Фурье қатары және оның математикалық физикада қолданылуы

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

«ҰСТАЗ» ИНСТИТУТЫ

Кафедра Математика

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәні: Математикалық физика теңдеулері

Тақырыбы: Фурье қатары және оның математикалық физикада қолданылуы

Білімгер: Ахметбекова Улмекен

Тобы: М-18-1

Тараз - 2021ж.

Мазмұны:

Кіріспе . . . 3

1. Фурье қатары. . . 4Тригонометриялық көпмүшеліктер . . . 4

1. 2 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу . . . 5

1. 3 Периодты 2l функцияның Фурье қатары . . . 13

1. 4 Фурье интегралы . . . 14

2. Фуре әдісі

2. 1 Фурье әдісінің жалпы схемасы . . . 16

2. 2 Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу . . . 16

Қорытынды . . . 20 Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 21

Кіріспе

Жан Батес Жозеф Фурье - франциялық математик, Париж Ғылым Академиясының мүшесі (1817) . Франциялық ғалым бұл әдісті өзі зерртегені үшін өз есімін береді. Фурьенің алғашқы енбегі алгебра саласына жатады. Бұл еңбегін математик 1796 жылыотырыста баяндады. Баяндамасында алгебралық теңдеуледің нақты түбірлері, шекаралар арасындағы деректер, алгебралық теңдеулердің нақты түбірлері және толық шешімдері туралы баяндады. Фурье бұл баяндаманы 1820 жылы баяндады. 1818 жылы Фурье Ньтонның сандық теңдеулердің шешу әдісінің шарттарынан туындаған сұрақтарды зерттеді.

1822 жылы әйгілі жұмысы яғни “Жылулардың аналитикалық теориясы” еңбегі баспадан шығарылды. Бұл жұмысы кейіннен математика тарихында үлкен рөл атқарды. Бұл еңбегі жылуөткізгіштіктің математикалық теориясы болып табылады. Кейінірек бұл кітап математикалық физиканың барлық заманауи әдістерінің көзі болды. Осы жұмыста Фурье дифференциалдық жылу теңдеуін шығарып, Д. Бернуллидің жалпы құрылымында көрсетілген идеяларды қамтыды. Белгілі бір шекаралас шарттармен жылу теңдеуін шешу үшін айнымалыларды бөлудің әдісін әзірледі (ол Фурье әдісі) . Бұл әдіс негізінен Фурье қатарларының тригонометриялық функцияларымен ұсынылған.

Фурье қатарлары шекаралық есептерді шешудегі ішінара дифференциалдық теңдеулер теориясында жақсы дамыған құрал болды.

Осы курстық жұмыстың мақсаты: математикаға қызығушылық танытқандарды Фурье қатарымен, атап айтқанда, Фурье қатарының көмегімен тригонометриялық көпмүшеліктерді, функцияның жұптығы не тақтығы, периодты функция т. б қолданылуларын анықтама, теорема, мысалдар арқылы таныстыру. Олардың маңызды тұстарын атап көрсету.

Курстық жұмыстың міндеттері:

• тригонометриялық көпмүшеліктер, жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу, периодты2lфункцияның Фурье қатары, Фурье интегралы тақырыптары туралы баяндау;
• Фурье әдісінің математикалық физикада қолданылуын көрсету;
• Фурье қатары және оның математикалық физикада қолданылыуын талдау және анықтау мақсатында тақырыптың мазмұнын аша түсу үшін әр түрлі жағдайларда орын алатын есептерге талдау жасау.

Курстық жұмыстың өзектілігі: функцияның Фурье қатарына жіктелуі әртүрлі есептердің шешімін табуда маңызды құрал болып табылады, атап айтқанда дифференциалдау, интегралдау, функцияның аргумент бойынша жылжуы және функция орамын есептеуде қолданылады. Фурье қатары - периодты (периодсыз) функцияларды жiктеуде қолданылатын функциялық қатардың дербес түрі. Периодты функциялар инженерлiк есептеулерде кривошип-бұлғақты тетiктер мен акустикалық толқындар, айнымалы тоқ пен кернеулер, жылжу, жылдамдық пен үдеуді есептеу барысында кеңінен қолданылады.

1. Фурье қатары

1. 1. Тригонометриялық көпмүшеліктер

Периодты T=2l болатын

$a_{k}$ cos $\frac{k\pi}{l}$ x+ $b_{k}$ sin $\frac{k\pi}{l}$ x, (k=1, 2 . . . ) (1. 1. 1)

түріндегі жиіліктер $\omega_{k}$ = $\frac{k\pi}{l}$ , периодтары $\frac{2\pi}{\omega_{k}} = \frac{2l}{k} =$ $T_{k}$ сандарына тең гармоникаларды қарастырайық.

Мұнда T=k $T_{k}$ саны (1. 2. l) түріндегі гармоникалардың периоды. Сондықтан

$$\ S_{n}(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}{(a_{k}}\cos\frac{k\pi}{l}x + b_{k}\sin\frac{k\pi}{l}x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1. 2) \$$

Түріндегі тригономертиялық көпмүше периоды T=2l болатын функция болады. Қатар

$$\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}{(a_{k}}\cos\frac{k\pi}{l}x + b_{k}\sin\frac{k\pi}{l}x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1. 3)$$

$$\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}{(a_{k}}coskt + b_{k}sinkt) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1. 4)$$

Түріне келеді және ол тригонометриялық қатарларының негізгі түрі болып табылады. Енді $a_{k}$ және $b_{k}$ коэффициенттерін анықтау кезінде керек болатын бірнеше көмекші формулалар келтірейік. Егер n $\neq 0$ болса онда

$$\int_{-\pi}^{\pi}{cosnxdx = \frac{1}{n}}sinnx = 0; \ \$$

$$\int_{- \pi}^{\pi}{\sin{nxdx = \ - \frac{1}{n}cosnx = 0}}$$

кез келген m және n ( $m \neq n) \$ үшін

$$\int_{- \pi}^{\pi}{cosmxcosnxdx = \frac{1}{2}}\int_{- \pi}^{\pi}{\left\lbrack \cos(m + n) x + \cos(m - n) x \right\rbrack dx = 0; }$$

$$\int_{- \pi}^{\pi}{sinmxsinndx = \frac{1}{2}}\int_{- \pi}^{\pi}{(\cos(m - n) x - \cos(m + n) ) }) dx = 0;$$

$кез\$ келгент m және n сандары үшін

$$\int_{- \pi}^{\pi}{sinmxcosnx =}\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{(sin(m + n) x + sin(m - nx) dx = 0; }$$

егер m=n болса, онда

$$\int_{- \pi}^{\pi}{\cos^{2}nxdx = \frac{1}{2}}\int_{- \pi}^{\pi}{(1 + cos2nx) dx = \frac{1}{2}}\left( x + \frac{1}{2\pi}sinnx \right) \left \begin{matrix} \pi \\ {- \pi} \end{matrix} \right. \ = \pi$$

$$\int_{- \pi}^{\pi}{s{in}^{2}}nxdx = \frac{1}{2}\left( x - \frac{1}{2\pi}sinnx \right) \left \begin{matrix} \pi \\ {- \pi} \end{matrix} \right. \ = \pi.$$

Бұл формулалар ұзындықтары 2 $\ \pi$ - ге тең интервалдар үшін де орындалады.

1. 2. Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.

Егер барлық сан осінде анықталған f(x) функциясы үшін координаталар басына симметриялы орналасқан кез келген кесінді де f(x) = f(-x) теңдігі орындалса, ол жұп, ал егер f(x) = - f(-x) теңдігі орындалса, ол тақ функция деп аталатыны бізге белгілі. Сонымен бірге біз жұп функцияның графигі ординаталар осіне, ал тақ функцияның графигі - координаталар басына симметриялы болады.

Егер (-a; a) аралығында интегралданатын функция жұп болса, онда

$$\int_{- a}^{a}{\ f(x) dx = 2\int_{0}^{a}{\ f(x) dx; }}$$

Ал егер f(x) тақ функция болса, онда $\int_{- a}^{a}{\ f(x) dx = 0}$ болатындығы өзінен өзі түсінікті.

Сондықтан f(x) функциясы жұп болғанда оған сәйкес Фурье қатарының коэффициенттері

$$a_{n} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\ f(x) cosnxdx = \frac{2}{\pi}}\ f(x) cosnxdx, \ \ \ (n = 0, 1, 2, . . ) \ \ \$$

ал барлық

$$b_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{- \pi}^{\pi}{f(x) \sin nxdx = 0}$$

болады, өйткені $f(x) \sin nx\ тақ\$ функция.

Ал егер $f(x)$ тақ функция болса, онда $a_{n} =$ 0 (себебі $f(x) cosnx$ - тақ функция), ал

$$a_{n} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{f(x) \ sin\ nxdx = \frac{2}{\pi}}f(x) \sin{nxdx}, \ \ \ (n = 0, 1, 2, . . ) \ \$$

Соныменен жұп функцияның Фурье қатары

$$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}coskx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 2. 1)$$

ал тақ функцияның қатары

$$f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty}b_{k}sinkx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 2. 2)$$

$\$ түрінде болады. Бұл формулаларды интегралданатын функция [0; $\ \pi$ ] кесіндісінде бнрілген жағдайларды да қолдануға болады. Ол үшін бұл функцияларды [0; $\ \pi$ ] кесіндісінен [ $- \ \pi; 0$ ] кесіндісіне жұп не тақ етіп созсақ пайда болған жұп не тақ функцияға (1. 4. 1) не (1. 4. 2) формуланы қолдануға яғни [0; $\ \pi$ ] кесіндісінде берілген f(x) функциясын Фурье қатарына косинустар немесе синустар бойынша жіктеуге мүмкіншілік туады.

1. мысал. f(x) =х функциясын[−π; π] \lbrack - \pi; \pi\rbrackкесіндісінде Фурье қатарына жіктеу керек.

Шешуі. функция f(x) =х үзіліссіз тақ функция. Ал оның пермодты созындысы х =(2k+1 $) \ \pi$ , k $\epsilon Z$ нүктелерінде үзіліссіз. Берілген функция тақ болғандықтан $a_{n}$ =0;

$$b_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{xsin\ nxdx = \left \begin{matrix} {x = u} \\ {dx = du} \end{matrix} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left. \ \begin{matrix} {d\vartheta = \sin{nxdx}} \\ {\vartheta = - \frac{1}{n}\cos n} \end{matrix} \right$$

$$= \frac{2}{\pi}( - \frac{x}{n}cosnx\left \begin{matrix} \pi \\ 0 \end{matrix} \right. \ + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}{cosnxdx) = \frac{2}{n}}( - \frac{x}{n}cosnx + \frac{1}{n^{2}}sin) \left \begin{matrix} \pi \\ 0 \end{matrix} \right. \ = ( - {1) }^{n + 1}\frac{2}{n}, \ \ (n = 1. 2, 3, \ldots)$$

Демек,

$$x = 2\left( sinx - \frac{1}{2}sin2x + \frac{1}{3}sin3x - \ldots \right) = 2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{( - 1) ^{k + 1}}{k}sinkx.$$

егер x= $\frac{\pi}{2}$ болса, онда

$$\frac{\pi}{4} = \sum_{k = 1}^{\infty}( - 1) ^{k + 1}\frac{1}{2k - 1}$$

периодты созындының x=(2k+1) $\ n$ , k $\epsilon Z$ үзіліс нүктелерінде Фурье қатары нольге жинақталады, себебі:

$$\frac{1}{2}\left\lbrack f(x + 0) + f(x - 0) \right\rbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \sin\left( (2k + \pi) + 0 \right) + \sin\left( (2k + 1) \pi - 0 \right) \right\rbrack \equiv 0.$$

2. мысал. f(x) =x, (0≤x≤2π\leq x \leq 2\piфункциясын Фурье қатарына жіктеу.

Бұл функция $\lbrack - \pi; \pi\rbrack$ аралығында мынадай формуламен

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} x + 2\pi, \ егер\ - \pi \leq x < 0\ болса. \\ x, \ \ \ егер\ 0 \leq x \leq \pi\ \ болса\ . \end{array} \right. \$$

анықталады. Сондықтан функцияның Фурье қатарының коэффуциенттерін есептеу үшін, екі формула мен берілген функцияның аралығын функция f(x) =x формуласымен берілген ұзындығы 2 $\ \pi$ аралықпен ауыстырып, периодты функцияның 3- ші қасиетін пайдаланамыз. Сонда

$$a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{xdx = \frac{x^{2}}{2\pi}}\begin{matrix} 2\pi \\ 0 \end{matrix} = 2\pi;$$

$$a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{xcos\ nxdx =}\frac{1}{\pi}(\frac{x}{n}sinnx + \frac{1}{\pi^{2}}cosnx) = 0;$$

$$b_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{xsin\ nxdx =}\frac{1}{\pi}( - \frac{x}{n}cosnx + \frac{1}{\pi^{2}}sinnx) = - \frac{2}{\pi};$$

Сондықтан $\forall x \in \lbrack 0; 2\pi\rbrack үшін\$

x= $\ \pi - 2\left( sinx + \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} + \ldots + \frac{\sin\ nx}{n} + \ldots \right)$ =

$$= \pi - 2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin\ nx}{n} = \{ x‚\ \ егер\ x \neq 2k\pi ‚\ \ \ k \in Z‚\ \ \ 1‚егерx = 2k\pi ‚\ \ k \in Z\$$

осы жіктерден тригонометриялық қатардың қосындысын табуға болады, яғни

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin\ nx}{n} = \frac{\pi - x}{2}, \ \ \ \ \ \ \ \ \forall x \in \lbrack 0; 2\pi\rbrack.$$

Периодты созындының х=2n $\pi, \ n \in Z\$ $үзіліс\ нүктелерңнде\ Фурье\ қатары$ $\$ $\pi$ -ге жинақталады, өйткені

$$\frac{1}{2}\left( f(x + 0) + f(x - 0) \right) = \frac{1}{2}\left( ( - \pi + 2\pi 2 + 0) - (\pi - 0) \right) = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

4-мысал. f(x) = $x^{2}$ 0 $\leq x \leq 2\pi$ функциясы үшін Фурье қатарын табу керек.

Шешуі:

$$\ a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3\pi}}\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ = \frac{{8\pi}^{2}}{3};$$

$$a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{x^{2}\cos{nxdx}}\ = \left \begin{matrix} {x^{2} = u\ } \\ {2xdx = du, \ } \end{matrix} \right. \ \ \ \ \ \left. \ \begin{matrix} {\cos{nxdx} = d\vartheta\ } \\ {\vartheta = \frac{1}{n}\sin{nx}} \end{matrix} \right =$$

$$= \frac{1}{\pi}(\frac{x^{2}}{n}\sin nx\left \binom{2\pi}{0} - \right. \ \ \ \ - \frac{2}{n}\int_{0}^{2\pi}{x\ \sin nxdx) \ }\left. \ = \left \begin{matrix} {x = u, } \\ {dx = du, } \end{matrix} \right. \ \ \ \binom{\sin{nxdx} = d\vartheta}{\vartheta = - \frac{1}{n}\cos{nx}} \right =$$

$$= \frac{1}{\pi}\left( \frac{x^{2}}{n}\sin{nx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ }\ + \frac{2x}{n^{2}}\cos{nx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ } - \frac{2}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{\cos\ nxdx} \right) =$$

$$= \frac{1}{\pi}\left( 0 - 0 + \frac{4\pi}{n^{2}} - 0 - \frac{2}{3}\sin{nx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ }\ \right) = \frac{4}{n^{2}}$$

$$b_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{x^{2}\sin\ nxdx} = \left \begin{matrix} {u = x^{2\ \ }} \\ {du = 2xdx} \end{matrix} \right. \ \left. \ \begin{matrix} {d\vartheta = sinnxdx\ } \\ {d\vartheta = \frac{1}{n}\cos\ nx} \end{matrix} \right = = \frac{1}{\pi}( - \frac{x^{2}}{n}cosnx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ + \frac{2}{n}\int_{0}^{2\pi}{xcos\ nxdx) = \left \begin{matrix} {u = x} \\ {du = dx} \end{matrix} \right. \ \ \ \ \ \left. \ \begin{matrix} {\ \ d\vartheta = \cos\ nxdx\ \vartheta} \\ {\vartheta = \frac{1}{n}\sin{nx}} \end{matrix} \right =} = \frac{1}{\pi}( - \frac{x^{2}}{n}cosnx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ \ + \frac{2x}{n^{2}}sinnx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ \ \ - \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}{\sin\ nxdx) = \frac{1}{\pi}}( - \frac{{4\pi}^{2}}{n}\cos 2n\pi + \frac{1}{n^{2}}cosnx\left \begin{matrix} {2\pi} \\ 0 \end{matrix} \right. \ ) = \frac{1}{\pi}( - \frac{{4\pi}^{2}}{n} + \frac{1}{n^{2}}\cos 2n\pi - \frac{1}{n^{2}}) = \frac{1}{\pi}( - \frac{{4\pi}^{2}}{n}) = - \frac{4\pi}{n}.$$

Сонда

$$f(x) = x^{2} = \frac{{4\pi}^{2}}{3} + 4\left( cosx - sinx + \frac{\cos 2x}{2^{2}} - \frac{\pi sin2x}{2} + \ldots \right) = \frac{{4\pi}^{2}}{3} + 4\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\cos\ nx}{n^{2}} - \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4\pi}{n}\sin{nx}.$$

5-мысал . Мына теңдіктерден f(x) = $\left\{ \begin{array}{r} 0, \ \ \ егер\ \pi \leq x < 2\pi; \ \ \ \\ 1, \ егер\ 2\pi \leq x \leq 3\pi; \end{array} \right. \ \ \ \ \$

Берілген функцияны Фурье қатарына жіктеу керек.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс