аНЫҚТАУЫШТАР
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Алғыс сөз.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Математика - нақты дүниенің кеңістіктік пішіндері мен сандық қатынастары туралы ғылым. Математика атауы гректің mathema - білім деген сөзінен шыққан. Уақыт өткен сайын математика үйренетін кеңістіктік пішіндер мен сандық қатынастар үзіліссіз кеңеюде, сондықтан берілген анықтаманы кең магынада түсіну керек. Кеңістіктік пішіндері негізінен геометрия (грек тілінен аударғанда гео - жер, метрия - өлшеу) ғылымы, ал сандық қатынастарды арифметика, алгебра (арабтың "аль-джабр" - теңдіктің теріс мүшелерін бір бөлігінен басқа бөлігіне өткізу), математикалық талдау, есептеу математикасы жэне соңғы кезде пайда болған көптеген салалар зерттейді. Математиканың дамуын шартты түрде төрт кезеңге бөлуге болады: алғашқы ұғымдардың пайда болуы (сан, қарапайым геометриялық пішіндер) және көптеген деректердің жиынтыгының қалыптасуы; элементар математика; айнымал шамалардың математикасы; есептеу математикасы мен есептеу техникасына негізделген қазіргі заман математикасы. Адамзаттың іс-тәжірибе қызметінде және шаруашылық мәселелері негізінде жинақталған деректер математиканың өзінше ерекше ғылым екендігін түсінуге эсер етті. Бүл элементар математиканың бастапқы кезеңі еді жэне ежелгі Грекияда жаңа эраға дейін VI-V ғасырларда қалыптасты. Уақыт өте математика гылым ретінде сапалы түрде жетіле түсті. Элементар математика дәуірі басталды. Әдетте элементар математика деп элементар арифметика, ежелгі Грекияның ұлы геометрі Евклидтің еңбектерінде толық қамтылған элементар геометрия, Индия, Аравия, Орта Азия (Эл-Хорезми, Эл-Фараби) математиктерінің жетістіктерін ары қарай жалғастырып дамытқан Еуропа математиктерінің еңбектерінде, XVI ғасырда негізінен аяқталған элементар алгебра түсініледі. Элементар математика негізінен тек түрақты шамаларды зерттейді. Демек элементар математика үнемі өзгерістегі материалдық дүниенің күрделі заңдарын, бір-бірімен өзара алуан түрлі жэне жан-жақты байланыста өтіп жататын құбылыстарын зерттеудің қуатты қүралы бола алмайды. XVII гасырда жаратылыстану мен техника талаптары қозғалысты математикалық түрғыдан айнымал шамалардың өзгеру процесін, геометриялық фигураларды түрлендіруді үйрену мақсатында жаңа әдістер құруға алып келді. Әмбебап Декарт координаталар әдісі негізінде аналитикалық геометрияның пайда болуы, геометриялық мэселелерді алгебра және математикалық талдау тіліне көшіруге және, керісінше, алгебра жэне аналитикалық деректерді геометриялық түрғыдан түсіндіруге мүмкіндік берді. Айнымал шамаларды аналитикалық геометрияда қолдану, дифференциалдык жэне интегралдық қисаптардың құрылуымен айнымал шамалардың математикасының кезеңі басталды. Бүл кезеңде бұрынғы түрақты шамалар мен сандар орнына негізгі үғым ретінде функция үғымы алынды. Функцияны 4 үйрену математикалық талдаудың негізгі ұғымдарына алып келді: шек, туыңды, дифференциал жэне интеграл. Математиканың өзінің іштей дамуы, ғылым мен техниканың әртүрлі салаларын "математикаландыру", математикалық эдістердің көптеген істэжрибе жұмыстарына енуі жэне есептеуші математика мен дискреттік математика негізінде жүзеге келген есептеуші техниканың дамуы қазіргі заман математикасының іргетасы болып табылады. Бұлар негізінде жаңа математикалық пәндер - операцияларды зерттеу, ойындар теориясы, математикалык экономика жэне т.б. дүниеге келді. Математикада жаңа теориялар тек жаратылыстану, техника жэне экономиканың қажеттілігінен ғана емес, математиканың өзінің ішкі қажеттілігінен де пайда болады. Мысалы, Лобачевский геометриясы. Жалпы әлем екі кұрылымнан тұрады: макроэлем, микроәлем. Макроэлемнің негізінде үзіліссіздік принципі жатады. Яғни макроәлемдік нэрсе үзіліссіз қозғалыста болады жэне оның орнын, жылдамдығын дэл анықтауға болады. Микроәлем негізінде аныкталмағандық принципі жатады, яғни элементар бөлікше қозғалыста болғанда оның орны белгілі болса, жылдамдығы белгісіз, ал жылдамдығы белгілі болса, орны белгісіз болады. Сондықтан микроэлемдегі кұбылыстар жалпыланған функция ұғымы негізінде зерттеледі. Математикалық теорияны құрудың негізінде аксиоматикалык әдіс жатады. Мүнда теорияның іргесіне ақиқат ретінде бастапқы ережелер жүйесі - аксиомалар дэлелсіз қабылданады. Ал теорияның тұжырымдары осы аксиомалардьщ логикалық нәтижесі ретінде алынады. Мысалы, Евклид геометриясында теорияның негізгі мазмұны ақиқаттығы айкын бірнеше аксиомалардьщ негізінде дедуктивтік жолмен алынған. Математикада ой қортындылаудың екі түрі бар: дедукция, индукция. Дедукцияда жалпы тұжырым негізінде нақты дербес жағдай үшін ой қортындыланады, ал индукцияда дербес жағдайлардан жалпы ой тұжырымдалады. Соңғы жағдайда математикалық индукция принципі қолданылады: егер Л(1) дұрыс болып, кезкелген п е N үшін А(п) түжырымның дүрыстығынан А(п + 1) түжырым да дұрыс болса, онда А(п) түжырымның дұрыстығы дәлелденген болады. Математикалык зерттеудің негізгі әдісі - математикалык дәлелдеу, яғни формальдық логиканың зандарына сүйеніп, қатаң логикалык тұжырымдау. Математикалык тұжырымдарды дәлелдегенде қажетті жэне жеткілікті шартгар кеңінен қолданылады. Қажетті шарттар орындалмаса, қарастырылатын Т тұжырым дұрыс емес, ал жеткілікті шарттар орындалса Т тұжырым дұрыс. Демек, жеткілікті шарттар қажетті шарттардың бөлігі. Математикада қүбылыстардың математикалык модельдері зерттеледі. Бір математикалык модель эртүрлі қүбылыстарды бейнелеуі мүмкін. Өйткені математикада қарастырылатын қүбылыстардың табиғаты емес, олардың 5 құраушыларының арасындағы қатынастар маңызды. Мысалы, бүкіл әлемдік тартылыс заңы мен Кулон заңы бірдей математикалық өрнекпен өрнектеледі. Математиканы оқытудың мақсатттары: белгілі бір деңгейде білім алу; үйренген математикалық эдістерді қолдана білу; математикалық ойлау жүйесі интуицияны дамыту; математикалық мәдениетті тәрбиелеу. Қазіргі ғылыми-техникалық революция дэуірі - ғылым, техника, экономика жэне басқаруды математикаландыру дэуірі. Қазіргі заманғы ғылыми қызметкер, инженер немесе экономист математиканың негіздерін біліп қана қоймай, ол өз саласында қолданылатын зерттеудің математикалық эдістерін терең игеруі керек. Әрбір ғылым өзінің шыңына математиканы қолданғанда ғана жете алады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Мазмұны.
Алғыс сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2
Мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
Матрицалар сақинасы. Матрицаларға қолданатын амалдар ... ... ... ... ... ...5
Сызықтық амалдардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
Матрицаларды аудару амалы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
Матрицаларды көбейту амалы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
Анықтауыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
Анықтауыштардың негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .10
Кері матрицаларды есептеу Гаусс-Жордан тәсілі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .11
Векторлық алгебра ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
Векторларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Қасиеттері. База ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
Үш вектордың аралас көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..25
Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
Жазықтықтағы екі түзудің өзара орналасуы және арасындағы бұрыш.28
Эллипс және оның канондық теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..31
Гипербола және оның канондық теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
Екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37
Функция. Кері функция. Күрделі функция. Параметрлік түрде берілген функция. Айқын емес функция. Функция графигі ... ... ... ... ... ... ... ... ...40
Алғашқы функция, анықталмаған интеграл, оның қасиеттері.
Анықталмаған интеграл кестесі. Анықталмаған интегралды
интегралдау әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
Алғашқы функция табудың негізгі тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .46
Рационал өрнектерді интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
Анықталған интеграл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
Бірінші текті меншіксіз интегралдар ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 53
Меншіксіз интегралдың абсолюттік және шартты жинақтылығы...55
Анықталған интегралдың физикада, геометрияда қолданылуы.
Ауданды, көлемді, беттің ауданын, қисық ұзындығын, массаны табу.57
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 60
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Матрицалар сақинасы. Матрицаларға қолданатын амалдар.
k жолы және n бағаны бар элементтері αij математикалық объекттерден тұратын кестені матрица деп атайды, A=αij , i=1,k,j=1,n, арқылы белгілейміз.
Матрицалардың элементтері R нақты сандар мен C комплекс сандар жиындарынан және ZP, p-жай сан, қалындылар кластарынан алынуы мүмкін. Элементтері P өрісінен алынған, жолдар саны k-ға, ал бағандар саны n-ге тең болатын барлық матрицалар жиынын MkxnP арқылы белгілейміз. Кейде матрицаның жолдар саны k-ға, ал бағандар саны n-ге тең деудің орнына біз қысқаша оның өлшемі kxn-ға тең дейміз.
Өлшемдері бірдей және сәйкес элементтері өзара тең болатын матрицалар тең деп аталады.
Матрицаларға бірнеше амалдар қолданылады, олардың арасында екі амал мүшелеп жасалынады. A=αij ,B=βij ∈MkxnP кез келген матрицалар, ал λ∈P қандайда бір элемент болсын. Өлшемі kxn- ге тең, элементтері αij+βij (немесе λ⋅αij) болатын матрицаны A мен B - ның қосындысы (сәйкес А-ның λ коэффициентіне λ⋅A көбейтіндісі) деп атаймыз. Осы екі амалдың біріккен аталуы сызықтық амал болады.
Сызықтық амалдардың қасиеттері
Кез келген A,B,C∈MkxnP және кез келген λ,μ∈P үшін келесі арақатынастар орындалады:
Қасиет 1. A+B=В+A - қосу амалы коммутативті.
Қасиет 2. А+В+С=А+(В+С) - қосу амалы ассоциативті.
Қасиет 3. A+0=0+A=A қатысы орындалатындай MkxnP жиынына тиісті О матрицасын табуға болады.
Қасиет 4. Кез келген D∈MkxnP матрицасына D+F=F+D=0 теңдіктері орындалатындай F∈MkxnP матрицасы табылады.
Қасиет 5. 1⋅A=A
Қасиет 6. λ⋅μ⋅A=λ⋅μ⋅A
Қасиет 7. λ+μ⋅A=λ⋅A+μ⋅A
Қасиет 8. λ⋅A+B=λ⋅A+λ⋅B
ДӘЛЕЛДЕУ.
Анықтамаларға сүйенсек, біз осы қасиеттерді дәлелдеу үшін жоғарыдағы әрбір теңдіктің сол жағындағы және оң жағындағы матрицалардың сәйкес элементтерінің теңдігін көрсетуіміз керек. Қасиет 1,2,5-8 үшін дәлелдеулер бір жолмен жүргізіледі, сондықтан біз біреуін ғана мысал ретінде көрсетейік.
Қосу амалының ассоциативті екенін көрсету үшін, біз алдымен қандайда
Бір i,j индекстер жұбы берілсін делік. Бұл жерде i=1,k, j=1,n. Сонан соң А+В+С матрицасының i-ші жолы мен j-ші бағаны қиылысқан орындағы элементті қосу амалының анықтамасы бойынша табайық. Егер A=αij ,B==βij , C=γij болса, онда сол элемент αij+βij+γij тең болады. Р өрісінде қосу амалы ассоциативті, демек, αij+βij+γij=αij+βij+γij. Соңғы теңдіктің оң жағындағы өрнек А+(В+С) матрицасының i,j орындағы элементі болып табылады. Ендеше
А+В+С=А+(В+С).
О матрицасының элементтерін εij деп белгілесек, онда қасиет 3 қанағаттандыру үшін αij+εij=εij+αij=αij болуы керек. Демек εij=0. Барлық элементтері P өрісінің нөлдік элементіне тең матрицаны нөлдік матрица деп атаймыз. Әрбір MkxnP , k∈N,n∈N, жиыны өзінің нөлдік матрицасы болады. Дегенмен, осы нөлдік матрицалардың бәрін бір ғана О символымен белгілейміз. Оның себебі: әдетте, матрицаларға амалдар жасағанда олардың өлшемдері анық болады.
Кез келген D=δij матрицасы үшін оның элементтеріне P өрісінде қарама-қарсы болатын элементтерден құрылған F=-δij матрицасы қасиет 4-тегі теңдіктеріне жарамды болады. D мен F - тың элементері бір-біріне қарама-қарсы болғандықтан, осы матрицалар да қарама-қарсы деп аталады.
Мысал 1. Келесі үш матрица берілген:
A=-1-2159-8 B=10-259830-14 F=10-54 (1.1)
A+F матрицасын таба аламыз ба ? Егер C=A+B және D=A-B болса, онда C және D матрицаларын табыңыз.
А матрицасында 2 жол 3 баған бар, ал F матрицасында 2 жол 2 баған бар. Бұл екі матрицаның өлшемдері сәйкес емес, сондықтан оларды қоса алмаймыз, яғни A+F матрицасы анықталмаған.
А және В матрицаларының өлшемдері сәйкес, яғни,
C=A+B=-1-2159-8+10-259830-14=
=-1+10-2+-251+985+39+0-8+-14=9-2799 89-22
D=A-B матрицасын табайық:
D=A-B=-1-2159-8+10-259830-14=
=-1-10-2--251-985-39-0-8--14=-1123- 97296
Жауабы: C=9-279989-22, D=-1123-97296.
Мысал 2. A=-1-27490 матрицасы берілген. 3⋅А, -5⋅А және -А матрицаларын табыңыз.
3⋅А=3⋅-1-27490=3⋅-13⋅-23⋅73⋅43⋅93⋅0 =-3-62112270.
-5⋅А=-5⋅-1-27490=-5⋅-1-5⋅-2-5⋅7-5⋅4 -5⋅9-5⋅0=
=510-35-20-450.
-А=-1⋅A=-1⋅-1-27490=12-7-4-90.
Жауабы: 3⋅А=-3-62112270; -5⋅А=510-35-20-450;
-A=12-7-4-90.
Матрицаларды аудару амалы
Егер A=αij , A∈Mkxn матрицасының жолдары мен бағандарының рольдерін алмастырсақ, онда n бағаны мен k жолы бар At символымен белгіленетін матрица пайда болады. Демек, At∈Mnxk, At матрицасының i-ші жолы мен j-ші бағаны қиылысқан орнында А матрицасының αji элементі орналасады. Ендеше At=αji . Осы себептерден А матрицасына қарағанда At матрицасы аударылған деп аталады, ал А матрицасын At матрицасымен алмастыруды аудару амалы деп атайды.
МЫСАЛ. Егер
A=1265 34 болса, онда At=162534 болады. (1.2)
Аудару амалының келесі қасиеттері анық:
Att=A, A+Bt=At+Bt, λ⋅At=λ⋅At.
Матрицаларды көбейту амалы
Матрицаларлы өзара көбейту амалы оларға қолданатын сызықтық амалдарға қарағанда күрделі болып көрінуі мүмкін. Біздің мақсатымыздың бірі матрицаларды көбейту амалының жасалуы бірнеше сызықтық амалдардың жасалуына пара-пар екендігін көрсету, сонымен қатар амалының күрделілігі тек қана сызықтық амалдар жасалу санына байланыстылығын айқындау.
Элементтері кез келген P өрісіне тиісті a=α1,α2,...,αn жолы мен b=β1,β2,...,βnt бағаны берілсін. a жолының b бағанына a⋅b көбейтіндісі деп, олардың сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысына тең болатын P өрісінің α1β1+α2β2+...+αnβn элементін атаймыз. Жолды бағанға көбейту үшін олардың элементтер саны бірдей болуы қажет екендігі ақиқат.
Енді A=αij ∈MkxnP , B=βij ∈MnxmP кез келген екі матрица берілсін. A матрицаның жолдарын a1,a2,...,ak деп белгілейік: (1.3)
a1=α11,α12,...,α1n,
a2=α12,α22,...,α2n,
... ... ... ... ... ... ... ..
ak=αk1,αk2,...,αkn.
B матрицасының бағандарын b1,b2,...,bm деп белгілейік:
b1=β11,β21,...,βn1t,
b2=β12,β22,...,βn2t,
... ... ... ... ... ... ... ..
bm=β1m,β2m,...,βnmt.
A матрицасының B матрицасына A⋅B көбейтіндісі деп γij элементтері
γij=ai⋅bj=αi1⋅β1j+αi2⋅β2j+...+αin⋅β nj
формула бойынша есептелетін MkxmP -ға тиісті матрица аталады. A матрицасының бағандар саны В-ның жолдар санына тең болмаса,
A⋅B анықталмаған.
МЫСАЛ 1. A=12-3450,B= 1-120 - берілген матрицалар
C=A⋅B матрицасын табуымыз керек. Алдымен С - ның өлшемін келесі ережемен табайық. А мен В - ның өлшемдерін қатарынан жазып, ортасындағы
екі тең сандарды алып тастасақ, шеткі екі сан көбейтіндінің өлшемін береді:
3x2⋅2x2=3x2. Сонан кейін, С матрицасының элементтерін γij деп белгілесек, онда анықтама бойынша
γ11=1,2⋅1,2t=1⋅1+2⋅2=5,
γ12=1,2⋅-1,0t=1⋅-1+2⋅0=-1,
γ21=-3,4⋅1,2t=-3⋅1+4⋅2=5,
γ22=-3,4⋅-1,0t=-3⋅(-1)+4⋅0=3,
γ31=5,0⋅1,2t=5⋅1+0⋅2=5,
γ32=5,0⋅-1,0t=5⋅(-1)+0⋅0=-5.
Ендеше
C=A⋅B=5-15-35-5
Анықтауыштар.
А квадрат матрицасының элементтері αij, ал А-ның реті, яғни жолдары
мен бағандар саны n - ге тең болсын, яғни A=αij ∈MnxnP . А матрицасының анықтауышын оның реті бойынша индуктивтік анықтама бойынша енгізейік. А - ның анықтауышын detA немесе A арқылы белгілейміз.
Егер n=1 болса (индукциялық базисі), онда А матрицасының құрамында
жалғыз ғана α11 элементі бар. Бұл жағдайда detA=α11 деп аламыз.
Индукциялық қадам n1 болсын және (n-1)-ші ретті матрицалардың анықтауыштарын есептей аламыз деп ұйғаралық. Онда n-ші ретті A матрицасының анықтауышы деп
A=j=1n(-1)1+jα1jA1j (2.1)
формуласымен есептелетін P өрісінің элементін атаймыз. Бұл жерде және бұдан әрі біз Aij арқылы А матрицасының i-ші жолы мен j-ші бағаны алынып тасталғаннан шыққан (n-1)-ші ретті матрицаның анықтауышын
белгілейміз. Жоғарыдағы формула анықтауыштың бірінші жолы бойынша жіктеу формуласы деп аталады.
2-ші ретті анықтауыш келесі формула бойынша есептеледі
a11a12a21a22=a11a22-a12a21. (2.2)
3-ретті A=αij квадрат матрицасының анықтауышын үшбұрыш
ережесімен есептейік. (2.3)
A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a2 2a33+a12a23a31+a13a21a32-
-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32
Анықтауыштардың негізгі қасиеттері
Қасиет 1. Егер матрицаның екі жолының орнын алмастырылса, онда
оның анықтауышы бастапқы анықтауышқа қарама-қарсы болады.
Қасиет 2. Егер матрицаның екі жолы бірдей болса, онда оның
анықтауышы 0-ге тең.
Қасиет 3. Матрицаны аударғанда, оның анықтауышы өзгермейді:
detAt=detA.
Қасиет 4. Матрицаның кез келген жолының (бағаның) ортақ
көбейткішін анықтауыш таңбасының сыртына шығаруға болады.
Дербес жағдайда, егер матрицаның бір жолы (бағаны) нөлдік болса,
онда оның анықтауышы нөлге тең болады.
Қасиет 5. (анықтауыштарды қосу туралы теорема.) Кез келген і үшін келесі теңдік орындалады :
deta1,...,ai-1,ai+bi,ai+1,...,an=de ta1,a2,...,an+
+deta1,...,ai-1,bi,...,an
Осы сияқты теңдіктер бағандарға да орындалады.
Қасиет 6. Егер матрицаның жолдары (бағандары) сызықтық тәуелді
болса, онда оның анықтауышы нөлге тең болады.
Қасиет 7. Матрицаның жолына (бағанына) басқа жолын (бағанын)
коэффициентке көбейтіп алып қосқанда, одан оның анықтауышы
өзгермейді.
Мысал 1. Анықтауышты есептеңіз:
sinαcosα-cosαsinα
Шешуі:
sinαcosα-cosαsinα=sinα⋅sinα--cosα⋅c osα=sin2α+cos2α=1
Жауабы: 1.
Мысал 2. Анықтауышты есептеңіз:
1-115421-23
Шешуі:
1-115421-23=1⋅4⋅3+(-1)⋅2⋅1+1⋅5⋅(-2) -
-1⋅4⋅1--1⋅5⋅3-1⋅2⋅-2=12-2-10-4+15+4 =15
Жауабы: 15.
Кері матрицаларды есептеу Гаусс-Жордан тәсілі
A∈MnxnP матрицасына В∈MnxnP матрицасы табылып
A⋅B=B⋅A=E
теңдігі орындалатын болса, онда A керіленетін матрица, ал В матрицасы A -ның кері матрицасы деп аталады. A матрицасына кері болатын матрица А-1 символымен белгіленеді, яғни B=А-1.
A=αij ∈MnxnP матрицасы берілген. Е∈MnxnP бірлік матрицасын алып, А∣Е блокты матрицасын құрастырайық, оның өлшемі nx2n-ге тең. Гаусс-Жордан алгоритмі келесі процедуралардан тұрады.
1. A матрицасының сол жақ жоғарғы бұрышынан бастап төмен қарай
жүргізіп А∣Е блокты матрицасының жолдарын сатылы түрге келтіреміз. Нәтижесінде n ретті В1, В2 шаршы матрицалардан құрастырылған В1∣В2 блокты матрицасын аламыз.
2. Егер В1 матрицасының соңғы жолы нөлдік жол болса, онда алгоритмді
нәтижесіз тоқтатамыз. Кері жағдайда келесі процедураға көшеміз.
3. В1 матрицасының оң жағындағы төменгі бұрышынан бастап жоғары
қарай саны В1∣В2 матрицасының жолдарына сатылы түрге келтіру
алгоритмін пайдаланып С1∣С2 блокты матрицаға келеміз. Осы матрицаның С1 блогы диагональ матрица болады.
4. С1∣С2 блокты матрицасының жолдарын (b) типті элементар
түрлендірулерін пайдаланып E∣D блокты түріне келтіреміз. Алгоритмнің
нәтижесін D матрица болады.
Тұжырым 1. Егер Гаусс-Жордан алгоритмі нәтижелі болса, онда D
бастапқы A матрицасына кері матрица болады.
A∈MnxnP , A=αij болсын. αij элементінің миноры деп, өрісінің Aij (αij элементі тұрған жолды және бағанды сызып алып тастағанда шыққан матрицаның анықтауышы) элементін атаймыз. αij элементінің алгебралық толықтауышы деп, өрісінің Aij=(-1)i+jAij элементін атаймыз. Элементтері At матрицасының элементтерінің алгебралық толықтауыштарына тең болатын және A* символымен белгіленетін матрицаны 퐴 −ға одақтас матрица деп атайды.
Мысал.
A=3422-1-3151 матрицасының керісін Гаусс-Жордан әдісімен шешіңіз.
Шешуі:
А∣Е=3422-1-3151100010001--1512-1-3 342001010100--
--1510-11-50-11-100101-210-3--151 0-11-500400101-21-1-1--
---20-100-200-44-20002000-2004-85- 5-5---20-10000-44000205-5-255-1-13 5-5-5--
---4-20004400041-1-5-51131-1-1--- 44-22000220000411-11-55-255651-1-1- -
---440002200004-14-6-10-255651-1-1 --44000440004146-10-51131-1-1--
--440004400044146-10-511311-11-11- -1000100011444644-1044-54414413441 144-1144-1144--
--100010001722322-522-544144134414 -14-14=E∣A-1
Олай болса, кері матрица: A-1=722322-522-544144134414-14-14.
Жауабы: A-1=722322-522-544144134414-14-14.
Векторлық алгебра
Анықтама. Бағытталған кесіндіні вектор деп атайды. Суреттегі АВ
вектордың басы 퐴, ал ұшы B деп аталады. Бағытталған кесіндінің ұзындығы вектордың ұзындығы немесе модулі деп аталады АВ,а деп белгіленеді. (3.1)
Анықтама. Басы мен ұшы бір нүктеде болатын вектор нолдік вектор
деп аталады, 0 деп белгіленеді. Бұл вектор үшін 0=0 екені түсінікті.
Анықтама. Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында орналасқан векторларды коллинеар векторлар деп атаймыз.
Келісімдер:
1) нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар деп саналады:
∀ a : 0 a ; (3.2)
2) нөлдік вектор кез келген векторға перпендикуляр деп саналады: ∀a : 0 ⊥ a.
Анықтама. Екі вектор a мен b тең деп аталады, яғни a=b, егер келесі шарттар орындалса:
1) a b ;
2) a = b;
3) a ↑↑ b . (3.3)
Тең векторларды параллель көшіру арқылы беттестіруге болады. Егер соңғы анықтамада 1) мен 2) орындалып, ал 3) a ↑↓ b болса, онда a мен b қарама - қарсы векторлар деп атаймыз: a= −b.
(3.4)
Векторларға амалдар қолдану
I. Қосу.
Қасиеттері: (4.1)
1. a+b=b+a
2. (a+b)+c=a+(b+c)
3. ∀a: 0+a=a
4. ∀a ∃b: a+b=0
5. a1+a2+a3+a4+...+an=b
II. Санға көбейту. (4.2)
∀λ∈R саны мен a векторы үшін λa векторы келесі шарттарға қанағаттандырады:
1) λa∥a;
2) λa=λ⋅a
Бұл жерде, егер λ0⇒λa↑↑a
λ0⇒λa↑↓a
Қасиеттері:
1. λa+b=λa+λb
2. λ+μa=λa+μa
3. λμa=λμa=μλa
4. ∀a: 0⋅a=0
(4.3)
Анықтама 푂푢 өсі мен AB векторын қарастырайық. 퐴 және 퐵 нүктелерінен 푂푢 өсіне перпендикулярлар түсіреміз.
Қиылысудан шыққан 퐴′ пен 퐵′ нүктелерін қосып вектор құрайық. А'В' векторы AB векторының 푂푢 өсіне түсірілген ортогоналды проекциясы деп аталады.
(4.5) А'В'=PrOuAB
+-А'В'=PrOuAB
PrOuAB=AB⋅cosφ
Теорема (Векторлардың 1-ші коллинеарлық критерийі) a∥b⇔∃λ∈R: a=λb
Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Қасиеттері. База.
Анықтама. a1,a2,...,ak- бірнеше вектор (немесе векторлар жүйесі деп атайтын боламыз) және λ1,λ2,...,λk∈R сандары берілсін. Егер λ1a1+λ2a2++...+λkak=b болса, онда b векторы a1,a2,...,ak векторларының сызықтық комбинациясы немесе өрнегі деп аталады.
Анықтама. a1,a2,...,ak векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады, егер олардың нолдік сызықтық комбинациясында ең болмаса бір коэффициент нолден өзгеше болса
λ1a1+λ2a2++...+λkak=θ⇒∃λi!=0
Анықтама. a1,a2,...,ak векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады, егер олардың нолдік сызықтық комбинациясы тек қана барлық коэффициенттері нолдік болғанда мүмкін болса
λ1a1+λ2a2+...+λkak=θ⇒∃λ1=λ2=...=λk= 0
Қасиеттері:
1) Егер векторлар жүйесінде нольдік вектор бар болса, онда ол жүйе сызықты тәуелді болады.
2) Егер векторлар жүйесінде екі тең вектор бар болса, онда ол жүйе сызықты тәуелді болады.
3) Егер сызықты тәуелді векторлар жүйесіне бірнеше вектор қоссақ, онда шыққан жаңа жүйе сызықты тәуелді болады.
4) Егер сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінен бірнеше вектор алсақ, онда
шыққан жаңа жүйе сызықты тәуелсіз болады.
5) Векторлар жүйесі сызықты тәуелді болу үшін, векторлардың ең болмаса біреуі қалғандары арқылы өрнектелуі қажетті және жеткілікті.
6) a1,a2,...,ak-сызықты тәуелсіз, ал a1,a2,...,ak,ak+1-сызықты тәуелді болсын. Онда ∃λ1,λ2,...,λk:ak+1=λ1a1+λ2a2+...+λk ak
Анықтама. Кеңістіктегі максималды сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі база (базис) деп аталады.
Анықтама. Вектордың база бойынша жіктелген кездегі коэффициенттер координаталар деп аталады.
Базадағы векторлар саны кеңістіктің өлшемділігін береді.
e1,e2,...,en-векторлары Vn кеңістігінде максималды сызықты тәуелсіз болсын, онда ∀a∈Vn үшін e1,e2,...,en, a-векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады, ал 6-шы қасиет бойынша ∃λ1,λ2,...,λn сандары:
a=λ1e1+λ2e2+...+λnen=λ1,λ2,...,λn.
Бұл сандар a векторының e1,e2,...,en базасындағы координаталары деп аталады.
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі.
Анықтама. Келесі формула бойынша есептелетін санды екі вектордың a және b скаляр көбейтіндісі деп аталады:
a,b=a⋅b⋅cosab. (5.1)
Ескерту. Екі вектордың арасындағы бұрыш дегеніміз екі вектордың басын бір нүктеге түйістіргендегі ең кіші бұруды айтамыз.
Теорема. (Векторлардың перпендикулярлық критерийі) a,b=0⇔a⟂b
Дәлелдеуі.
1) a,b=0⇒a⋅b⋅cosab=0 (5.2)
1) a=0⇒a=0⇒∀b:a⟂b
2) b=0⇒b=0⇒∀a:a⟂b
3) cosab=0⇒ab=90°⇒a⟂b
2) a⟂b⇒cosab=0⇒a,b=a⋅b⋅cosab=0.
Қасиеттері:
1. a,b=b,a
2. a+b,c=a,c+b,c
3. λa,b=λa,b
4. a,a=a2=a2
5. a,b=a⋅прab=b⋅прba
Теорема. Тікбұрышты декарт координаттар жүйесінде екі вектордың a=
=x1,y1,z1 және b=x2,y2,z2 скаляр көбейтіндісі келесі формуламен есептеледі (5.3)
a,b=x1x2+y1y2+z1z2
Дәлелдеуі.
a,b=x1i+y1j+z1k,x2i+y2j+z2k=
=x1x2i,i+x1y2i,j+x1z2i,k+
+y1x2j,i+y1y2j,j+y1z2j,k++z1x2k,i+z 1y2k,j+z1z2k,k=
=x1x2+y1y2+z1z2 Өйткені 4 қасиет бойынша i,i=i2=1, j,j=j2=1, k,k=k2=1, ал перпендикулярлық критерийінен i,j=0, i,k=0, k,j=0 шығады.
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі
Анықтама. Бас нүктелері бір нүктеге кондырылған компланар емес a,b,c реттелген векторлар үштігі оң үштік деп аталады, егер c векторының ұшынан қарағанда a-дан b-ға ең кіші бұру сағат тіліне қарама - қарсы болса, ал сағат тілімен орындалса сол үштік деп аталады.
(5.4)
Егер a,b,c оң (сол) үштік болса, онда b,c,a; c,a,b үштіктері де оң (сол) болады; ал кез келген екі вектордың орнын ауыстырсақ, онда үштік өз атын өзгертеді, яғни, b,a,c;a,c,b;c,b,a сол (оң) болады.
Анықтама. a және b векторларының векторлық көбейтіндісi деп a,b символымен белгіленетін және келесі үш шартты қанағаттандыратын c векторын айтады:
1) c =a,b =a⋅b⋅sina,b;
2) c⟂a,c⟂b;
3) a,b,c- оң үштік.
Теорема. a,b=0⇔a∥b. (Үшінші коллинеарлық критерий)
Дәлелдеу. (5.5)
1) ⇐ Егер a мен b параллель болса, олардың арасындағы бұрыш 0 немесе PI, онда ол бұрыштың sina,b=0, яғни a,b =0 және a,b=0.
2) ⇒ a,b=0, модулін алсақ, a,b =a⋅b⋅sina,b=0
1. a=0⇒a=0⇒∀b:a∥b;
2. b=0⇒b=0⇒∀a:b∥a;
3. sina,b=0, олардың арасындағы бұрыш 0 немесе PI, онда a∥b.Қасиеттері:
1. a,b=-b,a
2. a+b,c=a,c+b,c
3. λa,b=λa,b
4. a,a=0
5. Геометриялық мағынасы
S=ha, ал h=b⋅sinφ;
φ=a,b- векторлар арасындағы бұрыш
S=a⋅b⋅sinφ=a,b⇒S=a,b (5.6)
Теорема Тікбұрышты декарт координаттар жүйесінде екі вектордың
вектордың a=x1,y1,z1 және b=x2,y2,z2 векторлық көбейтіндісі келесі формуламен есептеледі (5.7)
a,b=ijkx1y1z1x2y2z2
Дәлелдеу.
a,b=x1i+y1j+z1k,x2i+y2j+z2k=
=x1x2i,i+x1y2i,j+x1z2i,k+
+y1x2j,i+y1y2j,j+y1z2j,k+
+z1x2k,i+z1y2k,j+z1z2k,k.
4 қасиет бойынша i,i=0, j,j=0,k,k=0.
i,j көбейтіндісін анықтамасы бойынша зерттеп көрейік, оны d=i,j деп белгілейік
1) d=i⋅j⋅sin90°=1
2) d⟂i, d⟂j
3) i,j, d- оң үштік.
Яғни d векторы k-ға тең болғаны: i,j=k. Тура солай k,i=j,j,k=i.
Есептеулерді жалғастырсақ (5.8)
a,b=iy1z2-z1y2+jz1x2-x1z2+kx1y2-y1x 2=
=iy1z1y2z2+jz1x1z2x2+kx1y1x2y2
ал бұл жоғарыдағы анықтауыштың бірінші қатар бойынша жіктелуі.
a,b=ijkx1y1z1x2y2z2=y1z1y2z2,z1x1z2 x2,x1y1x2y2.
Үш вектордың аралас көбейтіндісі
Анықтама. Екі вектордың векторлық көбейтіндісіне үшінші векторды скаляр көбейткен кезде шыққан сан үш вектодың аралас көбейтіндісі деп аталады
a,b,c=a,b,c=a,b,c
Қасиеттері
1. a,b,c=b,c,a=c,a,b=-b,a,c=-a,c,b=-c, b,a
2. a+d,b+c=a,b,c+d,b,c
3. λa,b,c=λa,b,c
4. a,b,c0, онда a,b,c- оң үштік;
a,b,c0, онда a,b,c- сол үштік
5. Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасы: үш вектордың аралас көбейтіндісінің модулі осы үш векторда құралған параллелепидедтің көлеміне тең (5.9)
V=a,b,c
V=Sтабxh
Sтаб=a,b;
h=прdc=ccosφ
V=Vпар=d⋅c⋅cosφ=d,c=a,b,c
Теорема. Тікбұрышты декарт координаттар жүйесінде үш вектордың a=
=x1,y1,z1, b=x2,y2,z2, c=x3,y3,z3 аралас көбейтіндісі келесі формуламен есептеледі
a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3
Дәлелдеу.
Теорема векторлық және скаляр көбейтінділер формулаларыарқылы дәлелденеді.
d=a,b=ijkx1y1z1x2y2z2=y1z1y2z2,z1x1 z2x2,x1y1x2y2 деп белгілейік.
a,b,c=a,b,c=d,c= скаляр көбейту формуласы бойынша =
=y1z1y2z2⋅x3+z1x1z2x2⋅y3+x1y1x2y2⋅z 3=x3y3z3x1y1z1x2y2z2,
анықтауышты бірінші қатар бойынша жіктелу ретінде. Қатарлардың орнын екі рет орнын ауыстыру арқылы, таңбасы 2 рет өзгеріп,
a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3
шығады.
Теорема. a,b,c компланар болсын Теорема 3 бойынша ⇒ a,b,c сызықты тәуелді ⇒ ∃α,β: c=αa+βb
a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3=x1y1z1x2y2 z2αx1+βx2αy1+βy2αz1+βz2=
=αx1y1z1x2y2z2x1y1z1+βx1y1z1x2y2z2x 2y2z2=0.
Кері қарай. a,b,c аралас көбейтіндісі нольге тең болсын, онда x1y1z1x2y2z2x3y3z3 анықтауышының қатарлары сызықты тәуелді, яғни a,b,c сызықты тәуелді, онда Теорема 3 бойынша олар компланар.
Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері.
Анықтама. Берілген түзуге кез келген параллель вектор осы түзудің бағыттауыш векторы деп аталады. (6.1)
a- түзуінің бағыттауыш векторы.
b- түзуінің бағыттауыш векторы.
Анықтама. Жазықтықта кез келген 푀(푥, 푦) нүктесін алайық.
Осы нүктені координаттар басы 푂-мен қосқанда шыққан вектор OM=r
푀 нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Ол вектордың координаталары нүкте координаталарымен сәйкес болады
OM=r=x;y
Түзудің теңдеуін жазу үшін оның бойындағы бір нүкте
және бағыттауыш вектор қажет.
푝 - жазықтықтағы түзу, М0-түзудегі нүкте, ал a-бағыттауыш векторы.
М0x0;y0∈p
a=l;m∥p
Бір объектінің теңдеуін жазу дегеніміз - сол
Объектінің кез келген нүктесін (немесе
координаталарын) белгілі нәрселер арқылы
сиппатайтын теңдіктер жазу. Түзуде ағынды
(яғни кез келген) 푀(푥, 푦) нүктесін алайық.
푀 және М0 нүктелерінің r және r0 радиус-векторларын жүргізейік. Векторларды қосу үшбұрыш ережесі бойынша
r=r0+ММ0
Ал М0М∥a, онда векторлардың коллинеарлықтың 1 критерийі бойынша
∃λ:М0М=λa, енді λ=t деп белгілейік.
r=r0+ta- түзудің векторлық теңдеуі деп аталады.
Бұл теңдеуді r,r0,a векторлардың координаталары арқылы жазсақ, сондай-ақ
r=x;y және r0=x0;y0 болғандықтанx=x0+lt
y=y0+mt
түзудің параметрлік теңдеуі шығады, бұл жерде t-параметр; t∈-infinity;+infinity.
Әр теңдіктен осы параметрді өрнектеп теңестірсек
t=x-x0l=y-y0m- түзудің канондық теңдеуі шығады.
Теорема. 1) Жазықтықтағы аффин координаттар жүйесінде түзудің теңдеуі
бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады: Ax+By+C=0 (6.2)
2) Кез келген Ax+By+C=0 түрдегі теңдеу жазықтықта түзудің теңдеуі болады.
Дәлелдеу.
Теореманы дәлелдеу үшін түзудің канондық теңдеуімен Ax+By+C=0 түрдегі теңдеудің байланысын көрсету керек.
1) Канондық теңдеуді t=x-x0l=y-y0m пропорция ретінде ашып жазайықта, барлығын сол жаққа өткізейік
mx-x0=l(y-y0)
mx-ly+ly0-mx0=0
Енді белгілеулер еңгізейік: m=A; -l=B, ал ly0-mx0=C, онда
Ax+By+C=0 теңдеу шығады.
2) Кері қарай дәлелдейік. Ax+By+C=0 теңдеуі берілсін.
Бұл теңдеуді 1 теңдеуден тұратын 2 белгісізі бар САТЖ деп қарастыруға
болады, онда оның шексіз көп шешімі бар. Бір x0;y0 дербес шешімін
қарастырайық:
Ax0+By0+C≡0.
Ax+By+C=0 теңдігінен Ax0+By0+C≡0-ді алып тастасақ, келесі шығады:
Ax-x0+By-y0=0
Ал бұл t=x-x0l=y-y0m пара-пар
x-x0-В=y-y0А
Ax+By+C=0- түрдегі теңдеу түзудің жалпы теңдеуі деп аталады.
Салдар 1. x-x0-В=y-y0А мен t=x-x0l=y-y0m салыстырсақ, b=-B;A푝, яғни −ның бағыттауыш векторы екені түсінікті.
Салдар 2. N=A;B деп белгілейік, ал М0М=
=x-x0;y-y0 екендігі айқын, онда
Ax-x0+By-y0=0-тен шығатыны N,М0М=Ax-x0++By-y0=0⇔
⇔N⟂М0М∥p⇒N⟂p.
N- түзудің нормал векторы деп аталады.
Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.
Бағыттауыш вектор ретінде М1М2=x2-x1;y2-y1∥p алайық, онда t=x-x0l=y-y0m қойсақ, (6.3)
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1- түзудің екі нүкте арқылы жазылған теңдеуі шығады.
Бұрыштық коэффициент арқылы жазылған түзудің теңдеуі
Түзудің t=x-x0l=y-y0m канондық теңдеуін алайық
p:x-x0l=y-y0m
a=l;m вектордың басы О координаттар басынан шығатындай параллель көшірейік.
m(x-x0)l=y-y0, tgα=ml=k деп белгілейік.
kx-x0=y-y0
y=kx+y0-kx0
y=kx+b-бұрыштық коэффициент арқылы жазылған түзудің теңдеуі.
Кесінділер арқылы жазылған түзудің теңдеуіAx+By+C=0
Ax+By=-С
x-CA+y-CB=1
xa+yb=1- кесінділер арқылы жазылған түзудің теңдеуі.
Түзудің нормал теңдеуі
Түзуде кез келген 푀(푥, 푦) нүктесін алайық. Координаталар басынан берілген түзуге түсірілген бірлік перпендикуляр n вектордың координаттар жұбы
{cos 훼 , sin 훼}, бұл жерде 훼 - вектор мен абсцисса өсі арасындағы бұрыш. 푝 саны - координаталар басынан берілген түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы.
прnOM=p
прnOM=OMcosφ=nOMcosφ=n,OM, (өйткені n=1)
OM=x;y
n,OM=xcosα+ysinα=p
xcosα+ysinα-p=0- түзудің нормал теңдеуі деп аталады.
Егер түзудің жалпы теңдеуі Ax+By+C=0 берілсе, онда оны нормаланған
түрге келтіру үшін әр мүшесін μ=+-1A2+B2 нормалаушы коэффициентке көбейту керек. Нормалаушы коэффициенттің таңбасы нормалданатын теңдеудің бос мүшесінің таңбасына қарама-қарсы болып алынады.
Жазықтықтағы екі түзудің өзара орналасуы және арасындағы бұрыш
p1:A1x+B1y+C1y=0, N1={A1;B1}
p2:A2x+B2y+C2y=0, N2={A2;B2} p1∥p2 ⇔ N1∥N2 ⇔ A1A2=B1B2!=C1C2
1) p1≡p2 беттеседі ⇔ N1∥N2 және пропорция бос мүшесіне дейін жалғасады ⇔ A1A2=B1B2=C1C2=λ
(6.4)
2) p1∩p2 қиылысады ⇔ N1∦N2⇔ A1A2!=B1B2
Түзулер қиылысқанда, арасында бұрыш пайда болған бұрышты келесі түрде табуға болады
cosα=cosN1N2=N1,N2N1⋅N2=A1A2+B1B2A1 2+B12⋅A22+B22.
Оған сыбайлас болатын бұрыш β=180°-α
cosβ=cos180°-α=-cosα.
Енді түзулер бұрыштық коэффициент арқылы берілсін.
p1:y=k1x+b1, k1=tgα1
p2:y=k2x+b2, k2=tgα2
Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теорема бойынша
α2=α1+α
α=α2-α1
tg α=tg α2-α1=tgα2-tgα11+tgα1tgα2
tg α=k2-k11+k1k2 (6.5)
Бұл формулада 훼 бұрышы бірінші p1 түзуінен екінші p2 түзуіне дейінгі бұрыш
болып саналады, яғни k1 мен k2 реті маңызды.
Эллипс және оның канондық теңдеуі
Анықтама. Белгіленген F1,F2 нүктелерінен арақашықтықтарының қосындысы тұрақты болатын жазықтықтағы нүктелер жиыны эллипс деп аталады.
Декарт координаттар жүйесін енгізейік:
1) F1,F2∈Ox, F1F2=2c,c-const;
2) O нүктесі F1F2 кесіндісінің ортасы болсын;
3) Oy⟂Ox жүргіземіз. Эллипске тиісті ∀M(x,y) нүктесін алайық. Анықтама бойынша r1+r2=2a, a-const
∆F1MF2 үшбұрышынан үшбұрыш теңсіздігі бойынша r1+r2F1F2, яғни 2a
2c немесе ac.
Сонымен эллипстің теңдеуін қорытып шығайық:
r1+r2=2a
r1=2a-r2
(x+c)2+y2=2x-x-c2+y2, бұл теңдікті екі жағынан квадраттайық
x2+2xc+c2=4a2-4ax-c2+y2+x2-2xc+c2+y 2
4xc-4a2=-4ax-c2+y2
xc-a2=-ax-c2+y2
x2c2-2a2xc+a4=a2x2-2a2xc+a2c2+a2y2
x2c2+a4=a2x2+a2c2+a2y2
a4-a2c2=a2x2-x2c2+a2y2
a2a2-c2=x2a2-c2+a2y2
ac⇒a2c2⇒a2-c20⇒∃b: a2-c2=b2
a2b2=x2b2+a2y2
x2a2+y2b2=1- эллипстің канондық теңдеуі шығады.
x=0⇒y=+-b⇒0,b;(0,-b) нүктелері эллипске тиісті;
y=0⇒x=+-a⇒a,0;(-a,0) нүктелері эллипске тиісті.
a-эллипстің үлкен жарты өсі
b-эллипстің кіші жарты өсіэллипс үшін a,b,c-сандарының байланысы
F1,F2-эллипстің фокустары
Ox-эллипстің фокальды ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Алғыс сөз.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Математика - нақты дүниенің кеңістіктік пішіндері мен сандық қатынастары туралы ғылым. Математика атауы гректің mathema - білім деген сөзінен шыққан. Уақыт өткен сайын математика үйренетін кеңістіктік пішіндер мен сандық қатынастар үзіліссіз кеңеюде, сондықтан берілген анықтаманы кең магынада түсіну керек. Кеңістіктік пішіндері негізінен геометрия (грек тілінен аударғанда гео - жер, метрия - өлшеу) ғылымы, ал сандық қатынастарды арифметика, алгебра (арабтың "аль-джабр" - теңдіктің теріс мүшелерін бір бөлігінен басқа бөлігіне өткізу), математикалық талдау, есептеу математикасы жэне соңғы кезде пайда болған көптеген салалар зерттейді. Математиканың дамуын шартты түрде төрт кезеңге бөлуге болады: алғашқы ұғымдардың пайда болуы (сан, қарапайым геометриялық пішіндер) және көптеген деректердің жиынтыгының қалыптасуы; элементар математика; айнымал шамалардың математикасы; есептеу математикасы мен есептеу техникасына негізделген қазіргі заман математикасы. Адамзаттың іс-тәжірибе қызметінде және шаруашылық мәселелері негізінде жинақталған деректер математиканың өзінше ерекше ғылым екендігін түсінуге эсер етті. Бүл элементар математиканың бастапқы кезеңі еді жэне ежелгі Грекияда жаңа эраға дейін VI-V ғасырларда қалыптасты. Уақыт өте математика гылым ретінде сапалы түрде жетіле түсті. Элементар математика дәуірі басталды. Әдетте элементар математика деп элементар арифметика, ежелгі Грекияның ұлы геометрі Евклидтің еңбектерінде толық қамтылған элементар геометрия, Индия, Аравия, Орта Азия (Эл-Хорезми, Эл-Фараби) математиктерінің жетістіктерін ары қарай жалғастырып дамытқан Еуропа математиктерінің еңбектерінде, XVI ғасырда негізінен аяқталған элементар алгебра түсініледі. Элементар математика негізінен тек түрақты шамаларды зерттейді. Демек элементар математика үнемі өзгерістегі материалдық дүниенің күрделі заңдарын, бір-бірімен өзара алуан түрлі жэне жан-жақты байланыста өтіп жататын құбылыстарын зерттеудің қуатты қүралы бола алмайды. XVII гасырда жаратылыстану мен техника талаптары қозғалысты математикалық түрғыдан айнымал шамалардың өзгеру процесін, геометриялық фигураларды түрлендіруді үйрену мақсатында жаңа әдістер құруға алып келді. Әмбебап Декарт координаталар әдісі негізінде аналитикалық геометрияның пайда болуы, геометриялық мэселелерді алгебра және математикалық талдау тіліне көшіруге және, керісінше, алгебра жэне аналитикалық деректерді геометриялық түрғыдан түсіндіруге мүмкіндік берді. Айнымал шамаларды аналитикалық геометрияда қолдану, дифференциалдык жэне интегралдық қисаптардың құрылуымен айнымал шамалардың математикасының кезеңі басталды. Бүл кезеңде бұрынғы түрақты шамалар мен сандар орнына негізгі үғым ретінде функция үғымы алынды. Функцияны 4 үйрену математикалық талдаудың негізгі ұғымдарына алып келді: шек, туыңды, дифференциал жэне интеграл. Математиканың өзінің іштей дамуы, ғылым мен техниканың әртүрлі салаларын "математикаландыру", математикалық эдістердің көптеген істэжрибе жұмыстарына енуі жэне есептеуші математика мен дискреттік математика негізінде жүзеге келген есептеуші техниканың дамуы қазіргі заман математикасының іргетасы болып табылады. Бұлар негізінде жаңа математикалық пәндер - операцияларды зерттеу, ойындар теориясы, математикалык экономика жэне т.б. дүниеге келді. Математикада жаңа теориялар тек жаратылыстану, техника жэне экономиканың қажеттілігінен ғана емес, математиканың өзінің ішкі қажеттілігінен де пайда болады. Мысалы, Лобачевский геометриясы. Жалпы әлем екі кұрылымнан тұрады: макроэлем, микроәлем. Макроэлемнің негізінде үзіліссіздік принципі жатады. Яғни макроәлемдік нэрсе үзіліссіз қозғалыста болады жэне оның орнын, жылдамдығын дэл анықтауға болады. Микроәлем негізінде аныкталмағандық принципі жатады, яғни элементар бөлікше қозғалыста болғанда оның орны белгілі болса, жылдамдығы белгісіз, ал жылдамдығы белгілі болса, орны белгісіз болады. Сондықтан микроэлемдегі кұбылыстар жалпыланған функция ұғымы негізінде зерттеледі. Математикалық теорияны құрудың негізінде аксиоматикалык әдіс жатады. Мүнда теорияның іргесіне ақиқат ретінде бастапқы ережелер жүйесі - аксиомалар дэлелсіз қабылданады. Ал теорияның тұжырымдары осы аксиомалардьщ логикалық нәтижесі ретінде алынады. Мысалы, Евклид геометриясында теорияның негізгі мазмұны ақиқаттығы айкын бірнеше аксиомалардьщ негізінде дедуктивтік жолмен алынған. Математикада ой қортындылаудың екі түрі бар: дедукция, индукция. Дедукцияда жалпы тұжырым негізінде нақты дербес жағдай үшін ой қортындыланады, ал индукцияда дербес жағдайлардан жалпы ой тұжырымдалады. Соңғы жағдайда математикалық индукция принципі қолданылады: егер Л(1) дұрыс болып, кезкелген п е N үшін А(п) түжырымның дүрыстығынан А(п + 1) түжырым да дұрыс болса, онда А(п) түжырымның дұрыстығы дәлелденген болады. Математикалык зерттеудің негізгі әдісі - математикалык дәлелдеу, яғни формальдық логиканың зандарына сүйеніп, қатаң логикалык тұжырымдау. Математикалык тұжырымдарды дәлелдегенде қажетті жэне жеткілікті шартгар кеңінен қолданылады. Қажетті шарттар орындалмаса, қарастырылатын Т тұжырым дұрыс емес, ал жеткілікті шарттар орындалса Т тұжырым дұрыс. Демек, жеткілікті шарттар қажетті шарттардың бөлігі. Математикада қүбылыстардың математикалык модельдері зерттеледі. Бір математикалык модель эртүрлі қүбылыстарды бейнелеуі мүмкін. Өйткені математикада қарастырылатын қүбылыстардың табиғаты емес, олардың 5 құраушыларының арасындағы қатынастар маңызды. Мысалы, бүкіл әлемдік тартылыс заңы мен Кулон заңы бірдей математикалық өрнекпен өрнектеледі. Математиканы оқытудың мақсатттары: белгілі бір деңгейде білім алу; үйренген математикалық эдістерді қолдана білу; математикалық ойлау жүйесі интуицияны дамыту; математикалық мәдениетті тәрбиелеу. Қазіргі ғылыми-техникалық революция дэуірі - ғылым, техника, экономика жэне басқаруды математикаландыру дэуірі. Қазіргі заманғы ғылыми қызметкер, инженер немесе экономист математиканың негіздерін біліп қана қоймай, ол өз саласында қолданылатын зерттеудің математикалық эдістерін терең игеруі керек. Әрбір ғылым өзінің шыңына математиканы қолданғанда ғана жете алады.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Мазмұны.
Алғыс сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2
Мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
Матрицалар сақинасы. Матрицаларға қолданатын амалдар ... ... ... ... ... ...5
Сызықтық амалдардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
Матрицаларды аудару амалы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
Матрицаларды көбейту амалы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
Анықтауыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
Анықтауыштардың негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .10
Кері матрицаларды есептеу Гаусс-Жордан тәсілі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .11
Векторлық алгебра ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
Векторларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Қасиеттері. База ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
Үш вектордың аралас көбейтіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..25
Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
Жазықтықтағы екі түзудің өзара орналасуы және арасындағы бұрыш.28
Эллипс және оның канондық теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..31
Гипербола және оның канондық теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
Екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37
Функция. Кері функция. Күрделі функция. Параметрлік түрде берілген функция. Айқын емес функция. Функция графигі ... ... ... ... ... ... ... ... ...40
Алғашқы функция, анықталмаған интеграл, оның қасиеттері.
Анықталмаған интеграл кестесі. Анықталмаған интегралды
интегралдау әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
Алғашқы функция табудың негізгі тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .46
Рационал өрнектерді интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
Анықталған интеграл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
Бірінші текті меншіксіз интегралдар ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 53
Меншіксіз интегралдың абсолюттік және шартты жинақтылығы...55
Анықталған интегралдың физикада, геометрияда қолданылуы.
Ауданды, көлемді, беттің ауданын, қисық ұзындығын, массаны табу.57
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 60
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Матрицалар сақинасы. Матрицаларға қолданатын амалдар.
k жолы және n бағаны бар элементтері αij математикалық объекттерден тұратын кестені матрица деп атайды, A=αij , i=1,k,j=1,n, арқылы белгілейміз.
Матрицалардың элементтері R нақты сандар мен C комплекс сандар жиындарынан және ZP, p-жай сан, қалындылар кластарынан алынуы мүмкін. Элементтері P өрісінен алынған, жолдар саны k-ға, ал бағандар саны n-ге тең болатын барлық матрицалар жиынын MkxnP арқылы белгілейміз. Кейде матрицаның жолдар саны k-ға, ал бағандар саны n-ге тең деудің орнына біз қысқаша оның өлшемі kxn-ға тең дейміз.
Өлшемдері бірдей және сәйкес элементтері өзара тең болатын матрицалар тең деп аталады.
Матрицаларға бірнеше амалдар қолданылады, олардың арасында екі амал мүшелеп жасалынады. A=αij ,B=βij ∈MkxnP кез келген матрицалар, ал λ∈P қандайда бір элемент болсын. Өлшемі kxn- ге тең, элементтері αij+βij (немесе λ⋅αij) болатын матрицаны A мен B - ның қосындысы (сәйкес А-ның λ коэффициентіне λ⋅A көбейтіндісі) деп атаймыз. Осы екі амалдың біріккен аталуы сызықтық амал болады.
Сызықтық амалдардың қасиеттері
Кез келген A,B,C∈MkxnP және кез келген λ,μ∈P үшін келесі арақатынастар орындалады:
Қасиет 1. A+B=В+A - қосу амалы коммутативті.
Қасиет 2. А+В+С=А+(В+С) - қосу амалы ассоциативті.
Қасиет 3. A+0=0+A=A қатысы орындалатындай MkxnP жиынына тиісті О матрицасын табуға болады.
Қасиет 4. Кез келген D∈MkxnP матрицасына D+F=F+D=0 теңдіктері орындалатындай F∈MkxnP матрицасы табылады.
Қасиет 5. 1⋅A=A
Қасиет 6. λ⋅μ⋅A=λ⋅μ⋅A
Қасиет 7. λ+μ⋅A=λ⋅A+μ⋅A
Қасиет 8. λ⋅A+B=λ⋅A+λ⋅B
ДӘЛЕЛДЕУ.
Анықтамаларға сүйенсек, біз осы қасиеттерді дәлелдеу үшін жоғарыдағы әрбір теңдіктің сол жағындағы және оң жағындағы матрицалардың сәйкес элементтерінің теңдігін көрсетуіміз керек. Қасиет 1,2,5-8 үшін дәлелдеулер бір жолмен жүргізіледі, сондықтан біз біреуін ғана мысал ретінде көрсетейік.
Қосу амалының ассоциативті екенін көрсету үшін, біз алдымен қандайда
Бір i,j индекстер жұбы берілсін делік. Бұл жерде i=1,k, j=1,n. Сонан соң А+В+С матрицасының i-ші жолы мен j-ші бағаны қиылысқан орындағы элементті қосу амалының анықтамасы бойынша табайық. Егер A=αij ,B==βij , C=γij болса, онда сол элемент αij+βij+γij тең болады. Р өрісінде қосу амалы ассоциативті, демек, αij+βij+γij=αij+βij+γij. Соңғы теңдіктің оң жағындағы өрнек А+(В+С) матрицасының i,j орындағы элементі болып табылады. Ендеше
А+В+С=А+(В+С).
О матрицасының элементтерін εij деп белгілесек, онда қасиет 3 қанағаттандыру үшін αij+εij=εij+αij=αij болуы керек. Демек εij=0. Барлық элементтері P өрісінің нөлдік элементіне тең матрицаны нөлдік матрица деп атаймыз. Әрбір MkxnP , k∈N,n∈N, жиыны өзінің нөлдік матрицасы болады. Дегенмен, осы нөлдік матрицалардың бәрін бір ғана О символымен белгілейміз. Оның себебі: әдетте, матрицаларға амалдар жасағанда олардың өлшемдері анық болады.
Кез келген D=δij матрицасы үшін оның элементтеріне P өрісінде қарама-қарсы болатын элементтерден құрылған F=-δij матрицасы қасиет 4-тегі теңдіктеріне жарамды болады. D мен F - тың элементері бір-біріне қарама-қарсы болғандықтан, осы матрицалар да қарама-қарсы деп аталады.
Мысал 1. Келесі үш матрица берілген:
A=-1-2159-8 B=10-259830-14 F=10-54 (1.1)
A+F матрицасын таба аламыз ба ? Егер C=A+B және D=A-B болса, онда C және D матрицаларын табыңыз.
А матрицасында 2 жол 3 баған бар, ал F матрицасында 2 жол 2 баған бар. Бұл екі матрицаның өлшемдері сәйкес емес, сондықтан оларды қоса алмаймыз, яғни A+F матрицасы анықталмаған.
А және В матрицаларының өлшемдері сәйкес, яғни,
C=A+B=-1-2159-8+10-259830-14=
=-1+10-2+-251+985+39+0-8+-14=9-2799 89-22
D=A-B матрицасын табайық:
D=A-B=-1-2159-8+10-259830-14=
=-1-10-2--251-985-39-0-8--14=-1123- 97296
Жауабы: C=9-279989-22, D=-1123-97296.
Мысал 2. A=-1-27490 матрицасы берілген. 3⋅А, -5⋅А және -А матрицаларын табыңыз.
3⋅А=3⋅-1-27490=3⋅-13⋅-23⋅73⋅43⋅93⋅0 =-3-62112270.
-5⋅А=-5⋅-1-27490=-5⋅-1-5⋅-2-5⋅7-5⋅4 -5⋅9-5⋅0=
=510-35-20-450.
-А=-1⋅A=-1⋅-1-27490=12-7-4-90.
Жауабы: 3⋅А=-3-62112270; -5⋅А=510-35-20-450;
-A=12-7-4-90.
Матрицаларды аудару амалы
Егер A=αij , A∈Mkxn матрицасының жолдары мен бағандарының рольдерін алмастырсақ, онда n бағаны мен k жолы бар At символымен белгіленетін матрица пайда болады. Демек, At∈Mnxk, At матрицасының i-ші жолы мен j-ші бағаны қиылысқан орнында А матрицасының αji элементі орналасады. Ендеше At=αji . Осы себептерден А матрицасына қарағанда At матрицасы аударылған деп аталады, ал А матрицасын At матрицасымен алмастыруды аудару амалы деп атайды.
МЫСАЛ. Егер
A=1265 34 болса, онда At=162534 болады. (1.2)
Аудару амалының келесі қасиеттері анық:
Att=A, A+Bt=At+Bt, λ⋅At=λ⋅At.
Матрицаларды көбейту амалы
Матрицаларлы өзара көбейту амалы оларға қолданатын сызықтық амалдарға қарағанда күрделі болып көрінуі мүмкін. Біздің мақсатымыздың бірі матрицаларды көбейту амалының жасалуы бірнеше сызықтық амалдардың жасалуына пара-пар екендігін көрсету, сонымен қатар амалының күрделілігі тек қана сызықтық амалдар жасалу санына байланыстылығын айқындау.
Элементтері кез келген P өрісіне тиісті a=α1,α2,...,αn жолы мен b=β1,β2,...,βnt бағаны берілсін. a жолының b бағанына a⋅b көбейтіндісі деп, олардың сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысына тең болатын P өрісінің α1β1+α2β2+...+αnβn элементін атаймыз. Жолды бағанға көбейту үшін олардың элементтер саны бірдей болуы қажет екендігі ақиқат.
Енді A=αij ∈MkxnP , B=βij ∈MnxmP кез келген екі матрица берілсін. A матрицаның жолдарын a1,a2,...,ak деп белгілейік: (1.3)
a1=α11,α12,...,α1n,
a2=α12,α22,...,α2n,
... ... ... ... ... ... ... ..
ak=αk1,αk2,...,αkn.
B матрицасының бағандарын b1,b2,...,bm деп белгілейік:
b1=β11,β21,...,βn1t,
b2=β12,β22,...,βn2t,
... ... ... ... ... ... ... ..
bm=β1m,β2m,...,βnmt.
A матрицасының B матрицасына A⋅B көбейтіндісі деп γij элементтері
γij=ai⋅bj=αi1⋅β1j+αi2⋅β2j+...+αin⋅β nj
формула бойынша есептелетін MkxmP -ға тиісті матрица аталады. A матрицасының бағандар саны В-ның жолдар санына тең болмаса,
A⋅B анықталмаған.
МЫСАЛ 1. A=12-3450,B= 1-120 - берілген матрицалар
C=A⋅B матрицасын табуымыз керек. Алдымен С - ның өлшемін келесі ережемен табайық. А мен В - ның өлшемдерін қатарынан жазып, ортасындағы
екі тең сандарды алып тастасақ, шеткі екі сан көбейтіндінің өлшемін береді:
3x2⋅2x2=3x2. Сонан кейін, С матрицасының элементтерін γij деп белгілесек, онда анықтама бойынша
γ11=1,2⋅1,2t=1⋅1+2⋅2=5,
γ12=1,2⋅-1,0t=1⋅-1+2⋅0=-1,
γ21=-3,4⋅1,2t=-3⋅1+4⋅2=5,
γ22=-3,4⋅-1,0t=-3⋅(-1)+4⋅0=3,
γ31=5,0⋅1,2t=5⋅1+0⋅2=5,
γ32=5,0⋅-1,0t=5⋅(-1)+0⋅0=-5.
Ендеше
C=A⋅B=5-15-35-5
Анықтауыштар.
А квадрат матрицасының элементтері αij, ал А-ның реті, яғни жолдары
мен бағандар саны n - ге тең болсын, яғни A=αij ∈MnxnP . А матрицасының анықтауышын оның реті бойынша индуктивтік анықтама бойынша енгізейік. А - ның анықтауышын detA немесе A арқылы белгілейміз.
Егер n=1 болса (индукциялық базисі), онда А матрицасының құрамында
жалғыз ғана α11 элементі бар. Бұл жағдайда detA=α11 деп аламыз.
Индукциялық қадам n1 болсын және (n-1)-ші ретті матрицалардың анықтауыштарын есептей аламыз деп ұйғаралық. Онда n-ші ретті A матрицасының анықтауышы деп
A=j=1n(-1)1+jα1jA1j (2.1)
формуласымен есептелетін P өрісінің элементін атаймыз. Бұл жерде және бұдан әрі біз Aij арқылы А матрицасының i-ші жолы мен j-ші бағаны алынып тасталғаннан шыққан (n-1)-ші ретті матрицаның анықтауышын
белгілейміз. Жоғарыдағы формула анықтауыштың бірінші жолы бойынша жіктеу формуласы деп аталады.
2-ші ретті анықтауыш келесі формула бойынша есептеледі
a11a12a21a22=a11a22-a12a21. (2.2)
3-ретті A=αij квадрат матрицасының анықтауышын үшбұрыш
ережесімен есептейік. (2.3)
A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a2 2a33+a12a23a31+a13a21a32-
-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32
Анықтауыштардың негізгі қасиеттері
Қасиет 1. Егер матрицаның екі жолының орнын алмастырылса, онда
оның анықтауышы бастапқы анықтауышқа қарама-қарсы болады.
Қасиет 2. Егер матрицаның екі жолы бірдей болса, онда оның
анықтауышы 0-ге тең.
Қасиет 3. Матрицаны аударғанда, оның анықтауышы өзгермейді:
detAt=detA.
Қасиет 4. Матрицаның кез келген жолының (бағаның) ортақ
көбейткішін анықтауыш таңбасының сыртына шығаруға болады.
Дербес жағдайда, егер матрицаның бір жолы (бағаны) нөлдік болса,
онда оның анықтауышы нөлге тең болады.
Қасиет 5. (анықтауыштарды қосу туралы теорема.) Кез келген і үшін келесі теңдік орындалады :
deta1,...,ai-1,ai+bi,ai+1,...,an=de ta1,a2,...,an+
+deta1,...,ai-1,bi,...,an
Осы сияқты теңдіктер бағандарға да орындалады.
Қасиет 6. Егер матрицаның жолдары (бағандары) сызықтық тәуелді
болса, онда оның анықтауышы нөлге тең болады.
Қасиет 7. Матрицаның жолына (бағанына) басқа жолын (бағанын)
коэффициентке көбейтіп алып қосқанда, одан оның анықтауышы
өзгермейді.
Мысал 1. Анықтауышты есептеңіз:
sinαcosα-cosαsinα
Шешуі:
sinαcosα-cosαsinα=sinα⋅sinα--cosα⋅c osα=sin2α+cos2α=1
Жауабы: 1.
Мысал 2. Анықтауышты есептеңіз:
1-115421-23
Шешуі:
1-115421-23=1⋅4⋅3+(-1)⋅2⋅1+1⋅5⋅(-2) -
-1⋅4⋅1--1⋅5⋅3-1⋅2⋅-2=12-2-10-4+15+4 =15
Жауабы: 15.
Кері матрицаларды есептеу Гаусс-Жордан тәсілі
A∈MnxnP матрицасына В∈MnxnP матрицасы табылып
A⋅B=B⋅A=E
теңдігі орындалатын болса, онда A керіленетін матрица, ал В матрицасы A -ның кері матрицасы деп аталады. A матрицасына кері болатын матрица А-1 символымен белгіленеді, яғни B=А-1.
A=αij ∈MnxnP матрицасы берілген. Е∈MnxnP бірлік матрицасын алып, А∣Е блокты матрицасын құрастырайық, оның өлшемі nx2n-ге тең. Гаусс-Жордан алгоритмі келесі процедуралардан тұрады.
1. A матрицасының сол жақ жоғарғы бұрышынан бастап төмен қарай
жүргізіп А∣Е блокты матрицасының жолдарын сатылы түрге келтіреміз. Нәтижесінде n ретті В1, В2 шаршы матрицалардан құрастырылған В1∣В2 блокты матрицасын аламыз.
2. Егер В1 матрицасының соңғы жолы нөлдік жол болса, онда алгоритмді
нәтижесіз тоқтатамыз. Кері жағдайда келесі процедураға көшеміз.
3. В1 матрицасының оң жағындағы төменгі бұрышынан бастап жоғары
қарай саны В1∣В2 матрицасының жолдарына сатылы түрге келтіру
алгоритмін пайдаланып С1∣С2 блокты матрицаға келеміз. Осы матрицаның С1 блогы диагональ матрица болады.
4. С1∣С2 блокты матрицасының жолдарын (b) типті элементар
түрлендірулерін пайдаланып E∣D блокты түріне келтіреміз. Алгоритмнің
нәтижесін D матрица болады.
Тұжырым 1. Егер Гаусс-Жордан алгоритмі нәтижелі болса, онда D
бастапқы A матрицасына кері матрица болады.
A∈MnxnP , A=αij болсын. αij элементінің миноры деп, өрісінің Aij (αij элементі тұрған жолды және бағанды сызып алып тастағанда шыққан матрицаның анықтауышы) элементін атаймыз. αij элементінің алгебралық толықтауышы деп, өрісінің Aij=(-1)i+jAij элементін атаймыз. Элементтері At матрицасының элементтерінің алгебралық толықтауыштарына тең болатын және A* символымен белгіленетін матрицаны 퐴 −ға одақтас матрица деп атайды.
Мысал.
A=3422-1-3151 матрицасының керісін Гаусс-Жордан әдісімен шешіңіз.
Шешуі:
А∣Е=3422-1-3151100010001--1512-1-3 342001010100--
--1510-11-50-11-100101-210-3--151 0-11-500400101-21-1-1--
---20-100-200-44-20002000-2004-85- 5-5---20-10000-44000205-5-255-1-13 5-5-5--
---4-20004400041-1-5-51131-1-1--- 44-22000220000411-11-55-255651-1-1- -
---440002200004-14-6-10-255651-1-1 --44000440004146-10-51131-1-1--
--440004400044146-10-511311-11-11- -1000100011444644-1044-54414413441 144-1144-1144--
--100010001722322-522-544144134414 -14-14=E∣A-1
Олай болса, кері матрица: A-1=722322-522-544144134414-14-14.
Жауабы: A-1=722322-522-544144134414-14-14.
Векторлық алгебра
Анықтама. Бағытталған кесіндіні вектор деп атайды. Суреттегі АВ
вектордың басы 퐴, ал ұшы B деп аталады. Бағытталған кесіндінің ұзындығы вектордың ұзындығы немесе модулі деп аталады АВ,а деп белгіленеді. (3.1)
Анықтама. Басы мен ұшы бір нүктеде болатын вектор нолдік вектор
деп аталады, 0 деп белгіленеді. Бұл вектор үшін 0=0 екені түсінікті.
Анықтама. Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында орналасқан векторларды коллинеар векторлар деп атаймыз.
Келісімдер:
1) нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар деп саналады:
∀ a : 0 a ; (3.2)
2) нөлдік вектор кез келген векторға перпендикуляр деп саналады: ∀a : 0 ⊥ a.
Анықтама. Екі вектор a мен b тең деп аталады, яғни a=b, егер келесі шарттар орындалса:
1) a b ;
2) a = b;
3) a ↑↑ b . (3.3)
Тең векторларды параллель көшіру арқылы беттестіруге болады. Егер соңғы анықтамада 1) мен 2) орындалып, ал 3) a ↑↓ b болса, онда a мен b қарама - қарсы векторлар деп атаймыз: a= −b.
(3.4)
Векторларға амалдар қолдану
I. Қосу.
Қасиеттері: (4.1)
1. a+b=b+a
2. (a+b)+c=a+(b+c)
3. ∀a: 0+a=a
4. ∀a ∃b: a+b=0
5. a1+a2+a3+a4+...+an=b
II. Санға көбейту. (4.2)
∀λ∈R саны мен a векторы үшін λa векторы келесі шарттарға қанағаттандырады:
1) λa∥a;
2) λa=λ⋅a
Бұл жерде, егер λ0⇒λa↑↑a
λ0⇒λa↑↓a
Қасиеттері:
1. λa+b=λa+λb
2. λ+μa=λa+μa
3. λμa=λμa=μλa
4. ∀a: 0⋅a=0
(4.3)
Анықтама 푂푢 өсі мен AB векторын қарастырайық. 퐴 және 퐵 нүктелерінен 푂푢 өсіне перпендикулярлар түсіреміз.
Қиылысудан шыққан 퐴′ пен 퐵′ нүктелерін қосып вектор құрайық. А'В' векторы AB векторының 푂푢 өсіне түсірілген ортогоналды проекциясы деп аталады.
(4.5) А'В'=PrOuAB
+-А'В'=PrOuAB
PrOuAB=AB⋅cosφ
Теорема (Векторлардың 1-ші коллинеарлық критерийі) a∥b⇔∃λ∈R: a=λb
Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Қасиеттері. База.
Анықтама. a1,a2,...,ak- бірнеше вектор (немесе векторлар жүйесі деп атайтын боламыз) және λ1,λ2,...,λk∈R сандары берілсін. Егер λ1a1+λ2a2++...+λkak=b болса, онда b векторы a1,a2,...,ak векторларының сызықтық комбинациясы немесе өрнегі деп аталады.
Анықтама. a1,a2,...,ak векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады, егер олардың нолдік сызықтық комбинациясында ең болмаса бір коэффициент нолден өзгеше болса
λ1a1+λ2a2++...+λkak=θ⇒∃λi!=0
Анықтама. a1,a2,...,ak векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады, егер олардың нолдік сызықтық комбинациясы тек қана барлық коэффициенттері нолдік болғанда мүмкін болса
λ1a1+λ2a2+...+λkak=θ⇒∃λ1=λ2=...=λk= 0
Қасиеттері:
1) Егер векторлар жүйесінде нольдік вектор бар болса, онда ол жүйе сызықты тәуелді болады.
2) Егер векторлар жүйесінде екі тең вектор бар болса, онда ол жүйе сызықты тәуелді болады.
3) Егер сызықты тәуелді векторлар жүйесіне бірнеше вектор қоссақ, онда шыққан жаңа жүйе сызықты тәуелді болады.
4) Егер сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінен бірнеше вектор алсақ, онда
шыққан жаңа жүйе сызықты тәуелсіз болады.
5) Векторлар жүйесі сызықты тәуелді болу үшін, векторлардың ең болмаса біреуі қалғандары арқылы өрнектелуі қажетті және жеткілікті.
6) a1,a2,...,ak-сызықты тәуелсіз, ал a1,a2,...,ak,ak+1-сызықты тәуелді болсын. Онда ∃λ1,λ2,...,λk:ak+1=λ1a1+λ2a2+...+λk ak
Анықтама. Кеңістіктегі максималды сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі база (базис) деп аталады.
Анықтама. Вектордың база бойынша жіктелген кездегі коэффициенттер координаталар деп аталады.
Базадағы векторлар саны кеңістіктің өлшемділігін береді.
e1,e2,...,en-векторлары Vn кеңістігінде максималды сызықты тәуелсіз болсын, онда ∀a∈Vn үшін e1,e2,...,en, a-векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады, ал 6-шы қасиет бойынша ∃λ1,λ2,...,λn сандары:
a=λ1e1+λ2e2+...+λnen=λ1,λ2,...,λn.
Бұл сандар a векторының e1,e2,...,en базасындағы координаталары деп аталады.
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі.
Анықтама. Келесі формула бойынша есептелетін санды екі вектордың a және b скаляр көбейтіндісі деп аталады:
a,b=a⋅b⋅cosab. (5.1)
Ескерту. Екі вектордың арасындағы бұрыш дегеніміз екі вектордың басын бір нүктеге түйістіргендегі ең кіші бұруды айтамыз.
Теорема. (Векторлардың перпендикулярлық критерийі) a,b=0⇔a⟂b
Дәлелдеуі.
1) a,b=0⇒a⋅b⋅cosab=0 (5.2)
1) a=0⇒a=0⇒∀b:a⟂b
2) b=0⇒b=0⇒∀a:a⟂b
3) cosab=0⇒ab=90°⇒a⟂b
2) a⟂b⇒cosab=0⇒a,b=a⋅b⋅cosab=0.
Қасиеттері:
1. a,b=b,a
2. a+b,c=a,c+b,c
3. λa,b=λa,b
4. a,a=a2=a2
5. a,b=a⋅прab=b⋅прba
Теорема. Тікбұрышты декарт координаттар жүйесінде екі вектордың a=
=x1,y1,z1 және b=x2,y2,z2 скаляр көбейтіндісі келесі формуламен есептеледі (5.3)
a,b=x1x2+y1y2+z1z2
Дәлелдеуі.
a,b=x1i+y1j+z1k,x2i+y2j+z2k=
=x1x2i,i+x1y2i,j+x1z2i,k+
+y1x2j,i+y1y2j,j+y1z2j,k++z1x2k,i+z 1y2k,j+z1z2k,k=
=x1x2+y1y2+z1z2 Өйткені 4 қасиет бойынша i,i=i2=1, j,j=j2=1, k,k=k2=1, ал перпендикулярлық критерийінен i,j=0, i,k=0, k,j=0 шығады.
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі
Анықтама. Бас нүктелері бір нүктеге кондырылған компланар емес a,b,c реттелген векторлар үштігі оң үштік деп аталады, егер c векторының ұшынан қарағанда a-дан b-ға ең кіші бұру сағат тіліне қарама - қарсы болса, ал сағат тілімен орындалса сол үштік деп аталады.
(5.4)
Егер a,b,c оң (сол) үштік болса, онда b,c,a; c,a,b үштіктері де оң (сол) болады; ал кез келген екі вектордың орнын ауыстырсақ, онда үштік өз атын өзгертеді, яғни, b,a,c;a,c,b;c,b,a сол (оң) болады.
Анықтама. a және b векторларының векторлық көбейтіндісi деп a,b символымен белгіленетін және келесі үш шартты қанағаттандыратын c векторын айтады:
1) c =a,b =a⋅b⋅sina,b;
2) c⟂a,c⟂b;
3) a,b,c- оң үштік.
Теорема. a,b=0⇔a∥b. (Үшінші коллинеарлық критерий)
Дәлелдеу. (5.5)
1) ⇐ Егер a мен b параллель болса, олардың арасындағы бұрыш 0 немесе PI, онда ол бұрыштың sina,b=0, яғни a,b =0 және a,b=0.
2) ⇒ a,b=0, модулін алсақ, a,b =a⋅b⋅sina,b=0
1. a=0⇒a=0⇒∀b:a∥b;
2. b=0⇒b=0⇒∀a:b∥a;
3. sina,b=0, олардың арасындағы бұрыш 0 немесе PI, онда a∥b.Қасиеттері:
1. a,b=-b,a
2. a+b,c=a,c+b,c
3. λa,b=λa,b
4. a,a=0
5. Геометриялық мағынасы
S=ha, ал h=b⋅sinφ;
φ=a,b- векторлар арасындағы бұрыш
S=a⋅b⋅sinφ=a,b⇒S=a,b (5.6)
Теорема Тікбұрышты декарт координаттар жүйесінде екі вектордың
вектордың a=x1,y1,z1 және b=x2,y2,z2 векторлық көбейтіндісі келесі формуламен есептеледі (5.7)
a,b=ijkx1y1z1x2y2z2
Дәлелдеу.
a,b=x1i+y1j+z1k,x2i+y2j+z2k=
=x1x2i,i+x1y2i,j+x1z2i,k+
+y1x2j,i+y1y2j,j+y1z2j,k+
+z1x2k,i+z1y2k,j+z1z2k,k.
4 қасиет бойынша i,i=0, j,j=0,k,k=0.
i,j көбейтіндісін анықтамасы бойынша зерттеп көрейік, оны d=i,j деп белгілейік
1) d=i⋅j⋅sin90°=1
2) d⟂i, d⟂j
3) i,j, d- оң үштік.
Яғни d векторы k-ға тең болғаны: i,j=k. Тура солай k,i=j,j,k=i.
Есептеулерді жалғастырсақ (5.8)
a,b=iy1z2-z1y2+jz1x2-x1z2+kx1y2-y1x 2=
=iy1z1y2z2+jz1x1z2x2+kx1y1x2y2
ал бұл жоғарыдағы анықтауыштың бірінші қатар бойынша жіктелуі.
a,b=ijkx1y1z1x2y2z2=y1z1y2z2,z1x1z2 x2,x1y1x2y2.
Үш вектордың аралас көбейтіндісі
Анықтама. Екі вектордың векторлық көбейтіндісіне үшінші векторды скаляр көбейткен кезде шыққан сан үш вектодың аралас көбейтіндісі деп аталады
a,b,c=a,b,c=a,b,c
Қасиеттері
1. a,b,c=b,c,a=c,a,b=-b,a,c=-a,c,b=-c, b,a
2. a+d,b+c=a,b,c+d,b,c
3. λa,b,c=λa,b,c
4. a,b,c0, онда a,b,c- оң үштік;
a,b,c0, онда a,b,c- сол үштік
5. Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасы: үш вектордың аралас көбейтіндісінің модулі осы үш векторда құралған параллелепидедтің көлеміне тең (5.9)
V=a,b,c
V=Sтабxh
Sтаб=a,b;
h=прdc=ccosφ
V=Vпар=d⋅c⋅cosφ=d,c=a,b,c
Теорема. Тікбұрышты декарт координаттар жүйесінде үш вектордың a=
=x1,y1,z1, b=x2,y2,z2, c=x3,y3,z3 аралас көбейтіндісі келесі формуламен есептеледі
a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3
Дәлелдеу.
Теорема векторлық және скаляр көбейтінділер формулаларыарқылы дәлелденеді.
d=a,b=ijkx1y1z1x2y2z2=y1z1y2z2,z1x1 z2x2,x1y1x2y2 деп белгілейік.
a,b,c=a,b,c=d,c= скаляр көбейту формуласы бойынша =
=y1z1y2z2⋅x3+z1x1z2x2⋅y3+x1y1x2y2⋅z 3=x3y3z3x1y1z1x2y2z2,
анықтауышты бірінші қатар бойынша жіктелу ретінде. Қатарлардың орнын екі рет орнын ауыстыру арқылы, таңбасы 2 рет өзгеріп,
a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3
шығады.
Теорема. a,b,c компланар болсын Теорема 3 бойынша ⇒ a,b,c сызықты тәуелді ⇒ ∃α,β: c=αa+βb
a,b,c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3=x1y1z1x2y2 z2αx1+βx2αy1+βy2αz1+βz2=
=αx1y1z1x2y2z2x1y1z1+βx1y1z1x2y2z2x 2y2z2=0.
Кері қарай. a,b,c аралас көбейтіндісі нольге тең болсын, онда x1y1z1x2y2z2x3y3z3 анықтауышының қатарлары сызықты тәуелді, яғни a,b,c сызықты тәуелді, онда Теорема 3 бойынша олар компланар.
Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері.
Анықтама. Берілген түзуге кез келген параллель вектор осы түзудің бағыттауыш векторы деп аталады. (6.1)
a- түзуінің бағыттауыш векторы.
b- түзуінің бағыттауыш векторы.
Анықтама. Жазықтықта кез келген 푀(푥, 푦) нүктесін алайық.
Осы нүктені координаттар басы 푂-мен қосқанда шыққан вектор OM=r
푀 нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Ол вектордың координаталары нүкте координаталарымен сәйкес болады
OM=r=x;y
Түзудің теңдеуін жазу үшін оның бойындағы бір нүкте
және бағыттауыш вектор қажет.
푝 - жазықтықтағы түзу, М0-түзудегі нүкте, ал a-бағыттауыш векторы.
М0x0;y0∈p
a=l;m∥p
Бір объектінің теңдеуін жазу дегеніміз - сол
Объектінің кез келген нүктесін (немесе
координаталарын) белгілі нәрселер арқылы
сиппатайтын теңдіктер жазу. Түзуде ағынды
(яғни кез келген) 푀(푥, 푦) нүктесін алайық.
푀 және М0 нүктелерінің r және r0 радиус-векторларын жүргізейік. Векторларды қосу үшбұрыш ережесі бойынша
r=r0+ММ0
Ал М0М∥a, онда векторлардың коллинеарлықтың 1 критерийі бойынша
∃λ:М0М=λa, енді λ=t деп белгілейік.
r=r0+ta- түзудің векторлық теңдеуі деп аталады.
Бұл теңдеуді r,r0,a векторлардың координаталары арқылы жазсақ, сондай-ақ
r=x;y және r0=x0;y0 болғандықтанx=x0+lt
y=y0+mt
түзудің параметрлік теңдеуі шығады, бұл жерде t-параметр; t∈-infinity;+infinity.
Әр теңдіктен осы параметрді өрнектеп теңестірсек
t=x-x0l=y-y0m- түзудің канондық теңдеуі шығады.
Теорема. 1) Жазықтықтағы аффин координаттар жүйесінде түзудің теңдеуі
бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады: Ax+By+C=0 (6.2)
2) Кез келген Ax+By+C=0 түрдегі теңдеу жазықтықта түзудің теңдеуі болады.
Дәлелдеу.
Теореманы дәлелдеу үшін түзудің канондық теңдеуімен Ax+By+C=0 түрдегі теңдеудің байланысын көрсету керек.
1) Канондық теңдеуді t=x-x0l=y-y0m пропорция ретінде ашып жазайықта, барлығын сол жаққа өткізейік
mx-x0=l(y-y0)
mx-ly+ly0-mx0=0
Енді белгілеулер еңгізейік: m=A; -l=B, ал ly0-mx0=C, онда
Ax+By+C=0 теңдеу шығады.
2) Кері қарай дәлелдейік. Ax+By+C=0 теңдеуі берілсін.
Бұл теңдеуді 1 теңдеуден тұратын 2 белгісізі бар САТЖ деп қарастыруға
болады, онда оның шексіз көп шешімі бар. Бір x0;y0 дербес шешімін
қарастырайық:
Ax0+By0+C≡0.
Ax+By+C=0 теңдігінен Ax0+By0+C≡0-ді алып тастасақ, келесі шығады:
Ax-x0+By-y0=0
Ал бұл t=x-x0l=y-y0m пара-пар
x-x0-В=y-y0А
Ax+By+C=0- түрдегі теңдеу түзудің жалпы теңдеуі деп аталады.
Салдар 1. x-x0-В=y-y0А мен t=x-x0l=y-y0m салыстырсақ, b=-B;A푝, яғни −ның бағыттауыш векторы екені түсінікті.
Салдар 2. N=A;B деп белгілейік, ал М0М=
=x-x0;y-y0 екендігі айқын, онда
Ax-x0+By-y0=0-тен шығатыны N,М0М=Ax-x0++By-y0=0⇔
⇔N⟂М0М∥p⇒N⟂p.
N- түзудің нормал векторы деп аталады.
Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.
Бағыттауыш вектор ретінде М1М2=x2-x1;y2-y1∥p алайық, онда t=x-x0l=y-y0m қойсақ, (6.3)
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1- түзудің екі нүкте арқылы жазылған теңдеуі шығады.
Бұрыштық коэффициент арқылы жазылған түзудің теңдеуі
Түзудің t=x-x0l=y-y0m канондық теңдеуін алайық
p:x-x0l=y-y0m
a=l;m вектордың басы О координаттар басынан шығатындай параллель көшірейік.
m(x-x0)l=y-y0, tgα=ml=k деп белгілейік.
kx-x0=y-y0
y=kx+y0-kx0
y=kx+b-бұрыштық коэффициент арқылы жазылған түзудің теңдеуі.
Кесінділер арқылы жазылған түзудің теңдеуіAx+By+C=0
Ax+By=-С
x-CA+y-CB=1
xa+yb=1- кесінділер арқылы жазылған түзудің теңдеуі.
Түзудің нормал теңдеуі
Түзуде кез келген 푀(푥, 푦) нүктесін алайық. Координаталар басынан берілген түзуге түсірілген бірлік перпендикуляр n вектордың координаттар жұбы
{cos 훼 , sin 훼}, бұл жерде 훼 - вектор мен абсцисса өсі арасындағы бұрыш. 푝 саны - координаталар басынан берілген түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы.
прnOM=p
прnOM=OMcosφ=nOMcosφ=n,OM, (өйткені n=1)
OM=x;y
n,OM=xcosα+ysinα=p
xcosα+ysinα-p=0- түзудің нормал теңдеуі деп аталады.
Егер түзудің жалпы теңдеуі Ax+By+C=0 берілсе, онда оны нормаланған
түрге келтіру үшін әр мүшесін μ=+-1A2+B2 нормалаушы коэффициентке көбейту керек. Нормалаушы коэффициенттің таңбасы нормалданатын теңдеудің бос мүшесінің таңбасына қарама-қарсы болып алынады.
Жазықтықтағы екі түзудің өзара орналасуы және арасындағы бұрыш
p1:A1x+B1y+C1y=0, N1={A1;B1}
p2:A2x+B2y+C2y=0, N2={A2;B2} p1∥p2 ⇔ N1∥N2 ⇔ A1A2=B1B2!=C1C2
1) p1≡p2 беттеседі ⇔ N1∥N2 және пропорция бос мүшесіне дейін жалғасады ⇔ A1A2=B1B2=C1C2=λ
(6.4)
2) p1∩p2 қиылысады ⇔ N1∦N2⇔ A1A2!=B1B2
Түзулер қиылысқанда, арасында бұрыш пайда болған бұрышты келесі түрде табуға болады
cosα=cosN1N2=N1,N2N1⋅N2=A1A2+B1B2A1 2+B12⋅A22+B22.
Оған сыбайлас болатын бұрыш β=180°-α
cosβ=cos180°-α=-cosα.
Енді түзулер бұрыштық коэффициент арқылы берілсін.
p1:y=k1x+b1, k1=tgα1
p2:y=k2x+b2, k2=tgα2
Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теорема бойынша
α2=α1+α
α=α2-α1
tg α=tg α2-α1=tgα2-tgα11+tgα1tgα2
tg α=k2-k11+k1k2 (6.5)
Бұл формулада 훼 бұрышы бірінші p1 түзуінен екінші p2 түзуіне дейінгі бұрыш
болып саналады, яғни k1 мен k2 реті маңызды.
Эллипс және оның канондық теңдеуі
Анықтама. Белгіленген F1,F2 нүктелерінен арақашықтықтарының қосындысы тұрақты болатын жазықтықтағы нүктелер жиыны эллипс деп аталады.
Декарт координаттар жүйесін енгізейік:
1) F1,F2∈Ox, F1F2=2c,c-const;
2) O нүктесі F1F2 кесіндісінің ортасы болсын;
3) Oy⟂Ox жүргіземіз. Эллипске тиісті ∀M(x,y) нүктесін алайық. Анықтама бойынша r1+r2=2a, a-const
∆F1MF2 үшбұрышынан үшбұрыш теңсіздігі бойынша r1+r2F1F2, яғни 2a
2c немесе ac.
Сонымен эллипстің теңдеуін қорытып шығайық:
r1+r2=2a
r1=2a-r2
(x+c)2+y2=2x-x-c2+y2, бұл теңдікті екі жағынан квадраттайық
x2+2xc+c2=4a2-4ax-c2+y2+x2-2xc+c2+y 2
4xc-4a2=-4ax-c2+y2
xc-a2=-ax-c2+y2
x2c2-2a2xc+a4=a2x2-2a2xc+a2c2+a2y2
x2c2+a4=a2x2+a2c2+a2y2
a4-a2c2=a2x2-x2c2+a2y2
a2a2-c2=x2a2-c2+a2y2
ac⇒a2c2⇒a2-c20⇒∃b: a2-c2=b2
a2b2=x2b2+a2y2
x2a2+y2b2=1- эллипстің канондық теңдеуі шығады.
x=0⇒y=+-b⇒0,b;(0,-b) нүктелері эллипске тиісті;
y=0⇒x=+-a⇒a,0;(-a,0) нүктелері эллипске тиісті.
a-эллипстің үлкен жарты өсі
b-эллипстің кіші жарты өсіэллипс үшін a,b,c-сандарының байланысы
F1,F2-эллипстің фокустары
Ox-эллипстің фокальды ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz