Қатарлар теориясының қолданылулары

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 34 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

Сәрсен Аманжолов атындағы

Шығыс Қазақстан университеті

Бақыт Бағизат

Қатарлар теориясының қолданылулары

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В012600 -«Математика-Физика» мамандығы

Өскемен, 2022

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

С. Аманжолов атындағы Шығыс Қазақстан университеті

«Қорғауға жіберілді»

«___»2022 ж.

«Математика» кафедрасының

меңгерушісі

Е. К.

Ергалиев

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Қатарлар теориясының қолданылулары

5В012600 - «Математика-Физика» мамандығы бойынша

Орындаған Бақыт Бағизат

Ғылыми жетекшісі

ф. -м. ғ. к., доцент Мухамедиев Г. Х

«__»2022 ж.

Нормабақылаушы Н. Б. Алимбекова

«__»2022 ж.

Өскемен, 2022

Мазмұны

КІРІСПЕ4

1 БӨЛІМ ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫ5

1. 1 Сандық қатарлар5

1. 2 Абсолют және шартты жинақты қатарлар7

1. 3 Функциялық қатарлар7

1. 4 Фурье қатары7

2 БӨЛІМ ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУ ЖОЛДАРЫ12

2. 1 Сандық қатарлардың қолданылулары12

2. 2 Қатарларға қолданылатын амалдар15

2. 3 Сандық қатардың жинақтылығының қолданулары16

2. 4 Абсолют және шартты жинақты қатарлардың жинақталуы18

2. 5 Функциялық қатарлардың қолданулары21

2. 5 Бір қалыпты қатардың қасиеттерінің қолданылулары22

2. 6 Тейлор қатарларының қолданулары23

2. 7 Функцияны дәрежелік қатарларға жіктеу26

2. 8 Қатарлар мен шектерді есептерде қолданылулары27

2. 9 Функцияның шегін қатарлар көмегімен есептеуде қолданылулары29

2. 10 Қатарларды жуықтап есептеуде қолданылулары30

2. 11 Қатарларды дифференциал теңдеулер арқылы қолданылулары31

2. 12 Фурье қатарына байланысты ақпарат33

2. 13 Функциялардың скаляр көбейтіндісі33

2. 14 Тригонометриялық қатарлардың қолданылулары35

2. 15 Қатар периодты пайдалану36

2. 16 Фурье қатарларының қолданылулары37

2. 17 Тақ, жұп функциялары40

ҚОРТЫНДЫ43

ӘДЕБИЕТТЕР44

КІРІСПЕ

Диплом жұмыс тақырыбы: «Қатарлар теориясының қолданылулары».

Диплом жұмысымның өзектілігі. Нақты шешімдерді талап ететін математикалық білімді білім алушыларға сапалы әрі тиянақты жеткізе білу қазіргі таңдағы өзекті мәселелердің бірі. Осы тұрғыда жоғарғы метематика бөлімдерінде көрініс табатын сандық және функциялды қатарлар теориясы дифференциалдық теңдеуде, аналитикалық сан және шек теориясы сияқты бірнеше бөлімдердегі есептерді шешуде қолданылуын көрсету маңызды. Қатарлар тәуелсіз ұғым ретінде ХVII ғасырлардын бастап қолданыла бастады. Ең алғаш қатарларды И. Ньютон және Г. Лейбниц алгебралық және дифференциалдық теңдеулерді шешуде пайдаланды. Жоғарыда айтылып кеткендей қатарлар математиканың әліппесі ретінде математиканы оқытудағы барлық мамандықтардағы білім беру пәндерінде маңызды орын алатыны анық. Диплом жұмысында қатарлар теориясының қолданылуын жан-жақты зерттеп көрсеттік. Қатарлар тақырыбына зерттеу жүргізе отырып, оның қолданылуын айшықтадық, және білім алушыларға түсінікті тілде жеткізу мақсатында есептер мен мысалдар көрсеттік. ЖОО оқытылатын бұл қатарлар теориясының кейбір элементарлық мәселелерін мектеп оқушыларының математика пәнінің факультатив сабақтарында таныстырып, үйретіп, есептер шығаруға дағдыландырдық. Бірінші тарауда сандық, абсолютті, шартты жинақты, функциялық, бірқалыпты, дәрежелік, функциялық дәрежелік және Фурье қатарлар теориясы қарастырылып, олардың дәлелдемесі көрсетіледі. Екінші тарауда аталған қатарлар теориясының қолданылуы, қолданылудағы амалдар және жіктелуі, сондай ақ есептері және оларды шешу жолдары көрсетіледі.

Диплом жұмысының зерттеу мақсаты - сандық қатарларымызбен функциялды қатарларымыздың теориясының қолданылуын зерттеу және бір текті теңдеулерді дәрежелі қатарлар теориясының қолданылуымен интегралды анықтамасын толыққанды қарастырып, осыған байланысты дифференциалды теңдеуіміздің шешімдерін көрсету. Қатарлар тақырыбын толықтай зерттей отырып, қолданылу аясын көрсету және білім алушылардың қатарларды қолдана отырып есептер шығару дағдыларын қалыптастыру. Қойылған мақсатымызды енді жүзеге асыруымыз үшін келесі міндетімізді шешу талап етілді.

Диплом жұмысының зерттеу міндеттері:

Сандық қатарлар ұғымымен танысу;
Қатарларға амалдар қолдану;
Қатарлардың негізгі қасиеттерін зерттеу;
Функциялық және бір қалыпты жинақталу қатарларының қолдануларына тоқталу;
Дәрежелі және Тейлор, Фурье қатарларының және Абель теоремасының қолдануларын түсіндіру;
Қатарлардың көмегімен интегралдау әдістерін көрсету;

Дипломдық жұмыстың ғылыми жаңашылдығы: білім беру мекемелерінде математика пәнін оқытуда, соның ішінде қатарлар теориясын оқытудың және оны қолданудың артықшылығын баяндау, мектеп оқушыларының математика пәні бойынша факультатив сабақтарында білім сапаларының көтерілуіне ықпал ету және логикалық ойлау қабілеттерін арттыруға септігін тигізу.

Диплом жұмысының зерттеу нысаны: жалпы білім беретін орта мектептердегі математика сабақтары, есептер және тест тапсырмалары, күрделі дәрежедегі деңгейлік тапсырмалар.

Диплом жұмысының теориялық және әдіснамалық негіздері: білім беру жүйесінің психологиялық-педагогикалық, ғылыми-әдістемелік әдебиеттермен, жаңашыл отандық және шетелдік ғалымдардың педагогтардың тәжірибиелері және баспасөзде жарық көрген ғылыми еңбектерді жинақтау, сұрыптау, талдау және т. б.

Диплом жұмысының құрылымы: диплом жұмысы кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және екі қосымшадан тұрады.

Диплом жұмысының зерттеу әдісі: қатарлар теориясының қолданылуын талдау, негізгі әдістерін көрсету.

БӨЛІМ ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫ

Сандық қатарлар

Сандық қатар және оның жнақтылығы мен қосындысы ұғымы.

$u_{n} = f(n), \ n\epsilon N$ функциясымен берілген $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n - 1}, \ u_{n}, \ldots$

сан тізбегін қарастырамыз.

Анықтама. Сандық қатар деп

$u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n - 1} + u_{n} + \ldots\$ = $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ (1)

өрнегін атаймыз.

Мұндағы $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n - 1}, u_{n}, \ldots.$ сандары қатардың мүшелері, ал

$u_{n} = f(n), \ n\epsilon N$ қатардың жалпы немесе n-ші мүшесі деп аталады.

Қатарларды

$\sum_{}^{}u_{n}, \ \ \ \ \ \ \ \sum_{1}^{\infty}u_{n}, \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{1}^{}u_{n}$ (2)

сиволдарымен де белгілейміз.

$S_{1} = u_{1}, S_{2} = u_{1} + u_{2}\ldots S_{k} = u_{1} + u_{2}\ldots. + u_{n}\ldots$ қосындыларын қатардың, сәйкесінше, бірінші, екінші және к - шы дербес қосындылары деп аталады:

$S_{1}, S_{2}, \ldots S_{n - 1}, S_{n}, \ldots$ - дербес қосындылар тізбегі.

Мысал қарастырып көрейік: $\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{n}{n + 4} = \frac{1}{5} + \frac{2}{6} + . . . + \frac{n}{n + 4} + . . }$ қатарларының дербес қосындылары $S_{1} = \frac{1}{5}, \ S_{2} = \frac{1}{5} + \frac{2}{6}, \ldots S_{(n - 1) } = \frac{n - 1}{n + 3}, \ldots$

$S_{n} -$ дербес қосындылар тізбегінің $\lim_{n \rightarrow \infty}{S_{n} = S}$ ақырлы шегі бар болса қатар жинақты деп, ал S-cаны қатардың қосындысы деп аталады.

$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$ шегі жоқ немесе шексіздікке тең болған жағдайда қатар жинақсыз деп аталады.

Мысалы: $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{(n + 1) (n + 2) }$ қатарын жинақтылыққа зерттеп, жинақты болған жағдайда оның қосындысын табу керек.

Шешуі. Қатардың n-ші дербес қосындысын табамыз:

$S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty}{\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + . . . + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 1) }. }$

$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \ \lim_{n \rightarrow \infty}{\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 1) } \right) = \ }\frac{1}{2}$ - сан, олай болса қатар жинақты және оның қосындысы $\frac{1}{2}$ санына тең.

Мысал:

$u + uq + uq^{2} + . . . + uq^{n - 1} + . .$

қатарын жинақтылыққа зертте, мұнда $\ q \neq 1$ .

Шешуі. Алдымен қатардың n-ші дербес қосындысын жазып алайық:

$S_{n} = a + aq + aq^{2} + aq^{3} + . . + aq^{n - 1} = a\frac{1 - q^{n}}{1 - q}.$

$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{a\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \ \left\{ \begin{array}{r} \frac{a}{1 - q}, \ егер\ q < 1, \ \\ \infty, \ егер\ q > 1\ \ болса. \end{array} \right. \ }$

Жинақтылықтың анықтамасы бойынша қатар жинақты, $егер\ q < 1$ , жинақсыз $егер\ q > 1\ \ болса$

$u_{1} + u_{2}, \ldots, u_{k - 1} + u_{k} + \ldots$ қатары жинақты болса $\ R_{n}$ = $\sum_{k = 1}^{\infty}u_{n + k}$ қосындысы осы қатардың n-ші қалдығы деп аталады.

$R_{n}$ қалдығы үшін

$R_{n} = S - S_{n\ \ \ \ }$ (5)

және

$\lim_{n \rightarrow \infty}{R_{n} =}\lim_{n \rightarrow \infty}\left( S - S_{n} \right) = 0$

теңдіктері орынды.

$1 + b + b^{2} + b^{3} + . . . + b^{n} + . . . = \sum_{k = 0}^{\infty}{b^{n}, \ \ \ \ (z \neq 0) }$ (6)

Теорема (Коши критерийі) . Қатарлары жинақты болуы үшін кез келген $\varepsilon > 0$ саны үшін ${n > n}_{0}\$ болғанда

$\left S_{n + p} - S_{n} \right\ \ = \ \ \ \ \ \ \left u_{n + 1} + u_{n + 2} + u_{n + 3} + u_{n + 4} + . . . + u_{n + p} \right < \varepsilon$

теңсіздігі кез келген p натурал саны үшін орындалатындай $n_{0\ }$ натурлар санының бар болуы қажетті немесе жеткілікті .

Теорема. (Жинақтылықтың қажетті белгісі) Егер $\sum_{k = 1}^{\infty}u_{n}$ сандық қатары жинақты болса, онда $\lim_{n \rightarrow \infty}{u_{n} = 0}$ болады.

Салдар. Егер $\lim_{n \rightarrow \infty}{u_{n} \neq 0}$ болса, онда $\sum_{k = 1}^{\infty}u_{n}$ сандық қатары жинақысыз болады.

Мысалдар қарастырып көрейік.

∑n=1∞4n+97n+12\sum_{n = 1\ }^{\infty}\frac{4n + 9}{7n + 12}.

Қатардың жалпы мүшесінің шегі

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{4n + 9}{7n + 12} = \frac{4}{7} \neq 0. }$

Онда, салдар бойынша, қатар жинақсыз.

1-1+1-1+1-1…. +(−1) n−1{( - 1) }^{n - 1}+ . . .

Қатардың жалпы мүшесінің шегі $\lim_{n \rightarrow \infty}{( - 1) }^{n - 1}$ жоқ, яғни қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындалмайды, сол себепті берілген қатар жинақсыз болады.

1. 1. 1 Оң қатардың жинақтылық белгілері

Егер кез келген натурал n үшін $\ u_{n} \geq 0\ \$ болса, онда $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ қатары оң қатар деп аталады.

1. 1. 2 Салыстыру белгілері

$1) \ \sum_{0}^{\infty}{u_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) \sum_{0}^{\infty}\vartheta_{n}}$ (2)

қатарлары берілсін, мұндағы $u_{n} > \ \$ 0, $\vartheta_{n} > 0$ .

Теорема. Егер $u_{n} \leq \vartheta_{n},$ n=0, 1, 2, 3, 4… болса, онда:

∑0∞ϑn\sum_{0}^{\infty}\vartheta_{n}қатарының жинақтылығынан∑n=1∞un\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}қатарының жинақтылығы шығады;
∑k=1∞un\sum_{k = 1}^{\infty}u_{n}қатарының жинақсыздығынан∑0∞ϑn\sum_{0}^{\infty}\vartheta_{n}қатарының жинақсыздығы шығады.

Теорема. Егер $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{\vartheta_{n}} = А\$ нөлден өзгеше сан болса, онда $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$ және $\sum_{0}^{\infty}\vartheta_{n}$ қатарларының жинақтылықтары бірдей болады.

Бұл екі теорема салыстыру белгілері деп аталады.

Мысалы қарастырып көрейік. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}$ $\$ қатарының жинақты болатынын біле отырып $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}\sqrt{n}}$ қатарын жинақтылыққа зерттейік. $\frac{1}{n^{3}\sqrt{n}} < \frac{1}{n^{3}}\, \ n = 2, 3, 4, 5, \ldots\,$ болғандықтын, теореманың бірінші тұжырымы бойынша, $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}\sqrt{n}}$ қатары да жинақты болады.

Мысал. $\ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}$ $\$ қатарының жинақты болатынын біле отырып $\sum_{n = 1}^{\infty}{\sin\frac{3}{n^{3}}}$ қатарын жинақтылыққа зерттейік.

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sin\frac{3}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{3}}} = 3\$ - сан, олай болса, теорема бойынша $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}$ $\$ қатарларының жинақтылықтары бірдей. Онда, есептің шарты бойынша $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}$ $\$ қатары жинақты болғандықтан, $\sum_{n = 1}^{\infty}{\sin\frac{3}{n^{3}}}$ қатары да жинақты болады.

Мысал. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}\sqrt{n}}\$ қатарының жинақты болатынын біле отырып $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{3} + 1}$ -қатарларын жинақтылыққа зерттеуіміз керек .

Шешуі. $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{\vartheta_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sqrt{n}}{n^{4} + 1}*\frac{n^{3}\sqrt{n}}{1}} = 1$ - сан болғандықтан, $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{3} + 1}$ қатарымыз жинақты болады.

1. 1. 3 Даламбер белгісі

Егер $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = D\$ болса, онда:

D<1болса∑n=1∞un\ D < 1\ болса\ \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}қатары жинақты;
D>1болса∑n=1∞unD > 1\ болса\ \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}қатары жинақcыз болады.
Мысал қарастырайық.
∑k=1∞5n(n+3) !\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{5^{n}}{(n + 3) !}қатарын жинақтылыққа зерттеуіміз керек. Біздеun=5n(n+3) !u_{n} = \frac{5^{n}}{(n + 3) !}, алun+1=5n+1(n+4) !u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 4) !}.
D=lim⁡n→∞5n+1(n+4) !:5n(n+3) !=lim⁡n→∞5n+1(n+4) !*(n+3) !5n=lim⁡n→∞5(n+4) =0{D = \lim_{n \rightarrow \infty}}{\frac{5^{n + 1}}{(n + 4) !}:}\frac{5^{n}}{(n + 3) !} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{5^{n + 1}}{(n + 4) !}*\frac{(n + 3) !}{5^{n}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{5}{(n + 4) } = 0.
СоныменD=0<1D = 0 < 1. Онда, теорема бойынша, ∑k=1∞5n(n+3) !\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{5^{n}}{(n + 3) !}қатары жинақты.
Мысал қарастырып көрейік. ∑n=1∞(2n+1) !7nn3\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n + 1) !}{7^{n}n^{3}}қатарын жинақтылыққы зерттейік. Бұл жердеan=(2n+1) !7nn3a_{n} = \frac{(2n + 1) !}{7^{n}n^{3}}, an+1=(2n+3) !7n+1(n+1) 3a_{n + 1} = \frac{(2n + 3) !}{7^{n + 1}({n + 1) }^{3}}. DDсанын табайық.
D=lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞(2n+3) !7n+1(n+1) 3(2n+1) !7nn3=lim⁡n→∞(2n+3) !7n+1(n+1) 3⋅7nn3(2n+1) !=lim⁡n→∞(2n+3) (2n+2) 7lim⁡n→∞(nn+1) 3=+∞D = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\frac{(2n + 3) !}{7^{n + 1}({n + 1) }^{3}}}{\frac{(2n + 1) !}{7^{n}n^{3}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{(2n + 3) !}{7^{n + 1}({n + 1) }^{3}} \cdot \frac{7^{n}n^{3}}{(2n + 1) !} =}}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(2n + 3) (2n + 2) }{7}\lim_{n \rightarrow \infty}\left( \frac{n}{n + 1} \right) ^{3} = + \infty.
DD=+∞+ \infty> 1 деп қабылданады. Олай болса қатар жинақсыз.

1. 1. 4 Кошидің радикалдық белгісі.

Егер $\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n] {u_{n}} = K$ болса, онда:

K<1болса∑n=1∞un\ K < 1\ болса\ \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}қатары жинақты;
K>1болса∑n=1∞unK > 1\ болса\ \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}қатары жинақcыз болады.

Мысал қарастырайық: $\sum_{0}^{\infty}\left( \frac{(2n + 7) ^{2}}{(3n + 1) ^{2}} \right) ^{n}$ қатарын Коши белгісімен жинақтылыққа зерттеу керек

${K = \lim_{n \rightarrow \infty}}\sqrt[n] {\left( \frac{(2n + 7) ^{2}}{(3n + 1) ^{2}} \right) ^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(2n + 7) ^{2}}{(3n + 1) ^{2}} = \frac{2}{3} < 1.$

$K < 1\$ , онда, Кошидің радикалдық белгісі бойынша, берілген қатар жинақты болады.

Мысал:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + \cdots\frac{n}{n + 1} + \ldots$ қатарының жалпы мүшесі $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}u_{n}$ = $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{n + 1}$ = $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n + \frac{1}{n}} = 1$

Бұдан $\lim_{n \rightarrow \infty}u_{n}$ = 1 $\neq$ 0. Сондықтан да бұл қатар жинақсыз.

Мысал: $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}$ қатарын жинақтылыққа зертте

Шешуі: Кошидің радикалдық белгісін қолданамыз. Шекті есептеу барысында $n! \approx \sqrt{2\pi}n^{\frac{n + 1}{2}}e^{- n}$ Cтирлинг формуласын қолданамыз. Cонда

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n] {a_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n] {\frac{n!}{n^{\sqrt{n}}\ }} = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n] {\frac{\sqrt{2\pi}n^{n + \frac{1}{2}}e^{n}}{n^{\sqrt{n = \infty$ қатар жинақсыз.

1. 1. 5 Кошидің интегралдық белгісі .

Егер $f(x)$ -функция $\lbrack 0; + \infty)$ арасында оң, үзіліссіз және өспейтін болса, онда

$\int_{0}^{\infty}{f(x) dx}\$ (5)

меншіксіз интегралы мен

$\sum_{0}^{\infty}{f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + . . \ }\$ (6)

қатарының екеуі де жинақты немесе екеуі де жинақсыз болады.

Мысал қарастырайық: $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4}{n^{a}}$ , $(\alpha \in R)$ қатарын жинақтылыққа зерттеңіз.

Зерттеу. $\int_{1}^{\infty}{\frac{4}{x^{\alpha}}dx}$ меншіксіз интегралды жинақтылыққа зерттейік.

$\int_{1}^{\infty}\frac{4}{x^{a}}dx = \lim_{b \rightarrow \infty}{\int_{1}^{b}\frac{4}{x^{a}}dx = \left\{ \begin{array}{r} 4 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(b^{1 - a} - 1) }{1 - a}, \ егер\ a \neq 1, \\ \underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b \rightarrow \infty}{4 \cdot \lim}lnb, \ егер\ a = 1\ болса \end{array} \right. \ = \ \left\{ \begin{array}{r} \infty, \ егер\ a < 1, \\ \frac{4}{a - 1}, \ егер\ a > 1, \\ \infty, \ егер\ a = 1\ болса. \end{array} \right. \ \ }$