Кейбір сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің периодтық шешімдерін табу

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

Кейбір сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің периодтық шешімдерін табу.

1 Автономды сызықты емес жүйелердің периодты шешімдері

Егер бірінші жуықтау бойынша тұрақтылықты талдау кезінде бірінші жуықтау жүйесі тұрақты (стационар) болса, онда сызықты емес жүйенің орнықтылығы туралы мәселе

$\frac{dx}{dt} = Ax + F(t, x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1)$

мұндағы $x = \left\{ x_{1}, \ldots, x_{n} \right\}$ , А матрицасының меншікті мәндерімен келесі жағдайларда шешіледі.

1. А матрицасының барлық меншікті мәндерінің теріс нақты бөліктері бар.

2. Бұл матрицаның кем дегенде бір меншікті мәнінің оң нақты бөлігі бар.

Бірінші жағдайда теңдеудің нөлдік шешімі

$\frac{dx}{dt} = Ax\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 2)$

орнықты, яғни ол еркін үлкен бастапқы возмущений қатысты асимптотикалық орнықты, ал $(1. 2)$ теңдеуінің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты болады, егер сызықты емес $F(t, \ x)$ осы талапты қанағаттандырса:

$\frac{\left\ F(t, \ x) \right\}{\left\ x \right\} \rightarrow 0\ \ \left\ x \right\ \rightarrow 0$

$t, \ t_{0} < t < \infty\$ бойынша равномерно . Екінші жағдайда $\ (1. 1)$ және $(1. 2)$ теңдеулерінің нөлдік шешімі F функцияға қатысты орнықсыз.

Алайда, егер А матрицасының кем дегенде бір меншікті мәнінің нөлдік нақты бөлігі бар болса, ал қалған $\rho_{j}$ меншікті мәндері үшін ${Re\ \rho}_{j} > 0$ шарты орындалса, онда сызықты емес жүйенің орнықтылығы туралы мәселе, жалпы айтқанда, бірінші жуықтау жүйесімен шешілмейді. Төменде көрсетілгендей, нөлдік шешімнің маңайында $(1. 1)$ теңдеуінің бастапқы возмущений қатысты периодты (орнықты немесе орнықсыз) шешімдері болуы мүмкін. Мұндай шешімдер сызықты емес жүйеде $(1. 1)$ теңдеуінде сипатталған ауытқуларды анықтайды.

Осы бөлімде біз периодты шешімдерді құруға қатысты кейбір мәселелерді қарастырамыз. Қалай болғанда да, есептеудің нәтижелері екі жағдайға байланысты әр түрлі: $(1. 1)$ теңдеуіндегі $F(t, \ x)$ сызықты емес функциясы $t$ - дан тәуелді немесе тәуелсіз.

Бұл теориялық жағынан да, практикалық жағынан да алсақ, мұндай шешімдердің болу шарттарын алу сөзсіз қызығушылық тудырады.

1. 1 Квазисызықты автономды жүйелердің периодты шешімдері

Біз осы теңдеулермен сипатталған жүйенің әрекетін қарастырамыз:

$\frac{dx_{i}}{dt} = F_{i}\ \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, \ \mu \right), \ \ \ i = 1, \ 2, \ldots\, \ n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 3)$

мұндағы $\mu$ - сандық параметр. $(1. 3)$ жүйесінің оң жақ бөліктері уақытқа тәуелсіз болғандықтан, оның $x = x(t, \ \mu) \$ шешіміне $x = x\left( t - t_{1}, \ \mu \right) \$ шешімі сәйкес келеді, мұндағы $t_{1}\$ - еркін момент уақыт. Сондықтан бұл жүйенің периодты шешімі (егер бар болса) $t_{1}$ ретінде алуға болатын кем дегенде бір параметрге тәуелді. Басқа параметр, яғни $\mu$ параметрі, периодты шешімдерді құру барысында пайда болатын қатарлардың жинақталуын қамтамасыз ету үшін аз деп саналады. Келесі төменде берілген шарттарды орындау арқылы осы шешімдерді құрамыз:

а) Кейбір $x_{1}, \ldots, x_{n}\$ айнымалылар аймағында және $\mu = 0$ нүктесінің кішкентай маңайында $x_{1}, \ldots, x_{n}$ және $\mu$ бойынша $F_{i}$ функциялары аналитикалық болады;

б) $\mu = 0$ кезінде $(1. 3)$ теңдеулері

$\frac{dx_{i}}{dt} = \sum_{k = 1}^{n}{a_{ik}x_{k}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 4)$

периоды T болатын $x = \varphi(t)$ периодты шешімі бар сызықты жүйеге келеді.

Егер $(1. 3)$ теңдеулер жүйесінің периодты шешімге бар болса, онда оның $T_{1}$ периоды, жалпы айтқанда, T - дан өзгеше болады және оны осы түрде жазуға болады:

$T_{1} = T + \alpha(\mu) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 5)$

Пуанкер теоремасы 1. Егер $(1. 4)$ теңдеуі а) және б) шарттарын қанағаттандырса, ал периоды T болатын $\mu = 0$ нүктесінде периодты шешімі бар болса, онда

$x_{i} = \varphi_{i}(t), \ \ i = 1, \ 2, \ \ldots\, \ n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 6)$

бастапқы шартқа сәйкес келетін $(1. 3)$ жүйесінің шешімі

$x_{i}(0) = \varphi(0) + \alpha_{i}, \ \ i = 1, \ 2, \ \ldots\, \ n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 7)$

және осындай түрде берілетін

$x_{i} = x_{i}\left( t, \ \alpha_{1}, \ \ldots, \alpha_{n}, \mu \right), \ \ i = 1, \ 2, \ \ldots\, \ n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 8)$

болады:

1) $\alpha_{1}, \ \ldots, \alpha_{n}$ және $\mu$ - ге қатысты аналитикалық;

2) $(1. 5)$ периодымен периодты, егер $\alpha_{1}, \ \ldots, \alpha_{n}$ шамаларын периодтылық шартынан

кси $\equiv x_{i}\left( T + \alpha, \ \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \mu \right) - x_{i}\left( 0, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \mu \right) = 0, \ \ i = 1, \ 2, \ \ldots, \ n, \ \ \ \ \ (1. 9)$

табуға болатын болса, ( $біреуін\ нәлге\ тең\ деп\ алып, \ \ мысалы, \ \ a_{n} - ді$ ), $\mu = 0$ үшін $\mu$ аналитикалық функциялары нөлге айналады.

Бұл теореманың дәлелдеуін қарастырмай, оның қолдануын практикалық түрде қарастырайық. Ең алдымен, теореманың барлық шарттарын орындағанда жүйенің $(1. 3)$ периодты шешімін $(1. 8)$ кішкентай $\mu$ - де жинақталатын қатар

$x_{i}(t) = \varphi_{i}(t) + \mu\varphi_{1i}(t) + \mu^{2}\varphi_{2i}(t) + \ . . . \ \, \ \ i = 1, \ 2, \ \ldots\, \ n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 10)$

ретінде беруге болады, мұндағы $\varphi_{i}(t)$ - $(1. 4)$ вырожденной жүйесінің периодты шешімдерін анықтайтын функциялар $(1. 6)$ .

$(1. 9)$ периодтылықтың шартынан табу керек болатын параметрдің белгісіз функцияларының саны ${\mu, \alpha}_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ теңдеулердің санынан 1 - ге көп. Алайда, $\alpha_{i}$ сандарының бірі, мысалы, $\alpha_{n}$ саны, нөлге тең деп алынады, сондықтан бұл неопределенность устраняется . Уақыттың басталу кезеңін немесе тұрақты $t_{1}$ - ді (бұл туралы жоғарыда айтылған болатын) біз ерікті түрде таңдай аламыз. Общность решентя восстанавливается тем

Егер сызықты емес теңдеулер жүйесінің $(1. 3)$ периодты шешімін ( $(1. 5)$ периодымен) $(1. 10)$ түрінде берсек, онда $x_{i}(t)$ функциялардың периодты болуынан:

$x_{i}(t + T + \alpha) = x_{i}(t)$

$T + \alpha$ периодымен $\varphi_{ik}(t)$ функцилардың периодты болуы не следует , яғни $(1. 10)$ функцияларының оң жақтары, жалпы айтқанда, осы теңдеулерді қанағаттандырмайды:

$\varphi_{i}(t + T + \alpha) = \varphi_{i}(t), \ {\ \ \ \varphi}_{ik}(t + T + \alpha) = \varphi_{ik}(t)$

Бұл күтпеген факт болып көрінбеуі керек, себебі $(1. 10)$ шешім $\mu$ параметріне тәуелді, ал $(1. 10)$ оң жағында осы параметрдің дәрежелері бойынша шешімдерді разложение берілген.

Мысалы, $\sin(1 + \mu) t$ функциясының периоды $\ \frac{2\pi}{1 + \mu}$ . $\mu$ параметрінің дәрежелері бойынша оны қатарға разложение , аламыз:

$\sin(1 + \mu) t = sint + \mu tcost - \frac{\mu^{2}t^{2}}{2}sint\ + \ . . . \$

Осы теңдіктің оң жағындағы $\mu$ $\left( \mu, \ \ \mu^{2}, \ \ldots \right) \$ әрбір дәрежесіндегі қосындылар t возрастанием шектеусіз өседі. Осы жерден шығатын маңызды қорытынды аламыз, яғни $(1. 3)$ жүйенің периодты шешімін жуықтап табу кезінде қатарлардың частичные қосындысын қолдану ұсынылмайды. Олар шешімнің периодты болуы туралы түсінік бермейді.

Периодты шешімнің практикалық жуықтауын құру үшін Ляпунов әдісін қолданамыз. Бұл алдымен басқа шамаға ауыстыру арқылы $(1. 3)$ жүйенің преоброзуется к сообственному времени

$\tau = \frac{1}{T + \alpha}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 11)$

Нәтижесінде жаңа автономды жүйе, периодтық шешімнің периоды алынатын уақытты өлшеу бірлігі шығады. $\mu$ - ден тәуелді $\alpha$ шамасы осы параметрдің дәрежелері бойынша қатарға разлгагается . Сондықтан

$T + \alpha = T(1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ . . . )$ .

Жүйенің меншікті колебаний көрінісі $(1. 1)$ $h_{i}$ коэффициенттеріне в разложении $\varphi_{ik}$ функциялары үшін периодтылық шарттарын орындауға мүмкіндік береді.

Ұсынылған процедураның жалпы схемасы ұзақтау және қызықсыздау преобразование байланысты, сондықтан оны жалпы түрде бермейміз, салыстырмалы түрде қарапайым мысалды егжей-тегжейлі талдаумен шектелеміз.

Мысал 1. 1 Берілген теңдеудің периодты шешімін

$\frac{d^{2}x}{{dt}^{2}} + k^{2}x = \mu f\left( x, \ \frac{dx}{dt} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 12)$

$\mu$ бойынша аналитикалық, $\mu = 0$ болғанда, периодты шешімге келетін теңдеуді

$\frac{d^{2}x}{{dt}^{2}} + k^{2}x = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 13)$

құрыңыз.

Меншікті уақытқа көшу үшін

$\tau = \frac{2\pi}{T + \alpha}t = kt\left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ . . . \right) ^{- 1}$

деп алып, мұндағы $k = \frac{2\pi}{T}$ - $(1. 13)$ теңдеуінің периодты шешімінің частота. Онда

$\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\tau}k\left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ . . . \right) ^{- 1},$

$\frac{d^{2}x}{{dt}^{2}} = \frac{dx}{d\tau}k^{2}\left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ . . . \right) ^{- 2},$

және $(1. 12)$ теңдеуін төмендегідей жазуға болады

$\frac{d^{2}x}{{d\tau}^{2}} + x\left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ \ldots \right) ^{2} =$

$= \ \frac{\mu}{k^{2}}f\left( x, \ k\frac{dx}{d\tau}\left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ \ . . . \right) ^{- 1} \right) \left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ \ . . . \right) ^{2}. \ \ \ \ (1. 14)$

Бұл теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз

$x(\tau) = \varphi(\tau) + \mu\varphi_{1}(\tau) + \mu^{2}\varphi_{2}(\tau) + \ . . . \ \, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 15)$

мұндағы $\varphi(\tau)$ - $(1. 13)$ теңдеуінің шешімі, ал $\varphi_{1}(\tau)$ , . . . - периоды $2\pi$ болатын функциялар.

$(1. 15)$ функцияларын $(1. 14)$ теңдеулеріне қойып, алатынымыз

$\frac{d^{2}\varphi}{{d\tau}^{2}} + \mu\frac{d^{2}\varphi_{1}}{{d\tau}^{2}} + \mu^{2}\frac{d^{2}\varphi_{2}}{{d\tau}^{2}} + \ . . . + \left( \varphi(\tau) + \mu\varphi_{1}(\tau) + \right. \$

${+ \left. \ \mu^{2}\varphi_{2}(\tau) + \ . . . \right) \left( 1 + {\mu h}_{1} + {\mu^{2}h}_{2} + \ \ . . . \right) }^{2} = \frac{\mu}{k^{2}}f \bullet$

$\bullet \left\lbrack \varphi(\tau) + \mu\varphi_{1}(\tau) + \mu^{2}\varphi_{2}(\tau) + \ . . . \, \ k\left( \frac{d\varphi}{d\tau} + \mu\frac{d\varphi_{1}}{d\tau} + \mu^{2}\frac{d\varphi^{2}}{d\tau} + . . . \right) \bullet \right. \$

$\left. \ \bullet \left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ \ . . . \right) ^{- 1} \right\rbrack\left( 1 + h_{1}\mu + h_{2}\mu^{2} + \ \ . . . \right) ^{2}. \ \ \ (1. 16)$

Осы теңдеудің сол және оң жақтарының $\mu$ параметрінің бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіріп, $\varphi(\tau), \ \ \varphi_{1}(\tau), \ \ \varphi_{2}(\tau), \ldots$ қатысты рекуррентті дифференциалды теңдеулер аламыз.

$\mu^{2}$ болғанда, алатынымыз

$\frac{d^{2}\varphi}{{d\tau}^{2}} + \varphi = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 17)$

және, демек, $\varphi(\tau) = A\cos\tau + B\sin\tau.$

$\varphi(\tau)$ $(1. 17)$ теңдеуінің периодты шешімі болғандықтан, әрқашан осындай уақыт мезеті $\tau = t_{1}$ табылады

$\frac{d\varphi}{d\tau} = 0\ \left( \tau = t_{0} \right) . \$

$t_{1} = 0$ деп алсақ болады, сондықтан $B = 0$ . Осылай $\varphi(\tau)$ ретінде шешімді таңдаймыз

$\varphi(\tau) = A\cos\tau.$

$(1. 16)$ теңдеуіндегі $\mu^{1}$ - дің коэффициенттерін теңестіріп, алатынымыз

$\frac{d^{2}\varphi_{2}}{{d\tau}^{2}} + \varphi_{1} = - 2h_{0}\varphi + \frac{1}{k^{2}}f\left( \varphi, k\frac{d\varphi}{d\tau} \right)$

және, демек,

$\frac{d^{2}\varphi_{1}}{{d\tau}^{2}} + \varphi_{1} = - 4h_{1}\varphi + \frac{1}{k^{2}}f\left( A\cos\tau, - kA\sin\tau \right) .$

Бұл теңдеудің жалпы шешімін мына түрде беруге болады

$\varphi_{1}(\tau) = A_{1}\cos\tau + B_{1}\sin\tau - 2h_{1}A\int_{0}^{\tau}{\cos{s\ \sin(\tau - s) }}ds +$

$+ \frac{1}{k^{2}}\int_{0}^{\tau}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\sin(\tau - s) ds.$

Периодтылықтың шарттары

$\varphi_{1}(2\pi) = \varphi_{1}(0), \ \ \frac{d\varphi_{1}(2\pi) }{d\tau} = \frac{d\varphi_{1}\left( \varphi_{1}(0) \right) }{d\tau}$

теңдеулерге алып келеді

$2h_{1}A\int_{0}^{2\pi}{\cos s\sin sds =}\frac{1}{k^{2}}\int_{0}^{2\pi}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\sin sds,$

$2h_{1}A\int_{0}^{2\pi}{\cos^{2}s\ ds =}\frac{1}{k^{2}}\int_{0}^{2\pi}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\cos sds, \$

немесе

$\int_{0}^{2\pi}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\sin sds = 0,$

$(1. 18)$

$h_{1} = \frac{1}{2A\pi k^{2}}\int_{0}^{2\pi}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\cos sds.$

Теңдеулердің біріншісі $(1. 18)$ А тұрақтысын анықтайды, осылайша ол сол

$\varphi(\tau) = A\cos\tau$

$(1. 17)$ теңдеуіндегі шешімдерді "таңдайды", около которых имеется периодическое решение уравнения $(1. 12)$ . Теңдеулердің екіншісі $(1. 18)$ дает поправку частоту колебаний системы в первом приближении. Бірінші жуықтауда

$T_{1} \approx T\left( 1 + \mu h_{1} \right)$

деп алып және сызықты емес жүйенің $(1. 18)$ тербеліс жиілігін $\omega$ арқылы белгілеп, кіші $\mu$ болғанда табамыз

$\omega \approx \frac{k}{1 + h_{1}\mu} \approx k\left( 1 - h_{1}\mu \right)$

немесе

$\omega = k - \frac{\mu}{2\pi Ak}\int_{0}^{2\pi}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\cos sds.$

Сондай дәрежемен бұл формуланың орнына келесі формуланы алуға болады:

$\omega^{2} = k^{2} - \frac{\mu}{\pi A}\int_{0}^{2\pi}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) }\cos sds.$

Демек, $(1. 12)$ теңдеуінің периодты шешімінің бірінші жуықтауын осындай түрде аламыз

$x(\tau, \mu) = A\cos\tau + \mu\left\{ A_{1}\cos\tau + B_{1}\sin\tau - 2h_{1}A\int_{0}^{\tau}{\cos s\sin{(t - s) ds +}} \right. \$

$\left. \ + \frac{1}{k^{2}}\int_{0}^{\tau}{f\left( A\cos s, - kA\sin s \right) ds} \right\},$

мұндағы $A_{1}$ және $B_{1}$ - еркін тұрақтылар, ал $h_{1}$ және $A$ $(1. 18)$ формулаларымен анықталады. Собственное время $\tau$ t - мен $\tau = k\left( 4 - h_{1}\mu \right) \mu t$ формуламен байланысты.

1. 2 Крылов әдісі

Ляпунов әдісі арқылы сызықты емес жүйенің периодты шешімінің барлық жуықтауларын табуға болады. Ол үшін $(1. 16)$ теңдеуіндегі $\mu$ - дің келесі бірдей дәрежелеріндегі коэффициенттерді теңестіру қажет, кезек бойынша екінші, үшінші және тағы сол сияқты жуықтауларды аламыз. Бірақ сонымен қатар қажетті есептеулердің көлемі артады. Бұл жағдай әдістің практикалық қолдануының мүмкіндіктерін шектейді. Оны қажет болған кезде тек бірінші немесе екінші жуықтауды құрғанда қолдану ұсынылады. Жуықтаудың жоғарғы ретті дәрежесін алу үшін екінші, үшінші және келесі жуықтауларды құруды айтарлықтай жеңілдететін Крылов әдісін қолдану ұсынылады. Біз оның мазмұнын қарапайым мысалда қарастырамыз.

Мысал 1. 2

Процесс Пуанкер теоремасының барлық шарттарын қанағаттандыратын теңдеумен сипатталсын

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + k^{2}x + \mu x^{3} = 0. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 19)$

Егер формальді құрылған разложении

$x(t) = \varphi(t) + \mu\varphi_{1}(t) + \mu^{2}\varphi_{2}(t) + \ . . . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 20)$

барлық функциялар $\varphi(\tau), \ \ \varphi_{1}(\tau), \ \ \varphi_{2}(\tau), \ldots$ периоды бірдей периодты функциялар анықталса, онда $(1. 20) \$ қатар $(1. 19)$ теңдеуінің периодты шешімі болады. Периодтылықтың шарттарын орындау үшін Крылов тиімді әдіс ұсынды, яғни қатардың құрылуымен бірге $\mu$ кіші параметрі бойынша жиіліктің квадратының разложение құрылады

$p^{2} = k^{2} + h_{1}\mu + k_{2}\mu^{2} + . . . \$

$(1. 19)$ теңдеуінің нақты $\mu$ - дің екінші дәрежесіне дейін периодты шешімін алу үшін, табатынымыз

$x(t) = \varphi(t) + \mu\varphi_{1}(t) + \mu^{2}\varphi_{2}(t),$

$(1. 21)$

$p^{2} = k^{2} + h_{1}\mu + k_{2}\mu^{2}.$

Осы өрнектерді $(1. 10)$ теңдеуіне қоямыз

$\frac{d^{2}\varphi(t) }{{dt}^{2}} + \mu\frac{d^{2}\varphi_{1}(t) }{{dt}^{2}} + \mu^{2}\frac{d^{2}\varphi_{2}(t) }{{dt}^{2}} + \left( p^{2} - h_{1}\mu - h_{2}\mu \right) \left\lbrack \varphi(t) + \right. \$

$\left. \ + \mu\varphi_{1}(t) + \varphi_{3}(t) \right\rbrack + \mu\left\lbrack \varphi(t) + \mu\varphi_{1}(t) + \mu^{2}\varphi_{4}(t) \right\rbrack^{3} = 0$

$\mu$ - дің бірдей дәрежелерінде коэффициенттерін нөлге теңестіріп, $\varphi(t), \ \ \varphi_{1}(t)$ және $\varphi_{2}(t)$ функцияларын табу үшін келесі теңдеулерді аламыз: