Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

І-тарау. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар.
§1. Көрсеткіштік функция. Оның қасиеттері және графигі.
Анықтама: у = aх, α 0, α != 1 формуласы арқылы берілген функцияны көрсеткіштік функция деп атайды.

1 сурет.

2 сурет.
Мұндағы, α саны - көрсеткіштік функцияның негізі, ал тәуелсіз айнымалы x - дәреженің көрсеткіші.
Табиғатта және адам өмірінде кейбір шамалардың белгілі бір шамаға олардың тұрақты аралықтағы қатынасы уақытқа тәуелді болмайтындай өзгеретін процестердің көп саны бар. Олардың ішінде заттардың радиоактивті ыдырауы, банктік шоттағы соманың өсуі және т.б. Бұл процестердің барлығы экспоненциалды функциямен сипатталады.

Көрсеткіштік функцияның негізгі қасиеттері төмендегідей:
1) Анықталу облысы - барлық нақты сандар жиыны, яғни x Euro R;
2) Мәндер жиыны - барлық оң нақты нақты сандар жиыны, яғни у Euro R+;
3) Негізі α 1 болғанда функция анықталу облысында өспелі, ал 0 α 1 болғанда кемімелі функция;
4) Барлық x Euro R нақты сандар жиынында у = ax(α 0, α != 1) функциясы үзіліссіз;
5) Кез келген α 0 үшін а0 = 1, демек, у = ax графигі координаталары (0;1) болатын нүкте арқылы өтеді.
Көрсеткіштік функция үшін х және у-тің кез келген нақты мәндерінде мына теңдіктер орындалады:
aх x aу = ax+y; ахау = ax-y; (ab)x = axx bx; (ab)x = axbx; (ax)y = axy.
Функцияның жоғарыда аталған қасиеттерін дәлелдейік.
Дәлелдеу.
1) Негізі α 0 болғанда, х - тің кез келген мәні үшін ах дәрежесін есептеуге болады. Олай болса, y = ах функциясының анықталу облысы - барлық нақты сандар жиыны.
2) у = ах, α 0, α != 1 функциясының мәні кез келген х нақты саны үшін оң сан. Демек, y =ах функциясының мәндер жиыны барлық оң нақты сандар жиыны болады.
3) Ох осінің бойынан кез келген х1 және х2(х1 х2) нүктелерін (сандарын) алсақ, осы екі нүктеге сәйкес келетін фукнция мына мәндерді қабылдайды: у1 = ax1, y2 = ax2.
α1 жағдайында кіші аргументке функцияның кіші мәні, үлкен аргументке функцияның үлкен мәні сәйкес болғандықтан, ax1 ax2.Осы заңдылық функцияның анықталу облысының жиынындағы кез келген екі нүкте үшін орындалады. Олай болса, α 1 болғанда у = ax функциясы - өспелі функция.
Көрсеткіштік функцияның негізі 0 α 1 болғанда жоғарыда айтылған заңдылық керісінше орындалады, кіші аргументке функцияның үлкен мәні, үлкен аргументке функцияның кіші мәні сәйкес болғандықтан ax1 ax2 . Демек, 0 α 1 аралығында y = ах функциясы - кемімелі функция.

Мысал ретінде y =3х және y =( 13)х функцияларының графигін қарастырайық.
I.y =3х функциясының графигін салу үшін төмендегі кестені құрамыз:
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
y =3х
127
19
13
1
3
9
27

(-3;127), (-2;19), (-1;13), (0;1), (1;3), (2;9), (3;27) нүктелерін координаталық жазықтыққа түсіргеннен кейін оларды қоссақ,
y =3х функциясының графигін аламыз. (3-сурет).
Графиктен берілген функцияның өспелі функция екенін байқаймыз.
II.y = (13)х функциясының графигін салу үшін мына 3-сурет
кестені құрамыз:

х
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = (13)х
27
9
3
1
13
19
127

(-3;27), (-2;9), (-1;3), (0;1), (1;13), (2;19), (3;127) нүктелерін координаталық жазықтыққа түсіріп және оларды қоссақ, y = (13)х функциясының графигін аламыз. (4-сурет).
Графиктік берілген функцияның анықталу облысында кемімелі екенін көреміз.
Енді y =ах, α 0, α != 1 функциясының графигі 5-суретте, ал 0 α 1 болғандағы графигі 6-суретте көрсетілген.
y =3х және y = (13)х көрсеткіштік функцияларының графиктерін бір координата-
4-сурет
лық жазықтыққа салайық (7-сурет). Суреттен аталған функциялардың графиктері Оу осіне қарағанда симметриялы екенін көреміз. Осыдан мына тұжырымды аламыз: егер екі көрсеткіштік функцияның негіздері өзара кері сандар болса, онда ол функциялардың графиктері Оу осіне қарағанда ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.