Қатарлар теориясының қолданылулары

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 34 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

Сәрсен Аманжолов атындағы
Шығыс Қазақстан университеті

Бақыт Бағизат

Қатарлар теориясының қолданылулары

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В012600 - Математика-Физика мамандығы

Өскемен, 2022

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

С. Аманжолов атындағы Шығыс Қазақстан университеті

Қорғауға жіберілді
________________2022 ж.
Математика кафедрасының
меңгерушісі
____________Е.К.
Ергалиев

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Қатарлар теориясының қолданылулары

5В012600 - Математика-Физика мамандығы бойынша

ОрындағанБақыт Бағизат

Ғылыми жетекшісі
ф.-м.ғ.к., доцент Мухамедиев Г.Х
___________2022 ж.

Нормабақылаушы Н.Б.Алимбекова
___________2022 ж.

Өскемен, 2022
Мазмұны

КІРІСПЕ4
1 БӨЛІМ ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫ5
1.1Сандық қатарлар5
1.2 Абсолют және шартты жинақты қатарлар 7
1.3 Функциялық қатарлар7
1.4Фурье қатары7

2 БӨЛІМ ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУ ЖОЛДАРЫ12
2.1 Сандық қатарлардың қолданылулары12
2.2Қатарларға қолданылатын амалдар15
2.3Сандық қатардың жинақтылығының қолданулары16
2.4Абсолют және шартты жинақты қатарлардың жинақталуы18
2.5 Функциялық қатарлардың қолданулары21
2.5Бір қалыпты қатардың қасиеттерінің қолданылулары22
2.6Тейлор қатарларының қолданулары23
2.7Функцияны дәрежелік қатарларға жіктеу26
2.8Қатарлар мен шектерді есептерде қолданылулары27
2.9 Функцияның шегін қатарлар көмегімен есептеуде қолданылулары29
2.10 Қатарларды жуықтап есептеуде қолданылулары30
2.11Қатарларды дифференциал теңдеулер арқылы қолданылулары31
2.12Фурье қатарына байланысты ақпарат33
2.13Функциялардың скаляр көбейтіндісі33
2.14Тригонометриялық қатарлардың қолданылулары35
2.15Қатар периодты пайдалану36
2.16Фурье қатарларының қолданылулары37
2.17Тақ, жұп функциялары40
ҚОРТЫНДЫ43
ӘДЕБИЕТТЕР44

КІРІСПЕ

Диплом жұмыс тақырыбы: Қатарлар теориясының қолданылулары.
Диплом жұмысымның өзектілігі. Нақты шешімдерді талап ететін математикалық білімді білім алушыларға сапалы әрі тиянақты жеткізе білу қазіргі таңдағы өзекті мәселелердің бірі. Осы тұрғыда жоғарғы метематика бөлімдерінде көрініс табатын сандық және функциялды қатарлар теориясы дифференциалдық теңдеуде, аналитикалық сан және шек теориясы сияқты бірнеше бөлімдердегі есептерді шешуде қолданылуын көрсету маңызды. Қатарлар тәуелсіз ұғым ретінде ХVII ғасырлардын бастап қолданыла бастады. Ең алғаш қатарларды И.Ньютон және Г.Лейбниц алгебралық және дифференциалдық теңдеулерді шешуде пайдаланды. Жоғарыда айтылып кеткендей қатарлар математиканың әліппесі ретінде математиканы оқытудағы барлық мамандықтардағы білім беру пәндерінде маңызды орын алатыны анық. Диплом жұмысында қатарлар теориясының қолданылуын жан-жақты зерттеп көрсеттік. Қатарлар тақырыбына зерттеу жүргізе отырып, оның қолданылуын айшықтадық, және білім алушыларға түсінікті тілде жеткізу мақсатында есептер мен мысалдар көрсеттік. ЖОО оқытылатын бұл қатарлар теориясының кейбір элементарлық мәселелерін мектеп оқушыларының математика пәнінің факультатив сабақтарында таныстырып, үйретіп, есептер шығаруға дағдыландырдық. Бірінші тарауда сандық, абсолютті, шартты жинақты, функциялық, бірқалыпты, дәрежелік, функциялық дәрежелік және Фурье қатарлар теориясы қарастырылып, олардың дәлелдемесі көрсетіледі. Екінші тарауда аталған қатарлар теориясының қолданылуы, қолданылудағы амалдар және жіктелуі, сондай ақ есептері және оларды шешу жолдары көрсетіледі.
Диплом жұмысының зерттеу мақсаты - сандық қатарларымызбен функциялды қатарларымыздың теориясының қолданылуын зерттеу және бір текті теңдеулерді дәрежелі қатарлар теориясының қолданылуымен интегралды анықтамасын толыққанды қарастырып, осыған байланысты дифференциалды теңдеуіміздің шешімдерін көрсету. Қатарлар тақырыбын толықтай зерттей отырып, қолданылу аясын көрсету және білім алушылардың қатарларды қолдана отырып есептер шығару дағдыларын қалыптастыру. Қойылған мақсатымызды енді жүзеге асыруымыз үшін келесі міндетімізді шешу талап етілді.
Диплом жұмысының зерттеу міндеттері:
Сандық қатарлар ұғымымен танысу;
Қатарларға амалдар қолдану;
Қатарлардың негізгі қасиеттерін зерттеу;
Функциялық және бір қалыпты жинақталу қатарларының қолдануларына тоқталу;
Дәрежелі және Тейлор, Фурье қатарларының және Абель теоремасының қолдануларын түсіндіру;
Қатарлардың көмегімен интегралдау әдістерін көрсету;
Дипломдық жұмыстың ғылыми жаңашылдығы: білім беру мекемелерінде математика пәнін оқытуда, соның ішінде қатарлар теориясын оқытудың және оны қолданудың артықшылығын баяндау, мектеп оқушыларының математика пәні бойынша факультатив сабақтарында білім сапаларының көтерілуіне ықпал ету және логикалық ойлау қабілеттерін арттыруға септігін тигізу.
Диплом жұмысының зерттеу нысаны: жалпы білім беретін орта мектептердегі математика сабақтары, есептер және тест тапсырмалары, күрделі дәрежедегі деңгейлік тапсырмалар.
Диплом жұмысының теориялық және әдіснамалық негіздері: білім беру жүйесінің психологиялық-педагогикалық, ғылыми-әдістемелік әдебиеттермен, жаңашыл отандық және шетелдік ғалымдардың педагогтардың тәжірибиелері және баспасөзде жарық көрген ғылыми еңбектерді жинақтау, сұрыптау, талдау және т.б.
Диплом жұмысының құрылымы: диплом жұмысы кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және екі қосымшадан тұрады.
Диплом жұмысының зерттеу әдісі: қатарлар теориясының қолданылуын талдау, негізгі әдістерін көрсету.

БӨЛІМ ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫ

Сандық қатарлар

Сандық қатар және оның жнақтылығы мен қосындысы ұғымы.

un=fn, nϵN функциясымен берілген u1,u2,...,un-1, un,...
сан тізбегін қарастырамыз.
Анықтама. Сандық қатар деп
u1+u2+...+un-1+un+... =n=1infinityun (1)
өрнегін атаймыз.
Мұндағы u1,u2,...,un-1,un, ... сандары қатардың мүшелері, ал
un=fn, nϵN қатардың жалпы немесе n-ші мүшесі деп аталады.
Қатарларды

un, 1infinityun, 1un (2)

сиволдарымен де белгілейміз.
S1=u1,S2=u1+u2...Sk=u1+u2 ... +un... қосындыларын қатардың, сәйкесінше, бірінші, екінші және к - шы дербес қосындылары деп аталады:
S1,S2,...Sn-1,Sn,... - дербес қосындылар тізбегі.
Мысал қарастырып көрейік: n=1infinitynn+4=15+26+...+nn+4+.. қатарларының дербес қосындылары S1=15, S2=15+26,...Sn-1=n-1n+3,...
Sn- дербес қосындылар тізбегінің limn--infinitySn=S ақырлы шегі бар болса қатар жинақты деп, ал S-cаны қатардың қосындысы деп аталады.
limn--infinitySn шегі жоқ немесе шексіздікке тең болған жағдайда қатар жинақсыз деп аталады.
Мысалы: n=1infinity1(n+1)(n+2) қатарын жинақтылыққа зерттеп, жинақты болған жағдайда оның қосындысын табу керек.
Шешуі. Қатардың n-ші дербес қосындысын табамыз:

Sn=n=1infinity1n+1-1n+2=12-13+13-14 +...+1n+1-1n+2=12-1n+1.
limn--infinitySn= limn--infinity12-1n+1= 12 - сан, олай болса қатар жинақты және оның қосындысы 12 санына тең.

Мысал:
u+uq+uq2+...+uqn-1+..
қатарын жинақтылыққа зертте, мұнда q!=1.
Шешуі. Алдымен қатардың n-ші дербес қосындысын жазып алайық:
Sn=a+aq+aq2+aq3+..+aqn-1=a1-qn1-q.
limn--infinitySn=limn--infinitya1 -qn1-q= a1-q, егер q1, infinity, егер q1 болса.
Жинақтылықтың анықтамасы бойынша қатар жинақты, егер q1, жинақсыз егер q1 болса
u1+u2,...,uk-1+uk+... қатары жинақты болса Rn= k=1infinityun+k қосындысы осы қатардың n-ші қалдығы деп аталады.
Rn қалдығы үшін

Rn=S-Sn (5)
және
limn--infinityRn=limn--infinityS- Sn=0
теңдіктері орынды.

1+b+b2+b3+...+bn+...=k=0infinitybn, z!=0 (6)

Теорема (Коши критерийі). Қатарлары жинақты болуы үшін кез келген ε0 саны үшін nn0 болғанда
Sn+p-Sn = un+1+un+2+un+3+un+4+...+un+pε
теңсіздігі кез келген p натурал саны үшін орындалатындай n0 натурлар санының бар болуы қажетті немесе жеткілікті .
Теорема. (Жинақтылықтың қажетті белгісі) Егер k=1infinityun сандық қатары жинақты болса, онда limn--infinityun=0 болады.
Салдар. Егерlimn--infinityun!=0 болса, онда k=1infinityun сандық қатары жинақысыз болады.
Мысалдар қарастырып көрейік.
n=1 infinity4n+97n+12 .
Қатардың жалпы мүшесінің шегі
limn--infinity4n+97n+12=47!=0.
Онда, салдар бойынша, қатар жинақсыз.
1-1+1-1+1-1 ... +(-1)n-1+...
Қатардың жалпы мүшесінің шегі limn--infinity(-1)n-1 жоқ, яғни қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындалмайды, сол себепті берілген қатар жинақсыз болады.

1.1.1 Оң қатардың жинақтылық белгілері
Егер кез келген натурал n үшін un=0 болса, онда n=1infinityun қатары оң қатар деп аталады.

1.1.2 Салыстыру белгілері
1) 0infinityun 2)0infinityϑn (2)
қатарлары берілсін, мұндағы un 0, ϑn0.
Теорема. Егер un=ϑn, n=0,1,2,3,4... болса, онда:
0infinityϑn қатарының жинақтылығынан n=1infinityunқатарының жинақтылығы шығады;
k=1infinityun қатарының жинақсыздығынан 0infinityϑnқатарының жинақсыздығы шығады.

Теорема. Егер limn--infinityunϑn=А нөлден өзгеше сан болса, онда n=1infinityun және 0infinityϑn қатарларының жинақтылықтары бірдей болады.

Бұл екі теорема салыстыру белгілері деп аталады.

Мысалы қарастырып көрейік. n=1infinity1n3 қатарының жинақты болатынын біле отырып n=1infinity1n3n қатарын жинақтылыққа зерттейік. 1n3n1n3 , n=2,3,4,5,... , болғандықтын, теореманың бірінші тұжырымы бойынша, n=1infinity1n3n қатары да жинақты болады.
Мысал. n=1infinity1n3 қатарының жинақты болатынын біле отырып n=1infinitysin3n3 қатарын жинақтылыққа зерттейік.
limn--infinitysin3n31n3=3 - сан, олай болса, теорема бойынша n=1infinity1n3 қатарларының жинақтылықтары бірдей. Онда, есептің шарты бойынша n=1infinity1n3 қатары жинақты болғандықтан, n=1infinitysin3n3 қатары да жинақты болады.

Мысал. n=1infinity1n3n қатарының жинақты болатынын біле отырып n=1infinitynn3+1 - қатарларын жинақтылыққа зерттеуіміз керек .
Шешуі. limn--infinityunϑn=limn--infinity nn4+1*n3n1=1- сан болғандықтан, n=1infinitynn3+1 қатарымыз жинақты болады.

1.1.3 Даламбер белгісі
Егер limn--infinityun+1un=D болса, онда:
D1 болса n=1infinityun қатары жинақты;
D1 болса n=1infinityun қатары жинақcыз болады.
Мысал қарастырайық.
k=1infinity5nn+3!қатарын жинақтылыққа зерттеуіміз керек. Бізде un=5nn+3! , ал un+1=5n+1n+4! .
D=limn--infinity5n+1n+4!:5nn+3!=li mn--infinity5n+1n+4!*n+3!5n=limn-- infinity5n+4=0.
Сонымен D=01. Онда, теорема бойынша, k=1infinity5nn+3! қатары жинақты.
Мысал қарастырып көрейік. n=1infinity2n+1!7nn3 қатарын жинақтылыққы зерттейік. Бұл жерде an=2n+1!7nn3, an+1=2n+3!7n+1(n+1)3 . D санын табайық.
D=limn--infinityan+1an=limn--infi nity2n+3!7n+1(n+1)32n+1!7nn3=limn-- infinity2n+3!7n+1(n+1)3·7nn32n+1!= limn--infinity2n+32n+27limn--infi nitynn+13=+infinity.
D = +infinity 1 деп қабылданады. Олай болса қатар жинақсыз.

1.1.4 Кошидің радикалдық белгісі.
Егер limn--infinitynun=K болса, онда:
K1 болса n=1infinityun қатары жинақты;
K1 болса n=1infinityun қатары жинақcыз болады.

Мысал қарастырайық: 0infinity2n+723n+12n қатарын Коши белгісімен жинақтылыққа зерттеу керек
K=limn--infinityn2n+723n+12n=limn- -infinity2n+723n+12=231.
K1 , онда, Кошидің радикалдық белгісі бойынша, берілген қатар жинақты болады.

Мысал:
12+23+32+⋯nn+1+... қатарының жалпы мүшесі un=nn+1
limn--infinityun= limn--infinitynn+1 = limn--infinity1n+1n=1
Бұдан limn--infinityun = 1!=0. Сондықтан да бұл қатар жинақсыз.

Мысал: n=1infinity1nn қатарын жинақтылыққа зертте
Шешуі: Кошидің радикалдық белгісін қолданамыз. Шекті есептеу барысында n!≈2PInn+12e-n Cтирлинг формуласын қолданамыз. Cонда
limn--infinitynan=limn--infinityn n!nn =limn--infinityn2PInn+12ennn=infin ity қатар жинақсыз.

1.1.5 Кошидің интегралдық белгісі.
Егер f(x)-функция [0;+infinity) арасында оң, үзіліссіз және өспейтін болса, онда

0infinityfxdx (5)

меншіксіз интегралы мен

0infinityfn=f0+f1+f2+f3+...+.. (6)

қатарының екеуі де жинақты немесе екеуі де жинақсыз болады.

Мысал қарастырайық: n=1infinity4na,(α∈R) қатарын жинақтылыққа зерттеңіз.
Зерттеу. 1infinity4xαdx меншіксіз интегралды жинақтылыққа зерттейік.
1infinity4xadx=limb--infinity1b4xa dx=4·limn--infinity(b1-a-1)1-a, егер a!=1,4·lim b--infinitylnb, егер a=1 болса= infinity, егер a1,4a-1, егер a1,infinity, егер a=1 болса.
Сонымен, 1infinity4xαdx меншіксіз интегралы a=1 жағдайында жинақсыз, ал a1 жағдайында жинақты болып шықты, онда, Кошидің интегралдық белгісі бойынша, a=1 жағдайында қатар жинақсыз, ал a1 жағдайында қатар жинақты болады.
Мысал. Кошидің интегралдық белгісі бойынша n=1infinity12n+1α қатарының α1болса жинақты, ал α=1 болса жинақсыз болғатынын дәлелдеп беруге болады. α1 жағдайын қарастырумен шектелейік.
1infinity12х+1αdx= limb--infinity1b12х+1α=limn--infi nity-α2·2x+1α-1b1=
=limb--infinity(-α2·2b+1α-1+α2α·2+ 1α-1)=
=α2α·3α-1)infinity
Қатар жинақты.

Абсолют және шартты жинақты қатарлар
Анықтама. Егер таңбасы айнымалы u1+u2+...+un+... қатарының мүшелерінің абсолюттік шамаларынан құралған қатар
u1+u2+...+un+...
жинақты болса, онда берілген қатар абсолютті жинақты деп аталады.
Анықтама. Егер таңбасы айнымалы қатарының u1+u2+...+un+... мүшелерінің абсолюттік шамаларынан құралған u1+u2+...+un+...
қатары жинақсыз болса, ал оның өзі жинақты болса, онда мұндай қатар шартты жинақты деп аталады.
Егер:
an сандары оң an0, k=1,2,...
Ол сандар монофонды өсрейтін тізбек:an=an+1;
limn--infinityan=0 тең болса онда a1-a2+a3+...=n=1infinity-1n+1ak-Лей бниц қатары деп аталады.
Мысал: 1-12+13 ... .=n=1infinity-1n1n- Лейбниц қатары, шыныменде 1) 1n0 ; 2) 1n=1n+1, n=1,2,3 ... ,; 3) limn--infinity1n=0 оай болса қатар жинақты және оның қосындысы бірден аз, S=1 осы қосынды n=1infinity-1n1n=ln2.

Теорема. Абсолют жинақты қатардың мүшелерінң орындарын ауыстырғаннан оның жинақтылығы мен қосындысы өзгермейді.
Теорема. Шартты жинақты қатардың мүшелерінң орындарын сәйкесінше ауыстыру арқылы оның қосындысын қалауымызша өзгертуге немесе оны жинақсыз қатарға түрледіруге болады.
Анықтама. Кез келген көршілес екі мүшесінің таңбалары әр түрлі болатын сандық қатар таңбасы алма кезек ауыспалы қатар деп аталады.
Таңбасы алма кезек ауыспалы қатар u1-u2+u3+u4+...=n=1infinity-1n+1un, un0, n=1,2,3,4,..., (немесе un0, n=1,2,3,4,...) түрінде жазылады. Егерде un=un+1 (unмонотонды өспейтін тізбек) және limn--infinityun=0 болса, онда n=1infinity-1n+1un қатары Лейбниц қатары деп аталады.
Мысал қарастырайық:
1) 1-14+19-116+...=n=1infinity-1n+11n2 қатары - Лейбниц қатары.
Шындығында да, 1n20, n=1,2,3,4,5 ... ., , 1n2=1n+12 , n=1,2,3,4 ... және limn--infinity1n=0 шарттар орындалып тұруына байланысты қатар жинақты.
2) 16-662+1+772+1-882+1+...+-1nnn2+1+. ..
Қатарын жинақтылыққа зерттеу үшін Лейбниц белгісін қолданайық:
662+1=16+16,772+1=17+17, ... nn2+1=1 n+1n,...
болғандықтан, 16662+1772+1...nn2+1... теңсіздіктері орындалады, яғни un= nn2+1 кемімелі.
Екіншіден limn--infinityun=limn--infinitynn 2+1=0.
Лейбниц белгісінің барлық шарттары орындаып тұр, сол себепті қатар жинақты болады.
Теорема. Лейбниц типтес қатардың қалдығы үшін
Rn=un+1
теңсіздігі орынды болады.

Анықтама.u1+u2+u3+u4+...=n=1infinit yun (15)
қатарының мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған

u1+u2+u3+u4+...=n=1infinityun (16)
қатары жинақты болса
u1+u2+u3+u4+...=n=1infinityun

қатары абсолютті жинақты деп аталады.

Мысал. 1-13-132+133+...
қатарын абсолютті жинақтылыққа зерттеу керек.
Зерттеу. Берілген
1-13-132+133+...
қатарының мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған қатарды жазамыз:
1+13+132+133+... .

Бұл қатар, еселігі q = 13 болатын геометриялық қатар болады да,
q = 13 1 болғандықтан, жинақты қатар болады. Олай болса берілген қатар абсолютті жинақты болады.
Мысал.
1-12+13+...+(-1)n-1n+...
қатарын жинақтылыққа зерттеуіміз керек .
Бұл қатар - Лейбниц қатары, олай болса қатар жинақты.
Қатарды абсолютті жинақтылыққа зерттейік.
Қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан құрылған
1+12+13+...+1n+...
гармоникалық қатар, яғни жинақсыз қатар.
Сонымен, берілген қатар жинақты, бірақ абсолютті жинақты емес болып шықты. Олай болса, ол - шартты жинақты қатар.

Функционалдық қатарлар
1.3.1 Функционалдық қатарлардың ұғымы
Анықтама. Аргумент x-тің белгілі бір өзгеру облысында мүшелері анықталған функциялар болып келген
u1x+u2x+...+unx+...=n=1infinityunx
қатары функционалдық қатар деп атайды.
Мысал:

sinx+12⋅sin2x+...+12sinnx+...
қатары функционалдық қатарға жатады.

Анықтама. Функционалдық қатардың барлық жинақтылық нүктелерінің жиынын оның жинақтылық облысы деп аталады.

Мысал:
1x2+1x4+...+1x2n+...
Функционалдық қатарының жинақтылық облысын анықтау керек.
Шешуі: берілген қатардың мүшелер еселігі q = 1x2 - ке тең геометриялық прогрессияны құрайды. Геометриялық прогрессия қатары жинақты болуы үшін 𝑞 1 болуы керек, ал еселігі 𝑞 = 1 болса, онда ол жинақсыз болатыны белгілі. Сондықтан да берілген қатар
q = 1x2 1 немесе x2 1 мәндерінде жинақты болады.
Сонымен берілген қатар x-тің 𝑥 1 мәндерінде жинақты, яғни берілген функционалдық қатардың жинақтылық облысы −infinity 𝑥 −1 және 1 𝑥 +infinity интервалдарынан тұрады.

1.3.2 Дәрежелік қатарлар
Анықтама.
a0+a1x-a+a2x-a2+...=n=infinityanx-a n
түрінде берілген қатар дәрежелік қатар деп аталады. Мұндағы a және a0, a1, a2, an - тұрақты коэфициенттер. Дәрежелі қатар n=infinityanxn ,х=0 нүктесінде әр қашан жинақты болады.
Теорема. Дәрежелік
a0+a1x+a2x2+...+anxn+...
Қатарының жинақтылық облысы әдетте ( - 𝑅, 𝑅) интервалы болады.
( - 𝑅, 𝑅) интервалының әрбір нүктесінде қатар абсолютті жинақты болады. ( - 𝑅, 𝑅) интервалын дәрежелі қатардың жинақтылық интевалы деп аталады. Ал ол интервалдың жартысын, яғни R санын оның жинақтылық радиусы деп аталады.
Теорема. Егер
n=0infinitycnxn=c0+c1x+c2x2+c3x4+.. .cn-1xn-1+cnxn+... дәрежелік қатары x0 нүктесінде жинақты болса, онда ол (-x0, x0) арлығында абсолют жинақты болады.
Мысал: Дәрежелі n=1infinityn2xn2n қатардың жинақтылық обылысын анықтаңыз.
Бұл есепте Cn=n22n , Cn+1=n+122n+1, сондықтан R=limn--infinityCnCn+1=limn--infi nityn22nCnCn+1= 2
Олай болса берілген қатар (-2;2) аралығында жинақты.
Енді қатарды x=+-2 нүктелерінде жинақтылыққа зерттейік, x=+-2 дәрежелі қатар n=1infinityn2+-2n2n=n=1infinity∓1n2 түрінде келеді, алынған екі қатардың жинақтылықты қажетті шартын қанағаттандырмайтындықтан жинақсыз қатарлар болады. Олай болса берілген қатардың жинақтылықтық обылысы оның жинақтылықтық аралығымен бірдей (-2;2)

Тейлор қатары
f(x) функциясы (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) интервалында жинақты болатын дәрежелік қатардың қосындысы болсын
a0+a1x-a+a2x-a2+...+ anx-an+...=n=0infinityanx-an
Бұл жағдайда f(x) функциясын а нүктесінің айналасында (𝑥 − 𝑎) - ның дәрежесі бойынша дәрежелік қатарға жіктеледі деп атайды.
Жіктелген дәрежелік қатардың a0,a1,... an, ... коэффициенттерін анықтауымыз керек. Дәрежелік қатарды оның жинақтылық интервалында мүшелеп дифференциалдауға болатындығы оның нәтижесінде жинақтылық интервалы өзгермейтіні білгілі.
a0+a1x-a+a2x-a2+...+ anx-an+...=n=0infinityanx-an
Теңдікті x арқылы дифференциалдау арқылы жинақтылық интервалындағы х тің кез келген мәндері үшін орындалатын тепе теңдіктер аламыз:
fx=a0+a1x-a+a2x-a2+ a3x-a3+...
f'x=a1+2a2x-a+3a3x-a2+ 4a4x-a3+...+nanx-an-2+...
f''x = 2a2+2·3a3x-a+3·4a4x-a2+ 4a4x-a3+...+(n-1)·n·anx-an-2+...
f(n)x= n(n-1)(n-2)·...·3·2an+...
X=a болғанда, жоғарыдағы тепе теңдіктерден
fa=a0, f'a= a1, f''a= 2a2, f'''a=2·3a3,...
f(n)a= n(n-1)(n-2)·...·3·2an+...
Осылардан дәрежелік қатардың коэффициенттерін табамыз:
a0= fa, a1=f'a,a2=f''a2, a3=f'''a1·2·3,...
an=f(n)a1·2·3·...·n,...
Немесе

a0= fa, a1=f'a1!,a2=f''a2!, a3=f'''a3!,...
an=f(n)an!,...
Осы табылған коэффициенттерді
a0+a1x-a+a2x-a2+...+ anx-an+...=n=0infinityanx-an
Теңдігіне қойсақ:
fx=fa+f'a1!x-a+f''a2!x-a2+...+fnan! x-an+...
Сонымен егер f(x) функциясыx-a ның дәрежесі бойынша жіктелсе, онда ол қатарды келесі түрде жазуға болады:
fa+f'a1!x-a+f''a2!x-a2+...+fnan!x-a n+...== n=0infinityanx-an
қатарды функциясы үшін Тейлор қатары деп атайды.

Негізгі элементар функциялардың дәрежелік қатарға жіктелінулері

Кейбір элементарлық функциялардың дәрежелік қатарға қалай жіктелетіні жөнінде мысалдар келтірейік:
fx=ⅇx функциясын дәрежелік қатарға жіктеу.
Ол үшін ⅇx функциясының туындыларын табамыз:
f'x=ⅇx, f''x=ⅇx,...f(n)x=ⅇx,...
X=0 болғанда
f0=1,f'0=1, f''0=1,...f(n)0=1,...
fx=sinx функциясын дәрежелік қатарға жіктеу.
Ол үшін fx=sinx функциясының туындыларын табамыз:
fx=sinx
𝑓 ′ (𝑥) = cos 𝑥 = sinx+PI2
𝑓 ′′(𝑥) = −sin 𝑥 = sin x+2PI2
𝑓 ′′′(𝑥) = − cos 𝑥 = sinx+3PI2
fIVx=sinx= sinx+4PI2
f(n)x=sinx+nPI2
X=0 болғанда
f0=1,f'0=1, f''0=0,...fn0=-1, fIV0=0,...
fn0=sinnPI2
f(x) = cosx функциясын дәрежелік қатарға жіктеу.
Берілген функцияның және оның туындыларының X=0 нүктесіндегі мәндерін тауып, оларды Маклорен формуласына қойсақ:
cos=1-x22!+x44!⋯-1n-1⋅x2n-22n-2!+.. .=n=1infinity-1n-1⋅x2n-22n-2!
Бұл формула х өсіндегі барлық мәндері үшін орындалады және х тің кез келген мәнінде limn--infinityRn(x)=0
Биномдық қатар. f(x) = 1+xm функциясын х тің дәрежесі
бойынша жіктейік. Мұндағы m- кез келген нөлге тең емес нақты сан.
Берілген функцияның туындыларын анықтасақ:
f(x) = 1+xm
𝑓 ′ (𝑥) = 1+xm-1
𝑓 ′′(𝑥) = m(m-1)1+xm-2
𝑓 ′′′(𝑥) = m(m-1)(m-2)1+xm-3
f(n)x=mm-1m-2...(m-n+1)1+xm-n
X=0 болғанда
f0=1,
f'0=m,
f''0=mm-1
𝑓 ′′′(0) = m(m-1)(m-2)
fn0=mm-1m-2...(m-n+1)

Фурье қатары
Анықтама. a02+n=oinfinityancosnx+bnsinx тригометриялық қатардың коэфициенттері an=1PI-PIPIfxcosnx dx, bn=1PI-PIPIfxsinnx dx, формулаларымен анықталса, онда ол қатардың қосындысын f(x) функциясына тең болатын фурье қатары деп аталады.
an=1PI-PIPIfxcosnx dx, bn=1PI-PIPIfxsinnx dx, фурье қатарының коэффициенттері деп аталады.
Егер a02+n=1infinity(ancosnx+bnsinnx) қатарының коэффициентері формулаларымен анықталса, онда ол қатар f(x)- функциясының жинақты болуы болмауы байланыссыз f(x) функциясының фурье қатары деп аталады. Осы жағдай a02+n=1infinity(ancosnx+bnsinnx) түрінде жазылады. Формулаларымен анықталатын коэффициенттер Фурье коэффициентері деп аталады.
[-PI;+PI] аралығында интегралданатын кез келген функция үшін фурье мен құралған қатарлардың араларына үнемі теңдік белгісін қоя беруге болмайды.
Егер де периодты f(x) функцияның периодты 2PI және өзі шағын жатық функция болса немесе шағын бір сарынды болса онда әрбәр үздіксіздік нүктеде f(x)- функциясы Фурье қатарына жіктеледі, сонымен қатар f(x)- функциясының оң жақты және сол жақты шектерінің арифметикалық ортасына, яғни fx0-0+f(x0+0)2 санына жинақты болады.

ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУлары

2.1 Қатарлар мен шектерді есептерде қолданылулары

Бөлімдерімен алымдары нөлге ұмтылып жаста оны шешетін сан алуан жолдары бар. Мысалы: Лопиталь ережесі, баламалы шексіз сияқтылар және тағы басқа. Қатарлардың шегін табуға да тиімді жолдары бар. Егерде бөлшектің алымдары мен бөлімдері және х-тің дәрежмен берілсе дәрежелі қатарларға жіктеледі.
Мысалға fn(a)-табу жолы алдымен f(x)-функциясын х-ді a-аумағына Тейлор қатарларына жіктеп fna=Cn·n! Формулалары бойынша кез келген туындыларын табуға болады.
Негізі қатарлар теориясындағы функциясын интегралдауға, шығаруға болады. Мысалы: функция а мен b арқылы бір қалыпты жинақталып және қатарларға жіктелетін болса онда интегралдарда кез келген жағдайларда қатар жинақты деп өрнектесек болады. Интегал baf(x)dx астындағы қатарларға жіктеу арқылы интегралды табуға болады. Тағы айта кететін жәй анықталмаған интегралдарды, сонымен қатар кез келген жолдар арқылы интегралдау мүмкіндігі өте ауыр келетін анықталмаған интегралды табуға да болады.
Мысалдар қарастырып көрейік: 121ln(1+x)xdx интегралды қатарлар түрінде өрнектеу керек.
Алдымен интеграл төменіндегі функцияны х-тің дәрежесі Тейлор қатарымен істейік.
ln(1+x)x=1xn=1infinity-1n-1xnn=n=1i nfinity-1n-1xn-1n, [12,1] аралығында жинақты обылысында орналасады, сол себепті қатар осы кесіндіде мүшелеп тұрып интегралдауға болады. Интегралды орындап:
121ln(1+x)xdx=n=1infinity121-1n-1 xn-1ndx=n=1infinity-1n-1xnn2[121=n =1infinity-1n-1n21n-12n=n=1infinit y-1n-1n2*2n
Берілген қатардың қосындылары берілген интегралдардың мәндерін анықтайды.
Мысалы:
limn--infinity4+cosx3x3sinx-5x4 шегін табу керек.
limn--infinity4+cosx3x3sinx-5x4=li mn--infinity4x+cosx-15sinx3x5sinx= limn--infinity4x+x1-x22!+x44+...-1 5x-x33!+x55!-...x5=limn--infinity1 4!-35!·x5+-16!+37!·x6x5=14!-155!=-1 12
Мысалы:
fx=x7cos3x осы функцияны нөл нүктесіндегі тоғызыншы нүктесін тауып, алдымен Маклорен қатарларына жіктеу керек: x7cos3x=x71-3x22!+3x44!+...=x7-9x92 !+... Осылай болса енді f90=C99! болғанымен f110=-9!·92!=-1632960

2.1.1 Функцияның шегін қатарлар көмегімен есептеуде қолданылулары

Осы тақырып кішігірім қатарлардың тағы бір қосымшаларына арналған деуге болады, себебі кейбір шектерді қатарларымен белгісіздікті жоюмыз үшін қатарларымен ауыстыру тиімдірек болады.
limx--0sinxx=limx--0 (x-x33!+x55!-x77!+...)x= limx--01-x23!--0+x45!--0-x67!-- 0+...--0=1
Қатарлардың көптеген қосымшалары шамамен есептеуге арналған, осы жағдайда жалпылама нақты әдістермен айналысамыз, себебі функцияны қатарларға өзгертеміз. Осы сияқты керемет шектеулердіде дәлелдеуге болады.
limx--0ln1+xx=limx--0x-x22+x33-x4 4+...x=limx--0(1-x2--0+x23--0-.. .--0)=1
Мысалдар қарастырайық:
мысалдың берілуі шекті есептеу керек
limx--0(1-cos4x)5x=00=0 . Негізі көп мүшелердің cosa=1-a22!+a44!-... барлығын жазуының керекгі жоқ
limx--0(1-cos4x)5x=limx--01-1+42x 22!-44x44!+...5x=15limx--042x22!-4 4x44!+...x=15limx--042x2!--0-44x3 4!--0+...--0=15*0=0
Мысалы:
limx--0ex-e-x-2xx-sinx есепті тура шығарсақ limx--0ex-e-x-2xx-sinx=00 осылай шығады сол үшін функцияның шегін қатарлар көмегімен есептеу керек .
Алдымен a=x және a=-x үшін ea=1+a1!+a22!+a33!+... осы амалды қолдану керек.
ex-e-x-2x=1+x1!+x22!...-1-x1!+a22!- ...-2x=1+x+x22! +...-1+x-x22!+...-2x=2x+2x33!+2x55! +...-2x=2x33!+2x55!+... енді \
қолдану амалға келсек.
limx--0ex-e-x-2xx-sinx =limx--02x33!+2x55!+...x33!-x55!+. ..=00=limx--0x323!+2x25!+...x313!- x25!+...=limx--023!+2x25!--0+...1 3!-x25!--0+...=23!·3!=2
осылай шығады.

2.2 Функциялық қатарлардың қолданулары

Егер мүшелері n=0,1,2,3... функцияларынан құрастырылған өрнек функциялық қатарлар деп аталады.

a0x+a1x+a3x+...+an+...=k=0infinitya nx (17)

Мысалы: х- ке кез келген мәнді берсек, одан кейін функция n=0infinityanx сандық қатарға айналады.
Мысал қарастырсақ: k=1infinity1n2x=1+14x+19x+...+1n2x+ ...
функцияның анықталу обылысы D=(-infinity;+infinity). Осы қатарыда x-бірден үлкен болса жинақты, ал керісінше болса жинақсыз, сонда анықталу обылысынан жинақты бөлігін аламыз.
Мысалы: k=0infinityx2n=1+x2+x4+x6+...+x2n+. ..
Осы қатарлардың анықталу жиыны (-infinity;+infinity), бұл қатарлардың жинақталу жиыны-(-1;1) аралығы болып табылады. Неге деген сұрақ туындауы мүмкін, себебі біріңғай x2 - пенен еселеніп отырған, бұл геометриялық прогрессияның қосындысы болып табылады, егер де x=1, болса қатар жинақсыз.
Ал егер осындай теңдік берілсе: limn--infinitysupx∈∆Rnx=limn--inf initysupx∈∆Sx-Snx=0 теңдігі орындалу үшін, онда k=0infinityanx - қатар S(x)-функциясына ∆-аралығында негізі бір ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.