Дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерді шешуде Лаплас түрлендіруін қолдану

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Лаплас түрлендіруін дифференциалдық теңдеулер мен

жүйелерді шешуде қолдану

Кіріспе:

Негізгі түсініктері

Нақты айнымалы $f(t)$ функциясының Лаплас түрлендіруі деп,

$F(p) = \int_{0}^{\infty}{f(t) e^{- pt}dt}$ (1. 1. 1)

формуласымен анықталатын комплекс айнымалы $F(p)$ функциясын айтады.

Теңдіктің оң жағындағы комплекс $p$ тәуелді меншіксіз интеграл Лаплас интегралы деп аталады.

Интеграл (1. 1. 1) жинақы болып, $F(p)$ функциясын анықтауы үшін $f(t)$ функциясына қойылатын талаптар:

f(t) f(t) функциясы бөлшектеп- үздіксізt≥0t \geq 0мәндерінде; функция не үздіксіз немесе бірінші түрдегі санаулы үзіліс нүктелері бар.
f(t) =0, t<0(1. 1. 2) f(t) = 0, \ t < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1. 2)
f(t) ≤Meαt, \left f(t) \right \leq Me^{\alpha t}, (1. 1. 3)

$M, \alpha - const.$

Соңғы 3) шартты барлық шектеулі функциялар орыдайды, мысалы, $sint, \ cost$ сондай-ақ кез келген ( $t > 0)$ дәрежелік функциялар да, өйткені олар көрсеткіштік $e^{t}$ функциясына қарағанда жай өседі.

(1), (2), (3) шарттар орындайтын кез келген $f(t)$ функциясы түпнұсқа деп аталады, (1. 1. 1) формуламен анықталатын $F(p)$ функциясы оның бейнесі (Лаплас бейнесі) деп аталады. Түпнұсқа $f(t)$ мен бейнесі $F(p)$ арасындағы сәйкестік

$f(t) \Doteq F(p)$ $\bigvee$ $F(p) \Doteq f(t)$

түрінде өрнектеледі. Кейде былай көрсетіледі:

$f(t) \leftrightarrow F(p) \ немесе\ F(p) = L\left\{ f(t) \right\}. \$

Хевисайдың бірлік функциясының

$\eta(t) = \left\{ \begin{array}{r} 0, \ t < 0, \\ 1, t > 0 \end{array} \right. \ \ \ \ \ (1. 1. 4)$

көмегімен барлық (2) шартты орындамайтын $f_{1}(t)$ функциясын $f(t) = \eta(t) f_{1}(t)$ түрінде жазып, түпнұсқа бола алады.

Бейнелердің жалпы қасиеттері

Теорема 1. 1. 1: Функция $f(t)$ түпнұсқа болса, онда Лаплас интегралы

$F(p) = \int_{0}^{\infty}{f(t) e^{- pt}dt}$

$Re\ p > \alpha$ (яғни $Re\ p > \alpha$ жарты жазықтығында) $\alpha$ (3) шартындағы мәндерінде абсолютті жинақты және $Re\ p > \alpha$ жарты жазықтығында аналитикалық функция болып, бейнені анықтайды.

Абсолютті жинақылығын дәлелдеу үшін (3) шартты қолданамыз. Егер $p = \sigma + is$ десек, $\left e^{- pt} \right = e^{- \sigma t}$ ,

$\left f(t) e^{- pt} \right \leq Me^{\alpha t}e^{- \sigma t} = Me^{t(\alpha - \sigma) }\ \ \ \ \ (1. 1. 5)$

Онда

$\int_{0}^{\infty}{\left f(t) e^{- pt} \rightdt \leq M\int_{0}^{\infty}{e^{t(\alpha - \sigma) }dt = M\left. \ \frac{e^{t(\alpha - \sigma) }}{\alpha - \sigma} \right\binom{\infty}{0} = \frac{M}{\sigma - \alpha}, \ \ \ \ \ \ \ (1. 1. 6) }}$

себебі теорема шарты бойынша $\alpha - \sigma < 0, \ e^{t(\alpha - \sigma) } \rightarrow 0, \ егер\ t \rightarrow \infty.$

Осыдан, Лаплас интегралы абсолют жинақы болады.

Мысалы, $e^{\alpha t}, \ \alpha = \beta + i\gamma$ функциясының бейнесін табайық

$\left e^{\alpha t} \right = e^{\beta t}, \ M = 1, \ \ \alpha = \beta. \$

$\int_{0}^{\infty}{e^{\alpha t}e^{- pt}dt = \int_{0}^{\infty}{e^{- t(p - \alpha) }dt = \left. \ \frac{e^{- t(p - \alpha) }}{- (p - \alpha) } \right\binom{\infty}{0} = \frac{1}{p - \alpha}, }}$