Газдардың жылу сыйымдылығы. Сипаттамалық температуралар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Газдардың жылу сыйымдылығы. Сипаттамалық температуралар.

Газдардың жылу сыйымдылығын кванттық статистика тұрғысынан талдау үшін мысал ретінде екі атомды газдың бір молін қарастырайық. Бұл жағдайда газдың ішкі энергиясы молекулалардың ілгерілемелі, айналмалы жəне тербелмелі қозғалыстары сонымен қатар электрондық қабықша мен ядро энергиясының қосындысына тең болады.

$U = U_{ілг} + U_{айн} + U_{терб} + U_{эл}{+ U}_{яд}$

Ал жалпы жылу сыйымдылық осы энергияларға сəйкес келетін жылу сыйымдылықтарының қосындысына тең: $C_{v} = С_{ілг} + С_{айн} + С_{терб} + С_{эл} + С_{яд}$

Осы қосындыға кіретін əрбір жылу сыйымдылықты есептейік. Ілгерілемелі қозғалысқа қатысты жылу сыйымдылық классикалық физикадағыдай ілгерілемелі энергияның мəнімен анықталады: $U = \frac{3}{2}kTN_{0}$

Сонда ілгерілемелі қозғалыстың жылу сиымдылығы: $C_{ілг} = \frac{3}{2}R$

Классикалық физика нəтижеснің кванттық теорияға сəйкес келу себебі газ

молекулаларының ілгерілемелі қозғалысының энергиясының спектрінің үзіліссіз болуында.

Əрбір молекуланы кванттық ротатор деп есептеп, айналмалы қозғалысқа тəуелді жылу сыйымдылықты есептейік.

Ротатордың күйлері бойынша қосындысын екі шектік жағдайда қарастырамыз.

Өте төмен температураларда: $T \rightarrow 0$ .

Осы жағдайда күйлердің қосындысы $Z = \frac{8\pi^{2}JkT}{h^{2}}$

ал ішкі энергия $U_{айн} = \frac{N_{0}kT^{2}3h^{2}}{8\pi^{2}kJT^{2}}e^{\frac{h^{2}}{8\pi kJT}} = const\ e^{\frac{h^{2}}{8\pi^{2}JkT}}$ қатынастарымен анықталады.

Сонымен, абсолют ноль температурасына жақындаған сайын ішкі энергия асимптотикалық түрде нольге ұмтылады, яғни температураға тəуелді болмайды. Бұл тұжырым термодинамиканың үшінші бастамасымен сəйкес келеді.

Өте жоғары температуралар: $T \rightarrow \infty$ . Бұл жағдайда $Z = \frac{8\pi^{2}JkT}{h^{2}}$ , ал ішкі энергия $U_{айн} = N_{0}kT^{2}\frac{\partial lnz}{\partial T} = N_{0}kT$

Сонда газдың бір молінің жылу сыйымдылығы $С_{айн} = R$

Температураның сипаттамалық деп аталатын $T_{x} = \frac{h^{2}}{8\pi^{2}J_{k}}$ мəнінде екі шектік жағдайды бір-біріне жақындатуға болады (сутегі молекуласы үшін сипаттамалық температура шамамен 950К) . Сонда жоғарыда талданған шектік жағдайлар сипаттамалық температураның $T \ll T_{x}$ жəне $T \gg T_{x}$ мəндерінде орындалады.

$T \gg T_{x}$ шартында кванттық эффектілер байқалмайды, сондықтан классикалық түсініктерді пайдалана беруге болады (екі атомды молекуланың айналмалы қозғалысының жылу сиымдылығының классикалық мəні R-ге тең) .

Анықтамасы бойынша сипаттамалық температура молекуланың инерция моментіне кері пропорционал. Сондықтан ең жеңіл сутегі молекуласының сипаттамалық температурасы басқа денелерге қарағанда ең жоғарысы. Молекуланың айналмалы қозғалысындағы кванттық эффектілер температура Кельвин шкаласы бойынша ондаған градустан жоғары болғанда ғана біліне бастайды. Жылу сиымдылыққа тербелмелі қозғалыс қосатын үлесін ескеру үшін əрбір молекуланы кванттық осциллятор ретінде қарастырамыз. Сонда газдың əр молекуласы тұрақты $v_{0}$ жиілікпен тербеледі деп есептесек бір моль газдың ішкі энергиясы $U_{терб} = \frac{N_{0}v_{0}h}{e^{\frac{hv_{0}}{kT}} - 1} = N_{0}kT$

Сипаттамалық температура ұғымын енгізсек $T_{x}\frac{hv_{0}}{k}$ онда ішкі энергия

$U_{терб} = \frac{kN_{0}T_{x}}{e^{\frac{T_{x}}{T}} - 1}$

Бұдан тербелмелі қозғалыстың жылу сыйымдылығы $С_{терб} = \frac{kN_{0}\left( \frac{T_{c}}{T} \right) ^{2}e(\frac{T}{T_{c}}) }{\left( e^{\left( \frac{T_{c}}{T} \right) } - 1 \right) ^{2}}$

бұл өрнектен өте төменгі температуралар $T \ll T_{x}$ үшін $C_{v} = 0$ болатындығын көреміз. Бұл жағдайда газдың барлық молекулаларының тербелісі нольдік деңгейде болады.

Ал, жоғары температуралардағы ( $T \gg T_{c}$ ) жылу сиымдылықтың мəні

$C_{терб} = kN_{0} = R$

температураның жоғары $T \gg T_{x}$ мəндерінде жылу сиымдылықтың мəні классикалық мəнге тең болатындығын, яғни кванттық эффектілердің байқалмайтындығын көреміз.

Сонымен екі шектік жағдайды қарастырдық. Температура сипаттатмалық мəннен жоғары болғанда кванттық эффектілер жойылады, классикалық өрнектерді пайдалануға болады. Ал температура $T_{c}$ -мен салыстырмалы немесе кем жағдайда құбылысқа кванттық статистиканы пайдалану қажет. Сипаттамалық температура ұғымын шартты түрде енгізгенмен оның белгілі бір физикалық мағынасы да бар. Ол жақын орналасқан кванттық деңгейлердің энергияларының айырымына сəйкес келеді. Сипаттамалық температура жақын орналасқан қозған күй мен негізгі күйдің шамасы kT арқылы берілген энергияларының айрымы арқылы анықталады.

${T \gg T}_{x}$ жағдайында молекулалардың жылулық қозғалысының энергиясы бөлшекті негізгі күйден жоғары энергиялық күйге ауыстыруға жеткілікті, ${T < T}_{c}$ болғанда, керісінше, жылулық қозғалыстың энергиясы мұндай өтуге жетпейді.

Сипаттамалық температураны əртүрлі үрдістерді қарастырғанда енгізуге болады. Жəне ол кванттық статистикадан классикалық физикаға ауысу шартын анықтайды. Мысалы, молекуладағы электрондық деңгейлердің энергия айырымы тербеліс энергиясынан артық. Демек, электрондық қозғалыстарды сипаттайтын сипаттамалық температураның мəні ондаған мыңға дейін жетеді. Осы себепке байланысты қалыпты температуралардың электронның, қабықшаның энергиясы, əсіресе ядролардың энергиясы газдың жылу сиымдылығына байқарлықтай үлес қоспайдығы шығады.

Қатты денелердің жылу сиымдылығы. Дебай заңы.

20-шы ғасырдың басында Нернст тəжірибелік деректерге сүйене отырып температура абсолют нөлге ұмтылғанда қатты дененің жылу сиымдылығының да нөлге ұмтылатындығын дəлелдеген болатын. Бұл зерттеулер нəтижесінде Нернст жылулық теореманы, яғни $T \rightarrow 0$ жағдайында энтропияның да нөлге ұмтылатынын тұжырымдады. Эйнштейн қатты денені бірдей v жиілікпен тербелетін тəуелсіз гармоникалық осцилляторлар жиыны түрінде қарастырып Нернст алған нəтижелерді кванттық теория тұрғысынан дəлелдеді. N молекуладан немесе атомнан тұратын қатты дененің энергиясы: $E = \frac{3Nhv}{e^{\frac{hv}{kT}} - 1}$

Ал энергияның орта мәні: $\overline{E} = \frac{3N_{0}hv}{e^{\frac{hv}{kT}} - 1}$

Бұл бір грамм-атомның ішкі энергиясы. Бұдан көлем тұрақты болған жағдайдағы жылу сыйымдылық: $C_{v} = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right) _{v} = \frac{3N_{0}hv}{\left( e^{\frac{hv}{kT}} - 1 \right) ^{2}}(\frac{hv}{kT}) e^{\frac{hv}{kT}}$

Бұл өрнек қатты денелердің жылу сиымдылығын тек төменгі температураларда ғана дұрыс түсіндіре алды, ал сан жағынан тəжірибелік деректерге дəл сəйкес келмейді. Сондықтан 1913 ж. Дебай төменгі температуралардағы қатты денелердің жылу сиымдылығының Планк болжамына негізделген жаңа теориясын ұсынды. Ал Эйнштейн қатты денелерді тəуелсіз вибраторлардың жиыны ретінде қарастырды. Дебай болса корпускулдық көзқарасты классикалық серпімділік теориясының кейбір заңдылықтарымен байланыстыруға тырысты. Дебай бойынша қатты дене бір- бірімен əсерлесу күштері арқылы байланысқан N бөлшектен тұрады. Бұл жағдайда барлық тербелістер саны 3N, яғни 3N меншікті жиіліктер болады. Үзіліссіз серпімді денелердің классикалық теориясы бойынша мұндай денелердегі тербелістер көлденең де, қума да болуы мүмкін жəне олардың жылдамдықтары əртүрлі боады. Дебайдың кванттық теория заңдарын қатты денелердің механикалық тербелістеріне қолдануға тырысуы сол мезгіл үшін батыл қадам болды.

Дебай өрнегін қорытып шығайық. План заңының Бозе статистикасынан шығатындығын өткен тарауда көрдік. Сондықтан Бозе статистикасын алып, қатты денелердегі толқындар үшін энергия $\varepsilon = hv$ мен импульс $\rho = \frac{hv}{c}$ өрнектерін пайдаланайық. Енді мұндағы С - жарық жылдамдығы емес, қума ( $C_{кум}$ ) жəне көлденең ( $С_{көл}$ ) толқындардың таралу жылдамдығы.

Екі бағытта полярланған болатындықтан көлденең толқындарды екі рет ескеруіміз қажет. Сонда жиіліктері v жəне v + dv аралықтарында орналасатын тербелістедің толық саны

${dn}_{v} = \frac{4\pi V}{h^{3}}\frac{p^{2}dp}{e^{\frac{hv}{kT}} - 1}$

Мұнда $p_{кум}^{2} = \frac{h^{2}v^{2}}{C_{кум}^{2}}; \ \ \ \ p_{k\mu л\partial}^{2} = \frac{2h^{2}v^{2}}{C_{к\mu л\partial}^{2}}, \ \ \ \ {dp}_{кум} = \frac{h}{С_{кум}}dv; \ \ \ \ {dp}_{к\mu л\partial} = \frac{h}{С_{к\mu л\partial}}dv$