Интегралдаудың әдістері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Абай атындағы Қазақ Ұлттық педагогикалық университеті

Математика, физика және информатика институты

Математикалық анализ кафедрасы

РЕФЕРАТ

Тақырып: Интегралдаудың әдістері

Орындаған; Қальяхмет Назира

Тексерді: Шияпов Кадржан

Алматы 2021

Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешеуде қолданылады. Анықталмаған интеграл инетеграл (лат. integer-бүтін) -математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан-туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүкетенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан-аудан, көлем және доға ұзынығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т. б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып саналады. Интеграл сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама. Біз бұл курстық жұмыста білімнің әр түрлі саласына жататын, бірақ екеуінің де шешуін табу бір математикалқ аппаратқа негізделген екі есепті қарастырмақшымыз. Сөз болып отырған математикалық аппарат бірінші қарағанда функцияларды дифференциалдау мен интегралдау мәселесіне тура қатысы жоқ сияқты болып көрінеді. Тарихта да ұзақ уақыттар бойы бұл аппарат дифференциялдау байланыссыз өсіп дамыған. XVII ғасырдың аяғында-ақ бұл циклдегі есептеді шешудің ең күшті жңне ең жалпы әдісін оларды интегралдық есептеуде шешілетін мәселелермен байланыстыру жолында ғана жасауға болатыны анық болды. Біздің қарастырмақ болып отырған есептеріміздің бірі жазық фигуралардың ауданын есептеп шығару. Элементаралық геометрияда тек түзу сызықты кесінділер және шеңбер доғаларымен шенелген жазық фигуралардың аудандарын есептеп шығару әдісі беріледі. Кез-келген қисық сызықпен шенелген жазық фигураныңда ауданын табу жөніндегі жалпы геометриялық мәселені тек математикалық анализдің құралдарының жәрдемімен ғана шешуге болады. Кез келген жазық фигураның ауданын есептей білудің теориялық және ешқандай арнайы ыспаттаудың керек етпейді.

Описание: Таблица интегралов, таблица основных интегралов для школьников и студентов

Тікелей интегралдау әдісі

Берілген интегралдардың астындағы функцияға қарапайым түрлендірулер және анықталмаған интегралдардың қасиетіне сүйеніп таблицалық интегралға келтіру арқылы интегралдау әдісін тікелей интегралдау деп атайды. Берілген интегралды таблицалық интегралға келтіруі үшін дифференциалды келесі түрде түрлендіру жиі қолданылады («интеграл астына енгізу» операциясы) :

Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image008.png

du=d(u+a), a-const du = Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image002.png , a

cosudu=d(sinu) sinudu=-d(cosu)

Жалпы алғанда, Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image010.png формуладан интегралдарды есептегенде жиі қолданылады.

Айнымалыны ауыстыру әдісін қолданып интегралдау

Айнымалы ауыстыру әдісі интегралдау айнымалысының орнына жаңа айнымалыны енгізу арқылы кестелік интегралдарға келтіруге болады. Айнымалыны ауыстырудың жалпы әдісі жоқ. Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image012.png интегралын есептеу керек болсын. ауыстыруын қолданайық, мұндағы -үзіліссіз туындылары бар функция болсын.

Сонда Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image018.png және анықталмаған интегралды интегралдау формулаларының инварианттылығы қасиетінің негізінде айнымалы ауыстыру формуласын аламыз:

Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image020.png

Бөліктеп интегралдау әдісі

Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image022.png және -үзіліссіз туындылары бар функциялар болсын. Онда d ( uv ) = udv + vdu . Осы теңдікті интегралдап

немесе

Бөліктеп интегралдау формуласын қолдану үшін интеграл астындағы өрнекті Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image030.png және көбейткіштің көбейтіндісін жазу керек; және тапқаннан кейін бөліктеп интегралдау формуласы қолданылады. Бөліктеп интегралдау формуласын бірнеше рет қолдануға болады. Бөліктеп интегралдау арқылы табылатын интегралдардың кейбір түрлерін көрсетейік:

(2. 10) -түріндегі интегралдар, мұндағы Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image036.png - көпмүше, сан. Бұл интегралдарда aрқылы белгілеп, ал басқа көбейткіштер арқылы белгіленеді.

(2. 12) -деп, ал қалған көбейткіштерді Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image030.png арқылы белгіленеді.

мұндағы Описание: http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/5.2.files/image048.png және сандар. деп функциясын аламыз.