ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ


https://youtu. be/Qx45IL1Eut4 Екі еселі интегралдарды есептеу
7. 2 ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ
7. 7. 1 Екі еселі интегралды декарттық координаталар жүйесінде есептеу
Екі еселі интегралды есептеу ол біртіндеп екі анықталған интегралды есептеуге келтірілетінін көрсетеміз.
екі еселін интегралын есептеу керек болсын, мұндағы
функциясы
D
облысында үзіліссіз функция болсын, онда ол екі еселі интеграл жоғары жағынан
бетімен шектелген цилиндрлік дененің көлемін өрнектейді. Параллельдік қималар әдісін қолданып, осы көлемді табайық. Жоғарыда

екенін көрсеттік. Мұндағы
Ох
осіне перпендикуляр жазықтық қимасының ауданы,
жазықтықтардың теңдеуі.
D
облысы
түзулерімен және
және
қисықтарымен шектелген қисық сызықты трапеция болсын,
және
функциялары
кесіндісінде үзіліссіз және барлық
үшін
.
Мұндай облысты
Оу
осінің бағытымен дұрыс облыс деп атайды.
Оу
осіне параллель кез келген түзу облыс шекараларын екі нүктеде қиып өтеді.
Ох
осіне перпендикуляр цилиндрлік денені жазықтықпен қиғандағы қиманы салайық:
, мұндағы
. Қимадан
,
,
және
сызықтармен шектелген
АВСD
қисық сызықты трапециясын аламыз.
Бұл трапецияның
ауданын

анықталған интегралы көмегімен табамыз.
Параллель қималар әдісі бойынша іздеп отырған цилиндрлік дененің көлемі төмендегі түрде анықталады:

Сондықтан

Бұл теңдікті төмендегі түрде жазуға болады

формуласы екі еселі интегралды декарттық координаталар системасында есептеу формуласы.
(7. 1) формуласының оң бөлігін
D
облысы бойынша
функциясының екі еселі интегралы деп атайды.
интегралын ішкі интегралы деп атайды.
Екі еселі интегралды интегралдау үшін ең алдымен ішкі интегралды аламыз, х-ті тұрақты деп аламыз. Содан кейін сыртқы интегралды есептейміз, яғни бірінші интегралдан шыққан нәтижені шектері а -дан b -ға дейін х бойынша интегралдаймыз.
Егер
D
облысы
және
(
) түзулерімен
және
қисықтарымен шектелсе, барлық
үшін
болса, яғни
D
облысы -
Ох
осі бағытымен дұрыс облыс болса,

мұнда ішкі интегралды есептегенде у -ті тұрақты деп саналады.
7. 7. 2 Екі еселі интегралды полярлық координаталар системасында есептеу
Екі еселі интегралды есептеуді жеңілдету үшін көп ретте оның айнымалыларын ауыстыру амалын қолданады. Тәуелсіз х және у айнымалыларының түрлендіруін анықтайық:


Егер (7. 3) функциясының белгілі бір
D
облысының
жазықтығында бірінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болса және

анықтауышы нөлге тең болмаса, ал
функциясы
D
облысында үзіліссіз болса, онда екі еселі интегралға төмендегідей айнымалыларын ауыстыру амалын қолдануға болады:

(7. 4) функционалдық анықтауышын Якобиан анықтауышы деп атайды. (7. 7. 5) формуласы дәлелдемесіз келтіріледі.
Дербес жағдайда екі еселі интегралды есептеуде
х
және
у
декарттық координатасын
және
полярлық координатаға ауыстыруы қолданылады.
және
ретінде
және
полярлық координаталарын аламыз. Олар декарттық координата мен
,
формуласымен байланысады. Осы теңдіктің оң бөлігі - үзіліссіз дифференциалданатын функциялар. (7. 4) теңдеуден Якобион анықтауышы

(7. 5) теңдеуінен айнымалыларын ауыстыру формуласы төмендегідей болады:

мұндағы
облысы декарттық координаталар жүйесіндегі
D
облысына сәйкес полярлық координаталар системасының облысы.
Еселі интегралды полярлық координатада есеп үшін еселі интегралды есептеу ережелері қолданылады.
облысы. (7. 6) формуласын төмендегі түрде жазуға болады:

Ішкі интегралды есептегенде
тұрақты ретінде алынады.
Ескерту.
1. Интеграл астындағы функция
түрінде, ал D облысы шеңбері, сақина болғанда полярлық координатаға көшу арқылы есептеген ыңғайлы.
7. Практикада еселі интегралды есептегенде
,
ауыстырулары арқылы полярлық координатаға көшеді, сондай-ақ D облысы да полярлық координаталарға түрлендіріледі. D облысын
облысына түрлендірілуі болмайды, полярлық координата мен декарттық координаталарды байланыстырып керекті интегралдау шектерін
және
бойынша алынады.
7. 7. 3 Екі еселі интегралдың қолданылуы
Екі еселі интегралдың қолданылуының кейбір мысалдарын көрсетейік.
Дене көлемі
Цилиндрлік дененің көлемі

формуласымен анықталады, мұндағы
- денені жоғарыдан шектеген беттің теңдеуі.
Жазық фигураның ауданы
Егер (7. 4) формуласындағы
деп алсақ, онда цилиндрлік дене биіктігі
болатын цилиндрге айналады. Мұндай цилиндрдің көлемі, бізге белгілі
D
табанының ауданының сандық мәніне тең. Сонда
D
облысының
S
ауданының сандық мәніне тең. Сонда
D
облысының
S
ауданының есептеу формуласын аламыз:

немесе полярлық координатада

Жазық фигураның ауданы
Жоғарыда көрсетілген айнымалы тығыздығы
болатын
D
жазық пластинкасының массасы

Жазық финураның ауырлық центрімен статикалық моменттері
D фигурасының Ох және Оу осьтеріне қарағанда статикалық моменттері төмендегі формулалар арқылы есептелуі:


ал фигура массасының ауырлық центрінің координаталары


Жазық фигураның инерциялық моменті
Массасы
материалдық нүктенің
l
осіне қарағандағы инерциялық моменті сол нүктенің осьтен қашықтығы
d
-ның квадратына оның массасын көбейткенге тең, яғни
. Жазық фигураның
Ох
және
Оу
осьтеріне қарағандағы инерциялық моменттері


формулалары арқылы есептелінеді. Ал координталар бас нүктесіне қарағандағы инерциялық момент
формуласымен есептелінеді.
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz