Комплекс сандар: өріс пен амалдар, түрлері, Эйлер формуласы және түбірлер

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

4) Комплекс сандарға қолданылатын амалдар

5) Комплекс сандар өрісі

6) Эйлер тепе-теңдігі. Комплекс сандардың көрсеткіштік түрі. Мысал келтіру.

Начало формы

Қосымша А

Комплекс сандар

комплекс сан деп түріндегі өрнек айтылады (комплекс санның алгебралық түрі), мұндағы - нақты сандар, - жорамал бірлік. және сандарын комплекс санының сәйкес нақты ж7әне жорамал бөлігі деп атайды, , деп белгіленеді. саны комплекс санына түйіндес деп аталады. Келесі өрнектер орынды

1) ;

2) .

Алгебралық түрдегі комплекс сандарға қолданылатын амалдар

Екі комплекс сан берілген және .

1. және сандарының қосындысы (+) (айырымы (- ) ) деп

комплекс саны айтылады.

2. және сандарының көбейтіндісі деп

комплекс саны айтылады.

3. -дің -ке бөліндісі деп ( ) комплекс саны айтылады.

Сонымен, комплекс сандарының қосындысы, айырымы, бөліндісі екі мүшені қосу, азайту ережесі бойынша есептелінеді, тек -ты -1-ге айырбастау керек. Бөлу де сол сияқты, бөлшекті бөлімнің түйіндесіне көбейту керек: .

Комплекс санның геометриялық кескінделуі

Әрбір комплекс санына сандар жұбы бірмәнді сәйкес келеді, ал сандар жұбының геометриялық бейнесі ретінде жазықтықтағы нүктені немесе осы нүктенің радиус - векторын алуға болады, онда жазықтығында комплекс саны координаталары болатын нүктесімен немесе осы нүктенің радиус - вектормен бейнеленеді. (Сурет А. 1) .

Сурет А. 1 Сурет А. 2

векторының ұзындығы деп комплекс санның модулі аталады және деп белгіленеді. векторы мен осі арасындағы бұрышы комплекс санның аргументі деп аталады, белгіленуі . Әрбір комплекс санға оның модулі бірмәнді сәйкес келеді: үшбұрышынан . Аргумент болса бірмәнді сәйкес келмейді, -ге еселі қосылғышқа дейін дәлдікпен анықталады: ( ), мұндағы аргументтің негізгі мәні, ол (немесе ) шартын қанағаттандырады. Аргументтің негізгі мәнін келесі формулалардан табады:

Егер комплекс сан координата осьтерінде жатса, онда модуль мен аргументті оның геометриялық бейнесі бойынша табуға болады.

Мысал А. 1 - санының бейнесі бойынша (А. 2 суреттегі нүктесі) координат басынан ұзындығы 3 бірлікте орналасқандықтан, оның модулі . векторымен және осімен құралған бұрышы -ге (немесе ) тең, сондықтан аргументтің негізгі мәні немесе .

Комплекс саннның екі түрі болады: тригонометриялық, көрсеткіштік. Тригонометриялық түрін А. 1 суретіндегі үшбұрышынан табуға болады және -ны және арқылы өрнектейміз: , . Сонда - тригонометриялық түрі. Эйлер формуласын қолданып , тригонометриялық түрден көрсеткіштік түрді алуға болады: .

Мысал А. 2 -Комплекс саннның тригонометриялық түрін, көрсеткіштік түрін табайық . , , сондықтан модулі . Комплекс сан үшінші квадрантада орналасқандықтан, аргументті келесі формуламен есептейміз

= . Сонымен, -комплекс саннның тригонометриялық түрі, - көрсеткіштік түрі.

Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға қолданылатын амалдар

Екі комплекс сан тригонометриялық түрде берілген болсын және , сонда

а) ;

б) .

Сонымен, комплекс сандарды көбейткенде, олардың модульдері көбейтіледі, ал аргументтері қосылады; бөлгенде - модульдері бөлінеді, аргументтері азайтылады.

комплекс санды - ші дәрежеге шығару үшін, бұл санға рет көбейту ережесін қолдану керек. Сонда Муавр формуласын аламыз: . Айта кетелік, Муавр формуласы -нің кез келген нақты мәнінде орындалады: бүтін, бөлшек, оң, теріс.

Жорамал бірліктің дәрежесін есептеу формуласын білген жөн. болғандықтан формуласы орынды, мұндағы тек төрт мәнді қабылдайды: 0, 1, 2, 3.

Мысал А. 3 = = .

комплекс саннның -ші дәрелі түбірі әртүрлі мән қабылдайды және = формуласымен есептелінеді, мұндағы . Әрі қарай -ның қалған мәндерінде түбірдің мәндері қайталанады. Бұл формуланы бөлшек көрсеткішті Муавр формуласынан алуға болады. түбірін бейнелейтін нүктелердің геометриялық кескінделуіне келсек, центрі координата басында, радиусы -ге тең шеңберді бірдей бөлікке бөледі. нақты санының - ші дәрежелі түбірінің де әртүрлі мәндері болады, олардың арасында бір, екі нақты түбірі болуы мүмкін немесе ешқандай түбірі болмауы мүмкін, ол -ның жұп, тақтығына және -тің таңбасына байланысты.

Мысал А. 4 - Келесі түбірдің барлық мәндерін табайық . Алдымен =8 санын тригонометриялық түрге келтіреміз: . Олай болса, = , мұндағы . Түбірдің мәндері: