Кейбір сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің периодтық шешімдерін табу

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

Кейбір сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің периодтық шешімдерін табу.

1 Автономды сызықты емес жүйелердің периодты шешімдері

Егер бірінші жуықтау бойынша тұрақтылықты талдау кезінде бірінші жуықтау жүйесі тұрақты (стационар) болса, онда сызықты емес жүйенің орнықтылығы туралы мәселе

dxdt=Ax+Ft,x (1.1)

мұндағы x=x1,...,xn, А матрицасының меншікті мәндерімен келесі жағдайларда шешіледі.
1. А матрицасының барлық меншікті мәндерінің теріс нақты бөліктері бар.
2. Бұл матрицаның кем дегенде бір меншікті мәнінің оң нақты бөлігі бар.
Бірінші жағдайда теңдеудің нөлдік шешімі

dxdt=Ax (1.2)

орнықты, яғни ол еркін үлкен бастапқы возмущений қатысты асимптотикалық орнықты, ал (1.2) теңдеуінің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты болады, егер сызықты емес F(t, x) осы талапты қанағаттандырса:

F(t, x)x--0 x--0

t, t0tinfinity бойынша равномерно. Екінші жағдайда (1.1) және (1.2) теңдеулерінің нөлдік шешімі F функцияға қатысты орнықсыз.
Алайда, егер А матрицасының кем дегенде бір меншікті мәнінің нөлдік нақты бөлігі бар болса, ал қалған ρj меншікті мәндері үшін Re ρj0 шарты орындалса, онда сызықты емес жүйенің орнықтылығы туралы мәселе, жалпы айтқанда, бірінші жуықтау жүйесімен шешілмейді. Төменде көрсетілгендей, нөлдік шешімнің маңайында (1.1) теңдеуінің бастапқы возмущений қатысты периодты (орнықты немесе орнықсыз) шешімдері болуы мүмкін. Мұндай шешімдер сызықты емес жүйеде (1.1) теңдеуінде сипатталған ауытқуларды анықтайды.
Осы бөлімде біз периодты шешімдерді құруға қатысты кейбір мәселелерді қарастырамыз. Қалай болғанда да, есептеудің нәтижелері екі жағдайға байланысты әр түрлі: (1.1) теңдеуіндегі F(t, x) сызықты емес функциясы t - дан тәуелді немесе тәуелсіз.
Бұл теориялық жағынан да, практикалық жағынан да алсақ, мұндай шешімдердің болу шарттарын алу сөзсіз қызығушылық тудырады.

1.1 Квазисызықты автономды жүйелердің периодты шешімдері

Біз осы теңдеулермен сипатталған жүйенің әрекетін қарастырамыз:

dxidt=Fi x1,...,xn, μ, i=1, 2,... , n, (1.3)

мұндағы μ - сандық параметр. (1.3) жүйесінің оң жақ бөліктері уақытқа тәуелсіз болғандықтан, оның x=xt, μ шешіміне x=xt-t1, μ шешімі сәйкес келеді, мұндағы t1 - еркін момент уақыт. Сондықтан бұл жүйенің периодты шешімі (егер бар болса) t1 ретінде алуға болатын кем дегенде бір параметрге тәуелді. Басқа параметр, яғни μ параметрі, периодты шешімдерді құру барысында пайда болатын қатарлардың жинақталуын қамтамасыз ету үшін аз деп саналады. Келесі төменде берілген шарттарды орындау арқылы осы шешімдерді құрамыз:
а) Кейбір x1,...,xn айнымалылар аймағында және μ=0 нүктесінің кішкентай маңайында x1,...,xn және μ бойынша Fi функциялары аналитикалық болады;
б) μ=0 кезінде (1.3) теңдеулері

dxidt=k=1naikxk (1.4)

периоды T болатын x=φt периодты шешімі бар сызықты жүйеге келеді.
Егер 1.3 теңдеулер жүйесінің периодты шешімге бар болса, онда оның T1 периоды, жалпы айтқанда, T - дан өзгеше болады және оны осы түрде жазуға болады:

T1=T+αμ (1.5)

Пуанкер теоремасы 1. Егер (1.4) теңдеуі а) және б) шарттарын қанағаттандырса, ал периоды T болатын μ=0 нүктесінде периодты шешімі бар болса, онда

xi=φit, i=1, 2, ... , n, (1.6)

бастапқы шартқа сәйкес келетін (1.3) жүйесінің шешімі

xi0=φ0+αi, i=1, 2, ... , n, (1.7)

және осындай түрде берілетін

xi=xit, α1, ...,αn,μ, i=1, 2, ... , n, (1.8)

болады:
1) α1, ...,αn және μ - ге қатысты аналитикалық;
2) (1.5) периодымен периодты, егер α1, ...,αn шамаларын периодтылық шартынан

кси≡xiT+α, α1,...,αn,μ-xi0,α1,...,αn,μ=0, i=1, 2, ..., n, (1.9)

табуға болатын болса, (біреуін нәлге тең деп алып, мысалы, an-ді), μ=0 үшін μ аналитикалық функциялары нөлге айналады.
Бұл теореманың дәлелдеуін қарастырмай, оның қолдануын практикалық түрде қарастырайық. Ең алдымен, теореманың барлық шарттарын орындағанда жүйенің (1.3) периодты шешімін (1.8) кішкентай μ - де жинақталатын қатар

xit=φit+μφ1it+μ2φ2it+ ... , i=1, 2, ... , n, (1.10)

ретінде беруге болады, мұндағы φit - 1.4 вырожденной жүйесінің периодты шешімдерін анықтайтын функциялар 1.6.
1.9 периодтылықтың шартынан табу керек болатын параметрдің белгісіз функцияларының саны μ,α1,...,αn теңдеулердің санынан 1 - ге көп. Алайда, αi сандарының бірі, мысалы, αn саны, нөлге тең деп алынады, сондықтан бұл неопределенность устраняется. Уақыттың басталу кезеңін немесе тұрақты t1 - ді (бұл туралы жоғарыда айтылған болатын) біз ерікті түрде таңдай аламыз. Общность решентя восстанавливается тем
Егер сызықты емес теңдеулер жүйесінің 1.3 периодты шешімін (1.5 периодымен) 1.10 түрінде берсек, онда xit функциялардың периодты болуынан:

xit+T+α=xit

T+α периодымен φikt функцилардың периодты болуы не следует, яғни 1.10 функцияларының оң жақтары, жалпы айтқанда, осы теңдеулерді қанағаттандырмайды:

φit+T+α=φit, φikt+T+α=φikt

Бұл күтпеген факт болып көрінбеуі керек, себебі 1.10 шешім μ параметріне тәуелді, ал 1.10 оң жағында осы параметрдің дәрежелері бойынша шешімдерді разложение берілген.
Мысалы, sin1+μt функциясының периоды 2PI1+μ. μ параметрінің дәрежелері бойынша оны қатарға разложение, аламыз:

sin1+μt=sint+μtcost-μ2t22sint + ...

Осы теңдіктің оң жағындағы μ μ, μ2, ... әрбір дәрежесіндегі қосындылар t возрастанием шектеусіз өседі. Осы жерден шығатын маңызды қорытынды аламыз, яғни 1.3 жүйенің периодты шешімін жуықтап табу кезінде қатарлардың частичные қосындысын қолдану ұсынылмайды. Олар шешімнің периодты болуы туралы түсінік бермейді.
Периодты шешімнің практикалық жуықтауын құру үшін Ляпунов әдісін қолданамыз. Бұл алдымен басқа шамаға ауыстыру арқылы 1.3 жүйенің преоброзуется к сообственному времени

τ=1T+αt 1.11

Нәтижесінде жаңа автономды жүйе, периодтық шешімнің периоды алынатын уақытты өлшеу бірлігі шығады. μ - ден тәуелді α шамасы осы параметрдің дәрежелері бойынша қатарға разлгагается. Сондықтан

T+α=T(1+h1μ+h2μ2+ ...).

Жүйенің меншікті колебаний көрінісі 1.1 hi коэффициенттеріне в разложении φik функциялары үшін периодтылық шарттарын орындауға мүмкіндік береді.
Ұсынылған процедураның жалпы схемасы ұзақтау және қызықсыздау преобразование байланысты, сондықтан оны жалпы түрде бермейміз, салыстырмалы түрде қарапайым мысалды егжей-тегжейлі талдаумен шектелеміз.
Мысал 1.1 Берілген теңдеудің периодты шешімін

d2xdt2+k2x=μfx, dxdt (1.12)

μ бойынша аналитикалық, μ=0 болғанда, периодты шешімге келетін теңдеуді

d2xdt2+k2x=0 (1.13)

құрыңыз.
Меншікті уақытқа көшу үшін

τ=2PIT+αt=kt1+h1μ+h2μ2+ ...-1

деп алып, мұндағы k=2PIT - (1.13) теңдеуінің периодты шешімінің частота. Онда

dxdt=dxdτk1+h1μ+h2μ2+ ...-1,

d2xdt2=dxdτk21+h1μ+h2μ2+ ...-2,

және (1.12) теңдеуін төмендегідей жазуға болады

d2xdτ2+x1+h1μ+h2μ2+ ...2=

= μk2fx, kdxdτ1+h1μ+h2μ2+ ...-11+h1μ+h2μ2+ ...2. (1.14)

Бұл теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз

xτ=φτ+μφ1τ+μ2φ2τ+ ... , 1.15

мұндағы φτ - 1.13 теңдеуінің шешімі, ал φ1τ, ... - периоды 2PI болатын функциялар.
1.15 функцияларын 1.14 теңдеулеріне қойып, алатынымыз

d2φdτ2+μd2φ1dτ2+μ2d2φ2dτ2+ ...+φτ+μφ1τ+

+μ2φ2τ+ ...1+μh1+μ2h2+ ...2=μk2f∙

∙φτ+μφ1τ+μ2φ2τ+ ... , kdφdτ+μdφ1dτ+μ2dφ2dτ+...∙

∙1+h1μ+h2μ2+ ...-11+h1μ+h2μ2+ ...2. 1.16

Осы теңдеудің сол және оң жақтарының μ параметрінің бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіріп, φτ, φ1τ, φ2τ,... қатысты рекуррентті дифференциалды теңдеулер аламыз.
μ2 болғанда, алатынымыз

d2φdτ2+φ=0 1.17

және, демек, φτ=Acosτ+Bsinτ.
φτ 1.17 теңдеуінің периодты шешімі болғандықтан, әрқашан осындай уақыт мезеті τ=t1 табылады

dφdτ=0 τ=t0.

t1=0 деп алсақ болады, сондықтан B=0. Осылай φτ ретінде шешімді таңдаймыз

φτ=Acosτ.

1.16 теңдеуіндегі μ1 - дің коэффициенттерін теңестіріп, алатынымыз

d2φ2dτ2+φ1=-2h0φ+1k2fφ,kdφdτ

және, демек,

d2φ1dτ2+φ1=-4h1φ+1k2fAcosτ,-kAsinτ.

Бұл теңдеудің жалпы шешімін мына түрде беруге болады

φ1τ=A1cosτ+B1sinτ-2h1A0τcoss sinτ-sds+

+1k20τfAcoss,-kAsinssinτ-sds.

Периодтылықтың шарттары

φ12PI=φ10, dφ12PIdτ=dφ1φ10dτ

теңдеулерге алып келеді

2h1A02PIcosssinsds=1k202PIfAcoss,-k Asinssinsds,

2h1A02PIcos2s ds=1k202PIfAcoss,-kAsinscossds,

немесе

02PIfAcoss,-kAsinssinsds=0,
1.18
h1=12APIk202PIfAcoss,-kAsinscossds.

Теңдеулердің біріншісі 1.18 А тұрақтысын анықтайды, осылайша ол сол

φτ=Acosτ

1.17 теңдеуіндегі шешімдерді "таңдайды", около которых имеется периодическое решение уравнения 1.12. Теңдеулердің екіншісі 1.18 дает поправку частоту колебаний системы в первом приближении. Бірінші жуықтауда

T1≈T1+μh1

деп алып және сызықты емес жүйенің 1.18 тербеліс жиілігін ω арқылы белгілеп, кіші μ болғанда табамыз

ω≈k1+h1μ≈k1-h1μ

немесе

ω=k-μ2PIAk02PIfAcoss,-kAsinscossds.

Сондай дәрежемен бұл формуланың орнына келесі формуланы алуға болады:

ω2=k2-μPIA02PIfAcoss,-kAsinscossds.

Демек, 1.12 теңдеуінің периодты шешімінің бірінші жуықтауын осындай түрде аламыз

xτ,μ=Acosτ+μA1cosτ+B1sinτ-2h1A0τcos ssint-sds+

+1k20τfAcoss,-kAsinsds,

мұндағы A1 және B1 - еркін тұрақтылар, ал h1 және A 1.18 формулаларымен анықталады. Собственное время τ t - мен τ=k4-h1μμt формуламен байланысты.

1.2 Крылов әдісі

Ляпунов әдісі арқылы сызықты емес жүйенің периодты шешімінің барлық жуықтауларын табуға болады. Ол үшін 1.16 теңдеуіндегі μ - дің келесі бірдей дәрежелеріндегі коэффициенттерді теңестіру қажет, кезек бойынша екінші, үшінші және тағы сол сияқты жуықтауларды аламыз. Бірақ сонымен қатар қажетті есептеулердің көлемі артады. Бұл жағдай әдістің практикалық қолдануының мүмкіндіктерін шектейді. Оны қажет болған кезде тек бірінші немесе екінші жуықтауды құрғанда қолдану ұсынылады. Жуықтаудың жоғарғы ретті дәрежесін алу үшін екінші, үшінші және келесі жуықтауларды құруды айтарлықтай жеңілдететін Крылов әдісін қолдану ұсынылады. Біз оның мазмұнын қарапайым мысалда қарастырамыз.
Мысал 1.2
Процесс Пуанкер теоремасының барлық шарттарын қанағаттандыратын теңдеумен сипатталсын

d2xdt2+k2x+μx3=0. 1.19

Егер формальді құрылған разложении

xt=φt+μφ1t+μ2φ2t+ ... 1.20

барлық функциялар φτ, φ1τ, φ2τ,... периоды бірдей периодты функциялар анықталса, онда 1.20 қатар 1.19 теңдеуінің периодты шешімі болады. Периодтылықтың шарттарын орындау үшін Крылов тиімді әдіс ұсынды, яғни қатардың құрылуымен бірге μ кіші параметрі бойынша жиіліктің квадратының разложение құрылады

p2=k2+h1μ+k2μ2+... ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.