Лаплас түрлендіруін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерді шешуде қолдану

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Лаплас түрлендіруін дифференциалдық теңдеулер мен
жүйелерді шешуде қолдану
Кіріспе:
1. Негізгі түсініктері
Нақты айнымалы f(t) функциясының Лаплас түрлендіруі деп,
Fp=0infinityf(t)e-ptdt (1.1.1)
формуласымен анықталатын комплекс айнымалы Fp функциясын айтады.
Теңдіктің оң жағындағы комплекс p тәуелді меншіксіз интеграл Лаплас интегралы деп аталады.
Интеграл (1.1.1) жинақы болып, Fp функциясын анықтауы үшін f(t) функциясына қойылатын талаптар:
1) f(t) функциясы бөлшектеп- үздіксіз t=0 мәндерінде; функция не үздіксіз немесе бірінші түрдегі санаулы үзіліс нүктелері бар.
2) ft=0, t0 (1.1.2)
3) f(t)=Meαt, (1.1.3)
M,α-const.
Соңғы 3) шартты барлық шектеулі функциялар орыдайды, мысалы, sint, cost сондай-ақ кез келген (t0) дәрежелік функциялар да, өйткені олар көрсеткіштік et функциясына қарағанда жай өседі.
(1),(2),(3) шарттар орындайтын кез келген f(t) функциясы түпнұсқа деп аталады, (1.1.1) формуламен анықталатын F(p) функциясы оның бейнесі (Лаплас бейнесі) деп аталады. Түпнұсқа f(t) мен бейнесі F(p) арасындағы сәйкестік
f(t)≑F(p) ⋁ F(p)≑f(t)
түрінде өрнектеледі. Кейде былай көрсетіледі:
ft--Fp немесе Fp=Lf(t).
Хевисайдың бірлік функциясының
ηt=0, t0,1,t0 (1.1.4)
көмегімен барлық (2) шартты орындамайтын f1(t) функциясын ft=ηtf1(t) түрінде жазып, түпнұсқа бола алады.

Бейнелердің жалпы қасиеттері
Теорема 1.1.1: Функция ft түпнұсқа болса, онда Лаплас интегралы
Fp=0infinityf(t)e-ptdt
Re pα (яғни Re pα жарты жазықтығында) α (3) шартындағы мәндерінде абсолютті жинақты және Re pα жарты жазықтығында аналитикалық функция болып, бейнені анықтайды.
Абсолютті жинақылығын дәлелдеу үшін (3) шартты қолданамыз. Егер p=σ+is десек, e-pt=e-σt,
f(t)e-pt=Meαte-σt=Metα-σ (1.1.5)
Онда
0infinityf(t)e-ptdt=M0infinityetα- σdt=Metα-σα-σinfinity0=Mσ-α, (1.1.6)
себебі теорема ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.