Шектер теориясы туралы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Ф-ОБ-001035
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ
МИНИСТРЛІГІ
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Математика кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Шектер теориясы
Орындаған: Шәмшиева Г.
Ғылыми жетекші: Назарова К.
Түркістан 2012
Ф-ОБ-001035
Мазмұны
Кіріспе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
тарау: Тізбектің шегі
1.1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... 4
1.2 Шегі бар тізбектердің қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...6
1.3 Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен тізбектер ... ... ... ... ... ... ... 8
1.4 Тізбектің шегі туралы теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...9
1.5 Теңсіздіктерде шекке көшу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
1.6 Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті
шарты ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
1.7 Тізбектің жинақталуының Коши критерийі ... ... ... ... ... ... .. ... ...15
1.8 Тізбекшелер. Больцано-Вейерштрасс теоремасы ... ... ... ... ... ... .. .17 1.9 Анықталмаған өрнектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..18
тарау : Функция шегі
2.1 Функция шегінің екі анықтамасы және олардың пара - парлығы ... ..20
2.2 Бір жақты шектер ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..21
2.3 Функцияның шексіздіктегі шегі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .23
2.4 Шегі бар функцияның шенделгендігі ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 24
2.5 Функция шектері туралы теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .25
2.6 Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен функциялар ... ... ... ... ... ... . ...26 2.7 Функция шегінің бар болуының қажетті және жеткілікті белгісі
(Коши критерийі) ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
2.8 Бірсарынды функция бар болуының қажетті және
жеткілікті шарты ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..31
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .34
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..35
Ф-ОБ-001035
Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда Шектер теориясы туралы қарастырамыз яғни:
Егер кез - келген оң санына сәйкес натурал n саны табылып, барлық n n нөмірлері үшін xn a теңсіздігі орындалса, онда a саны xn
тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:
limn xn a
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n нөмері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
2)Рекуренттік тәсіл. Бүл тәсілді қолданғанда тізбектің біріншісі беріледі және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез - келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез - келген n = 2 үшін a = an-1+d; б) кез - келген n = 2 үшін bn
= bn-1 ∙ q; а) және б) формулалары сәйкес ап және bn тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез - келген мүшесін табуға мүмкіндік береді. Тізбектің рекуренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін элетрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді. 3) Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болу мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2,3,5,7,11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жай сандар тізбегі, ал екіншісі - 5 саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.

Ф-ОБ-001035
I тарау Тізбектің шегі 1.1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері.
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны атайды. Бұл функцияны f әріпімен белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына f (1) мәні, 2 санына f (2) мәні т.с.с. сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді: n f (n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде f1 = f (1), f2 = f (2),..., fn = f (n),... арқылы белгілеп, оларды тізбектің бірінші, екінші, және т.с.с. n-ші мүшелері деп атайды. n-ші мүшені тіэбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі fn болатын тізбекті f1, f2 ,... fn ,... немесе fn арқылы белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n нөмері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
2)Рекуренттік тәсіл. Бүл тәсілді қолданғанда тізбектің біріншісі беріледі және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез - келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез - келген n = 2 үшін a = an-1+d; б) кез - келген n = 2 үшін bn
= bn-1 ∙ q; а) және б) формулалары сәйкес ап және bn тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез - келген мүшесін табуға мүмкіндік береді. Тізбектің рекуренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін элетрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді. 3) Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болуы
Ф-ОБ-001035 мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2,3,5,7,11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жай сандар тізбегі, ал екіншісі - 5 саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі. Тізбектердің қарапайым сипаттамалары.
а) Шенделген және шенделмеген тізбектер. Егер с 0 саны табылып, барлық п N үшін xn c теңсіздігі орындалса, онда xn тізбегі шенделген тізбек деп аталады. (символдар арқылы : с 0 n N xn c ). Жоғарыдан және төменнен шенелген тізбектердің анықтамалары осыған ұқсас түрде тұжырымдалады.
Мысал үшін тізбектің жоғарыдан шенделгендігін символдармен жазылуын келтірейік. Егер M n N xn M орындалса, онда xn тізбегі жоғарыдан шенделген деп аталады. Сонда М саны тізбектің жоғарғы шені деп аталады. Енді тізбектің шенделгендігін терістеу арқылы оның шенделмегендігінің анықтамасын (символдар көмегімен) берейік. Егер
c 0 үшін n0 N xn0 c орындалса, онда xn тізбегі шенделмеген деп аталады.
б) Тізбек үшін жұп болу, не тақ болу деген түсініктердің мағынасы болмайды, өйткені N жиыны симмметриялы емес ( N жиынына n саны енгенімен -n саны енбей отыр).
в) Тізбек үшін периодты, не периодсыз болу деген түсініктердің де мағынасы жоқ, өйткені N жиыны периодты емес.
г) Бірсарынды тізбектер. Барлық n N үшін xn xn 1 теңсіздігі орындалса, онда xn тізбегі өспелі тізбек деп аталады. Егер барлық n N үшін xn xn 1 теңсіздігі орындалса, онда xn тізбегі кемімейтін тізбек деп
Ф-ОБ-001035 аталады. Өспелі,кемімейтін, кемімелі және өспейтін тізбектерді жалпы бірсарынды тізбектер деп атайды.
Тізбек шегін анықтау
анықтама. Егер кез - келген оң санына сәйкес натурал n саны табылып, барлық n n нөмірлері үшін xn a теңсіздігі орындалса, онда a саны xn тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады: limn xn a немесе n жағдайда xn a (символдар арқылы limn xn a
0 n n n xn a ). Шегі бар тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын жинақталмайтын тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде xn a теңсіздігі xn a немесе a xn a теңсіздігімен пара - пар, олай болса, барлық n n үшін xn U a , яғни a нүктесінің - маңайы тізбектің n n нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды.
Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.
анықтама. Егер a нүктесінің кез - келген маңайы xn тізбегінің саны арқылы x1, x2,..., xn мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы a санын xn тізбегінің шегі деп атайды.
1.2 Шегі бар тізбектердің қасиеттері
теорема. Егер xn тізбегінің шегі бар болса, онда ол шек жалғыз.
xn тізбегінің шегі a және b бар деп жориық. Олардың O a , O 2 b маңайларын O 1 a O 2 b ( яғни қиылыспайтындай) етіп алайық. xn a ұмтылғанда xn тізбегінің O 1 a маңайының сыртында жатқан мүшелері арқылы жиын, олай болса xn тізбегінің O 2 b маңайында жатқан мүшелері ақырсыз жиын бола алмайды, сондықтан, анықтама бойынша b саны xn тізбегінің шегі бола алмайды.
Ф-ОБ-001035
теорема. Егер xn тізбегі жинақты болса, онда ол тізбек - шенелген. lim xn a деп алайық. 1 саны берілсін. n n1 нөмерлері бар xn мүшелері үшін xn a 1 орындалатындай етіп n1 оң бүтін санын табамыз. Онда (n n1
)
xn a xn a 1,бұдан n n1, xn 1 a аламыз. Енді x1 , x2 ,..., xn ., 1 a сандарының ең үлкенін М деп алсақ, онда n N, xn M аламыз. Ескерту. Тізбек жинақты болу үшін тізбектің шенелген болуы қажетті, бірақ бұл - жеткіліксіз шарт.
3 - теорема. Егер xn a,b болса, онда lim x c a,b
теорема. Егер lim xn lim yn a және xn zn yn , n=1,2 ... болса онда lim zn a
0 саны берілсін. Онда
n N1 нөмірлері үшін a xn,
n N2 нөмірлері үшін yn a
Орындалатындай N1 және N2 сандары табылады. Ал n max N1, N2 n нөмірлері үшін a x zn yn a
Яғни zn a (n n ) орындалады.
теорема. Егерxn a, онда xn a .
Кeлесі екі тұжырым, пара-пар: ( xn a) ( 0Оң сан берілсе n n нөмірлері үшін xn a теңсіздігі орындалатындай n саны табылады). xn a xn a теңсіздігі орындалатыны белгілі. Олай болса 0 саны берілсе n n , xn a xn a орындалатыны n саны бар, яғни
lim xn a

Ф-ОБ-
001035

1.3 Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен тізбектер.
1- анықтама. Егер n тізбегінің шегі 0 - ге тең болса, онда ол ақырсыз кіші тізбек деп аталады ( limn n 0). Басқаша айтқанда, егер кез- келген 0
үшін, n нөмірі табылып, барлық n n нөмірлері үшін n 0 n теңсіздігі орындалса, онда n тізбегі ақырсыз кіші тізбек деп аталады (символдар арқылы n ақырсыз кіші 0 n n n n ). Ақырсыз кіші тізбек кез - келген жинақталатын тізбек сияқты, шенделген тізбек болады.
1-теорема. limn xn a теңдігі орындалуы үшін xn a n мұндағы limn n 0 теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
n
a
x

n
n
a
x
n
n
n
Бұл теореманы символдарды пайдаланып, дәлелдейік. Тізбектің жинақталатын болу анықтамасынан: limn xn a 0 n n n x a . nn
деп белгілісік, limn xn a 0 , яғни n ақырсыз
кіші тізбек. Демек, limn xn a xn a n формуласын аламыз. Пара - парлық таңбасы жоғарыда келтірілген шарттың қажетті де жеткілікті де екенін білдіреді. Бұл теорема іс жүзінде қолдануға ыңғайлы.
анықтама. Егер кез - келген Е0 санына сәйкес nE нөмірі табылып, барлық n nE нөмірлері үшін yn E теңсіздігі орындалса, онда yn тізбегі ақырсыз үлкен тізбек деп аталады. Оны былай жазады: limn . Егер ақырсыз үлкен yn тізбегінің yn жалпы мүшесі өзінің оң
(теріс) таңбасын тұрақты сақтайтын болса, (ең болмағанда жеткілікті үлкен n нөмірлерінен бастап), онда yn сәйкес таңбалы оң (теріс) шексіздікке ұмтыладжы дейді: limn . (limn .)
Ф-ОБ-001035
анықтама. Егер кез - келген c0 санына сәйкес nс нөмірі табылып, барлық n nc нөмірлері үшін yn c yn c теңсіздігі орындалса, онда yn оң (теріс ) шексіздікке ұмтылады дейді және былай жазады:
limn . (limn .)
1
2- теорема. Егер yn ақырсыз үлкен тізбек болса, онда xn xn yn ақырсыз кіші тізбек болады. Осы тұжырымның дұрыстығын тексерейік. yn ақырсыз үлкен тізбек болсын. Анықтама бойынша кез - келген Е0 саны үшін nE нөмірі табылып, барлық n nE нөмірлері үшін yn E теңсіздігі
орындалады. Бұдан y1n E1 немесе xn E1 . Бұл теңсіздік барлық n nE =
n нөмірлері үшін орындалады. Соңғы теңсіздік теореманың тұжырымдамачын береді. Осыған ұқсас түрде мына тұжырымды да дәлелдеуге болады:
1
Егер n 0 ақырсыз кіші тізбек болса, онда yn , yn n ақырсыз
үлкени тізбек болады.
1.4 Тізбектің шегі турлы теоремaлар.
Бұл пунктте тізбектерге арифметикалық амалдар қалай қолданылатыны жайлы әңгімеленеді.
теорема. Егер xn және yn тізбектері жинақталатын болса, онда xn yn тізбектері де жинақталатын болады және limn xn yn limn xn limn yn, , яғни жинақталатын екі тізбек қосындысының шегі сол тізбектер шектерінің қосындысына тең болады.
Дәлелдеуі: limn xn a және limn yn b дейік. Сонда 1 - теорема негізінде
xn a n, yn b n (мұндағы n мен n ақырсыз кіші тізбектер ) теңдіктерін аламыз. Бұдан xn yn a b n n . n n тізбегі ақырсыз
Ф-ОБ-001035
кіші тізбек, яғни limn n n 0 сонда 1.3 - тің 1- теоремасы бойынша
limn xn yn a b limn xn limn yn . Бұл теореманы индукция әдісін қолдана отырып, саны шектеулі тізбектердің алгебралық қосындысы үшін де дәлелдеуге болады.
теорема. Егер xn және yn жинақталатын тізбек болса, онда xn yn тізбегі де жинақталатын болады және limn xn yn limn xn limn yn, , яғни жинақталатын тізбектер көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең болады.
Дәлелдеуі. limn xn a және nlim yn b болсын, сонда xn a n, yn b n
(мұндағы n және n ақырсыз кіші тізбектер.) Мына көбейтіндіні қарастырайық: xn yn a n b n ab a n b n n n ; a n b n n n
Тізбегі 1-2 леммелер негізінде ақырсыз кіші тізбек болып табылады. Сонымен , барлық n N үшін xn yn a n b n ab a n b n n n
limn a n b n n n 0 . Ал бұдан мына теңдік шығады. ( 1-теореманы қараңыз):
limn xn yn ab limn xn limn yn
Ескерту. Егер барлық n N үшін xn C болса, онда limn xn limn C C немесе тұрақты санның шегі де сол тұрақты сан болады. Шынында да, xn C C C 0 болғандықтан, xn C ақырсыз кіші тізбек, сондықтан 1теорема бойынша limn xn C
1- салдар. Егер xn тізбегі жинақталатын болса, онда кез - келген С саны үшін C xn тізбегі де жинақталатын тізбек болады және
limn C xn limn C limn xn C limn xn , яғни тұрақты көбейткішті шек таңбасының алдына шығаруға болады.
Ф-ОБ-001035
2-салдар. Егер xn жинақталатын тізбек , ал k - натурал сан болса, онда
limn xnk limn xn k
Бұл салдарды 2- теоремадан индукция әдісін пайдалана отырып алуға болады.
3- теорема. Егер xn және yn , yn 0, тізбектері жинақталатын болып,
сонымен бірге limn yn 0 болса, онда xynn тізбегі жинақталатын болады да,

limn xynn limlimn xynn теңдігі орындалады. Алдын - ала мына лемманы дәлелдейік.
n
Лемма. Егер yn тізбегі yn 0 жинақталатын болып, сонымен бірге limn yn b 0болса, онда n0 нөмірі табылып барлық n n0 нөмірлері үшін
1
тізбегі шенделген тізбек болады.
yn
Дәлелдеуі. Анықтама бойынша
limn yn b 0 n0 n n0 yn b b yn .
Енді b деп алып, айырма модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы 2
теңсіздікті мына түрде жазайық: b b yn b yn , (n n0 ). Бұдан yn b
22
теңсіздігі шығады, ал шарт бойынша yn 0 болғандықтан , барлық n n0
нөмірлері үшін y1n b2 теңсіздігі орындалады.
3- теореманы дәлелдеуге көшейік. limn xn a, limn yn b деп алайық.
xna
Теореманы дәлелдеу үшін (1.3 1- теоремасы бойынша) yn b айырымы
ақырсыз кіші екенін дәлелдеу жеткілікті. Бізге мына теіңдіктер белгілі :
limn xn a xn a n ,nlim n 0;
Ф-ОБ-001035
limn yn b yn b n,limn n 0.
Осылдарды пайдаланып табатынымыз :
1
1
n
n
n
n
n
n
y
y
b
a
x
y
b
a
y
x

,
1
n
n
b
a
y

a a n b b n n ,
Мұндағы y1n тізбегі лемма бойынша шенделген, ал ақырсыз кіші тізбек.
xna
Сондықтан айырымы ақырсыз кіші тізбек болады. Бұдан мына
ynb
теңдік шығады. (6п. 1- теорема):
limn xyn ba limlimn xynn .
n
n

1.5 Теңсіздіктерде шекке көшу
Теорема. Егер n жағдайда xn a , yn b және де барлық n N нөмірлері үшін xn yn болса, онда a b. Қысқаша айтқанда, алынған теңсіздікте шекке көшуге болады.
Дәлелдеуі. Қарсы жорып, ab дейік. санын мына аралықтан 0 a 2 b таңдап алайық. Тізбек шегінің анықтамасы бойынша осы санына сәйкес
натурал n саны табылып, барлық n n нөмірлері үшін
xn a a xn a теңсіздігі орындалады. Осыған ұқсас түрде алынған санына сәйкес натурал п саны табылып, барлық n n нөміллері үшін
yn b b yn b теңсіздігі орындалады. Егер n және п сандарының ең үлкенін n арқылы белгілесек, онда n n нөмірлері үшін осы теңсіздіктердің екеуі де сөзсіз орындалады. Сонда
a 2 b теңсіздігін түрлендіре келе, табатынымыз:
0 a 2 b 0 2 a b b a 2 b a ,
Ф-ОБ-001035
яғни b a .
Барлық n n нөмірлері үшін соңғы теңсіздіктерден yn b a xn , нeмесе yn xn теңсіздігі шығады. Алайда, бұл теңсіздік теореманың шарты xn yn теңсіздігіне қайшы. Демек, ab деп жору қате. Сондықтан a b болады ( яғни теңсіздікте шекке көшуге болады).
1- салдар. Егер n жағдайда xn a және барлық n N нөмірлері үшін xn b болса онда a b теңсіздігі орындалады. Бұған көз жеткізу үшін
n жағдайда xn b теңсіздігінде шекке көшсек жеткілікті
2- салдар. Егер жинақталатын xn тізбегінің барлық мүшелері a,b кесіндісіне тиісті болса, онда оның шегі с саны да осы кесіндіге тиісті болады. Шынында да, a xn b,n N , теңсіздігінде шекке көшсек, іздеген a c b теңсіздігі шығады. Енді xn yn және xn b теңсіздіктері барлық n N нөмірлері үшін емес, қандай болса да бір n0 нөмірінен артық барлық n n0 үшін орындалғанда да жоғарыда дәлелденген теорема мен одан шығатын бірінші салдардың дүрыс болып қала беретіндігін ескертеміз.
1.6 Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті шарттары
- теорема. Егер xn тізбегі кемімейтін болып және жоғарыдан қандай да бір В санымен шенделген болса, онда ол тізбек жинақталады және оның шегі
М саны В санынан артық болмайды, яғни limn xn M B.
Дәлелдеуі. xn жоғарыдан шенделген тізбек, сондықтан оны жоғарыдан шенделген бос емес жиын деп қарастырайық., оның дәл жоғарғы шені М бар болады. Енді осы М саны xn тізбегінің шегі болатынын дәлелдейік:
M supn N xn болғандықтан, кез - келген 0 үшін n0 табылып, xn0 M теңсіздігі орындалады. xn кемімейтін тізбек болғандықтан, барлық
Ф-ОБ-001035
n n0 үшін бұл теңсіздік негізінде xn M M . Ал xn тізбегінің кез - келген мүшесі өзінің дәл жоғарғы шекарасынан артпайтын болғандықтан, барлық n N үшін xn M және кез - келген 0 үшін M M . сондықтан, xn M M .. Алайда соңғы теңсіздіктерді біріктіргенде шығатын
M xn M теңсіздігі барлық n n0 үшін орындалады, яғни limn xn M. .
Әрине, M B ( дәл жоғарғы шек барлық басқа жоғарғы шектердің ең кішісі ) болатыны түсінікті
2 - теорема. Егер xn тізбегі өспейтін тізбек болып және төменнен қандай болса да бір А санымен шенделген болса, онда ол тізбек жинақталады және оның шегі т саны А санынан кем болмайды, яғни limn xn m A. Егер
m infn N xn екенін ескерсек, онда екінші теореманы да бірінші теореманың
дәлелдемесіне ұқсас дәлелдеуге болады.
Ескерту. Кемімейтін тізбек төменнен шенделген (мысалы, өзінің бірінші мүшесімен) тізбек болады. Сондықтан, егер кемімейтін тізбек жоғарыдан шенделген болса, онда екі жағынан да шенделеді, яғни шенделген.
3- теорема. Бірсарынды тізбек жинақталуы үшін, оның шенделген болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілік. Бірсарынды xn тізбегі жинақталады. Ал жинақталатын тізбектің шенделген болатыны белгілі.
Жеткіліктілік: xn тізбегі бірсарынды, әрі шенделген болсын. Сонда тізбектің шегінің бар болуы, не 1 - теоремадан ( егер xn кемімейтін тізбек болса) , не 2 - теоремадан ( егер xn өспейтін тізбек болса) шығады. Салдар ( бірінің ішінде бірі орналасқан кесінділер принципі ).
an,bn ,n N кесінділер жүйесі берілсін, a1b1 a2,b2 ... an,bn ...және п артқан сайын кесінді ұзындығы 0 - ге ұмтылатын болсын. ( яғни
Ф-ОБ-001035
limn an bn 0 ) . Сонда бұл жүйенің барлық кесінділеріне тиісті болатын бр
және тек бір ғана с нүктесі табылады.
Дәлелдеуі: an,bn ,n N бірінің ішінде бірі орналасқан және ұзындықтары 0- ге ұмтылатын кесінділер жүйесі болғандықтан, олардың сол жақ ұштары құратын тізбек an кемімейтін тізбек болады да, ал оң жақ ұштары құратын тізбек bn өспейтін тізбек болады. Бұлардың екуі де шенделген тізбектер (өйткені оларды a1,b1 кесіндісі қамтиды). 3- теорема бойынша бұл тізбектердің әрқайсысының бір ғана шегі болады. Ал limn bn an 0
болғандықтан, limn bn limn an.Бұл шекті с арқылы белгілейік. с supn N an болғандықтан ( 1- теорема) , барлық n N үшін an c теңсіздігі орындалады. Мұнымен бірге c infn N bn болғандықтан (2- теорема) , барлық n N үшін bn c теңсіздігі орындалады. Демек, барлық n N үшін c an,bn , n N .

1.7 Тізбектің жинақталуының Коши критерийі.
Егер кез - келген оң саны үшін натурал n саны табылып, n n және m n шарттарын қанағаттандыратын барлық n және m натурал сандары үшін xn xm тәңсіздігі орындалса, онда xn тізбегін негізгі (фундаментальдық) тізбек деп атайды. m n
Коши критерийі. xn тізбегі жинақталуы үшін, оның негізгі тізбек болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілік. xn жинақталатын тізбек және limn xn a болсын.
Жинақталатын тізбектің анықтамасы бойынша кез - келген 0 санына
сәйкес натурал n саны табылып, барлық n n үшін xn a 2 теңсіздігі
және осыған ұқсас түрде m n үшін xm a 2 теңсіздігі орындалады. Осы
Ф-ОБ-001035
теңсіздіктерге сүйеніп және қосынды модулінің қасиетін пайдаланып барлық n n және m n үшін былай жазамыз: xn xm xn a a xm xn a xm a 2 2
Яғни xn негізгі тізбек болады.
Жеткіліктілік. xn тізбегі негізгі тізбек болсын. 1 деп алып, оған сәйкес n табайық. Сонда барлық n n , m n үшін xn xm теңсіздігі орындалады. 1 дейік. Сонда xn xm 1. m n нөмірін бекітіп алып, айырым модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы теңсіздікті былай жазамыз: 1 xn xm xn xm . Сонда барлық n n үшін xn 1 xm теңсіздігі орындалады, яғни xn шенделген тізбек балады. ( яғни xn тізбегінің барлық мүшесін қамтитын сан түзуінің кесіндісін табуға болады) .k n нөмірлі барлық xk мүшелерін қамтитын ең кіші кесіндіні n, n арқылы белгілейік. Ол үшін
n infk nxk , n supk n xk
Деп алу жеткілікті, яғни xk k n жиынының дәл жоғарғы және дәл төменгі шенін n мен n деп алу керек. Енді n, n ,n N кесінділері бірінің шіне бірі орналасқандығын ескерейік, яғни
1, 1 2, 2 3, 3 ... an,bn n 1, n 1 ...
Шынында да,
n infk n xk kinf n 1xk n 1 n 1 supk n xk supk n xk n
n, n кесіндісінің ұзындығы n жағдайда 0-ге ұмтылатынын тексерейік. Негізгі тізбек анықтамасы бойынша кез - келген 0 санына сәйкес n0 саны табылып, барлық k n0 нөмірлері үшін xk xn0 немесе xn0 xk xn0 теңсіздігі орындалады. Осыған ұқсас түрде k n0 нөмірлі
Ф-ОБ-001035
барлық xk мүшелерін қамтитын ұзындығын ең кіші n0 , n0 кесіндісінің ұштары үшін де xn0 n0 n0 xn0 . Бұдан 0 n0 n0 2 . n, n кесінділеріт бірінің ішінде бірі орналасқандықтан, барлық n n0 үшін n n n0 n0 2 , яғни limn n n 0 . Сонымен , бірінің ішіне бірі орналасқан кесіндіер принципі орындалатын болды.( 3-теореманың салдары). Олай болса барлық n, n n N кесінділеріне ортақ бір ғана ɑ нүктесі табылады. Енді a limn xn екендігін дәлелдейік. нүктесін қамтитынɑ
(c,d) интервалын қарастырайық. Сонда бұл маңайдың xn тізбегінің ақырсыз көп нүктелерін қамтитындығын тексеру жеткілікті . Бұны орындау қиын емес. Шынында да (n Жағдайда n n 0 болатындықтан ), натурал n саны табылып, n, n c,d екенін қашанда көрсетуге болады. Олай болса, барлық k n нөмірлері үшін xk n, n c,d орындалады, ендеше a limn xn

1.8 Тізбекшелер. Больцано - Вейерштрасс теоремасы.
xn тізбегі берілсін: x1 , x2 ,...xn, ... . ол тізбекке енетін xn тізбекшесін қарастырайық: xn1 , xn2 , ... , xnk , ... , , мұндағы nk натурал сандардың қандай болса да бір өспелі жиыны, яғни n1 n2 ... nk ... Егер xn тізбегі жинақталатын болс, оның тізбекшесі xnk да жинақталады және оның шегі xn тізбегінің шегіне тең болады. Осылайша, егер xn ақырсыз үлкен тізбек болса, онда xnk тізбегі де ақырсыз үлкен тізбек болады. Алайда, xn тізбегінің шегі болмағанда оның xnk тізбекшесінің шегі де болмайды деген қорытынды шықпайды.
Больцано - Вейерштрасс теоремасы. Кез - келген шенделген тізбектен жинақталатын тізбекше бөліп шығаруға болады.
Ф-ОБ-001035
Дәлелдеуі: xn шенделген тізбек, яғни a xn b, n N болсын. a,b кесіндісін қақ бөлейік. Сонда осы кесінділердің ең болмағанда бірі xn тізбегінің ақырсыз көп мүшелерін қамтиды ( олай болмағанда a,b кесіндісі қамтитын xn мүшелерінің саны шектеулі болар еді); a1,b1 кесінді xn тізбегінің ақырсыз көп мүшелерін қамтитын кесінді болсын. ( егер екі кесіндінің әр қайсысы да, ақырсыз көп мүше қамтитын болса, онда олардың кез - келгенін алуға болады). Енді a1,b1 кесіндісін де осылайша қақ бөліп, xn тізбегінің ақырсыз көп мүшелерін қамтитын бөлігін a2,b2 арқылы белгілейік. Осы процесті жалғастыра келе k қадам жасап, ол тізбектің ақырсыз көп мүшелерін қамтитын ak ,bk кесіндісін бөліп аламыз.
Сонда ұзындығы 0- ге ұмтылатын ( k жағдайда bk ak b2 ka 0 ) бірінің ішіне бірі орналасқан
a,b a1,b1 a2,b2 ... ak ,bk ...
кесінділер жүйесін аламыз. Демек, бірі бірінің ішіне ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.