндерін қалай табуға болатынын көрсету екенін білесіңдер.
Функцияның формуламен берілу тәсілі аналитикалық тәсіл деп аталады.
Функцияның графигі деп жазықтықтағы координаталары x,fx болатын нүктелердің жиынын айтады (2 суретке қараңыз).
2 сурет - Функцияның графигі
Функцияның берілу тәсілдері
1. Аналитикалық тәсіл. Аналитикалық тәсіл x аргументінің әрбір сандық мәні бойынша оған сәйкес y функциясының сандық мәнін ( дәл немесе қандай да бір дәлдікпен алынған) табуға мүмкіндік береді. Функция математикалық формула арқылы беріледі. Мысалы: y=x2, y=lnx.
Егер x пен y-тің арасындағы тәуелдәләк формуламен, яғни y=f(x) түрінде берілсе, онда функция x-ке қатысты айқындалған түрде берілген дейді.
Егер x және y арасындағы тәуелділік Fx;y=0 түріндегі теңдеумен берілсе, яғни формула y арқылы өрнектелмесе, онда y=fx функциясы айқындалмаған түрде берілген дейді.
Функция өзінің анықталу облысының әртүрлі бөлігінде әртүрлі формулалармен берілуі мүмкін.
Аналитикалық тәсіл - функцияны берудің ең кең тараған түрлерінің бірі.
Анықталу облысынан алынған кез келген x үшін функцияның мәнін есептеу мүмкіндігінің болуы функцияның аналитикалық тәсілмен берілуінің негізі артықшылығы болып табылады.
2. Таблицалық тәсіл. Кесте арқылы берілген аргументтің мәніне сәйкес функцияның мәнін табуға болатындықтан, функцияны кестемен беруге болады. Мысалы:
1 кесте - Таблицалық тәсіл
x
1
2
3
4
5
y
2
4
6
8
10
Кестемен беру тәсілінде аргументтің кейбір мәндеріне сәйкес функцияның мәндері табылады. Бұл тәсіл функцияның анықталу облысы шектелген жиын болғанда ғана қолданылады.
Функцияны кесте арқылы беру тәсілі қосымша өлшемдер мен есептеулер жүргізбей, бірден нақты мәндерді анықтауға мүмкіндік береді. Кейбір жағдайларда кесте функцияны толық анықтамайды, оны аргументтің кейбір мәндері үшін ғана анықтайды және аргументтің өзгеруініе қарай функцияның өзгеруін көрнекі етпейді.
Функцияны графиктік тәсілмен беру ең кқрнекі тәсіл болып табылады.
3. Функцияның сөзбен берілуі. Функция сөзбен беріледі. Мысалы: Дирихле функциясы
fx=1, барлық рационал x-тер үшін 0, барлық иррационал x-тер үшін
4. Графиктік тәсіл. y=fx функциясының графигі деп координаталары берілген теңдікті қанағаттандыратын жазықтықтың барлық нүктелер жиынын айтатынын білесіңдер.[5]
Функцияны берудің графиктік тәсілі аргументтің барлық мәндерін табуға мүмкіндік бермейді. Бірақ басқа тәсілдерге қарағанда артықшылығы - ол оның көрнекілігінде.
Функцияны берудің графиктік тәсілі техникада және физикада жиі қолданылады.
Функцияның тұжырым арқылы берілуін баяндау тәсілі деп атайды.
Функцияның баяндау тәсілінің артықшылығы аналитикалық тәсілмен беруге болмайтын функцияларды беру мүмкіндігі болып табылады.
y=f(x+n) және y=fx+n (n∈R) түріндегі функцияның графигін салу
y=a(x+n)2 функциясының графигін y=ax2 функциясының графигінен n оң сан болғанда Ox осі бойымен n бірлік солға, n теріс сан болғанда n бірлік оңға орын ауыстыру (жылжыту, параллель көшіру) арқылы алуға болады.
Енді y=x2 функциясының графигін қолданып, y=(x-2)2 және y=(x+2)2 функциялары графиктерінің қалай салынғанын (3 суретке қараңыз) түсіндіріп көрейік.
3 сурет - Функцияны жылжыту
xO1y1 координаталар жүйесінде y=x2 функциясының графигі салынған (4 суретке қараңыз). O1y1 ордината осі 2 бірлікке оңға жылжыту арқылы алынған.
4 сурет - y=x-22 функциясының графигі
Неліктен y=(x-2)2 формуласы суреттегі xOy координаталар жүйесіндегі графиктің формуласы болатынын түсіндірейік. y=x2 функциясының графигін жылжытпай, y=(x+2)2 функциясының қалай салуға болады?
Функцияның графигін Ox осі бойымен оңға (солға) n бірлікке жылжытқанда алынған график Oy осін сонша бірлікке солға (оңға) көшіргенде алынған графикпен бірдей.
Функциялардың графиктеріне жүргізілген түрлендірулердің ақиқаттығын дәлелдейік.
Дәлелдеуі. Алдымен xOy координаталар жүйесінен кез келген A0(x0;y0) нүктесін алайық.
Алынған нүктені Ox осі бойымен оңға қарай n (n0) бірлікке жылжытайық. Сонда A нүктесі A1(x1;y1) нүктесіне көшеді және x1=x0+n, y1=y0 болады.
Керісінше, егер A0(x0;y0) және A1(x1;y1) нүктелері x1=x0+n n0, y1=y0 қатынастарымен байланысты болса, онда A0(x0;y0) нүктесін Ox осі бойымен n бірлікке оңға жылжыту арқылы A1(x1;y1) нүктесін алуға болады.
y=f(x) және y=fx-n(n0) функцияларын қарастырайық. xOy координаталар жүйесінде функциялардың графиктерін салыстырайық. Ол үшін y=f(x) функциясының графигінің бойынан кез келген A0(x0;y0) нүктесін аламыз. Ол y0=f(x0) теңдігі тура санды теңдік болатынын білдіреді.
Онда
y0=fx0=fx0+n-n (1)
санды теңдігі де тура болады.
y1=y0 және x1=x0+n алмастыруларын енгізсек, (1) теңдік
y1=fx1=f(x1-n) түріне келеді. Демек, A1(x1;y1) нүктесі
y=fx-n(n0) функциясының графигіне тиісті болады.
A0(x0;y0) және A1(x1;y1) нүктелерінің координаталары
x1=x0+n (n0) және y1=y0 қатынасымен байланысты болғандықтан, A0(x0;y0) нүктесін Ox осі бойымен n бірлікке оңға жылжыту арқылы A1(x1;y1) нүктесін алуға болады.
A0(x0;y0) нүктесі кез келген нүкте болғандықтан, y=f(x) функциясының графигіндегі барлық нүктелерді Ox осі бойымен n бірлікке оңға жылжыту арқылы y=fx-n(n0) функциясының (5 суретке қараңыз) графигін алуға болады.
5 сурет - Функцияны оңға жылжыту
Егер A2(x2;y2) нүктесі A0(x0;y0) нүктесінен Ox қсі бойымен n (n0) бірлікке солға жылжыту арқылы алынса, онда A0(x0;y0) және A2(x2;y2) нүктелері қандай формуламен байланысқанын түсіндірейік.
y=fx+n (n0) функциясының графигін y=f(x) функциясының графигінен Ox осі бойымен n бірлікке солға жылжыту арқылы (6 суретке қараңыз) алуға болатынын дәлелдейік.
6 сурет - Функцияны солға жылжыту
Сонымен, мына ережені аламыз:
y=fx+n, мұндағы n∈R, функциясының графигін алу үшін y=f(x) функциясының графигін Ox осі бойымен n оң сан болғанда солға, n теріс сан болғанда оңға қарай n бірлікке жылжыту керек.
Енді y=x2 функциясының графигін қолданып y=x2-3 және
y=x2+3 функциялары (7 суретке қараңыз) графиктерінің қалай салынғанын түсіндірейік.
7 сурет - Функцияны параллель көшіру
xOy координаталар жүйесінде кез келген B0(x0;y0) нүктесін қарастырайық.
Осы нүктені Oy осі бойымен жоғары n(n0) бірлікке жылжытамыз. Сонда B1(x1;y1) нүктесін аламыз және x1=x0, y1=y0+n болады.
Керісінше, егер B0(x0;y0) және B1(x1;y1) нүктелері x1=x0 және y1=y0+n(n0) қатынасымен байланысты болса, онда B1(x1;y1) нүктесін B0(x0;y0) нүктесінен Oy осі бойымен жоғары n бірлікке жылжыту арқылы алыға болады.
y=f(x) және y=fx+n(n0) функцияларын қарастырайық. Осы функциялардың графиктерін xOy координаталар жүйесінде салыстырайық. Ол үшін y=f(x) функциясының графигінен кез келген B0(x0;y0) нүктесін аламыз. Онда y0=f(x0) теңдігі тура болады. Демек,
y0=fx0=fx0+n-n немесе y0+n=fx0+n
санды теңдігі де тура.
y0+n=y1 және x0=x1 алмастыруларын енгізейік. Сонда
y0=fx0=fx0+n-n немесе y0+n=fx0+n теңдігі y1=fx1+n түріне келеді. Олай болса, B1(x1;y1) нүктесі y=fx+n (n0) функциясының графигіне тиісті.
B0(x0;y0) және B1(x1;y1) нүктелерінің координаталары x1=x0 және y1=y0+n қатынасымен байланысты болғандықтан, B0(x0;y0) нүктесін Oy осі бойымен жоғары қарай n бірлікке жылжыту арқылы B1(x1;y1) нүктесін алуға болады.
B0(x0;y0) нүктесі кез келген нүкте болғандықтан, барлық нүктелерді, яғни y=f(x) функциясының графигін Oy осі бойымен жоғары қарай n бірлікке жылжыту арқылы y=fx+n (n0) функциясының графигін алуға болады. (8 суретке қараңыз).
8 сурет - Функцияны n бірлікке жоғары жылжыту
y=afx, y=f(x), a∈R, түріндегі функциялардың графигін салу
a1, 0a1, a=-1 жағдайлары үшін y=af(x) функциясының графигін салуды қарастырайық.
9.1-Суретте Ax0,y0, Bx1,y1, C(x2,y2) нүктелері және оларға сәйкес абсциссалары өзара тең ординаталары a (a1) есе үлкен болатын A1x0;ay0, B1x1;ay1, C1(x2;ay2) нүктелері белгіленген.
Мысал. 9.2-Суретте A4;2, B-1;1, C(-5; -2,5) нүктелері және оларға сәйкес абсциссалары өзара тең ординаталары 3 есе артық A14;6, B1-1;3, C1(-5; -7,5) нүктелері берілген.
9 сурет - Oy осі бойымен созу
Мұндай жағдайда Ax0,y0, Bx1,y1, C(x2,y2) нүктелері Oy осі бойымен a (a1) есе солу нәтижесінде сәйкесінше A1x0;ay0, B1x1;ay1, C1(x2;ay2) нүктелеріне көшеді.
y=f(x) және y=af(x) фунцияларын қарастырайық. y=f(x) функциясының графигі берілсін (10 суретке қараңыз). y=afx(a1) функциясының графигін салу керек. Аргументтің бірдей мәндерінде y=fx функциясының сәйкес мәндерін a-ға көбейтіп, y=af(x) функциясының мәндері алынатынын байқауға болады (4.3.2-сурет).
Басқаша айтқанда, кез келген Ax0,y0 нүктесі y=f(x) функциясының графигіне тиісті болса, онда A1x0;ay0 нүктесі y=af(x) функциясының графигіне тиісті. Демек, y=afx(a1) функциясының графигі
10 сурет - Функцияны а есе созу
y=f(x) функциясының графигі Oy осі бойымен a есе солу арқылы алынады (10 суретке қараңыз).
Жиындар мен функциялардың қасиеттері
Тағайындау аймағының сипатына және мәндер ауқымына байланысты облыстардың келесі жағдайлары ажыратылады:
1) дерексіз жиынтықтар - ешқандай қосымша құрылымсыз
жиынтықтар;
2) белгілі бір құрылыммен жабдықталған жиынтықтар.
1 жағдайда картографиялау ең жалпы түрде қарастырылады және жалпы мәселелер шешіледі. Мұндай жалпы сұрақ, мысалы, жиынтықтарды түпнұсқалық бойынша салыстыру туралы мәселе: егер екі жиын арасында бір-біріне карта (биекция) болса, онда берілген екі жиын эквивалентті немесе эквипотенциалды деп аталады. Бұл жиынтықтарды бір масштаб түрінде жіктеуге мүмкіндік береді, алғашқы фрагмент келесідей:
* ақырлы жиындар - мұнда жиынтықтың маңыздылығы элементтер санымен сәйкес келеді;
* есептелетін жиындар - натурал сандар жиынтығына балама жиындар;
* континуумның кардинал жиынтығы (мысалы, нақты сызықтың кесіндісі немесе нақты сызықтың өзі).[6]
Тиісінше, келесі картографиялық мысалдарды қарастырған жөн:
* ақырлы функциялар - ақырлы жиындардың картасы;
* реттіліктер - есептелетін жиынды ерікті жиынға бейнелеу;
* үздіксіз функциялар - есептелмейтін жиындардың ақырғы, есептелетін немесе есептелмейтін жиынтықтарға кескінделуі.
2 жағдайда қарастырудың негізгі объектісі - бұл жиынтықта берілген құрылым (жиын элементтерінің қосымша қасиеттері) және картаға түсіру кезінде бұл құрылымға не болады: егер берілген құрылымның қасиеттері бір мәнге дейін сақталса - бір картаға түсіру, содан кейін олар екі құрылым арасында изоморфизм орнайды дейді. Сонымен, әртүрлі жиындарда берілген изоморфтық құрылымдарды ажырату мүмкін емес, сондықтан математикада бұл құрылымды изоморфизмге дейін деп айту әдетке айналды.[7]
Жиынтықтарға берілетін құрылымдардың алуан түрлілігі бар. Оған мыналар кіреді:
* реттік құрылым - жиын элементтерінің ішінара немесе сызықтық реті; алгебралық құрылым - топоид, жартылай топ, топ, сақина, дене, тұтастық домені немесе жиын элементтерінде анықталған өріс;
* метрикалық кеңістіктің құрылымы - қашықтық функциясы жиын элементтеріне орнатылады;
* эвклид кеңістігінің құрылымы - скаляр көбейтінді жиын элементтерінде көрсетілген;
* топологиялық кеңістіктің құрылымы - жиынтықта ашық жиынтықтар жиынтығы көрсетілген;
* жиынтықта өлшенетін кеңістіктің құрылымы - жиынтықтың бастапқы жиынының сигма-алгебрасы көрсетілген (мысалы, берілген сигма-алгебрасы бар өлшемді функция домені ретінде көрсету арқылы)
Сәйкес құрылымы жоқ жиындарда белгілі бір қасиеті бар функциялар болмауы мүмкін. Мысалы, жиынтықта анықталған функцияның үздіксіздік қасиетін тұжырымдау осы жиынтықта топологиялық құрылымды нақтылауды қажет етеді.[8]
Функцияның түрлері
1) Тұрақты функция
fx=c түрінде берілген функция, мұндағы c∈R, тұрақты функция деп аталады. Тұрақты функцияның графигі абсцисса осіне параллель және (0;c) нүктесі арқылы өтетін түзу.
Мысалы, fx=-4, fx=52 және т.с.с. тұрақты функциялар.
2) Тура пропорционалдық
Тура пропорционалдық деп, y=kx, формуласы мен берілген, мұндағы k!=0, функцияны айтады. k саны пропорционалдық коэффициенті.
y=kx функциясының кейбір қасиеттері:
1) Анықталу облысы- нақты сандар жиыны болып табылады (R)
2) Функция тақ, f-x=k-x=-kx=-f(x)
3) k0 болғанда функция өспелі, ал k0 болғанда функция кемімелі болады.
1) Сызықтық функция
y=kx+b формуласымен берілген функцияға сызықтық функция дейді, мұндағыk жәнеb- нақты сандар.
k!=0, b!=0 болғандағы y=kx+b функциясының кейбір қасиеттері:
1) Анықталу облысы- нақты сандар жиыны болып табылады (R)
2) Функция тақ та, жұп та емес.
3) k0 болғанда функция өспелі, ал k0 болғанда сан түзуінде кемімелі.
4) Сызықтық функцияның графигі-түзу.
1) Кері пропорционалдық
Кері пропорционалдық деп y=kx формуласымен берілген функцияны атайды, мұндағы k!=0. kсаны кері пропорционалдық коэффициенті деп аталады.
y=kx функциясының кейбір қасиеттері:
1) Анықталу облысы, x=0нүктесінен басқа, нақты сандар жиыны R∖0
2) Функция тақ f-x=k(-x)=-kx=-f(x)
3) k0 болғанда, функция R∖0-да кемімелі, ал k0 болғанда R∖0 өспелі.
4) Координаталар осі функция графигінің тік және көлденең асимптоталары болып табылады.
5) y=kx кері пропорционалдықтың графигі гипербола деп аталады. [9]
1) Квадраттық функция
y=ax2+bx+c түрінде берілген функция, мұндағы a,b,c- кез келген нақты сандар, a!=0, x- тәуелсіз айнымалы, квадраттық (екінші дәрежелі) функциядеп аталады.
Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.
Парабола төбесінің координаталары:
m,n, m=-b2a, n=-b2-4ac4a.
x=m түзуі параболаның симметрия осі деп аталады. a0 болғанда параболаның тармақтары төмен қарай, ал a0 болғанда тармақтары жоғары қарай бағытталған.
Кез келген квадраттық функцияны fx=a(x-m)2+n түріне келтіруге болады.
2) y=x3 түрінде берілген функция
Қасиеттері:
1) Анықталу облысы-R;
2) Функция тақ;
3) Функция өспелі;
4) Функцияның графигі кубтік парабола.
1) y=x түрінде берілген функция
Қасиеттері:
1) Анықталу облысы - x∈[0; +infinity)
2) Функция жұп та, тақ та емес
3) Функция [0; +infinity) сәулесінде өспелі
1) Көрсеткіштік функция
y=ax, түріндегі функция, мұндағы a0, a!=1,x- айнымалы, көрсеткіштік функция деп аталады. [10]
Көрсеткіштік функцияның кейбір қасиеттері келтірейік:
1) y=ax функциясының анықталу облысы-нақты сандар жиыны.
2) Барлық көрсеткіштік функциялардың графиктері (a1 немесе 0a1) 0;1 нүктесі арқылы өтеді.
3) a1 болғанда көрсеткіштік функция сан түзуінің барлық нүктелерінде өспелі, сонымен қатар x0 болғанда ax1, ал x0 болғанда ax1.
4) 0a1 болғанда көрсеткіштік функция бүкіл сан түзуінде кемімелі.
Функция ұғымын енгізу әдісі мектеп математикасы курсында
Мектеп оқулықтарында функция ұғымын анықтауға және енгізуге, сонымен қатар оны оқушылар арасында одан әрі қалыптастыруға қатысты әртүрлі тәсілдер бар. Бұл осы тұжырымдаманың пайда болуы мен дамуының бұрын қарастырылған тарихи аспектілеріне байланысты.
Функция ұғымын генетикалық тұрғыдан түсіндіру 19 ғасырдың ортасына дейін осы ұғымға енген негізгі белгілердің әдіснамалық дамуына негізделген. Осы интерпретациямен функционалды бейнелеу жүйесі келесі маңызды ұғымдарды қамтиды: айнымалы шама, айнымалы шамалардың функционалды тәуелділігі, формула, жазықтықтағы декарттық координаталар жүйесі.
Функция ұғымын логикалық түсіндірудің негізі алгебралық жүйені анықтау шеңберінде осы тұжырымдаманы әдістемелік талдауға негізделген функционалды көріністерді оқытуды құру болып табылады. Осы тәсілмен функция функционалдық шартты қанағаттандыратын екі жиын арасындағы қатынастың ерекше түрі ретінде пайда болады. Функция ұғымын зерттеудің бастапқы кезеңі оны қатынас тұжырымдамасынан шығару болып табылады.
Осы бағыттардың әрқайсысының өзіндік артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Сонымен, авторлар генетикалық интерпретация қоршаған әлем құбылыстарын зерттеуге қатысты функция ұғымының модельдік жағын оңай ашатынын атап өтті. Бұл интерпретация алгебра курсының қалған мазмұнымен табиғи байланыста болады, өйткені онда қолданылатын функциялардың көпшілігі алгебралық немесе кестелік түрде көрсетілген.
Алайда, авторлар бұл тәсілмен айнымалы әрқашан жанама түрде (немесе тіпті айқын) сандық мәндердің үздіксіз қатарынан өтеді деп болжанғанын көрсетеді. Байланысты тұжырымдама бұған негізінен тек бір сандық аргументтің сандық функцияларымен байланысты (сандық интервалда анықталған). Оқыту кезінде функционалды көріністерді қолданып, дамыта отырып, оны алғашқы сипаттау шектерінен үнемі өтіп отыру қажет.
Логикалық тәсілді қолданғанда мектеп математикасының тілін байытатын әр түрлі құралдарды қолданып функция ұғымын бейнелеу қажет. Формулалар мен кестелерден басқа, мұнда функцияны көрсеткілер, жұптар тізімі арқылы орнатуға болады. Математиканы оқытуда пайда болған тұжырымдаманы жалпылау және оған байланысты түрлі байланыстарды құру мүмкіндіктері осындай түсіндірудің негізгі артықшылықтары болып табылады.Алайда, авторлар атап өткендей, осы жолда жасалған жалпы тұжырымдама негізінен бір сандық аргументтің сандық функцияларымен, яғни генетикалық негізде қалыптастыру әлдеқайда жеңіл болатын аймақпен байланысты болады.
1.3 Элементар функциялардың анықталу облысы мен мәндерінің облысы
Анықтама. Егер fx функциясы дәреже көрсеткіші теріс есем бүтін сан болатын және коэффициенттері нақты сандар ғана болып келетін айнымалы x-тің дәрежелерінің қосындысы түрінде болып келсе, яғни
fx=a0x4+a1xn-1+...+an-1x+an,
мұндағы aii=1,2,...,n- нақты сандар, f(x) бүтін рационалдық функция деп аталады.
a0!=0 болса, натурал сан n бүтін рационалдық функция (көпмүшелік) тің дәреже көрсеткіші деп аталады. [11]
Бұл функцияның анықталу да, өзгеру облысы да барлық нақты сандар жиыны болып келеді, яғни Df=R, Ef=R
Орта мектепте бұл функцияныңn=1 болғанда, сызықтық y=kx+b, n=2 болғанда, квадраттық y=ax2+bx+c, n=3 болғанда, кубтық y=ax3+bx2+cx+d, n=4 болғанда, биквадраттық функция y=ax4+bx2+c деп аталатын түрлері қарастырылады.
Енді осы функциялардың әрқайсысына жеке тоқталып өтейік.
Сызықтық y=kx+b функциясының анықталу облысы: Dy=R- ге, ал мәндерінің облысы: Ey=R, k!=0,b, k=0- ге тең.
Квадраттық y=ax2+bx+c функциясының анықталу облысы: Dy=R- ге, ал өзгеру облысы мынаған тең: Ey=-D4a; +infinity, a0,-infinity; -D4a, a0, болғанда, мұндағы D=b2-4ac.
Кубтық y=kx3+bx2+cx+d функциясының анықталу облысы да, өзгеру облысы да Dy=R, Ey=R- ге тең.[12]
Биквадраттық y=ax4+bx2+c, a!=0 функциясының анықталу облысы:Dy=R- ге, ал өзгеру облысы y=ax4+bx2+c функциясының экстремуміне байланысты анықталады.
Элементар фуникиялардың графигі (11 суретке қараңыз).
11 сурет - Элементар фуникиялардың графигі
1.4 Негізгі мектеп алгебрасы курсында функцияларды зерттеудің әдістемелік схемасы
Отандық мектептің тәжірибесі көрсеткендей, негізгі мектепте нақты функцияларды келесі әдістемелік схема бойынша зерделеу пайдалы:[14]
1. Осы функцияға әкелетін нақты жағдайларды немесе міндеттерді қарастырыңыз. Осы кезеңде студенттер практикаға немесе теорияны одан әрі дамыту қажеттілігіне сүйене отырып, осы функцияны зерделеудің орындылығына көз жеткізуі керек.
2. Функцияның анықтамасын тұжырымдау және оны формула түрінде жазу.Бұл кезеңде студенттер осы функцияның маңызды қасиеттерін анықтайды, оның анықтамаларын тұжырымдайды, функцияны формуламен жазады, осы формулаға кіретін параметрлерді зерттейді. Мұнда функцияның анықтамасын ассимиляциялау жүреді, тану жаттығулары орындалады.
3. Оқушыларды осы функцияның кестесімен таныстыру.Бұл кезеңде студенттер зерттелетін функцияны графикалық түрде бейнелеуді, осы функцияны графикте көрсетілген басқа функциялардан ажыратуды, параметрлердің функцияның графикалық бейнесінің сипатына әсерін белгілеуді үйренеді.
4. Функцияны негізгі қасиеттерге зерттеңіз.Мұнда студенттер функцияның анықталу аймағын және көптеген мәндерін, өсу мен кему аралықтарын, тұрақты аралықтарды, нөлдерді, функцияның экстремасын табады, оны паритетке немесе таққа, кезеңділікке, шектеулерге, үздіксіздікке және т. б. зерттейді.
Негізгі мектепте функциялардың қасиеттері кесте бойынша, яғни көрнекі ойлар негізінде орнатылады, ал кейбіреулері аналитикалық түрде негізделген. 7-9 сыныптарда оқушылар функциялардың қасиеттерін үш "тілде" түсіндіруді үйренеді: графикалық, ауызша және символдық. Бұл дағды біртіндеп қалыптасады және үлкен дидактикалық мәнге ие.
5. Әр түрлі есептерді, атап айтқанда теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде функциялардың зерттелген қасиеттерін қолданыңыз.Бұл кезең зерттелетін функциямен байланысты негізгі ұғымдар мен теориялық ережелерді бекіту кезеңі, сондай-ақ тиісті дағдыларды қалыптастыру кезеңі болып табылады.
Бұл әдістемелік схема кез - келген функцияны зерттеуге арналған жоспар-бағдарлама болып табылады.
Ескерту. Мектептегі функцияларды зерттеу нақты оқу іс-әрекетінің жаңа түрімен - зерттеумен байланысты. Функцияларды зерттеуге дейін оқушылар ғылыми-зерттеу қызметімен кездеспеді деп айту дұрыс болмас еді, бірақ бұл іс-әрекеттің тікелей мақсаты болған жоқ, сонымен қатар зерттеушілік дағдыларды қалыптастырудың тәрбиелік міндеті қойылмады. Мектепте оқып жатқан кезде бірінші нақты функция - сызықтық, осындай мақсат қою керек.
Функционалды материалдың ерекшелігі функциялардың нақты процестердің модельдері екендігінде көрінеді. Процестердің жеке қасиеттерін зерттеу функцияларды зерттеу арқылы жүзеге асырылады. Бетон функциялары процестердің нақты қасиеттерінің абстракциясы болып табылатын белгілі бір қасиеттерге ие. Белгілі бір функция үшін белгілі бір қасиеттердің болуы мен ерекшелігін анықтау функцияны зерттеу болып табылады.[15]
Функциялардың белгілі бір қасиеттерін анықтау әдістері зерттеу әдістері болып табылады. Оларды: 1) координат әдісі; 2) қарапайым талдау (теңдеулер мен теңсіздіктерді қолдану арқылы); 3) математикалық талдау (туынды қолдану арқылы).
Функцияларды зерттеу кезінде қажет болатын зерттеу дағдылары - бұл функция белгілі бір қасиетке ие болатын жағдайларды анықтай білу және шарттардың өзгеруіне байланысты функциялардың қасиеттері қалай өзгеретінін анықтау мүмкіндігі. Аталған нақты зерттеушілік дағдыларды қалыптастыру жалпы зерттеу қызметін қалыптастыруға әсер етеді.
Мектептегі функцияларды оқығанда келесі нақты зерттеу әрекеттері қалыптасады және қолданылады: функция болатын сандық жиынды және осы жиынға қабылдай алатын мәндер жиынтығын құру; функцияның анықталу облысында немесе оның кейбір бөліктерінде азайып немесе көбейіп жатқанын, оның максимумы немесе минимумы бар ма, жоқ па, функцияның түбірлері қандай, егер бар болса, функция жұп па, тақ па, периодты ма, жоқ па, соны анықтаңыз; осы функцияның қандай графигі және т.б.[16]
5.5 Негізгі мектеп бағдарламасындағы және мектептің математика оқулықтарындағы функцияны зерттеуге арналған есептер
Мектеп математикасы курсының ең күрделі тақырыптарының бірі - функциялар. 7 сыныпта пайда болып, анда-санда оқығандықтан, функционалды тәуелділіктер 10-11 сыныптарда толығымен ұсынылған.[17]
А.Е. Әбілқасымова, Т.П. Кучер, В.Е. Корчевский, З. Ә. Жұмағұлова, 2019 жылғы 10-сынып Алгебра және анализ бастамалары оқулығы он тараудан және оқу жылының басында 7-9 сыныптардағы алгебра, оқу жылының соңында 10-сыныптағы алгебра және анализ бастамалары курсын қайталауға арналған жаттығулардан тұрады. Бірінші тарауда оқушылар Функция, оның қасиеттері және графигі туралы өтсе, екінші тарауда Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері мен графиктері, үшінші тарауда Кері тригонометриялық функциялар, төртінші тарауда Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер және ең соңғы бесінші тарауда Комбинаторика элементтері және ықтималдықтар теориясы жайлы білімдерін жетілдіреді. Тараулар параграфтарға бөлінген. Әр параграфта өздігінен орындауға арналған тапсырмалар; параграфтағы негізгі ұғымдарды, теория мен онда қарастырылған мысалдарды игеруді қажет ететін өзіндік тексеру сұрақтары берілген.
Оқулықтың әрбір параграфында А, В, және С әріптерімен белгіленген үш деңгейлі жаттығулар ұсынылған. Бірінші деңгейдегі жаттығуларды (А) барлық оқушылардың орынлауы міндетті деп саналады. Екінші деңгейдегі жаттығулар (В) орта деңгейдегі жаттығулар. Үшінші деңгейдегі жаттығулар (С) оның ішінде (*) белгісімен берілген жаттығулар дайындығы жоғары және математикаға қызығушылық танытқан оқушыларға арналған. А, В, С топтарының жаттығуларынан кейін шешуі келесі параграфтың материалын меңгеруге септігін тигізетін қайталау жаттығулары ұсынылған.
Біз бәріміз функциялар әлемінде өмір сүреміз, дегенмен оны үнемі байқай бермейміз. Көптеген физикалық, химиялық, биологиялық процестер, онсыз өмірді ойлау мүмкін емес, бұл уақыттың функциялары. Экономикалық процестер де функционалды тәуелділіктер болып табылады. Функциялар әр түрлі механизмдерді жобалауда, сақтандыруда, беріктікті есептеуде маңызды рөл атқарады. Функциялар және графиктер тақырыбы мектеп математикасы курсының маңыздыларының бірі болып табылады. Олар оны жетінші сыныпта оқи бастайды, ал он біріншіде аяқтайды.
10-11 сыныптарда алгебра курсында және математикалық анализдің басында элементар функциялар мен олардың қасиеттерін одан әрі зерттеу қарастырылған. Функционалды репрезентацияларды қалыптастыру осы сыныптарға арналған оқу бағдарламалары мен оқулықтардың негізгі өзегі болып табылады.
Орта мектепте сабақтастық, шек, туынды және интеграл ұғымдарының енгізілуі сызықтық, квадраттық, дәрежелік, тригонометриялық, экспоненциалдық және логарифмдік функциялардың қасиеттерін тереңірек зерттеуге, олардың практикалық қолданылуын көрсетуге мүмкіндік береді, сонымен қатар геометрия курсын талдаудың басталуымен, математиканы физикамен, технологиямен, химиямен тығыз байланыстыру.
Мектептегі математика курсының көптеген бөлімдерін игерудің жетістігі оқушылардың функцияны зерттеу кезінде схолники алған дағдыларды қалай игергендігіне байланысты.
Функциялар тақырыбы бойынша, сондай-ақ негізгі мектептегі математика курсының кез-келген басқа тақырыбы бойынша міндетті тапсырмаларды бөліп көрсету кезінде 7-9 сыныптарда оқыту ақырғы емес, аралық кезең болатындығын басшылыққа алу керек. әр оқушының математикалық білім беру жүйесінде. Ол алған математикалық дайындық негізінде оның әрі қарайғы білімі негізделеді. Ең алдымен, оқытудың келесі кезеңдерінде әр түрлі дағдыларды қолдану сипаты мен деңгейіне талдау жасау қажет.[18]
Сонымен қатар, оқушылардың математикалық білімдерін сабақтас мектеп пәндерінде қолдану табиғаты үлкен маңызға ие.
Функция тақырыбы бойынша теориялық және тапсырма материалдарын талдау дағдылардың екі тобын ажыратуға мүмкіндік береді, олардың қалыптасуын нақты функциялардың барлық түрлерін - функцияны анықтайтын формуламен жұмыс істей білу кезінде мұқият зерделеу керек. осы функцияның графигімен жұмыс жасау мүмкіндігі. (2 кестеге қараңыз).
2 кесте - Мектеп оқулықтарындағы есептер саны бойынша талдау
Оқулықтың авторлары
Функцияны зерттеуге арналған есептердің саны:
5-сынып [6]
6-сынып [7]
Т.А.Алдамұратова, Қ.С.Байшоланова, Е.С.Байшоланов. Математика, Алматы Атамұра 2018 ж.
0 есеп
0 есеп
7-сынып [8]
8-сынып [9]
А. Е. Әбілқасымова, Т.П. Кучер, В.Е Корчевский, З. Ә. Жұмағұлова. Алматы: Мектеп, 2017 ж
45 есеп
48 есеп
9-сынып [10]
10-сынып [11]
А. Е. Әбілқасымова, В.Е. Корчевский, З.Ә. Жұмағұлова. Алматы: Мектеп, 2019 ж.
16 есеп
185 есеп
Функцияны зерттеуге арналған есептер А.Е. Әбілқасымова, К.Д. Шойынбеков, В.Е. Корчевский, З.А. Жұмағұлова 10 сынып оқулығында жақсы берілген. Зерттеу барысында 10 сынып оқулығының бірінші, екінші, үшінші, төртінші тараулары осы функцияға байланысты екендігіне көзіміз жетті. Бірінші тарау Функция. Оның қасиеттері және графигі, екінші тарау Тригонометриялық функциялар, үшінші тарау Туынды, төртінші тарау Туындыны функциянв зерттеуге қолдану.
Графикалық дағдыларды қалыптастыру бастауыш сынып оқушыларын функционалды оқыту үшін өте маңызды. График - бұл мектепте көптеген пәндерде кеңінен қолданылатын көрнекі құрал. Орта мектепте функция графикалық бейнеленуімен бөлінбейді. Функцияның графигі бірқатар ұғымдарды қалыптастырудағы негізгі анықтамалық сурет ретінде қызмет етеді - функцияның ұлғаюы және төмендеуі, анықтығы мен бұлдырлығы, функцияның қайтымдылығы, экстремум ұғымы. Студенттердің графика туралы нақты идеяларысыз, алгебра курсының орталық тұжырымдамалары мен сабақтастық, туынды, интеграл сияқты талдау принциптерін қалыптастыруда геометриялық айқындылықты тарту мүмкін емес.
Сондықтан орта мектепте графикалық бейнелеуді қалыптастырумен айналысуға кеш болады. Осы уақытқа дейін студенттер графикалық графиканы құруда да, оқуда да мықты дағдыларды игеруі керек.
Функционалды материалды кейіннен қолдану үшін қажетті негіз студенттердің функционалды графиктерді оқудағы берік дағдылары болып табылады. Олар кестеге сүйене отырып, бірқатар сұрақтарға сенімді әрі еркін жауап беруі керек:[19]
* х немесе у айнымалыларының біреуінің берілген мәні бойынша, екіншісінің мәнін анықтаңыз;
* өсу және ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz