II текті меншіксіз интегралдар. ( Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар)

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ
М.Х.ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ
ФакультетИнститут: Ұстаз институты
Математика кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Бір айнымалы функцияның интегралдық есептеулері пәні бойынша
Тақырыбы: II текті меншіксіз интегралдар.( Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар)

Білімгер: Асқарова Жанел Бауыржанқызы ________ қолы
Тобы: М-20-3
Жетекші: Надырбекова Айнұр Шоханқызы __________қолы

Қорғауға жіберілді: _____________20___ж.
______________
қолы

Жұмыс қорғалды: _____________2022ж. бағасы_______

Комиссия төрағасы: ________________ ____________
қолы

Комиссия мүшелері: _________________аты-жөні __________ қолы

_________________аты-жөні __________қолы

_________________аты-жөні __________қолы

Тараз 2022

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ
3

1.
II ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАР

4
1.1.
II текті меншіксіз интегралдар ұғымы

1.2.
Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері

2.
II ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАРДЫ ИНТЕГРАЛДАУ ӘДІСТЕРІ

2.1.
II текті меншіксіз интегралдарға есептер шығару

2.2.
Тест тапсырмалары

2.3.
Бақылау сұрақтары

ҚОРЫТЫНДЫ

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

КІРІСПЕ
Тақырыптың өзектілігі. 11 сыныптың алгебра және анализ бастамалары курсында анықталған интегралдан өзгеше интегралдар да бар. Олар меншіксіз интегралдар деп аталады. Меншіксіз интегралдардың екі түрі І текті және ІІ текті. Біртекті меншіксіз интегралдар интегралдау шектері ақырсыз болып келген интегралдар, ал екітекті меншіксіз интегралдар интеграл астындағы функция интегралдау аралығының шектерінде немесе оның ішінде шенелмеген болып келген интегралдар.

Курстық жұмыстық мақсаты: II текті меншіксіз интегралдарды интегралдауды үйрену, интегралдық есептеулердің негізгі формуласын пайдалану, II текті меншіксіз интегралдарды интегралдауға арналған амалдар қолдану арқылы тақырыпты жете түсіну.
Курстық жұмыс міндеттері: Тақырыпты оқып түсіну, зерттеу, мәліметтер жинақтау, ақпарат алмасу, анықтау, есептеу, есептер шығару.
Курстық жұмыстың мәні: II текті меншіксіз интегралдарды толықтай түсініп білу, тақырыпқа байланысты есептер шығару арқылы тақырыпты меңгеру, II текті меншіксіз интегралдарға арналған тест тапсырмалары мен бақылау сұрақтарына жауап жазу, өзін-өзі тексеру.
Зерттеу пәні: Бір айнымалы функцияның интегралдық есептеулер

Курстық жұмыстың құрылымы: Бұл курстық жұмыс үш тақырыптан, есептер шығару әдістері мен бақылау сұрақтарынан, тест тапсырмалары мен қорытындыдан тұрады. Сонымен қатар әр тақырыптың теориялары мен мысалдары жете тоқталып, түсіндірілген.

1 II ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАР
II текті меншіксіз интегралдар ұғымы

Шексіз аралықта анықталған немесе шекті аралықтың кейбір
нүктелерінде берілген функция шексіздікке айналатын
интегралдар меншіксіз интегралдар деп аталады.
Анықталған интеграл ұғымын енгізгенде [ a;b ] кесіндісі шекті, ал f (x) функциясы шектелген болатын.
Айталық, f (x) функциясы [a;b) шекті аралығында анықталсын, бірақ шектелмесін. Анықтық үшін f (x) функциясы кез-келген [a; σ] , σ ∈ [ a; b ] кесіндісінде шектелсін және интегралдансын, ал b нүктесінің сол жағындағы [σ ; b] аралығында шектелмесін. Осы жағдайда b нүктесін f (x) функциясының ерекше нүктесі дейді.
Анықтама. Егер limσ--b-0aσfxdx шекті шегі бар болса, онда осы шекті f (x) функциясының [ a; b] аралығындағы екінші текті меншіксіз интегралы деп атап оны abfxdx деп белгілейді.
Сонымен, анықтама бойынша

abfxdx=limσ--b-0aσfxdx (1)

Анықтамадағы көрсетілген формулаға сәйкес шекті шек бар болғанда abfxdx меншіксіз интегралын жинақты, ал f (x) функциясын [ a; b] аралығында интегралданады дейді.
Егер (1) шек жоқ немесе infinity- ке тең болса, онда да abfxdx символын меншіксіз интеграл деп атайды, бірақ меншіксіз интегралды жинақсыз дейді.
Риман интегралын меншіксіз интегралмен шатастырмас үшін оны меншікті интеграл деп те атайды.
Егер f (x) функциясы (a; b] шекті аралығында шектелмей, бірақ кез-келген [σ;b] , σ∈(a;b] кесіндіде шектелсе және интегралданса, онда

abfxdx=limσ--a+0σbfxdx (2)

Егер (2) шекті шек бар болса, онда abfxdx меншіксіз интегралын жинақты дейді; кері жағдайда жинақсыз дейді.
Егер f (x) функциясы ( a;b ) шекті аралығында шектелмесе, бірақ кез-келген [γ;σ ] , a γ=σb кесіндісінде шектелсе және интегралданса, онда f (x) функциясының ( a;b ) аралығындағы меншіксіз интегралы мына теңдікпен анықталады:
abfxdx=limγ--a+0σ--b-0γσfxdx (3)
Егер f (x) функциясы [ a;b ] кесіндісінде анықталып, оның ерекше нүктесі ішкі c нүктесі болса және f (x) функциясы кез-келген [ a; γ ], [σ;b ] (a=γcσb ) кесінділерінде интегралданса , онда f (x) функциясының [a; b] кесіндісіндегі меншіксіз интегралы мына теңдік арқылы анықталады:

abfxdx=limγ--c-0aγfxdx+ limσ--c+0σbfxdx (4)

Егер жоғарыдағы теңдіктің оң жағында екі шекте бар және шекті болса, онда abfxdx интегралын жинақты дейді де былай жазады:

abfxdx=acfxdx+cbfxdx (5)

Жалпы жағдайда , егер ( a; b) аралығында f (x) функциясының шекті санды ерекше нүктелері
a=c1c2...cm=b болса, онда
abfxdx меншіксіз интегралын (ck ; ck+1) , k=I , m-I аралықтары бойынша алынған меншіксіз интегралдардың қосындысы ретінде түсінеді.
Енді [a;b] аралығының екі ұшының бірінде немесе осы
аралықтың бойында жатқан немесе бірнеше нүктелерде функция f (x) шексіздікке айналатын жағдайларды қарайық.
Егер, функция f (x) [a;b] аралығының барлық нүктелерінде үздіксіз болып, бірақ b нүктесінің таяу маңында шексіздікке ұмтылатын болсын. Мұндай функцияның (a;b) аралығында алынған интегралын қалай анықтау керек, енді соған келейік.
ε- алдын ала берілген оң мейлінше аз сан болсын. a-ны b-ден кіші деп есептеп, мына (a,b - ε) аралықты қарастырайық. Бұл аралықта функция f (x) үздіксіз. Сондықтан ол бұл аралықта интегралданатын функция болып табылады.
Егер F(x) - берілген f (x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда
ab-εfxdx=Fb-ε-Fa (6)
f (x) функцияның [ a, b ] аралығында алынған интегралы деп біз төмендегі шекті
limε--0ab-εfxdx=abfxdx (7)
айтамыз, әрине, теңдіктің сол жағындағы шек бар болса.
Енді мәселе ε нольге ұмтылғанда мына
ab-εfxdx
өрнек тиянақты шекке ұмтыла ма, міне соны білуде.
Егер осы өрнек бір тиянақты шекке ұмтылса, онда b нүктесінде шектелген f (x) функциядан алынған
abfxdx
интегралды жинақты деп атайды, ал интегралдың өзін екінші текті меншіксіз интеграл дейді.
Сонымен, жалпы алғанда келесі функция

I ε=ab-εfxdx

оның аргументі ε нольге ұмтылғанда тиянақты шекке ұмтыла ма, жоқ па, міне, соны тағайындайтын белгіні іздеуіміз керек.
I(ε) функцияның тиянақты шегі болуы үшін төмендегі

I(ε1)- I(ε2)=ab-ε1fxdx-ab-ε2fxdx=b-ε2b-ε1f xdx (8)
айырманың ε1 мен ε2 бір-біріне тәуелсіз нольге ұмтылғанда, нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
Енді [a,b] аралығының барлық ішкі нүктелерінде және x=b нүктесінде үздіксіз, ал x=a нүктесінде шексіздікке айналатын f (x) функцияны қарастырайық. Бұл жағдайда функция f (x) мына (a+ε, b) аралығында интегралданатын функция болып табылады ( мұнда ε-кез-келген оң мейлінше аз сан ).
Егер f (x) функцияның алғашқы функциясы F(x) белгілі болса , онда
a+εbfxdx=Fb-F(a+ε) (9)
Жоғарыда айтылғандай f (x) функциясының [a,b] аралығында алынған интегралы деп келесі шекті
limε--0a+εbfxdx=abfxdx (10)
айтады, әрине, бұл теңдіктің сол жағындағы шек бар болатын болса.
Егер кейінгі теңдіктің сол жағындағы шек бар болса, онда x=a нүктесінде шексіздікке айналатын f (x) функциядан алынған мына
abfxdx
интегралды жинақты деп атайды.
Қарастырылып отырған екінші текті меншіксіз интегралдың жинақтылық
белгісі жоғарыдағыдай мына
I1ε=a+εbfxdx
Функцияның шегі болуының белгісіне келіп тіреледі. Атап айтқанда, функция
J1ε=a+εbfxdx
өзінің аргументі ε нольге ұмтылғанда, бір тиянақты шекке ұмтылу үшін, келесі айырманың
J1ε-I1ε2=a+ε1bfxdx-ba+ε2fxdx=a+ε2a+ ε1fxdx (11)
ε1 мен ε2 бі-біріне тәуелсіз нольге ұмтылғанда, нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.

1.2 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері
Енді функция fx, [ a;b ] аралығының мына
a,c1,c2...,cm,b нүктелерінде шексіздікке айналатын болсын.
Аралықтың бұл нүктелер жоқ басқа бөліктерінде f(x)-ті интегралданатын
функция деп есептейміз. d1,d2,...,dm+1 қосымша бөлу нүктелерін енгізіп [ a;b ] аралығын бірнеше бөлшек сегменттерге бөлеміз. Бұл сегменттердің əрқайсысының ұштарының біреуінде функция f(x) шексіздікке айналатын болсын. Сонда екінші текті меншіксіз интеграл былай анықталады:
abfxdx=ad1fxdx+d1c1fxdx+d2c3fxdx+.. .+dm+1bfxdx

Егер осы теңдіктің оң жағындағы интегралдар бар болатын болса, онда
меншіксіз интеграл
abfxdx-та
бар болады.
Жоғарыда айтылған белгіні пайдаланып, келесі теореманы дəлелдеуге
болады: егер екінші текті меншіксіз интеграл
abf(x)dx
жинақты болса, онда мына
abfxdx
интеграл да жинақты болады, ал, керісінше қорытынды кейде дұрыс болмайды.
Айталық, функция f(x)мына x=b нүктесінде шексіздікке айналатын
болсын, ал μ-алдын ала берілген оң мейлінше аз сан болсын. Осы μ саны бойынша төмендегі теңсіздік:
0ε1, ε2δ
орындалатындай етіп δ санын сайлап, алайық. Теореманың шарты бойынша меншіксіз интеграл
abf(x)dx
жинақты, олай болса
b-ε1b-ε2f(x)dxμ
Ал екінші жағынан
b-ε1b-ε2fxdx=b-ε1b-ε2f(x)dxμ
Бұл теңсіздіктің орындалуы мына
abfxdx
меншіксіз интегралдың жинақтылығын дәлелдейді.
Егер мына
alf(x)dx
меншіксіз интегралдың жинақтылығынан мына
alfxdx
Интегралдың жинақтылығы келіп шықса, онда кейінгі интегралды абсолют
жинақты интеграл дейді.
Екінші текті меншіксіз интегралдарды есептеп шығару жөнінде келесі
теореманы дəлелдейік.
Теорема 1.1. [a;b] аралығының мына нүктелер ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.