Математикалық физика теңдеулері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 38 бет
Таңдаулыға:

1. Пән туралы ақпарат Математикалық физика теңдеулері
2. Пәннің қысқаша сипаттамасы.

Курстың мақсаты: Математикалық физика теңдеулері басқа математикалық әдістерді, математика және физика салаларын зерттеп үйренуге дайындау.Студенттердің логикалық ойлау,математикалық пайымдау дәрежелерін және математикалық мәдениетін физика,техника,жаратылыстану ғылымдарында кездесетін есептер мен проблемаларды шеше білу деңгейіне жеткізу.
Пәннің міндеті. Бұл пәннің математикалық аппаратының дұрыстығы,тұтастығы,мықтылығы біріншіден қатаң логикалық құрылымына байланысты болса,екіншіден олар практика жүзінде тексеріліп,пайдалланылып отырады.Теориялық негіз болып саналатын дербес туынды дифференциялдар теңдеулерінің белгілі топтарына қойылатын Коши және шекаралық есептерінің шешімдерінің болуымен олардың жалғыздығы туралы.
Курсқа сипаттама. Табиғаттың объективті заңдарын сапалық жағынан зерттейтін физика ғылымы математиканың іргелі ұғымдарына сүйенеді, сонымен бірге математика заңдылықтарды сандық көрсеткіштермен толықтырады. Макро және микро әлемдерде жүріп жатқан өзгерістер мен құбылыстарды әр жақты көзқараста үрлі ғылымдар саласы ( физика,механика, биология, химия т.с.с. )зерттеулерімен қатар, олардың математикалық моделдерін дербес туынды дифференциалдық теңдеулер жүйесімен өрнектеуге болады. Бұл теңдеулерді математикалық физика теңдеулері деп атайды, ал олардың шешімдері болып жатқан құбылыстардың заңдылығын көрсетеді.
Математикалық физика теңдеулерінің әдістері мен теориялық нәтижелерін пайдалану мақсатында,ең алдымен зерттелуші облыс үшін маңызды шамаларды белгілеп алу керек.Содан кейін осы шамаларға байланысты белгілі қисындар мен заңдылықтар негізінде қосымша шарттар анықталуы тиіс.Сонда ғана белгісіз шамалар дифференциялдық теңдеулерден иабылады және олар бір мәнді болады.Атап өтетін жәйт,математикалық физиканың кез келген бір ғана есебі әр түрлі құбылыстардың,заңдылықтардың моделі бола алады.

3. Пререквизиттер: Пәнді меңгеру үшін студенттің мектеп курсы көлеміндегі математика бағдарламасын және математикалық талдау, алгебра,аналитикалық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, кешенді айнымалы функциялар теориясы, функционалдық талдау, интегралды теңдеулер пәндерін жетік білгені жөн. Жалпы алғанда студенттің математикалық білімі жеткілікті деңгейде болуы тиіс.
4. Постреквизиттер: (оқытылатын пәннен алған білімдері қолданылатын пәндер тізімі): математикалық физиканың теңдеулері,функциялар теориясы сандық әдістер, тиімділеу әдістері және операциялық зерттеулер, функционалдық анализ және т.б.

5. Күнтізбелік-тақырыптық жоспар.

№

Пән тақырыптарының аталуы
апта
Дәрісханалық сабақтар
Дәрісханалық емес сабақтар
Барлы
ғы
(сағ)

Дәріс (сағ.)
Прсем.зертх.
студ саб (сағ.)

БОӨЖ
БӨЖ

1
Кіріспе.Екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді классфикациялау және канондық түрге келтіру.
1
1
2
1,5
5
9,5
2
Гиперболалық типтегі теңдеулер
2
1
2
1,5
5
9,5
3
Коши есебі.
3
1
2
1,5
5
9,5
4
Тербеліс теңдеуі үшін аралас есеп
4
1
2
1,5
5
9,5
5
Фуре әдісінің жалпы сызбасы
5
2
2
1,5
5
10,5
6
Біртексіз теңдеу үшін аралас есепті меншікті функциялар әдісімен шешу.
6
2
2
1,5
5
10,5
7
Параболалық типтегі теңдеулер.
7
2
2
1
5
10
8
Коши есебі және жылуөткізгіш теңдеу.
8
1
2
2
5
10
9
Шектік шарттары біртексіз жылуөткізгіштік теңдеуі
9
1
2
2
5
10
10
Эллиптикалық типтегі теңдеулер.
10
1
2
2
5
10
11
Лаплас теңдеуі үшін негізгі шектік шарттарды қолдану.
11
2
2
2
5
11
12
Нейман және Дирихленің ішкі және сыртқы есептері.Пуассон формуласы.
12
2
2
2
5
11
13
Біртексіз Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебін меншікті функциялар әдісімен шешу.
13
1
2
1,5
5
9,5
14
Грин функция әдісі.
14
1
2
1,5
5
9,5
15
Потенциялдар теориясы

15
1
2
2
5
10

Барлығы:

20
30
25
75
150

6. Дәріс сабақтарының мазмұны

1-дәріс. Кіріспе. Екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді классификациялау және канондық түрге келтіру.
Дәрістің мақсаты: Математикалық физика теңдеулеріне және оның негізгі ұғымдарына анықтама беру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Математикалық физика есептерінің қойылуы.Анықтама.
2) Екінші ретті дербес туындылардағы теңдеулерді жіктеу және канондық түрге келтіру.
3) Шешімдер түсінігі.Классикалық және жалпы.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Математикалық физика теңдеулеріне қойылатын есептер.
Математикалық физика теңдеулері - физиканы математика пәндерімен байланыстырады яғни физикалық процестерді математикалық анализ апаратымен зерттей отырып дифференциялдық теңдеулерді құрамыз
Математикалық физика есебі деп келесі екі шартты айтамыз
1. Теңдеу
2. Қосымша шарттар
Құрылған теңдеулер 2,3 және n айнымалы функциядан және оның дербес туындыларынан құрылады.
Теңдеулер орындалу үшін қосымша шарттар қойылады,бастапқы және шектік шарттар.
Көп айнымалы функцияның теңдеуі келесі түрде болады.
F(x1,x2..,xn,t, u(x1,x2..,xn,),dk1+k2+kndx1dx2dxn) =0 (1)
n=2: F(x,y,t,u(x,y),ut,ux,uy,utt,uxx,uyy )=0 (2)

(1) мен (2) ге қосымша шарттар қойылады.

1. Бастапқы шарт t=0, u(x,0)=φ(x), ut(x,0)=ψ(x)(3)
2. x=0, u(0,t)=φ(t), ux(0,t)=ψ(t)
3. x=l, u(l,t)=φ(t), ux(l,t)=ψ( (4)

(1) мен (2) ге (3) пен (4) шарттары қойылса онда математикалық физиканың есебі құрылған дейміз.
Анықтама: Егер (1)мен (2) теңдеулер t уақыттан тәуелсіз болса,онда физикалық процесс стационарлық деп аталады.
Анықтама:Егер теңдеудің бастапқы шектік шарты берілсе,онда ол аралас есеп деп аталады.
Анықтама:Егер теңдеудің бастапқы шарты берілсе,онда ол есеп Коши есебі деп аталады.
Анықтама: Математикалық физика есебі дұрыс қойылған деп аталады,егер:
1) шешімі болса;
2) жалғыз шешім;
3) Шарттқа қатысты тұрақты шешім
Екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді классификациялау және канондық түрге келтіру.
Классикалық және жалпылама шешім туралы түсінік.
Анықтама: Pzx+Qzy=0 (**), дифференциялды теңдеуі берілсін
Pdx=Qdy (*).
Егер φ(x,y)=C (*) жалпы интегралы болса, z(x,y)= φ(x,y) (**) жалпы шешім болады.
Екінші дербес туындылы сызықты теңдеулер үш топқа бөлінеді:гиперболалық,параболалық,э ллиптикалық.
Екінші ретті дербес туындылы теңдеуін келесі түрде жазайық.
Мұндағы A, B, C:

-- коэффициенті. Бұл теңдеуді канондық түрге элементар түрлендірудің көмегімен келтірейік. Ady2−2Bdxdy+Cdx2=0. Бұл характеристикалық теңдеу деп аталады. Ол конустық қисықтың теңдеуіне ұқсас.
Конустық қисық тәрізді дискриминанттың таңбасына байланысты
( D=B2-AC) эллипстерге, параболалар мен гиперболаларға бөлінеді.
1. Гиперболалық теңдеу,
2. -- Эллиптикалық теңдеу,
3. -- Параболалық теңдеу,
Бұл жерде берілген нүктеде A, B, C коэффициенттері бір мезетте нөлге айналмайды деп аламыз. Барлық A, B, C коэффициенттері тұрақты болған жағдайда теңдеудің x және y. Айнымалылар жазықтығының барлық нүктелерінде бір типті болады. A, B, C коэффициенттері x және y ке тәуілді болса,онда берілген теңдеу гиперболалық(эллипстік) жататын нүктелер жиыны жазықтықта гиперболалық (эллипстік) деп аталатын ашық облысты түзеді,ал теңдеуді параболалық типке жатқызатын нүктелер жиыны тұйық болады.
Өздік жұмыс тапсырмалары:
1. Математикалық физиканың толық қойылған есебі дегеніміз не?
2. Қандай құбылыс стационар құбылыс деп аталады?
3. Классикалық және жалпылама шешімдерге анықтама бер.
4. Коши есебіне анықтама беріңіз.
5. Дербес туындылы теңдеудің классификациясын ата.
Негізгі әдебиеттер: [1], [6]
Қосымша әдебиеттер: [1], [5], [6]

2. ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТИПТЕГІ ТЕҢДЕУ.

2 дәріс. Гиперболалық типтегі теңдеу. Коши есебі.
Дәрістің мақсаты: Гиперболалық типтегі теңдеулер ұғымын беру.Толқындық теңдеулер үшін Коши есебіе шешу және жалпы шешімді табу дағдыларын қалыптастыру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Гиперболалық типтегі теңдеулер
2) Коши есебі.Даламбер формуласы..
3) Толқындық теңдеудің жалпы шешімі..
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Гиперболалық типтегі теңдеу.Жалпы шешім.
Әртүрлі тербелістермен байланысты есептер гиперболалық типті теңдеулерге әкеледі,шектің,мембрананың тербелісі,электромагниттік тербелістер т.б.
Шектің тербеліс теңдеуі: . utt=a2uxx+f(x,y,t)
Мембрананың тербеліс теңдеуі: utt=a2(uxx+uyy)+f(x,y,t)
Дербес туындылардың теңдеулері үшін шешімнің жалпы түрін көрсету мүмкін емес,бірақ кейбір дербес жағдайларда оны табуға болады.Бұл жалпы шешімдер еркін тұрақтылардан емес, еркін функциялардан тәуелді.Осы функцияларды сәйкес анықтай отырып қандайда бір қосымша ашрттарды қанағаттандыруға болады.Шектің тербеліс теңдеуінің жалпы шешімін табуға мысал келтірейік: utt=a2uxx(1)
Канондық түрге келтіреміз:
Характеристикалық теңдеу dx2−a2dt2=0 ал оның интегралы x-at=c1, x+at=c2
Айнымалылар енгіземіз : ξ=x-at, η=x+at, және туындыларды табамыз ux=uξ+uη, , ut=uξ(−a)+uηa, utt=uξξa2−2uξηa2+uηηa2
Бұл мәндерді (1) теңдеуге қойып uξη=0 канондық теңдеуді аламыз. uη=v (2), ауыстыруын жасап vξ(ξ,η)=0.аламыз.Бұл теңдеуді ξ ден тәуелсіз кез келген функция қанағаттандырады,сәйкесінше v=f(η) (3),, мұндағы f(η)- η. еркін функциясы. (3) ті (2) ге қойсақ uη(ξ,η)=f(η). (4) (4) интегралдау арқылы u(ξ,η)=f(η)dη+f1(ξ),, мұндағы f1(ξ)- ξ. дің еркін функциясы. η, ның функциясын f(η)dη=f2(η), деп белгілеп, : u(ξ,η)=f1(ξ)+f2(η) алуға болады. Бұрынғы (x,t) айнымалыларға оралсақ келесі түсінікті аламыз. : u(x,t)=f1(x−at)+f2(x+at) (1) теңдеудің шешімі (5) функция екенін көруне болады.Егер f1 мен f2 екі рет үзіліссіз дифференциялданатын функциялар, (5) өрнегі (1) теңдеудің жалпы шешімі.
Коши есебі.Даламбер формуласы..
Коши есебі келесідей қалыптасады. u(x,t) функциясын табу керек,үздіксіз −infinityxinfinity,t=0
utt=a2uxx+f(x,y,t) теңдеуін қанағаттандыратындай −infinityxinfinity,t0 бастапқы шарт u(x,0)=φ(x), ut(x,0)=ψ(x), −infinityxinfinity(6) , мұнда φ(x), ψ(x) - берілген функция. Коши есебін utt=a2uxx үшін қарастырамыз.Шешімі болады деп болжаймыз.Себебі функция u(x,t) (1), теңдеуді қанағаттандырады,яғни (5) түрде міндетті түрде болу керек. (6) теңдікті қанағаттандыратындай, f1 және f2 жалпы шешімін табу керек. (5) және (6) сәйкестендіре келе,алатынымыз: f1(x)+f2(x)=ϕ(x), (7) −af'1(x)+af'2(x)=ψ(x) (8). 2- ші теңдеуді интегралдай келе,алатынымыз f1(x)−f2(x)=−1a0xψ(α)dα+c (9). (7), (9) дан алатынымыз
f1(x)=12ϕ(x)−12a0xψ(α)dα+c2, f2(x)=12ϕ(x)+12a0xψ(α)dα−c2 (10), −infinityxinfinity. қатысты (10) сәйкестендіре, f1 және f2 (5) алатынымыз u(x,t)=12ϕ(x−at)−12a0x−atψ(α)dα+c2+ 12ϕ(x+at)+12a0x+atψ(α)dα−c2 әлде u(x,t)=12ϕ(x−at)+ϕ(x+at)+12ax−atx+a tψ(α)dα (11).. (11).қатынас Даламбер формуласы деп аталады.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары:
1.Қандай процесс гиперболалық типтегі теңдеуді сипаттайды?
2. Тербеліс теңдеуі мен мембрананың жалпы түрін жаз.
3. Тербеліс теңдеуінің жалпы шешімі қалай табылады?
4. Гиперболалық теңдеу үшін Коши есебін құрып,қолдану
5.Даламбер формуласын жаз.
Негізгі әдебиеттер: [1], [4]
Қосымша әдебиеттер: [1], [5], [6]

3 дәріс. Тербеліс теңдеуі үшін аралас есеп.
Дәрістің мақсаты: Шектің тербеліс теңдеулерінің шешімін табу үшін Фурье әдісін беру ( шешім көбейтінді түрінде табылады)Шектің тербеліс теңдеуі үшін аралас есепті шешу дағдыларын қалыптастыру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Есептің қойылуы.
2) Фурье әдісі
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Есептің қойылуы.
Қатты бекітілген шек үшін бірінші бастапқы қайтарым және жылдамдық айтылады.Шектің тербеліс заңын табу керек.
utt=a2uxx (1)
u(0,t)=0, u(l,t)=0 (2)
u(x,0)=ϕ(x), ut(x,0)=ψ(x) (3)
Фурье әдісімен шешу.
Аралас есеп Фурье әдісімен шешілед, яғни шешімін туынды ретінде табамыз.. u(x,t)=X(x)∗T(t)(4)
X(x)∗T''(t)=a2X''(x)∗T(t)
T''(t)a2T(t)=X''(x)X(x)=−λ
X''(x)+λX(x)=0,(∗)
1. (*) табамыз.
X''(x)+λX(x)=0, X(0)=0, X(l)=0, u(x,t)=X(x)*T(t), u(0,t)=X(0)*T(t)=0.
Λ мағынасы меншікті мән, а теңдеудің шешімі-меншікті функция. (*) есебі шарттарымен Штурма-Лиувиль есебі деп аталады.Характеристикалық теңдеу құрайық.
k2+λ=0, k2=-λ
1) λ0, k=+-−λ және шешімі болады.
X(x)=C1e−λx+C2e−−λx
X(0)=C1+C2=0 = C1=-C2
2) λ=0, k=0, X(x)=C1+C2x
X(0)=C1=0,Бұл 3 жағдай
3) λ0, k=+-iλ
X(x)=C1cosλx+-C2sinλx
X(0)=C1=0,=C1=0
X(l)=C1cosλl+C2sinλl=C2sinλl=0, C2!=0, C2=1.
sinλl=0, λnl=PIn,
λn=(PInl)2 - Меншікті мәндер функциясы.
Xn(x)=sinPInlx - Меншікті функциялар
Енді (**) шешеміз.
T''(t)+λa2T(t)=0,
T''(t)+(PInal)2T(t)=0
λ0 =Tn(t)=Ancosλnat+Bnsinλnat,
Tn(t)=AncosPInalt+BnsinPInalt.
(4)сәйкестендіре алатынымыз
un(x,t)=n=1infinity(AncosPInalt+Bns inPInalt)sinnPInlx. (5)
(2)және(3) шарттарға сәйкес An және Bn коэффициенттерін (5) ке қойып есептейміз. φ(x), ψ(x) функциясы беттеседі,сондай-ақ Фурье қатарынан sin бойынша алатынымыз
An=2l0lϕ(x)sinPInlxdx (6), Bn=2PIna0lψ(x)sinPInlxdx (7). (6) және (7) ні (5) ке қойып,
(1), (2), (3).-тің жалпы шешімін табамыз.Содан шешімі бар,ол жалғыз және тұрақты шартқа қатысты.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары:
1. Сформулируйте постановку смешанной задачи колебания струны.
2.Фурье әдісі немен қорытындыланады?
3. Қандай есеп Штурма-Лиувиль есебі деп аталады?
4. Иеншікті мән және меншікті функция деген не?
Негізгі әдебиеттер: [2], [4]
Қосымша әдебиеттер: [3], [5], [6]

4 дәріс. Фурье әдісінің жалпы схемасы.
Дәрістің мақсаты: Жалпы түрдегі гиперболалық теңдеулер үшін аралас есептерді Фурье әдісімен шешу схемасын беру.Гиперболалық типтегі теңдеулерді шешу дағдыларын қалыптастыру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Жалпы түрдегі гиперболалық теңдеулер үшін аралас есепті Фурье әдісіне қолдану.
Дәрістің қысқаша мазмұны:

Жалпы түрдегі гиперболалық теңдеулер үшін аралас есепті Фурье әдісіне қолдану
a(t)d2udt2+b(t)dudt+c(t)u=1r(x)ddx( p(x)dudx)−q(x)u (1).
Гиперболалық теңдеуін қарастырайық. u(x,t) функциясын табу керек болсын, 0=x=l, 0=t=T, үздіксіз, 0xl, 0tT қанағаттандыратын (1) теңдеу,біртекті шектік шартты, α0u(0,t)+α1ux(0,t)=0, β0u(l,t)+β1ux(l,t)=0 (2), және бастапқы шарт u(x,0)=ϕ(x), ut(x,0)=ψ(x) (3). (1) теңдеуді қанағаттандыратын жеке шешімдерін табамыз, (2) ші шектік жағдайды қанағаттандыратын u(x,t)=X(x)∗T(t) (4). Туынды түріндегі (4) ті (1) өою арқылы, мынаны аламыз. a(t)T''(t)+b(t)T'(t)+c(t)+λT(t)=0 (5), ddxp(x)dX(x)dx−q(x)X(x)=−λr(x)X(x)( 6). (4) ті (2)ші шектік шартқа қою арқылы және T(t) ны қысқарту арқылы, мынаны аламыз α0X(0)+α1X'(0)=0, β0X(l)+β1X'(l)=0 (7). Осылайша, X(x) функциясын анықтау үшін біз Штурма-Лиувильдің келесі есебіне келдік. Λ параметрлерінің мағынасын табыңыз меншіктік мағынасы, (6) теңдеудің шешімі бар болуы, (7) шектік шартты қанағаттандыратын,сонымен қатар мына шешімдерді табуменшікті функциялар. λk меншіктік мағынасы және Xk(x), k=1,2... меншікті функциялар табылды. Деп есептеп, (5) теңдеуін қарастырамыз. λ =λk, яғни a(t)T''(t)+b(t)T'(t)+c(t)+λkT(t)=0 (8). теңдеуін қарастырамыз. a(t)=a00 болғандықтан, Вронский анықтауышымен нөлден [0,l] ға дейінгі (8) теңдеуінің фундаментальды шешу жүйесі бар болады. (8) теңдеуінің жалпы шешімі Tk=akTk(1)(t)+bkT(2)k(t) (9) түрінде болады.,мұндағы ak,bk тұрақты туындылары.Осылайша біз (1) теңдеудің шешіміне келеміз, (2) шектік шарттарды қанағаттандыратын және (4) түрге ие болатын: uk(x,t)=Xk(x)∗Tk(t)=akT(1)k(t)+bkT( 2)k(t)Xk(x),k=1,2...(10). (3) бастапқы шартты қанағаттандыру үшін u(x,t)=k=1infinityuk(x,t)=k=1infini tyakT(1)k(t)+bkT(2)k(t)Xk(x) (11). Қатар түріндегі жалпы шешімді аламыз. (11) қатарды (3) бастапқы шартқа қою арқылы,келесіні аламыз:
u(x,0)=k=1infinityckXk(x)=ϕ(x) (12),
ut(x,0)=k=1infinitydkXk(x)=ψ(x) (13), 0=x=l,
akT(1)k(0)+bkT(2)k(0)=ck, akT(1)k′(0)+bkT(2)k′(0)=dk (14).
Мағынасы енгізілген φ(x) және ψ(x) функцтялары Стеклов теоремасының шартын қанағаттандырсын,онда оларды (12) және (13) қатар түрінде қарастыруға болады, егер
ck=0lr(x)ϕ(x)Xk(x)dx0lr(x)Xk2(x)dx, dk=0lr(x)ψ(x)Xk(x)dx0lr(x)Xk2(x)dx (15).
ck және dk ларды (14)ке қою арқылы, ak және bk ға қатысты сызықтық алгебралық теңдеудің жүйесін аламыз.Бұл жүйе әрқашан жалғыз шешімге ие болады.,оның анықтауышы нөлден өзгеше. (14) жүйеден алынған ak және bk.ны (11)ге қою арқылы ,есептің формальді шешімін аламыз.Алынған қатар шешім болатынын тексеру керек.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары:
1. Есептің құрылымын анықтаңдар
2.Штурма-Лиувиль есебін қарастырыңдар.
3. Фурье әдісінің жалпы сызбасын түсіндіріңдер
Негізгі әдебиеттер: [2], [5]
Қосымша әдебиеттер: [3], [4], [6]

5 дәріс. Біртексіз теңдеулер үшін аралас есепті меншікті функциялар әдісімен шешу.Біртексіз шекаралық шарттар.
Дәрістің мақсаты Гиперболалық типтегі біртексіз теңдеулер үшін аралас есептің қойылуын түсіндіру.Біртексіз гиперболалық типтегі теңдеулер үшін аралас есепті меншікті функциялар әдісімен шешуді үйрету.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Гиперболалық типтегі біртексіз теңдеулер.Есептің қойылуы.
2) Меншікті функцилар әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Гиперболалық типтегі біртекті емес теңдеуді меншікті функциялар әдісімен шешу
Біртексіз гиперболалық типтегі теңдеудің аралас есебінің шешімін қарастырайық.
utt=a2uxx+f(x,t)(1)
u(0,t)=u(l,t)=0 (2),
u(x,0)=ϕ(x), ut(x,0)=ψ(x) (3).
Шешімді шешімнің қосындысы ретінде қарастырамыз: u(x,t)=u0(x,t)+v(x,t) (4), мұндағы
u0(x,t):u0tt(x,t)=a2u0xx (2) және (3) шарттарымен берілген.
u0(x,t)=n=1infinity(Ancosλnat+Bnsin λnat)sinPInlx. (5)
v(x,t):vtt=a2vxx+f(x,t), нөлдік шарттар
v(x,0)=u(x,0)−u0(x,0)=0
v(x,0)=0, vt(x,0)=0.
Шешімді туынды ретінде табамыз.
v(x,t)=T(t)*sinPInlx, где sinPInlx -меншікті функция
T''(t)*sinPInlx=−a2(PInl)2*sinPInlx ∗T(t)+f(x,t),
sinPInlx(T''(t)+(PInal)2T(t))=f(x,t ), где f(x,t) - синус бойынша Фурье қатарына жіктелетін бірқалыпты ұқсас функция
f(x,t)=n=1infinityfn(t)sinPInlx, где fn(t)=2l0lf(x,t)sinPInlxdx,
Осылайша T''(t)+(PInal)2T(t)=fn(t) - 2-ші ретті біртексіз дифференциялды теңдеу шешімі тұрақтыны варияциялау әдісімен шешіліп,біртекті теңдеуден табылады. Осылайша Tn(t)=lPIna0tfn(τ)sinPInl(t−τ)dτ,
vn(x,t)=n=1infinityTn(t)sinPInlx (6)
(5) және (6) ны (4)ке қоямыз. (1)есептің шешімін табамыз.
Біртексіз шектік шартты теңдеуді шешу.
Теңдеудің шешімін қарастырамыз:
utt=a2uxx+f(x,t)(1)
u(0,t)=μ1(t), u(l,t)=μ2(t) (2),
u(x,0)=ϕ(x), ut(x,0)=ψ(x) (3).
Шешімін мына түрде қарастырамыз: u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) (4), мұндағы w(x,t)=μ1(t)+xl(μ2(t)−μ1(t))(5) (2) шектік шартты қанағаттандырады.
v(x,t):vtt+wtt=a2(vxx+wxx)+f(x,t),
vtt=a2(vxx+wxx)+f(x,t)−wtt,
v(0,t)=u(0,t)−w(0,t)=0, v(l,t)=0,
v(x,0)=u(x,0)−w(x,0)=ϕ(x)−w(x,0),
vt(x,0)=ut(x,0)−wt(x,0)=ψ(x)−wt(x,0 ).
Барлығын (4)ке қою арқылы ,(2) және (3). шартты пайдаланып, (1) теңдеудің шешімін табамыз.

Өзін-өзі тексеру сұрақтары:
1) Меншікті функциялар әдісі немен бекітілет?
2) Біртексіз шектік шарттағы гиперболалық типтегі теңдеудің шешімі қалай табылады.
Негізгі әдебиеттер: [1], [4]
Қосымша әдебиеттер: [1], [5], [6]

3. ПАРАБОЛАЛЫҚ ТИПТЕГІ ТЕҢДЕУ

6 дәріс. Параболалық типтегі теңдеулер:
Дәрістің мақсаты Параболалық типтегі теңдеулер ұғымын беру.Жылуөткізгіштік теңдеу үшін бірінші есептердің шешімін Фурье әдісімен шешу дағдыларын қалыптастыру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Параболалық типтегі теңдеулер
2) Бірінші шектік есеп.Есептің қойылуы.
3) Жылуөткізгіш теңдеулер үшін Фурье әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Параболалық типтегі теңдеу.
Параболалық типтегі теңдеулер көбінесе газдардың дифузиясы және жылуөткізгіш процесстерде кездеседі. Бұл теңдеулерге бірқалыпты сұйықтықтың қозғалысына берілген есептер жатады. Мысалы мұнай. Параболалық типтегі теңдеу мына түрге ие болады.бірөлшемді жағдайut=a2uxx+f(x,t),екіөлшемді жағдай ut=a2(uxx+uyy)+f(x,t).
Бірінші шектік есеп.Есептің қойылуы.
Q - (x,t): 0xl, 0tT жазықтығында тікбұрыш болсын. H - тікбұрыштың жоғарғы қабаты. : Г- Q дің шектік бөлімі.Төменгі қабаты мен қабырғаларынан тұрат. (0,T) және (l,T) нүктелері Г ға тиісті, Q−=Q+H+Г.
Цилиндірлік формадағы денеден уақыттың бастапқы жағдайда контур бойынша температурасы 0-ге тең,жылу немесетоқ өткізіледі. T уақыттың кез келген жағдайында цилиндрдегі температураны табу
ut=a2uxx (1),
u(0,t)=0, u(l,t)=0 (2),
u(x,0)=ϕ(x) (3).
(1), (2), (3) есептер жылуөткізгіш теңдеудің бірінші шектік есебі.
Жылуөткізгіш теңдеулер үшін Фурье әдісі.
Бірінші шектік есеп Фурье әдісімен шешіледі:
u(x,t)=X(x)∗T(t) (4)
X(x)∗T'(t)=a2X''(x)∗T(t)
T'(t)a2T(t)=X''(x)X(x)=−λ
X''(x)+λX(x)=0,(∗)
(*) шешу арқылы гиперболалық типтегі теңдеулерге сай келетіні мен функцияның меншікті мағынасын табамыз.
λn=(PInl)2 - Функцияның меншікті мағынасы.
Xn(x)=sinPInlx - Меншікті функция.
(**) дифференциялды теңдеуін шешу арқылы мынаны аламыз:
Tn(t)=Cne−(PInal)2t.
Алынғанды (4) ке қою арқылы мынаны аламыз:
un(x,t)=n=1infinityCne−(PInal)2tsin nPInlx (5).
Шектің тербеліс теңдеуі сияқты Cn коэффициентін табу (5)-шіге (2), (3) шарттарды қоямыз және φ(x) функциясы бірқалыпты ұқсас деп есептеп және синус бойынша Фурье қатарына жіктелген мынаны аламыз:
Cn=2l0lϕ(x)sinPInlxdx (6).
(6) ны (5) ке қою арқылы (1), (2), (3) есептерінің жалпы шешімін табамыз.Сонымен шешім бар болады,ол шартқа қатысты жалғыз және тұрақты есеп нақты қойылған.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары
1) Параболалық типтегі теңдеулер қандай процесстерді оқытады?
2) Бірінші шектік есептің құрылымын қарастыр..
3) Бірінші шектік есеп қалай шешіледі?
Негізгі әдебиеттер: [2], [7]
Қосымша әдебиеттер: [4], [5], [6]

7 дәріс. Жылуөткізгіш теңдеу үшін Коши есебі.
Дәрістің мақсаты Коши есебінің қойылуын беру,Фурье интеграл ұғымы. Жылуөткізгіштік біртекті және біртексіз теңдеулер үшін Коши есебін шешу дағдыларын қалыптастырып, дамыту.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Фурье интегралы.
2) Коши есебі.Есептің қойылуы.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Коши есебі.Фурье интегралы.

Есептің қойылуы:
u(x,t) функциясын табу керек,шартты және теңдеуді қанағаттандыратын
ut=a2uxx (1),
u(x,0)=ϕ(x) (2).
Коши есебін шешу жылуөткізгіштік теңдеу үшін,Фурье интегралы әдісімен шешіледі.
Шешімді туынды ретінде табамыз:
u(x,t)=X(x)∗T(t).
X(x)∗T'(t)=a2X''(x)∗T(t)
T'(t)a2T(t)=X''(x)X(x)=−λ2
X''(x)+λ2X(x)=0,(∗)
(*) шеше келе:X(x)=A(λ)cosλx+B(λ)sinλx,
(**) шеше келе: T(t)=e−a2λ2t аламыз λ тәуелді, (1) теңдеудің жалпы шешімі болады. λ тәуелді емес шешімді табу үшін, λ қатысты интегралдаймыз. u(x,t)=−infinityinfinity(A(λ)cosλx+ B(λ)sinλx)e−a2λ2tdλ (3). (2).шартты қолданайық: u(x,0)=−infinityinfinity(A(λ)cosλx+ B(λ)sinλx)dλ=ϕ(x) (4).Егер φ(x) функциясы үздіксіз болса,шектелген және есептелген шектің саны болса, онда бұл функция Фурье интегралы деп аталады. ϕ(x)=12PI−infinityinfinitydλ−infini tyinfinityϕ(ξ)cosλ(ξ−x)dξ немесе ϕ(x)=12PI−infinityinfinity[cosλx−in finityinfinityϕ(ξ)cosλξdξ+sinλx−inf inityinfinityϕ(ξ)sinλξdξ]dλ (5). (4) пен (5) ті салыстыра келе,соңғы қатынасқа қою керек A(λ)=12PI−infinityinfinityϕ(ξ)cosλξ dξ, B(λ)=12PI−infinityinfinityϕ(ξ)sinλξ dξ (6). (6) ны (3)ке қойғанда,алатынымыз: u(x,t)=12PI−infinityinfinityϕ(ξ)dξ− infinityinfinitycosλ(ξ−x)e−a2λ2tdλ (7). Β параметрі бойынша дифференциялдай келе,келесі интегралды оңай есептеуге болады. −infinityinfinitye−a2λ2cosβλdλ=2−in finityinfinitycosβλe−a2λ2dλ=PIae−β2 4a2 (8). (8) көмегімен(7)
ден алатынымыз u(x,t)=12aPIt−infinityinfinityϕ(ξ)e −(ξ−x)24a2tdξ.Интегралдың оң жағы Пуассон интегралы деп аталады. −infinityinfinityez2dz=PI - Эйлер интегралы .
Біртексіз теңдеу үшін Коши есебі
Есептің қойылуы:
u(x,t): функциясын табу керек,шартты және теңдеуді қанағаттандыратын u(x,t):ut=a2uxx+f(x,t) (1),
u(x,0)=ϕ(x) (2).
Шешімін былай табамыз:u(x,t)=u0(x,t)+v(x,t).
u0(x,t): u0t=a2u0xx
u(x,0)=ϕ(x)
u0(x,t)=12aPIt−infinityinfinityϕ(ξ) e−(ξ−x)24a2tdξ.
v(x,t): vt=a2vxx+f(x,t)
u(x,0)=0
v(x,t)=0t(12aPI(t−τ)−infinityinfini tyf(ξ)e−(ξ−x)24a2(t−τ)dξ)dτ.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары
1.Жылуөткізгіш теңдеу үшін Коши есебін құру.
2) Қандай интеграл Фурье интегралы деп аталады.?
3) Қандай интеграл Пуассон интегралы деп аталады?
4) Эйлер интегралы неге тең?
5) Біртексіз жылуөткізгіш теңдеуде Коши есебі қалай шешіледі?
6) Біртексіз параболалық типтегі Коши есебі қалай шешіледі?
Негізгі әдебиеттер: [3], [6]
Қосымша әдебиеттер: [1], [5], [7]

8-дәріс Біртекті шекаралық шартты жылуөткізгіштік теңдеу. Біртексіз шектік шарт
Дәрістің мақсаты Есептің қойылуын түсіндіру.Біртекті шекаралық шартты жылуөткізгіштік теңдеулерін шешу дағдыларын қалыптастыру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Біртексіз жылуөткізгіш теңдеу.
2) Біртексіз шектік шартты жылуөткізгіш теңдеу
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Біртексіз жылуөткізгіш теңдеу
ut=a2uxx+f(x,t) (1),
u(0,t)=0, u(l,t)=0 (2),
u(x,0)=ϕ(x) (3).
Шешімді мына түрде табамыз: u(x,t)=u0(x,t)+v(x,t) (4).
1. u0(x,t): u0t=a2u0xx
u0(0,t)=0, u0(l,t)=0
u(x,0)=ϕ(x)
u0(x,t)=n=1infinityCne−(PInal)2tsin nPInlx (5).
2. v(x,t): vt=a2vxx+f(x,t)
Шешімді туынды түрінде табамыз
v(x,t)=T(t)*sinPInlx, где sinPInlx - меншікті функция, T'(t)*sinPInlx=−a2(PInl)2*sinPInlx∗ T(t)+f(x,t),
sinPInlx(T'(t)+(PInal)2T(t))=f(x,t) , мұндағы f(x,t) синус бойынша Фурье қатарына жіктелетін бірқалыпты ұқсас функция
T'(t)+(PInal)2T(t)=fn(τ),
fn(τ)=2l0lf(x,t)sinPInlxdx,
T'(t)+(PInal)2T(t)=0 дифференциялды теңдеуді шешу арқылы Tn(t)=0tfn(τ)e−(PInal)2(t−τ)dτ
vn(x,t)=0tfn(τ)e−(PInal)2(t−τ)dτsin PInlx (6).аламыз (5) және (6) ны (4)ке қою арқылы (5) және (6) ны (4)ке қою арқылы (1)есептің шешімін аламыз un(x,t)=n=1infinity(Cne−(PInal)2tsi nPInlx+0tfn(τ)e−(PInal)2(t−τ)dτsinP Inlx).
Біртексіз шектік шарттың жылуөткізгіш теңдеуі.
Есепті қарастырайық:
ut=a2uxx, (1)
u(0,t)=μ1, u(l,t)=μ2, (2)
u(x,0)=ϕ(x). (3)
Шешімі u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) (4), мұндағыw(x,t)=μ1(t)+xl(μ2(t)−μ1(t)) (5).
v(x,t):vt+wt=a2(vxx+wxx)+f(x,t),
vt=a2(vxx+wxx)+f(x,t)−wt,
v(0,t)=u(0,t)−w(0,t)=0, v(l,t)=0,
v(x,0)=u(x,0)−w(x,0)=ϕ(x)−w(x,0), Барлығын (4), теңдеуге қою арқылы
(2) және (3) шарттарды пайдаланып, (1)теңдеудің шешімін табамыз.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары
1. Параболалық типтегі біртексіз теңдеу қалай шешіледі?
2. Біртексіз шектік шарттың жылуөткізгіш теңдеуі қалай шешіледі?
Негізгі әдебиеттер: [2], [5]
Қосымша әдебиеттер: [1], [4], [6]

4. ЭЛЛТПТИКАЛЫҚ ТИПТЕГІ ТЕҢДЕУ.

9 - дәріс. Эллиптикалық типтегі теңдеулер.
Дәрістің мақсаты: Лаплас теңдеулері ұғымын беру.Лаплас теңдеуінің фундаментальды шешімі.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Лаплас теңдеуі.Гармониялық функция.
2) Грин формуласы.
3)Фундаментальды шешімдер.
4) Интегралдық түрлендірулер.
5) Гармониялық функцияның негізгі қасиеттері
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Лаплас теңдеуі. Гармониялық функция.
Эллиптикалық типтегі теңдеуге физикалық табиғаттағы әр түрлі стационарлық процесстер әкеледі.Біз эллиптикалық типтегі теңдеудің жай түрін қарастырамыз.Лаплас теңдеуді екі,үш айнымалымен келесі түрге ие болады.
Анықтама:Кейбір облыстағы Лаплас теңдеулерін қанағаттандыратын және 2-ші ретке дейінгі үздіксіз меншікті туындыға ие болатын u(M) функциясы осы облыста гармониялы деп аталады.
Грин формуласы
D - (x,y)жазықтығындағы шектелген облыс,ал С оның шекарасы.Шектелген қисықтардың соңғы санынан тұрады деп есептелініп, u(x,y), v(x,y) - D+C да өздерінің бірінші туындысын үздіксіз болатын және D да үздәксіз екінші туындыға ие болатын функциялар. vΔu-uΔv симметриялы жағдайда аламыз.Кейбір функциялардан бірінші реттік меншікті туындының қосындысы ретінде vΔu−uΔv=vuxx+vuyy−uvxx−uvyy=uvxx+vx ux+vuyy+vyuy−uvxx−vxux−uvyy−vyuy=vu x−uvxx+vuy−uvyy.(1)
аламыз. D облысында (1)интегралдаймыз және жазықтық үшін интегралдың оң жағы үшін D(Px+Qy)dxdy=CPcos(n,x)+Qcos(n,y)ds ,Остраградской формуласын қолданамыз.Мұндағы n−-С қисықтығына жүргізілген нормаль.Қорытындысында мынаны аламыз:
D(vΔu−uΔv)dxdy=C(vdudn−udvdn)ds (2),
мұндағы: dudn=uxcos(n,x)+uycos(n,y)
n−- ші нормаль бағыты бойынша u функциясының туындысы. (2), Грин формуласы деп аталады.
Фундаментальды шешім.
M(x,y), M0(x0,y0) - жазықтықтың өзгеріс нүктелері.ал r=rMM0=(x−x0)2+(y−y0)2 олардың ара қашықтығы. u=u(r) (4) түрдегі Δu=uxx+uyy=0 (3) Лаплас теңдеуін шешуге тырысайық. (3) теңдеуде (х,у) айнымалыларынан r айнымалысына көшу арқылы Δu=urr+1rur=0. Осыны аламыз.Осы жай дифференциялды теңдеуді интегралдау арқылы
u(r)=c1+c2lnr. Аламыз. с1=0, с2=-1, тұрақтылары кезінде q(M,M0)=q(x,y;x0,y0)=ln1rMM0 (5). Лаплас теңдеуінің келесі шешімдерін аламыз. q(M,M0) функциясы М0 нүктесінен өзгеше жазықтықтың кез келген шектік нүктесіне гармониялы болады, ал М=М0 нүктесінде ол шексіздікке айналады.Бұл функция Лаплас теңдеуінің фундаментальды шешімі деп аталады.
Интегралдық түрлендіру.
u(x,y)- в D+C да өзднрінің бірінші туындысын үздіксіз болатын және D облысында үздіксіз екінші туындыға ие ьолатын функциялар. М0 нүктесінде центрі болатын ε кіші радиустағы дөңгелекті Dоблысына қиып аламыз. Dε деп D облысының қалған бөлігін белгілейміз.Ал Сε - центрі М0 нүктесі болатын радиусы ε ға тең шеңбер. u(x,y) функциясы көрсетілген қасиеттермен интегралдық түрлендіруге ие болады.
u(M0)=12PIC(ln1rPM0du(P)dnP−u(P)dln 1rPM0dnP)dsP−12PIDln1rMM0Δudxdy.
Егер функция гармониялық болса, онда:
u(M0)=12PIC(ln1rPM0dudnP−udln1rPM0d nP)dsP,
Функцияның мағынасы шектелген облыстың кез келген нүктесінде осы функцияның мағынасын және облыстың шекараларда нормаль туындысы беріледі.
Гармониялық функцияның негізгі қасиеттері.

1 Тероема. Егерu(x,y) - функцияD, облысында гармониялы С қисығымен шектелген болса,онда Cdudnds=0.
2 Теорема. u(x,y) функциясы D облысында гармониялы және D да барлық реттегі туындыларға ие болады.
3 Теорема. Кейбір К дөңгелегінің ішінде гармониялық мағынасы К−да үздіксіз болатын u(x,y) функциясы дөңгелектің центрде,шеңберде оның орташа арифметикалық мағынасына тең.
4 Теорема.u(x,y) функциясы D шектелген облыс ішінде гармониялы және D− шектелген облысында үздіксіз болса,онда тек қана облыстың шекараларында өзіндік ең жоғарғы жіне ең төмен мәніне ие болады.
Салдар1. Егер u функциясы D− облысында үздіксіз және D облысында гармониялы, С да нөдге тең болса,онда D− облысында нөлге тең.
Салдар 2. Егер u және v D− облысында үздіксіз D облысында гармониялы және С, да u=v болса,онда барлық D−.облысында u=v.
Салдар 3. Егерuжәнеv (v=0) D−үздіксіз, D облысында гармониялы жәнеС, да u=v онда барлық D да u=v
Өзін-өзі тексеру сұрақтары
1. Қандай функция гармониялық деп аталады?
2. Эллиптикалық типтегі теңдеулерді қандай процесстер оқытады?
3. Эллиптикалық типтегі теңдеулер қандай түрде болады?
4. Лаплас теңдеуінің фундаментальды шешімі қалай құрылады?
5. Грин формуласы және интегралдық түрлендіруін жаз.
6. Гармониялық функцияның негізгі қасиеттерін ата.
Негізгі әдебиеттер: [2], [6]
Қосымша әдебиеттер: [1], [5], [7]

10 - дәріс Лаплас теңдеуі үшін негізгі шектік есептердің қойылуы
Дәрістің мақсаты Лаплас теңдеуінің негізгі есептерінің қойылуын меңгеру.Дирихле есебінің шешімінің жалғыз және тұрақтылығы туралы теоремаларды беру.
Тақырыптың негізгі сұрақтары:
1) Дирихле есептерінің қойылуы.
2) Нейман есептерінің қойылуы.
3) Дирихле есептерінің шешімдерінің жалғыз және тұрақтылығы туралы теоремалар.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Ішкі есептің қойылуы
С - қарапайым шектелген қисық болсын.D+ бойынша облыстың шегін белгілейміз,осы қисық бойынша шектелген,ал D− бойынша облыстың шексіздігін сыртқы D+қа қатысты,сондай шектелген қисық С да айқындаймыз. С - қисығына үздіксіз функция fi(P), i=1,2,3,4. берілсін.Лаплас теңдеуінің маңыздылары келесідегідей.
Дирихле есебінің ішкі жағдайы. u(M) функциясын табу керек, D+ облысында гармониялық, D+ облысында үздіксіз шектелген және С шекарасында берілген шартты қабылдайтын:
uC=f1(P) (1).
Нейманның ішкі есебі. u(M) функциясын табу, D+ облысында гармониялық dudn оның туындысы нормальдың бағытына қатысты әр нүктеде С шекарасында f2(P) функциясымен берілген нүктеде сәйкес келсе
dudnC=f2(P) (2).

Сыртқы есептің қойылуы
1. гармониялы, D− облысында үздіксіз шектелген және С шекарасында берілген шарттар: uC=f3(P) (3).
2. u(M) шектелген D−−: u(M)A, А - тұрақты (5) екені қосымша болжанады.
Нейманның сыртқы есебі. u(M) функциясын табу,D− облысында гармониялық,dudn оның туындысы нормальдың бағытына қатысты әрқайсы С шекарасында f4(P) функциясымен берілген нүктеде сәйкес келсе. dudnC=f4(P) (4).
3. Форма бойынша есептен басқа,сондай ақ шектелген шартты есептерде бар.
dudn+a(P)uC=f5(P) (6),
мұндаf5(P), a(P)- берілген функция,ол қисықтың туынды есебі немесе үшінші қисықтық есеп деп аталады.
Дирихле есебінің негізгі және тұрақты теоремалары.
1 - Теорема. Дирихленің ішкі және сыртқы есептерінің шешімі біреу ғана..
2 - Теорема . u(M), u*(M) - Дирихле есебінің ішкі шешімі. uC=f1(P), u∗C=f1∗(P) (7), шектік ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.