Квадрат теңдеулерді шешудің әдістері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қ.Дүтбаева атындағы Атырау гуманитарлық колледжі

Мектеп бөлімі

Бекітемін:
Директордың оқу ісі
жөніндегі орынбасары
_________ Г.Б.Каментаева
_____________ 2022 ж.

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Квадрат теңдеулер

Мамандығы: 0111000 Негізгі орта білім беру
Біліктілігі: 0111063 Математика пәні мұғалімі

Орындаған: 4(9) МТ тобы Исмаилов М.Ж.

Жетекшісі: Математика пәні оқытушысы Альдешова Ж.С.

Атырау
МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 3

I.КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ТҮРЛЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.1.Квадрат теңдеулердің анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.2.Толымсыз квадрат теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
1.3.Квадрат теңдеулерді шешудің әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
II.КВАДРАТ ТЕҢДЕУ ТҮБІРЛЕРІНІҢ ФОРМУЛАСЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ..17
2.1.Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... .18
2.2.Виет теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

КІРІСПЕ
Мектептің математика курсында бастауыш сыныптардан бастап қаралатын ең негізгі буын алгебралық теңдеулерді шешу. Оқушылардың білімін білім стандарты талаптарына сай қалыптастыру үшін теңдеулерді шешу әдістерінің әрқайсысын пайдалану жолдарын оқушыларға ғылыми негізінде, нақты практикалық тұрғыда жеткізудің нәтижелі болатыны белгілі. Алгебралық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері төмендегідей:
1) Теңбе-тең түрлендіру;
2) Айнымалыларды ауыстыру;
3) Көбейткіштерге жіктеу;
4) Мәндес теңдеулерге көшу.
Теңдеуді шешу жолдарын әр түрлі әдістермен жазып көрсетуге болады, бірақта ескеретін жағдайлар бар. Орындалған теңбе-тең түрлендірулер математикалық тілде, математикалық символдарды пайдалана отырып мүмкіндігінше толық жүргізілсе (анықталу облысы, мәндерінің жиыны тағы сол сияқты), жауабы толық негізделіп берілсе жеткілікті. Жалпы мектеп курсындағы кез келген теңдеулерді шешу барысында үш жағдай кездеседі:
а) теңдеудің түбірлері болатын жағдай;
ә) теңдеудің түбірлері болмайтын жағдай;
б) теңдеудің түбірлері шексіз сандар жиыны болатын жағдай. Осы үш жағдайдың үшінші жағдайына (теңдеудің түбірлері шексіз сандар жиыны болатын жағдай) мектеп курсында жеткілікті мән берілмейді. Соның салдарынан болу керек оқушылар көптеген қателіктерге жол береді, тіпті теңдеудің түбірлері қалайша шексіз сандар жиыны болады деген сұрақтарды да мұғалімге қояды. Өйткені оқушы тек қана теңсіздіктердің шешімдері шексіз сандар жиыны болады деп есептеледі. Демек, қосымша жұмыстар жүргізу қажет. Осы мәселеге байланысты оқушының білімін тереңдету үшін арнайы жасалған жұмыстарды көбірек қолдану керек.
Математиканың тарихи даму барысында әр қырына, түрінше шешімін тауып отырған ең басты мәселелердің бірі - сан ұғымын дамыту болды. Сан ұғымын кеңейту мәселесі алгебра ғылымының өз алдына бөлініп дербес даму жолына түсуін күрт жеделдетті, шешуі болатын теңдеулер класын көбейтті, қолданыстағы сандар арсеналын байытуды, кеңейтуді талап етті. Алгебра иррационалдықтың, яғни иррационал сандардың рационал сандармен тең енгізілуі осы қажеттіліктің көрінісі екені белгілі.
Теңдеулерді шешу қиын есептерді шешуді жеңілдетеді. Есепті шешу үшін есептің шарты баяндалған математикалық тілді математикалық модель - өрнекті құру үшін белгісізді x,y,z деп белгілеп, шартта баяндалған барлық жағдайды еске алып өрнек теңдеу құрамыз. Ары қарай осы өрнектен белгісізді табу теңдеуді шешу болып табылады.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады. Жан - жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі әрбір мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Бұл курстық жұмысымда алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр.
Квадрат теңдеулер мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, сол сияқты мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу, функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу, ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және тағы басқа жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттілігі туындайды. Сонымен бірге тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

I.КВАДРАТ ТЕҢДЕУ ЖӘНЕ ОНЫҢ ТҮРЛЕРІ.
1.1.Квадрат теңдеулердің анықтамасы
a, b, c (a != 0) нақты сандар болғанда ax2 + bx + c = 0 (1) түріндегі теңдеу квадрат теңдеу деп аталады. Егер а=1 болса, онда квадрат теңдеу келтірілген, а!=1 болса, онда - келтірілмеген деп аталады. а , b , c сандарының атаулары: а - бірінші коэфициент, b - екінші коэфициент, с - бос мүше.
ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлері x=-b+-b2-4ac2a (2) формуласымен табылады.
D=b2- 4ac өрнегі (1) квадрат теңдеудің дискриминанты. Егер D0 болса, онда (1) квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ; егер D=0 болса, онда - бір нақты түбірі бар, егер D0 болса, онда - екі нақты түбірі бар болады. D=0 болған жағдайда, кейде квадрат теңдеудің бірдей екі түбірі бар дейді. D=b2- 4ac белгілеуін пайдаланып, (2) формуласын x=-b+-D2a түрінде жазуға болады. Егер b=2m болса, онда (2) формуласы
x=-2m+-4m2-4ac2a=-2m+-2m2-ac2a=-m+- m2-aca түрінде болады. Сөйтіп,
x=-m+-m2-aca, m=b2 . (3)
(3) формуласы әсіресе b2 бүтін сан, яғни b коэфициенті жұп сан болғанда қолдануға қолайлы.
1) b=c=0 болса, онда ax2=0; шешуі: x=0
2) c=0, b!=0 болса, онда ax2 + bx = 0; шешуі: x (ax+b)=0; x=0; x = - ba
3) c!=0, b=0 болса, онда ax2+ c = 0; шешуі: x2= егер - сa = 0 болғанда x1,2 = +--ca , егер - са = 0 болса, түбірі жоқ.
1- мысал: 2х2-5х+2=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. а= 2, b= -5, c=2 болғандықтан D=b2- 4ac =(-5)2-4∙2∙2=9 . D 0 болғандықтан теңдеудің екі түбірі бар, оларды (2) формуласы бойынша табамыз:
x=-b+-b2-4ac2a=5+-94=5+-34 .
Сөйтіп, x1=0,25∙5+3=2 , x2=0,25∙5-3=0,5 , яғни x1=2 мен x2=0,5 берілген теңдеудің түбірлері.
2 - мысал: x2-6x+9=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. a=1, b=- 6, c=9 болғандықтан (3) формуласы бойынша x=3+-9-9∙1=3+-1=3 екенін табамыз, яғни х=3 - теңдеудің түбірі.
Егер (1) теңдеудегі в 0 және с 0 болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталынады. Толық квадрат теңдеулеріндегі в немесе с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайдағы квадраттық теңдеулер толымсыз квадрат теңдеуі немесе толық емес квадрат теңдеу деп аталады.
Егер ax2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуінде екінші коэфициент b немесе бос мүше c нөлге тең болса, онда квадраттық теңдеуді толық емес деп атаймыз. Толық емес теңдеулерді бөліп қарастыруымыздың себебі - оның түбірлерін іздегенде квадрат теңдеудің түбірлері формуласын пайдаланбауға болады, теңдеуді оның сол жағын көбейткіштерге жіктеу әдісімен шешу ыңғайлы.Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады:
ax2+bx=0 (мұндағы с=0);
ax+c = 0 (мұндағы b=0);
ax2=0 (мұндағы b=0, с=0).
Егер толық квадрат теңдеудегі бірінші коэфициент 1-ге тең (a=1) болса, онда ол келтірілген квадрат теңдеу деп аталады. Келтірілген квадрат теңдеу
x2+px+q=0
түрінде жазылады. Мұндағы p және q - кез келген нақты сандар. Енді толымсыз квадрат теңдеулердің шығарылуын қарастырайық.
ax2+bx=0, мұндағы а=0
теңдеуін аламыз.
х1=0 және х2=-ba болатын екі түбірі болады.
1-мысал: 6x2-3x=0 теңдеуін шешіп қарайық.
x(6x-3)=0
х1=0, 6x-3=0 х2=36=12; Жауабы: 0, 12.
Енді ax²+c = 0, мұндағы a!=0 толымсыз квадрат теңдеуінің шешімін табайық. Бұл теңдеудің екі жағын а-ға бөлеміз.
x2=-ca
теңдеуін мысал ретінде қарастырамын.
1-жағдай: а және в сандарының таңбалары бірдей, онда ca оң сан, -ca теріс сан болады. x2=0 екені белгілі, сондықтан ол теріс санға тең болуы мүмкін емес екенін көріп тұрмыз. Теңдеудің шешімі болмайды.
2-жағдай: с=0 болсын. x2=0 теңдеуіне көшеді. Теңдеудін бір ғана х=0 шешімі бар.
3-жағдай: а және с сандарының таңбалары қарама-қарсы болсын яғни, біреуі оң сан ал екіншісі теріс сан. Бұндай жағдай кездескенде x2=-ca теңдеуінің х1,2=+-са екі түбірі болады.
2-мысал: 4x2-9=0 теңдеуі берілген. 4x2=9
x2=94; x1=32; x2=-32. Жауабы: 32; -32.;
3-мысал: 5x2-8-7x2+8=0
-2x2=0
x2=0
4-мысал: 2x2+5=0 теңдеуін шешу керек.
Кез келген х үшін 2x2+50 болғандықтан 2x2+5=0 теңдеуінің нақты түбірлері жоқ.

1.2.Толымсыз квадрат теңдеулер.
Толымсыз квадрат теңдеулердің түрлері
o ах²+с = 0 мұндағы с!=0
o ах²+вх = 0 мұндағы в!=0
o ах²=0
1. ах²+с = 0 мұндағы с!=0
ax² = -c
x² = ca
-ca 0 екі түбірі болады
-ca 0 түбірі жоқ
2. ах²+вх = 0 мұндағы в!=0
x(ax+b) = 0
x = 0 немесе ax+b = 0
ax = - b
x = -ba екі түбірі болады.
3. ах²=0
ax² = 0
x² = 0
x = 0 бір ғана түбірі болады.
Мысалы:
5x² + 4x = 0
x(5x+4) = 0
x = 0 және 5x+4= 0
5x = -4
x = -45
екі түбірі болады.
7x² = 0
x² = 0
x=0
бір ғана түбірі бар.
ax2 + bx + c = 0 теңдеудің екі жағын да а-ға бөліп, онымен мәндес болатын келтірілген квадрат теңдеу шығарып аламыз
x²+ bax+ ca=0.
Осы теңдеуді түрлендірейік:
x2+2x∙b2a+b2a2=b2a2-ca ,
x+b2a2= b²4a²-ca ,
x+b2a2=b²-4ac4a² .
ax2 + bx + c = 0 теңдеуі x+b2a2=b²-4ac4a² теңдеуімен мәндес.
Мұның түбірінің саны b²-4ac4a² бөлшегінің таңбасына тәуелді болады. a!=0 болғандықтан, 4а² оң сан болады, сондықтан бұл бөлшектің таңбасы оның алымының, яғни b²-4ac өрнегінің таңбасымен анықталады. Осы өрнекті
ax2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуінің дискриминанты дейміз. Мұны D әріпімен белгілейміз, яғни D= b²-4ac. Енді екінші теңдеуді:
x+b2a2=D4a² деп жазамыз.
Енді D-ға тәуелді мүмкін болатын әр түрлі жағдайларды қарастырайық.
Егер D 0, онда
x + b2a = - D2a немесе x + b2a = D2a,
х= -b2a- D2a немесе х= -b2a+D2a,
х= -b-D2a немесе х= -b+D2a.
Сонымен, бұл жағдайда ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің екі түбірі болады:
х1= -b-D2a немесе х2= -b+D2a.
Қысқаша былай жазуға болады:
x= -b+-D2a , мұндағы D=b2-4ac ,
мұны квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы деп атайды.
Егер D=0 болса, онда x+b2a2=0.
бұдан x+b2a =0, x=-b2a .
бұл жерде ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің бір түбірі болады.
x= -b2a .
x+b2a2=D4a²
Егер D 0 болса онда D4a² бөлшегінің мәні теріс болады, сондықтан теңдеуінің түбірлері жоқ. Онда ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің де түбірлері жоқ болады.
Сонымен,
D 0 екі түбірі болады
D = 0 бір түбірі болады
D 0 түбірі жоқ
1-мысал: 12x²+7x+1=0
D = 7² -4∙12∙1=1 , D0.
x=-7+-12∙12, x=-7+-124 .
Жауабы:
x1=-13 , x2=-14 .
2-мысал: x2-12x+36=0
D=(-12)²-4∙1∙36=0 , D=0.
x=12+-02∙1 , x=12+-02 .
Жауабы: x = 6
3-мысал: 7x2-25x+23=0
D=252-4∙7∙23=625-644=-19 , D0.
Жауабы: түбірі жоқ.

1.3.Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері
Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы сипатталады, мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуді келіп тіреледі. Квадрат тендеулерді оның түбірлерінің формуласы бойынша шешу тақырыбымен 8-сынып алгебра курсында таныстым. Бұл тақырып маған жаңа тақырып әрі жеңіл болды. Сондықтан осы тақырып бойынша квадрат теңдеулер жайлы өздігінен іздендім. Әдіс-тәсілдерді қарастыру арқылы тақырып туралы тереңірек білуге болады. Кейбір әдістерді тиімді жолдың бірі ретінде есептерді шығаруда қолдануға болады. Вавилондықтар б.з.д. екі мыңыншы жылдар шамасында толымсыз квадрат х²+x=a-ны шеше білген. Вавилондықтардың квадрат теңдеуін шешу жолы қазір біз қолданып жүрген х=ba формуласына сәйкес. Вавилондықтар бұдан басқа да
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)²= a² - 2ab + b²
(a - b)(a +b) = a² - b²
K=nn2k=2k+(2k-1)
K=nnK2=(13+23n)K=1nK
формулаларын және басқа арифметикалық прогрессиялардың қосындысын табудың ережелерін білген. 1945 жылы вавилондықтардан қалған тағы бір математикалық мәтіннің мазмұны анықталды. Мұнда қабырғалары рационал сандар болып келген тік бұрышты үшбұрыштың тізімі келтірілген, яғни x²+y² = z² теңдеуін қанағаттандыратын Пифагор сандарын табу жолы қарастырылған.
Пифагор x²+y² = z² анықталмаған теңдеуінің бүтін шешуін, яғни қазіргіше айтқанда: Пифагор сандарын табу ережесін қалдырған. Олар: х=12(m² -1) , y=m,z=12(m² +1) формуласымен анықталады, мұнда m тақ сан.
Ежелгі грек математиктері квадрат теңдеулердің кейбір түрлерін шешуді геометриялық салуларға келтіріп шеше білген.
Квадраттың диагоналы АС-мен оның қабырғасы өлшемдес болсын деп кері жорысақ. Онда АСАВ=mn бұдан (AC)2(AB)2=m²n² қысқармайтын бөлшек шығады, бұл жерде m,n-тақ сандар.
Пифагор теоремасы бойынша (AC)² = 2(AB)² , олй болса, m² = 2n² , ендеше, m² және m жұп сан, m = 2p түріндегі сан болады. Бұдан біз 4p²=2n² немесе n²=2p² ендеше n², n-жұп сан болады деген қорытынды шығаруымызға болады. m - әрі жұп, әрі ортақ сан. Бұл мүмкін емес екені айдан анық. Олай болса, квадраттың диагоналы оның қабырғасымен өлшемдес болмайды деген тұжырымға келсе болады.
Осы сияқты гректер (a+b)2=a²+2ab+b² тәріздес алгебралық формулаларды да геометрия тілімен баяндай білген.
Геометриялық алгебраның жәрдемімен көптеген квадрат теңдеулерге келтірілетін есептерді шешуге болады.Ол теңдеулер эллипстық, гиперболалық және де параболалық болып үш тілге бөлініп, осылардың әрқайсысынан шешудің бірыңғай жалпы әдістері жасалады.
1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу
Мысал: x²+4x+3=0 теңдеуін алайық.
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
x²+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3)
Демек, теңдеуді (x+1)(x+3) деп жазуымызғада болады.
Көбейтіндіні нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы қажет. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 сандары x²+4x+3=0 теңдеуінің түбірі болады.
2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі
Мысал: x²+8x-9=0 теңдеуін шешеміз.
Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтірейік. Ол үшін x²+8x өрнегін x²+8x=x²+2x4 деп жазып аламыз.
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тің квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сондықтан x²+2x4+42=(x+4)2
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда x²+8x-9=x²+2x4+4²-9-4=x+42-25 шығады. Сонда, берілген теңдеуді x+42-25=0, яғни x+42=25 депте жазымызға болады.
Бұдан х+4=5, x=1 немесе х+4= -5, x= -9
Жауабы: 1; -9
3-әдіс. Квадрат теңдеуді ax²+bx+c=0 формуласы арқылы шешу, мұндағы а!=0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтемізде, төменде жазылған өрнекті көрсетеміз:
4a²x²+4axb+4ac = 0
((2ax)²+4axb+b²)-b²+4ac = 0 , (2ax+b)² = b² - 4ac
2ax+b = 2ax= -b x=1
Оған келесідегідей мысалдар қарастырайық:
1) 3х² - 7х + 4 = 0 теңдеуін берілген
a=3, b=-7, c=4. D=b² - 4ac=(-7)² - 4∙4∙3=49-48=1.
D 0 болғандықтан, екі әр түрлі түбірі болады: x1=1, x2=-1
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни b² - 4ac 0, ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.
2) 9x²+6x+1 = 0 теңдеуін шешеміз.
a=9, b=6, c=1. D= b² - 4ac=6² - 4∙9∙1=0
D = 0 болғандықтан, бір ғана түбірі болады: x1=x2=-13
Сонда, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни b² - 4ac = 0, ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады.
3) х²+2х+3 =0 теңдеуі берілсін.
a=1, b=2, c=3. D= b² - 4ac=2² - 4∙1∙3= -8.
D 0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі жоқ, яғни болмайды деген сөз.
Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в²-4ас0, онда ах²+вх+с=0 теңдеуінің түбірі болмайды. 4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып, теңдеулерді шешу
Келтірілген түбірлері Вит теоремасын қанааттандырады.
Ол былай беріледі а=1 болғанда,
Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:
a)Егер q(1) теңдеудің бос мүшесі оң болса q(0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р0, онда түбірлері оң болады.
Мысал, 1) x²-9x+20=0, x1=4, x2=5 мұнда q=200, p=-90;
2) x²+5x+6=0, x1=-2, x2=-3, мұнда q=60, p=50.
б)Егер q(1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екітүрлі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер p0 болса, теріс болады, егер p0. Мысал 1) x²+3x-4=0; x1=-4, x2=1 мұнда q=-40, p=-30
2) x²-7x-8=0; x1=8, x2=-1мұнда q=-80, p=-70
5-әдіс. Теңдеуді асыра лақтыру әдісімен шешу
ax²+bx+c=0,a!=0 квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын көбейтіп мынаны аламыз:a²x²+abx+ac=0, ax=y деп белгілесек, x= . Олай болса y²+by+ac=0 теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін y1, y2-ні Виет теоремасы арқылы табамыз. Соңында x1= ,x2= ны аламыз. Бұл жағдайда а коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтн да бұл әдісті асыра лақтыру әдісі деп атайды. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады.
Мысал, 2x²-9x+=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде
y²-9y+18=0 теңдеуін аламыз. Виет теоремасы бойынша
Жауабы: 3,1,5.
6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану
ax²+bx+c=0 a!=0 теңдеуі берілген
Егер а+в+с=0 (яғникоэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда x1=1 x2=
Мысал, 7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш ан үшін квадрат теңдеу құрасытырп, оны шешейік.
7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу ax²+bx+c=0 квадраттық теңдеуін циркуль ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.