II текті меншіксіз интегралдар. ( Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар)

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

Факультет/Институт: «Ұстаз» институты

«Математика» кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Бір айнымалы функцияның интегралдық есептеулері пәні бойынша

Тақырыбы: II текті меншіксіз интегралдар. ( Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар)

Білімгер: Асқарова Жанел Бауыржанқызы /қолы/

Тобы: М-20-3

Жетекші: Надырбекова Айнұр Шоханқызы /қолы/

Қорғауға жіберілді: «___»20___ж.

/қолы/

Жұмыс қорғалды: «___»2022ж. бағасы

Комиссия төрағасы:

/қолы/

Комиссия мүшелері: /аты-жөні/ /қолы/

/аты-жөні/ /қолы/

/аты-жөні/ /қолы/

Тараз 2022

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. 11 сыныптың алгебра және анализ бастамалары курсында анықталған интегралдан өзгеше интегралдар да бар. Олар меншіксіз интегралдар деп аталады. Меншіксіз интегралдардың екі түрі І текті және ІІ текті. Біртекті меншіксіз интегралдар интегралдау шектері ақырсыз болып келген интегралдар, ал екітекті меншіксіз интегралдар интеграл астындағы функция интегралдау аралығының шектерінде немесе оның ішінде шенелмеген болып келген интегралдар.

Курстық жұмыстық мақсаты: II текті меншіксіз интегралдарды интегралдауды үйрену, интегралдық есептеулердің негізгі формуласын пайдалану, II текті меншіксіз интегралдарды интегралдауға арналған амалдар қолдану арқылы тақырыпты жете түсіну.

Курстық жұмыс міндеттері: Тақырыпты оқып түсіну, зерттеу, мәліметтер жинақтау, ақпарат алмасу, анықтау, есептеу, есептер шығару.

Курстық жұмыстың мәні: II текті меншіксіз интегралдарды толықтай түсініп білу, тақырыпқа байланысты есептер шығару арқылы тақырыпты меңгеру, II текті меншіксіз интегралдарға арналған тест тапсырмалары мен бақылау сұрақтарына жауап жазу, өзін-өзі тексеру.

Зерттеу пәні: Бір айнымалы функцияның интегралдық есептеулер

Курстық жұмыстың құрылымы: Бұл курстық жұмыс үш тақырыптан, есептер шығару әдістері мен бақылау сұрақтарынан, тест тапсырмалары мен қорытындыдан тұрады. Сонымен қатар әр тақырыптың теориялары мен мысалдары жете тоқталып, түсіндірілген.

1 II ТЕКТІ МЕНШІКСІЗ ИНТЕГРАЛДАР

1. II текті меншіксіз интегралдар ұғымы

Шексіз аралықта анықталған немесе шекті аралықтың кейбір
нүктелерінде берілген функция шексіздікке айналатын
интегралдар меншіксіз интегралдар деп аталады.

Анықталған интеграл ұғымын енгізгенде [ a; b ] кесіндісі шекті, ал f (x) функциясы шектелген болатын.

Айталық, f (x) функциясы [a; b) шекті аралығында анықталсын, бірақ шектелмесін. Анықтық үшін f (x) функциясы кез-келген [a; $\sigma$ ] , $\sigma$ ∈ [ a; b ] кесіндісінде шектелсін және интегралдансын, ал b нүктесінің сол жағындағы [ $\sigma$ ; b] аралығында шектелмесін. Осы жағдайда b нүктесін f (x) функциясының ерекше нүктесі дейді.

Анықтама. Егер $\lim_{\sigma \rightarrow b - 0}{\int_{a}^{\sigma}{f(x) dx}}$ шекті шегі бар болса, онда осы шекті f (x) функциясының [ a; b] аралығындағы екінші текті меншіксіз интегралы деп атап оны $\int_{a}^{b}{f(x) dx}$ деп белгілейді.

Сонымен, анықтама бойынша

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \lim_{\sigma \rightarrow b - 0}{\int_{a}^{\sigma}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Анықтамадағы көрсетілген формулаға сәйкес шекті шек бар болғанда $\int_{a}^{b}{f(x) dx}$ меншіксіз интегралын жинақты, ал f (x) функциясын [ a; b] аралығында интегралданады дейді.

Егер (1) шек жоқ немесе $\ \infty$ - ке тең болса, онда да $\int_{a}^{b}{f(x) dx}$ символын меншіксіз интеграл деп атайды, бірақ меншіксіз интегралды жинақсыз дейді.

Риман интегралын меншіксіз интегралмен шатастырмас үшін оны меншікті интеграл деп те атайды.

Егер f (x) функциясы (a; b] шекті аралығында шектелмей, бірақ кез-келген [ $\sigma; b\rbrack$ , $\sigma \in (a; b\rbrack$ кесіндіде шектелсе және интегралданса, онда

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \lim_{\sigma \rightarrow a + 0}{\int_{\sigma}^{b}{f(x) dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) }}}$$

Егер (2) шекті шек бар болса, онда $\int_{a}^{b}{f(x) dx}$ меншіксіз интегралын жинақты дейді; кері жағдайда жинақсыз дейді.

Егер f (x) функциясы ( a; b ) шекті аралығында шектелмесе, бірақ кез-келген [ $\gamma; \sigma\ \rbrack\, \$ a < $\ \gamma \leq \sigma < b$ кесіндісінде шектелсе және интегралданса, онда f (x) функциясының ( a; b ) аралығындағы меншіксіз интегралы мына теңдікпен анықталады:

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \lim_{\begin{array}{r} \gamma \rightarrow a + 0 \\ \sigma \rightarrow b - 0 \end{array}}{\int_{\gamma}^{\sigma}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

Егер f (x) функциясы [ a; b ] кесіндісінде анықталып, оның ерекше нүктесі ішкі c нүктесі болса және f (x) функциясы кез-келген [ a; $\ \gamma\ \rbrack$ , [ $\sigma; b\ \rbrack$ (a $\leq \gamma < c < \sigma < b\ )$ кесінділерінде интегралданса, онда f (x) функциясының [a; b] кесіндісіндегі меншіксіз интегралы мына теңдік арқылы анықталады:

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \lim_{\gamma \rightarrow c - 0}{\int_{a}^{\gamma}{f(x) dx + \ \lim_{\sigma \rightarrow c + 0}{\int_{\sigma}^{b}{f(x) dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

Егер жоғарыдағы теңдіктің оң жағында екі шекте бар және шекті болса, онда $\ \ \int_{a}^{b}{f(x) dx\ }$ интегралын жинақты дейді де былай жазады:

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \int_{a}^{c}{f(x) dx + \int_{c}^{b}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$$

Жалпы жағдайда, егер ( a; b) аралығында f (x) функциясының шекті санды ерекше нүктелері

$a = c_{1} < c_{2} < \ldots < c_{m}$ =b болса, онда

$\int_{a}^{b}{f(x) dx\ \ }$ меншіксіз интегралын ( $c_{k}$ ; $c_{k + 1}$ ) , k=I, m-I аралықтары бойынша алынған меншіксіз интегралдардың қосындысы ретінде түсінеді.

1. Енді [a; b] аралығының екі ұшының бірінде немесе осыаралықтың бойында жатқан немесе бірнеше нүктелерде функцияf (x) шексіздікке айналатын жағдайларды қарайық.

Егер, функция f (x) [a; b] аралығының барлық нүктелерінде үздіксіз болып, бірақ b нүктесінің таяу маңында шексіздікке ұмтылатын болсын. Мұндай функцияның (a; b) аралығында алынған интегралын қалай анықтау керек, енді соған келейік.

$\mathbf{\varepsilon}$ - алдын ала берілген оң мейлінше аз сан болсын. a-ны b-ден кіші деп есептеп, мына (a, b - $\ \varepsilon$ ) аралықты қарастырайық. Бұл аралықта функция f (x) үздіксіз. Сондықтан ол бұл аралықта интегралданатын функция болып табылады.

Егер F(x) - берілген f (x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда

$$\int_{a}^{b - \varepsilon}{f(x) dx = F(b - \varepsilon) - F(a) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) }$$

f (x) функцияның [ a, b ] аралығында алынған интегралы деп біз төмендегі шекті

$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{\int_{a}^{b - \varepsilon}{f(x) dx = \int_{a}^{b}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$$

айтамыз, әрине, теңдіктің сол жағындағы шек бар болса.

Енді мәселе $\varepsilon$ нольге ұмтылғанда мына

$$\int_{a}^{b - \varepsilon}{f(x) dx}$$

өрнек тиянақты шекке ұмтыла ма, міне соны білуде.

Егер осы өрнек бір тиянақты шекке ұмтылса, онда b нүктесінде шектелген f (x) функциядан алынған

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

интегралды жинақты деп атайды, ал интегралдың өзін екінші текті меншіксіз интеграл дейді.

Сонымен, жалпы алғанда келесі функция

$$I\ (\varepsilon) = \int_{a}^{b - \varepsilon}{f(x) dx}$$

оның аргументі $\varepsilon$ нольге ұмтылғанда тиянақты шекке ұмтыла ма, жоқ па, міне, соны тағайындайтын белгіні іздеуіміз керек.

I( $\varepsilon)$ функцияның тиянақты шегі болуы үшін төмендегі

$I(\varepsilon_{1}$ ) - I( $\varepsilon_{2}$ ) = $\int_{a}^{b - \varepsilon_{1}}{f(x) dx - \int_{a}^{b - \varepsilon_{2}}{f(x) dx = \int_{b - \varepsilon_{2}}^{b - \varepsilon_{1}}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$

айырманың $\varepsilon_{1}$ мен $\varepsilon_{2}$ бір-біріне тәуелсіз нольге ұмтылғанда, нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.

2. Енді [a, b] аралығының барлық ішкі нүктелерінде жәнеx=bнүктесінде үздіксіз, алx=aнүктесінде шексіздікке айналатынf (x) функцияны қарастырайық. Бұл жағдайда функцияf (x) мына(a+ε, b) (a + \varepsilon, \ b) аралығында интегралданатын функция болып табылады ( мұндаε\varepsilon-кез-келген оң мейлінше аз сан ) .

Егер f (x) функцияның алғашқы функциясы F(x) белгілі болса, онда

$$\int_{a + \varepsilon}^{b}{f(x) dx = F(b) - F(a + \varepsilon) }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$$

Жоғарыда айтылғандай f (x) функциясының [a, b] аралығында алынған интегралы деп келесі шекті

$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{\int_{a + \varepsilon}^{b}{f(x) dx = \int_{a}^{b}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$$

айтады, әрине, бұл теңдіктің сол жағындағы шек бар болатын болса.

Егер кейінгі теңдіктің сол жағындағы шек бар болса, онда $x = a$ нүктесінде шексіздікке айналатын f (x) функциядан алынған мына

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

интегралды жинақты деп атайды.

Қарастырылып отырған екінші текті меншіксіз интегралдың жинақтылық

белгісі жоғарыдағыдай мына

$$I_{1}(\varepsilon) = \int_{a + \varepsilon}^{b}{f(x) dx}$$

Функцияның шегі болуының белгісіне келіп тіреледі. Атап айтқанда, функция

$$J_{1}(\varepsilon) = \int_{a + \varepsilon}^{b}{f(x) dx}$$

өзінің аргументі $\varepsilon$ нольге ұмтылғанда, бір тиянақты шекке ұмтылу үшін, келесі айырманың

$$J_{1}(\varepsilon) - I_{1}\left( \varepsilon_{2} \right) = \int_{a + \varepsilon_{1}}^{b}{f(x) dx - \int_{b}^{a + \varepsilon_{2}}{f(x) dx = \int_{a + \varepsilon_{2}}^{a + \varepsilon_{1}}{f(x) dx}}}\ \ \ \ \ \ \ \ (11)$$

$\varepsilon_{1}$ мен $\varepsilon_{2}$ бі-біріне тәуелсіз нольге ұмтылғанда, нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.

1. 2 Шектелмеген функциялардан алынған интегралдың жинақтылық белгілері

Енді функция $f(x), \ \ \lbrack\ a; b\ \rbrack$ аралығының мына

$a, c_{1}, c_{2}\ldots, c_{m}, b\$ нүктелерінде шексіздікке айналатын болсын.

Аралықтың бұл нүктелер жоқ басқа бөліктерінде $f(x)$ -ті интегралданатын

функция деп есептейміз. $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{m + 1}$ қосымша бөлу нүктелерін енгізіп [ a; b ] аралығын бірнеше бөлшек сегменттерге бөлеміз. Бұл сегменттердің əрқайсысының ұштарының біреуінде функция $f(x)$ шексіздікке айналатын болсын. Сонда екінші текті меншіксіз интеграл былай анықталады:

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \int_{a}^{d_{1}}{f(x) dx + \int_{d_{1}}^{c_{1}}{f(x) dx + \int_{d_{2}}^{c_{3}}{f(x) dx + \ldots + \int_{d_{m + 1}}^{b}{f(x) dx$$

Егер осы теңдіктің оң жағындағы интегралдар бар болатын болса, онда

меншіксіз интеграл

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx - та}$$

бар болады.

Жоғарыда айтылған белгіні пайдаланып, келесі теореманы дəлелдеуге

болады: егер екінші текті меншіксіз интеграл

$$\int_{a}^{b}{\left f(x) \rightdx}$$

жинақты болса, онда мына

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

интеграл да жинақты болады, ал, керісінше қорытынды кейде дұрыс болмайды.

Айталық, функция $f(x)$ мына $x = b\$ нүктесінде шексіздікке айналатын

болсын, ал $\mu -$ алдын ала берілген оң мейлінше аз сан болсын. Осы $\mu$ саны бойынша төмендегі теңсіздік:

$$0 < \varepsilon_{1}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon_{2} < \delta$$

орындалатындай етіп $\delta$ санын сайлап, алайық. Теореманың шарты бойынша меншіксіз интеграл

$$\int_{a}^{b}\left f(x) \rightdx$$

жинақты, олай болса

$$\left \int_{b - \varepsilon_{1}}^{b - \varepsilon_{2}}{\left f(x) \rightdx} \right < \mu$$

Ал екінші жағынан

$$\left \int_{b - \varepsilon_{1}}^{b - \varepsilon_{2}}{f(x) dx} \right \leq \left \int_{b - \varepsilon_{1}}^{b - \varepsilon_{2}}{\left f(x) \rightdx} \right < \mu$$

Бұл теңсіздіктің орындалуы мына

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

меншіксіз интегралдың жинақтылығын дәлелдейді.

Егер мына

$$\int_{a}^{l}\left f(x) \rightdx$$

меншіксіз интегралдың жинақтылығынан мына

$$\int_{a}^{l}{f(x) dx}$$

Интегралдың жинақтылығы келіп шықса, онда кейінгі интегралды абсолют

жинақты интеграл дейді.

Екінші текті меншіксіз интегралдарды есептеп шығару жөнінде келесі

теореманы дəлелдейік.

Теорема 1. 1. $\lbrack a; b\rbrack$ аралығының мына нүктелер $a, c_{1}, c_{2}, c_{m}, b\ \$ жоқ əрбір

бөлігінде функция $f(x) \$ шектелген жəне интегралданатын болса, $\lbrack a; b\rbrack$ аралығында үздіксіз $F(x)$ функциясы болып жəне бұл функцияның туындысы $F'(x) \$ аралықтың жаңағы көрсетілген нүктелерінен басқа нүктелерінің барлығында да $f(x)$ функциясының өзіне тең болса, онда Ньютон-Лейбниц формуласы орын алады.

Бұл теореманы дəлелдеу үшін, алдымен $\lbrack a, b\rbrack$ аралығының бойында жатқан

жалғыз с нүктесін қарайық. Бұл с нүктесінің жақын маңында функция $f(x) \$ шектелмеген.

Анықтама бойынша

$$\int_{a}^{c}{f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{\int_{a}^{c - \varepsilon}{f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{F(c - \varepsilon) - F(a)$$

Ал

$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{F(c - \varepsilon) = F(c) }$$

Дәл осы сияқты

$$\int_{c}^{b}{f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{\int_{c + \varepsilon}^{b}{f(x) dx = F(b) - F(c) }}}$$

Екінші жағынан

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx = \int_{a}^{c}{f(x) dx + \int_{c}^{b}{f(x) dx = F(b) - F(a) }}}$$

Функцияны шексіздікке айналдыратын нүктелердің саны бірнешеу болса да,

теорема осылай дəлелденеді.

Екінші текті меншіксіз иентегралды есептеп шығаруда жаңағы, осының

алдында тұжырымдалған теореманың барлық шарттары орындалмаса, онда Ньютон-Лейбниц формуласын қолдануға болмай қалады. Міне, осыны байқау үшін келесі мысалды қарайық:

$$\int_{- 1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$$

Егер осы интегралды есептеп шығару үшін Ньютон-Лейбиц формуласын

бірден қолдансақ, онда

$$\int_{- 1}^{1}\frac{dx}{x^{2}} = - \left. \ \frac{1}{x} \right\binom{1}{- 1} = - 2$$

Ал бұл шыққан нəтиже дұрыс емес, өйткені, біріншіден, интегралдау шектерінің төменгісі жоғарғысынан кіші, екіншіден, $\frac{1}{x^{2}}$ -оң функция. Оң функцияның анықталған интегралы мұндайда теріс санға тең болуы мүмкін емес; бұл жағдай анықталған интегралдың қасиетіне қайшы келеді. Мұндай қисынсыздықтың болу себебі, жоғарыда тұжырымдалған теореманың шарттары толығымен орындалмауында, атап айтқанда, алғашқы $F(x) \$ функцияның $( - 1, 1)$ аралығының $x = 0$ нүктесінде үзілісті болуында. Демек, қарастырылып отырған интегралдың бар болуы мүмкін емес

2-Теорема. Егер функция f(x) x=b нүктенің таяу маңында шектелмеген болса, былайша айтқанда, айнымалы x b- ге ұмтылғанда, функция шексіздікке ұмтылса және [a; b] аралығының b-ден басқа барлық нүктелерінде үздіксіз болып отырып, төмендегі теңсіздікті

$${(b - x) }^{a}\left f(x) \right < L\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \ \ \$$

Қанағаттандырса ( мұнда 0 $< a < 1$ , L- тұрақты сан ), онда интеграл

$$\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$

абсолют жинақты болады.

(12) теңсіздік $x$ -тің мына теңсіздікті $x \geq \theta\$ қанағаттандыратын барлық мәндері үшін орындалсын. Мұнда $\theta - a$ мен $b$ -нің арасында жатқан тиянақты сан. Анықталған интегралдың қасиеті бойынша

... жалғасы

Меншіксіз интегралдар туралы

Шектері шексіз интегралдар

I-тектi меншiксiз интегралдар

Жиындар мен математикалық логика элементтері. Дәрістер жинағы

Меншіксіз интегралдар және олардың бас мәндері

Математикалық талдаудың тура және кері есептері

Рационал сандар жиынының қасиеттері

Эйлер интегралдары

Меншіксіз интегралдар

Гармониялық функцияның кейбір негізгі шешімдері

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс