Фурье қатары және оның математикалық физикада қолданылуы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М.Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ
ҰСТАЗ ИНСТИТУТЫ

Кафедра Математика

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәні: Математикалық физика теңдеулері
Тақырыбы: Фурье қатары және оның математикалық физикада қолданылуы

Білімгер: Ахметбекова Улмекен
Тобы: М-18-1
Жетекші: Надырбекова Айнұр

Тараз - 2021ж.

Мазмұны:
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
Фурье қатары ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
Тригонометриялық көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу ... ... ... ... ... ...5
1.3 Периодты 2l функцияның Фурье қатары ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..13
1.4 Фурье интегралы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
Фуре әдісі
2.1 Фурье әдісінің жалпы схемасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2.2 Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу ... ..16
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20 Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21

Кіріспе
Жан Батес Жозеф Фурье - франциялық математик, Париж Ғылым Академиясының мүшесі (1817). Франциялық ғалым бұл әдісті өзі зерртегені үшін өз есімін береді.Фурьенің алғашқы енбегі алгебра саласына жатады. Бұл еңбегін математик 1796 жылыотырыста баяндады. Баяндамасында алгебралық теңдеуледің нақты түбірлері, шекаралар арасындағы деректер, алгебралық теңдеулердің нақты түбірлері және толық шешімдері туралы баяндады. Фурье бұл баяндаманы 1820 жылы баяндады. 1818 жылы Фурье Ньтонның сандық теңдеулердің шешу әдісінің шарттарынан туындаған сұрақтарды зерттеді.
1822 жылы әйгілі жұмысы яғни "Жылулардың аналитикалық теориясы" еңбегі баспадан шығарылды. Бұл жұмысы кейіннен математика тарихында үлкен рөл атқарды. Бұл еңбегі жылуөткізгіштіктің математикалық теориясы болып табылады. Кейінірек бұл кітап математикалық физиканың барлық заманауи әдістерінің көзі болды. Осы жұмыста Фурье дифференциалдық жылу теңдеуін шығарып, Д. Бернуллидің жалпы құрылымында көрсетілген идеяларды қамтыды. Белгілі бір шекаралас шарттармен жылу теңдеуін шешу үшін айнымалыларды бөлудің әдісін әзірледі (ол Фурье әдісі). Бұл әдіс негізінен Фурье қатарларының тригонометриялық функцияларымен ұсынылған.
Фурье қатарлары шекаралық есептерді шешудегі ішінара дифференциалдық теңдеулер теориясында жақсы дамыған құрал болды.
Осы курстық жұмыстың мақсаты: математикаға қызығушылық танытқандарды Фурье қатарымен, атап айтқанда, Фурье қатарының көмегімен тригонометриялық көпмүшеліктерді, функцияның жұптығы не тақтығы, периодты функция т.б қолданылуларын анықтама, теорема, мысалдар арқылы таныстыру. Олардың маңызды тұстарын атап көрсету.
Курстық жұмыстың міндеттері:
тригонометриялық көпмүшеліктер, жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу, периодты 2l функцияның Фурье қатары, Фурье интегралы тақырыптары туралы баяндау;
Фурье әдісінің математикалық физикада қолданылуын көрсету;
Фурье қатары және оның математикалық физикада қолданылыуын талдау және анықтау мақсатында тақырыптың мазмұнын аша түсу үшін әр түрлі жағдайларда орын алатын есептерге талдау жасау.
Курстық жұмыстың өзектілігі: функцияның Фурье қатарына жіктелуі әртүрлі есептердің шешімін табуда маңызды құрал болып табылады, атап айтқанда дифференциалдау, интегралдау, функцияның аргумент бойынша жылжуы және функция орамын есептеуде қолданылады. Фурье қатары - периодты (периодсыз) функцияларды жiктеуде қолданылатын функциялық қатардың дербес түрі. Периодты функциялар инженерлiк есептеулерде кривошип-бұлғақты тетiктер мен акустикалық толқындар, айнымалы тоқ пен кернеулер, жылжу, жылдамдық пен үдеуді есептеу барысында кеңінен қолданылады.
1.Фурье қатары
1.1.Тригонометриялық көпмүшеліктер

Периодты T=2l болатын

akcoskPIlx+bksinkPIlx, (k=1,2...) (1.1.1)

түріндегі жиіліктер ωk=kPIl, периодтары 2PIωk=2lk= Tk сандарына тең гармоникаларды қарастырайық.
Мұнда T=kTk саны (1.2.l) түріндегі гармоникалардың периоды. Сондықтан

Sn(x)=a02+k=1infinity(akcoskPIlx+bk sinkPIlx) (1.1.2)

Түріндегі тригономертиялық көпмүше периоды T=2l болатын функция болады. Қатар
a02+k=1infinity(akcoskPIlx+bksinkPI lx) (1.1.3)
a02+k=1infinity(akcoskt+bksinkt) (1.1.4)

Түріне келеді және ол тригонометриялық қатарларының негізгі түрі болып табылады. Енді ak және bk коэффициенттерін анықтау кезінде керек болатын бірнеше көмекші формулалар келтірейік. Егер n!=0 болса онда

- PIPIcosnxdx=1nsinnx=0;

-PIPIsinnxdx= -1ncosnx=0
кез келген m және n (m!=n) үшін
-PIPIcosmxcosnxdx=12-PIPIcosm+nx+co sm-nxdx=0;

-PIPIsinmxsinndx=12-PIPI(cosm-nx-co sm+n))dx=0;
кез келгент m және n сандары үшін
-PIPIsinmxcosnx=12-PIPI(sin⁡(m+n)x+ sin⁡(m-nx)dx=0;
егер m=n болса, онда

-PIPIcos2nxdx=12-PIPI(1+cos2nx)dx=1 2x+12PIsinnxPI-PI=PI

-PIPIsin2nxdx=12x-12PIsinnxPI-PI=PI .
Бұл формулалар ұзындықтары 2 PI - ге тең интервалдар үшін де орындалады.
1.2.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
Егер барлық сан осінде анықталған f(x) функциясы үшін координаталар басына симметриялы орналасқан кез келген кесінді де f(x) = f(-x) теңдігі орындалса, ол жұп, ал егер f(x) = - f(-x) теңдігі орындалса, ол тақ функция деп аталатыны бізге белгілі. Сонымен бірге біз жұп функцияның графигі ординаталар осіне, ал тақ функцияның графигі - координаталар басына симметриялы болады.
Егер (-a; a) аралығында интегралданатын функция жұп болса, онда

-aa fxdx=20a fxdx;

Ал егер f(x)тақ функция болса, онда -aa fxdx=0 болатындығы өзінен өзі түсінікті.
Сондықтан f(x) функциясы жұп болғанда оған сәйкес Фурье қатарының коэффициенттері
an=12-PIPI fxcosnxdx=2PI fxcosnxdx, n=0,1,2,..
ал барлық
bn=1PI-PIPIfxsinnxdx=0

болады , өйткені fxsinnx тақ функция.
Ал егер fx тақ функция болса, онда an=0 (себебі fxcosnx- тақ функция), ал
an=12-PIPIfx sin nxdx=2PIfxsinnxdx, n=0,1,2,..
Соныменен жұп функцияның Фурье қатары
fx=a02+k=1infinityakcoskx 1.2.1
ал тақ функцияның қатары
fx=k=1infinitybksinkx 1.2.2
түрінде болады. Бұл формулаларды интегралданатын функция [0; PI] кесіндісінде бнрілген жағдайларды да қолдануға болады. Ол үшін бұл функцияларды [0; PI] кесіндісінен [- PI;0] кесіндісіне жұп не тақ етіп созсақ пайда болған жұп не тақ функцияға (1.4.1) не (1.4.2) формуланы қолдануға яғни [0; PI] кесіндісінде берілген f(x) функциясын Фурье қатарына косинустар немесе синустар бойынша жіктеуге мүмкіншілік туады.
мысал. f(x)=х функциясын -PI;PI кесіндісінде Фурье қатарына жіктеу керек.
Шешуі.функция f(x)=х үзіліссіз тақ функция. Ал оның пермодты созындысы х =(2k+1) PI,kϵZ нүктелерінде үзіліссіз. Берілген функция тақ болғандықтан an=0;
bn=2PI0PIxsin nxdx=x=udx=du dϑ=sinnxdxϑ=-1ncosn
=2PI(-xncosnxPI0+1n0PIcosnxdx)=2n(- xncosnx+1n2sin⁡)PI0=(-1)n+12n, (n=1.2,3,...)
Демек ,
x=2sinx-12sin2x+13sin3x-...=2k=1inf inity-1k+1ksinkx.
егер x=PI2 болса, онда
PI4=k=1infinity-1k+112k-1

периодты созындының x=(2k+1) n, kϵZ үзіліс нүктелерінде Фурье қатары нольге жинақталады, себебі:

12fx+0+fx-0=12sin2k+PI+0+sin2k+1PI- 0≡0.
мысал. f(x)=x,(0=x=2PI функциясын Фурье қатарына жіктеу.
Бұл функция -PI;PI аралығында мынадай формуламен

fx=x+2PI, егер -PI=x0 болса.x, егер 0=x=PI болса .

анықталады. Сондықтан функцияның Фурье қатарының коэффуциенттерін есептеу үшін , екі формула мен берілген функцияның аралығын функция f(x)=x формуласымен берілген ұзындығы 2 PI аралықпен ауыстырып, периодты функцияның 3- ші қасиетін пайдаланамыз.Сонда

a0=1PI02PIxdx=x22PI2PI0=2PI;

a0=1PI02PIxcos nxdx=1PI(xnsin⁡nx+1PI2cos⁡nx)=0;

bn=1PI02PIxsin nxdx=1PI(-xncos⁡nx+1PI2sin⁡nx)=-2P I;

Сондықтан ∀x∈0;2PIүшін

x= PI-2sinx+sin2x2+sin3x3+...+sin nxn+...=
=PI-2n=1infinitysin nxn={x‚ егер x!=2kPI‚ k∈Z‚ 1‚егерx=2kPI‚ k∈Z
осы жіктерден тригонометриялық қатардың қосындысын табуға болады, яғни

n=1infinitysin nxn=PI-x2, ∀x∈0;2PI.

Периодты созындының х=2nPI, n∈Z үзіліс нүктелерңнде Фурье қатары PI -ге жинақталады, өйткені

12fx+0+fx-0=12-PI+2PI2+0-PI-0=2PI2= PI

4-мысал. f(x)=x2 0=x=2PI функциясы үшін Фурье қатарын табу керек.
Шешуі:
a0=1PI02PIx2dx=x33PI2PI0=8PI23;
an=1PI02PIx2cosnxdx =x2=u 2xdx=du, cosnxdx=dϑ ϑ=1nsinnx=
=1PI(x2nsin⁡nx2PI0- -2n02PIx sin⁡nxdx) =x=u,dx=du, sinnxdx=dϑϑ=-1ncosnx=
=1PIx2nsinnx2PI0 +2xn2cosnx2PI0-2n202PIcos nxdx=
=1PI0-0+4PIn2-0-23sinnx2PI0 =4n2

bn=1PI02PIx2sin nxdx=u=x2 du=2xdxdϑ=sinnxdx dϑ=1ncos nx==1PI(-x2ncos⁡nx2PI0+2n02PIxcos nxdx)=u=xdu=dx dϑ=cos nxdx ϑϑ=1nsinnx==1PI(-x2ncos⁡nx2PI0 +2xn2sin⁡nx2PI0 -1n02PIsin nxdx)=1PI(-4PI2ncos2nPI+1n2cosnx2PI 0)=1PI(-4PI2n+1n2cos2nPI-1n2)=1PI(- 4PI2n)=-4PIn.
Сонда

fx=x2=4PI23+4cosx-sinx+cos2x22-PIsi n2x2+...=4PI23+4n=1infinitycos nxn2-n=1infinity4PInsinnx.
5-мысал. Мына теңдіктерден f(x)=0, егер PI=x2PI; 1, егер 2PI=x=3PI;
Берілген функцияны Фурье қатарына жіктеу керек.
Шешуі. Функция ұзындығы 2l=2PI интервалда берілсін. Оны барлық х осіне периодты етіп созсақ периоды 2PI- ге тең функция болады.
Енді Фурье коэффициенттерін табамыз.

a0=1PI-PIPIfxdx=1PI0PI1∙dx=1;

an=1PI-PIPIfxcosnxdx=1PI0PIcos nxdx=1PIsin nxnPI0=0;

bn=1PI-PIPIfxsinnxdx=1PI0PIsin nxdx=1PI-cosnxnPI0=1PI∙(-1)n-1n.

Сондықтан fx=12+2PIn=1infinitysin2n-1x2n-1.
Периодты созындының үзіліс нүктелерінде Фурье қатары 12 - ге жинақталады.
6-мысал. Мына f(x)=x ,0=x=PI функциясын косинустар бойынша Фурье қатарына жіктеу үшін оны [-PI;0) кесіндісіне жұп етіп созамыз.

a0=1PI-PIPIfxdx=2PI0PIxdx=x2PI =PI;

an=1PI-PIPIfxcosndx=2PI0PIxcos ndx=2PI(xnsin⁡nxPI0 -1n0PIsin nxdx)=PI2∙1n2cosnxPI0 =2PIn2(cosnPI-cos0).
Немесе

an=-2PI[1--1nn2={-4PIn2 егер n тақ болса, 0,егер жұп сан болса.
Сондықтан
fx=PI2-4PIcosx+cos3x32+...=PI2-4PIn =1infinitycos2n-1x2n-12
7-мысал. интервалында анықталған функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.
Шешуі. интервалын (мұндағы, - бүтін сан) түріндегі бөлікті интервалдарға созатын болсақ, онда берілген функцияның графигі төмендегідей болады (1-сурет).
1-сурет.
функциясы аралығында үзіліссіз, сонымен қатар -тің интервалындағы әр нүктесінде туындылары бар , ал шеткі нүктелерінде

Сонымен, аралығында үзіліссіз функциясының сегментінде анықталған әр нүктесінде оң және сол жақ туындылары бар, демек -периодты функцияның әр нүктесінде бір жақты ақырлы туындылраы бар болады.
Енді функциясын Фурье қатарына жіктейік. (2)-формула бойынша Фурье қатарының коэффициентін табамыз:

Бөліктеп интегралдау әдісі бойынша коэффициентін (3)-формуланың көмегімен табамыз:

ал, функциясы жұп болғандықтан коэффициенттері нөлге айналады:

Сонымен, функциясының Фурье қатары

8-мысал. Мына f(x)=x функциясын -PI;PI кесіндісінде Фурье қатарына жіктеу.

Шешуі. f(x)=x жұп, периодты созындысы үзіліссіз функция. Сондықтан барлық bn=0 (n=1,2,...) ал x=0 мүшелер үшін x=x ендеше теріс емес x- тер үшін

an=2PI0PIxdx=x22=PI;

an=2PI0PIxcos nxdx=x22u=xdu=dx dϑ=cos nxdxϑ=1nsin nx=PI2(xnsin⁡nx+1n2cosnx)=PI21-cos nPIn2=2PIn2[(-1)n-1],
Бұдан n - жұп болғанда an=0 ал n- тақ болса

an=-4PIn2 n=1,3,5,...
Демек

x=PI2-4PIcosx12+cos3x32+...=PI2-4PI k=1infinitycos2k-1x2k-12.

Егер x=0 болса, онда

0=PI2-4PIk=1infinity12k-12.
Бұдан

PI28=1+132+152+172+...=k=1infinity1 2k-12.

Осы нәтижені мына қатардың қосындысын табуға пайдалануға болады.
S=1+122+132+...+1n2=n=1infinity1n2
Ол үшін қосындыны
S=1+132+152+172+...+122+142+162+... =
n28 +141+122+132+142+...=n28 +S4.
Сонда S=n26 яғни
1+122+132+...+1n2=n=1infinity1n2=n2 6

1.3 Периодты 2l функцияның Фурье қатары.
Бізге -l;l кесіндісінде анықталған және периоды 2l - ге тең периодты f(x) функциясы -l;l аралығында Дирихле шартын қанағаттандырса, онда оны мынадай Фурье қатарына

fx=a02+k=1infinity(akcoskPIlx+bksin kPIlx. 1.3.1еуге болады.
Коэффициенттері
a0=1l-llfxdx; 1.3.2

ak=1l-llfxdxcoskPIxldx; bk=1l-llf(x)sinkPIxldx 1.3.3
Формулалары бойынша есептеледі.
Егер f(x) функциясы -l;l аралығында жұп функция болса, онда оның Фурье қатары
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.