ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ


Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:   

https://youtu. be/Qx45IL1Eut4 Екі еселі интегралдарды есептеу

7. 2 ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ

7. 7. 1 Екі еселі интегралды декарттық координаталар жүйесінде есептеу

Екі еселі интегралды есептеу ол біртіндеп екі анықталған интегралды есептеуге келтірілетінін көрсетеміз. Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image001.png екі еселін интегралын есептеу керек болсын, мұндағы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image002.png функциясы D облысында үзіліссіз функция болсын, онда ол екі еселі интеграл жоғары жағынан Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image003.png бетімен шектелген цилиндрлік дененің көлемін өрнектейді. Параллельдік қималар әдісін қолданып, осы көлемді табайық. Жоғарыда

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image004.png

екенін көрсеттік. Мұндағы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image005.png Ох осіне перпендикуляр жазықтық қимасының ауданы, Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image006.png жазықтықтардың теңдеуі.

D облысы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image007.png түзулерімен және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image008.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image009.png қисықтарымен шектелген қисық сызықты трапеция болсын, Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image010.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image011.png функциялары Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image012.png кесіндісінде үзіліссіз және барлық Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image013.png үшін Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image014.png .

Мұндай облысты Оу осінің бағытымен дұрыс облыс деп атайды. Оу осіне параллель кез келген түзу облыс шекараларын екі нүктеде қиып өтеді. Ох осіне перпендикуляр цилиндрлік денені жазықтықпен қиғандағы қиманы салайық: Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image016.png , мұндағы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image013.png . Қимадан Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image003.png , Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image017.png , Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image008.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image009.png сызықтармен шектелген АВСD қисық сызықты трапециясын аламыз.

Бұл трапецияның Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image018.png ауданын

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image019.png

анықталған интегралы көмегімен табамыз.

Параллель қималар әдісі бойынша іздеп отырған цилиндрлік дененің көлемі төмендегі түрде анықталады:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image020.png

Сондықтан

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image021.png

Бұл теңдікті төмендегі түрде жазуға болады

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image022.png
(7. 1)

формуласы екі еселі интегралды декарттық координаталар системасында есептеу формуласы.

(7. 1) формуласының оң бөлігін D облысы бойынша Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image023.png функциясының екі еселі интегралы деп атайды. Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image024.png интегралын ішкі интегралы деп атайды.

Екі еселі интегралды интегралдау үшін ең алдымен ішкі интегралды аламыз, х-ті тұрақты деп аламыз. Содан кейін сыртқы интегралды есептейміз, яғни бірінші интегралдан шыққан нәтижені шектері а -дан b -ға дейін х бойынша интегралдаймыз.

Егер D облысы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image025.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image026.png ( Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image027.png ) түзулерімен Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image028.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image029.png қисықтарымен шектелсе, барлық Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image030.png үшін Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image031.png болса, яғни D облысы - Ох осі бағытымен дұрыс облыс болса,

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image032.png
(7. 2)

мұнда ішкі интегралды есептегенде у -ті тұрақты деп саналады.

7. 7. 2 Екі еселі интегралды полярлық координаталар системасында есептеу

Екі еселі интегралды есептеуді жеңілдету үшін көп ретте оның айнымалыларын ауыстыру амалын қолданады. Тәуелсіз х және у айнымалыларының түрлендіруін анықтайық:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image033.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image034.png .
(7. 3)

Егер (7. 3) функциясының белгілі бір D облысының Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image035.png жазықтығында бірінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болса және

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image036.png ,
(7. 4)

анықтауышы нөлге тең болмаса, ал Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image023.png функциясы D облысында үзіліссіз болса, онда екі еселі интегралға төмендегідей айнымалыларын ауыстыру амалын қолдануға болады:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image037.png
(7. 5)

(7. 4) функционалдық анықтауышын Якобиан анықтауышы деп атайды. (7. 7. 5) формуласы дәлелдемесіз келтіріледі.

Дербес жағдайда екі еселі интегралды есептеуде х және у декарттық координатасын Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image038.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image039.png полярлық координатаға ауыстыруы қолданылады. Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image040.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image041.png ретінде Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image038.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image039.png полярлық координаталарын аламыз. Олар декарттық координата мен Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image042.png , Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image043.png формуласымен байланысады. Осы теңдіктің оң бөлігі - үзіліссіз дифференциалданатын функциялар. (7. 4) теңдеуден Якобион анықтауышы

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image044.png

(7. 5) теңдеуінен айнымалыларын ауыстыру формуласы төмендегідей болады:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image045.png
(7. 6)

мұндағы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image046.png облысы декарттық координаталар жүйесіндегі D облысына сәйкес полярлық координаталар системасының облысы.

Еселі интегралды полярлық координатада есеп үшін еселі интегралды есептеу ережелері қолданылады. Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image046.png облысы. (7. 6) формуласын төмендегі түрде жазуға болады:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image053.png
(7. 7)

Ішкі интегралды есептегенде Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image039.png тұрақты ретінде алынады.

Ескерту.

1. Интеграл астындағы функция Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image055.png түрінде, ал D облысы шеңбері, сақина болғанда полярлық координатаға көшу арқылы есептеген ыңғайлы.

7. Практикада еселі интегралды есептегенде Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image042.png , Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image043.png ауыстырулары арқылы полярлық координатаға көшеді, сондай-ақ D облысы да полярлық координаталарға түрлендіріледі. D облысын Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image046.png облысына түрлендірілуі болмайды, полярлық координата мен декарттық координаталарды байланыстырып керекті интегралдау шектерін Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image038.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image039.png бойынша алынады.

7. 7. 3 Екі еселі интегралдың қолданылуы

Екі еселі интегралдың қолданылуының кейбір мысалдарын көрсетейік.

Дене көлемі

Цилиндрлік дененің көлемі

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image057.png

формуласымен анықталады, мұндағы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image003.png - денені жоғарыдан шектеген беттің теңдеуі.

Жазық фигураның ауданы

Егер (7. 4) формуласындағы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image058.png деп алсақ, онда цилиндрлік дене биіктігі Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image059.png болатын цилиндрге айналады. Мұндай цилиндрдің көлемі, бізге белгілі D табанының ауданының сандық мәніне тең. Сонда D облысының S ауданының сандық мәніне тең. Сонда D облысының S ауданының есептеу формуласын аламыз:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image060.png

немесе полярлық координатада

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image061.png

Жазық фигураның ауданы

Жоғарыда көрсетілген айнымалы тығыздығы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image062.png болатын D жазық пластинкасының массасы

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image063.png

Жазық финураның ауырлық центрімен статикалық моменттері

D фигурасының Ох және Оу осьтеріне қарағанда статикалық моменттері төмендегі формулалар арқылы есептелуі:

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image064.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image065.png

ал фигура массасының ауырлық центрінің координаталары

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image066.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image067.png .

Жазық фигураның инерциялық моменті

Массасы Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image068.png материалдық нүктенің l осіне қарағандағы инерциялық моменті сол нүктенің осьтен қашықтығы d -ның квадратына оның массасын көбейткенге тең, яғни Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image069.png . Жазық фигураның Ох және Оу осьтеріне қарағандағы инерциялық моменттері

Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image070.png және Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image071.png

формулалары арқылы есептелінеді. Ал координталар бас нүктесіне қарағандағы инерциялық момент Описание: E:\ЭУИ\мат.анализ\Teory\tema7.2.files\image072.png формуласымен есептелінеді.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Еселі интеграл ұғымы
Екі еселік интегралдың геометриялық және физикалық есептерді шығаруда қолданулары
Көп аргументті функциялардың интегралдық есептеулері
Mathcad программалау ортасы
Қисық сызықты интегралдар
Үш еселі интегралдың қолданылуы
Еселі интегралдардың қолданулары
Қатарлар туралы ақпарат
Үш еселі интеграл
Екі еселі интеграл
Пәндер



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz