Модулы бар теңдеулерді шешу әдістері және теңдеулер жүйесін шешу

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1. Модуль туралы түсінік
1.1 Модуль және оның қасиеттері
1.3 Модуль қасиеттерін қолданып есептер шығару
2. Модулы бар теңдеулер мен теңсіздіктер және оның жүйесі
2.1 Модулы бар теңдеулерді шешу әдістері және теңдеулер жүйесін шешу
2.2 Модулы бар теңсіздерді шешу әдістері және теңсіздіктер жүйесін шешу
3. Өз бетімен орындалатын жұмыстар
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер

Кіріспе
Модуль туралы түсінік нақты сандар облысы және комплексті сандар облысында да кездесетін санның маңызды сипаттамаларының бірі болады. Латын тілінен аударғанда Модуль сөзі modulus - мера деген сөзінен алынған.
Тақырыптың өзектілігі: модуль туралы түсінік метепте оқитын математика курсының әр алуан бөлімдерінде ғана емес арнаулы орта білім беру ұйымдарында сонымен қатар ЖОО-нда оқытылатын жоғары математика курсында, техника және физика ғылымдарында кеңінен қолданады. Мысал келтірер болсам: жуықталған есептеулер теориясындағы жақындалған санның абсолютті және қатыстың қателіктер түсінігі пайдаланылады. Геометрия мен механикада вектор және оның ұзындығы ұғымдары оқылады. Математикалық талдауда санның абсолютті ұзындығы түсінігі шектік функция, шек және т.б.Бізге кездесетін негізгі түсініктердің анқытамаларының құрамына кіреді. Математикалық олимпиадаларда, ҰБТ-да абсолютті ұзындықпен байланысты есептер жиі кездеседі.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Модульдермен байланысты білімді жүйелеу және оны қолданылу жолдарын анықтау.
Зерттеу пәні: Модульмен берілген септер.
Зерттеу обьектісі: Модуль арқылы берілген сан алуан есептердің шығару жолдары.
Дипломдық жұмыстың міндеттері:
1.Модулі бар есептерге талдау жасау;
2. Модульмен кездескен есептердің әр түрлі шешу әдістеріне тоқталу;
3. Тақырыптың жүйемен берілгенін қарастыру.
Дипломдық жұмыс 6 бөлімнен тұрады:
Алғашқы бөлімде мыналар келтірілген: модульдің анықтамасы, оның геометриялық мағынасы, абсолютті ұзындық қасиеттері. Модульді қолдану арқылы анықталу облысы бірдей теңсіздік пен теңдеудің кез келген жүйесін бір салыстыру түрінде алуға болатыны мысалмен түсіндірілген. Модуль қасиеті, теңдік сонымен қатар абсолютті ұзындық белгісіне ие теңдікке мысал болатын есептеулер қарастырылған.
Екінші бөлімде модулі бар теңдеулер жүйесін шығару әдістеріне тоқталған. Ондағы шыққан жүйені түрлендіріп, оның шешімін табамыз.
Үшінші бөлімде модулі белгісіз болатын теңдеулер және олардың жүйесі. Теңсіздікті шешу дегеніміз- теңсіздік тура болатындай және оған кіретін белгісіздердің мәндер жиынын табу.
Төртінші бөлімде модульмен берілген теңсіздік түрлері келтірілген.
1)Модульдері бар қарапайым теңсіздіктер ax+b=cx+d ax+b=cx+d, a!=0 түріндегі теңсіздіктер болып табылады.
2) f(x)u(x) түріндегі теңсіздіктер,
3) f(x)u(x) түріндегі теңсіздіктер,
4) f(x)u(x) түріндегі теңсіздіктерді шеше білу.
Бесінші бөлімде абсолютті ұзындық таңбасы бар теңсіздіктер мен теңдіктерді график салумен шешу тәсілдері келтірілген модулі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді графикалық шешу аналитикалық шешіміне қарғанда ыңғайлырақ болады. Бөлімде мына функциялардың графиктерін салу көрсетілген y=f(x), y=fx және y=f(x) .
Алтыншы бөлімде абсолютті ұзындыққа байланысты тест есептерін шешуге мысалдар келтірілген. Параметрі бар есептер және стандартты есептердің шешімдерімен қарастырылған. Олардың шешімінде қандай да бір шешімдердің тобын алу қажет. Кейбір есептерге бірнеше шешу тәсілі келтірілген, кейде шешу процесінде кездесетін қателіктер көрсетілген. Есептерді шешуде барлығына жылдамдыдығы жағынан ең тиімді шешімдер көрсетілген.

1. Модуль туралы түсінік
1.1 Модуль және оның қасиеттері

Модуль- қандай да бір математикалық объектінің сандық сипаттамасы.
Егер х- саны теріс емес болса, онда оның өзі аталады. Егер х - саны теріс болса (х санына қарама-қарсы сан) 0;x кесінді ұзындығы аталады.
x=x, егер x=0, -x, егер x0.
Нақты санның модулінің геометриялық мағынасын қарастырсақ. Бұл сан координатасы болып келетін, әрбір нақты санға сандық түзуден нүкте сәйкес келеді. Санның модулі дегеніміз- осы сандық осьтегі сәйкес нүктеден координата басына дейінгі қашықтық.

A O B
-a 0 a x

-a a
a,b сандарының модульдерің айырымы (a-b, a және b p(a;b) нүктелерінің ара қашықтығына сәйкес.
a b

a 0 b x

a-b

Модульдің қасиеттері

1)Модульдің квадраты модулю ішіндегі өрнектің квадратына тең, яғни кез келген x үшін x2 = x2.
Ескерту. Бұл формулада тек солдан оңға ғана емес, яғни x2 = x2, оңнан солға да x2 = x2 қолданылады.
2) Нақты санның модулі осы саннан кем емес, яғни барлық а үшін
а=а.
3) Кез келген нақты санның модулінде теріс сан бар, яғни барлық a үшін а=0.
4) а нақты санның модулі, а және - а екі қарама-қарсы санның ең үлкен мәніне тең, яғни а = maxa;-a
5)Олардың қосындысы осы сандардың модульдерінің қосындысына тең болғанда, сонда тек сонда ғана сандар теріс емес яғни, a1+ a2+...+an
қосындысыa1 =0,a2=0, ... ... ...an=0 жүйесіне пара-пар.
6) Олардың модульдерінің қосындысы олардың қосындысының модуліне тең болғанда, тек сонда ғана берілген сандар бір уақытта теріс емес және оң да емес, яғни a1+ a2+...+an = a1+a2+...+an теңдігі a1 =0,a2=0, ... ... ...an=0 немесе a1 =0,a2=0, ... ... ...an=0 екі теңдеулер жүйесіне пара-пар.
7) Олардың модульдерінің қосындысыосы сандардың қосындысына қарама-қайшы болғанда, сонда тек сонда ғана сандар оң емес, яғни
a1+ a2+...+an = -a1-a2-...-an теңдігі a1 =0,a2=0, ... ... ...an=0 жүйесіне пара-пар.
8) Екі санның модульдерін олардың квадраттарының салыстыруына пара-пар, яғни мына пара-парлар орын алады:
f(x)=g(x) сәйкес f2x=g2(x);
f(x)g(x) сәйкес f2xg2(x);
f(x)=g(x) сәйкес f2x=g2(x);
f(x)g(x) сәйкес f2xg2(x);
f(x)=g(x) сәйкес f2x=g2(x);
9) ab=a*b екі нақты санның көбейтіндісінің модулі көбейткіш модулінің көбейтіндісіне тең;
10) a2 = a.
11) an = an.
12) am = am
13) 1a= 1a (a!=0
14) a+b=a-b екі санның қосындысының модулі олардың модульдерінің айырымынан кіші емес.
15) a-b=a-b екі санның айырымының модулі олардың модульдерінің айырымынан кіші емес.
16) a-b=a+b;
17) xa⇔-axa;
18) x=a⇔-a=x=a;
19) xa⇔xa,x-a;

20) x=a⇔x=a,x=-a;
21) x-x0a⇔ x0-axx0 +a;
22) x-x0=a⇔ x0-a=x=x0 +a;
23) x-a+x-b=a-b теңдеуі x-ax-b=0 теңсіздігіне сәйкес;
24) x-a+x-b=b-a теңдеуі a=x=b, егер b=a қос теңсіздігіне сәйкес.

a0 үшін
Геометриялық мағынасы
Шешуі
Бейнеленуі
x-c=a
x пен c-ның ара қашықтығы
a-ға тең

c-a;c+a

c-a c c+a x
x-ca
x пен c-ның ара қашықтығы
a-дан кіші

c-a;c+a

c-a c c+a x

0x-ca
x пен c-ның ара қашықтығы
a-дан кіші, бірақ x!=c

c-a;c∪c;c+a

c-a c c+a x

x-ca
x пен c-ның ара қашықтығы
a-дан үлкен

-infinity;c-a∪c+a;+infinity

c-a c c+a x

1.2 Модуль қасиеттерін қолданып есептер шығару

1.3.1 х-3=1,8
Модуль үлкен болса [ жиынтыққа аламыз, яғни шешімі бірігуі болады.
х-3=1,8х-3=-1,8 ⇒х=4,8х=1,2
Жауабы: (-infinity;1,2]∪4,8;+infinity.
4+х =1,8
Сан үлкен болса, { жүйеге аламыз және шешімі қиылысу болады.
4+х=1,84+х=-1,8 ⇒х=-2,2х=-5,8
Жауабы : [-5,8;-2,2]
x-4=x2-7x+12 теңсіздік мәні жиынтыықа мәндес келеді.

x-4x2-7x+12-x-4x2-7x+12
Теңсіздікті жеке-жеке қарастырамыз:
1) x2-8x+160 2) x2-6x+80
x-42 0 - шешімі жоқ; x-2x-40

+ - +
2 4 x
Жауабы: x∈2;4.
x-1-2x+53+x , x=1; x=-5 нүктелері координаталық осьті (теңсіздіктің М.М.О) үш аралыққа бөледі.
x=-5;-5x=1; x1.
x=-5
-5x=1
x1.
x-1 -
-
+
x+5 -
+
+
Берілген теңсіздікті әр аралықта шешейік:
x=-5-x-1+2x+53+x ⇒ x=-5113 ⇒ x=-5
-5x=1-x-1-2x+53+x ⇒ -5x=1x+30 ⇒-5x-3
x1x-1-2x+53+x ⇒ x1x+70 ⇒ x1x-7 ∅

Жауабы: x∈-infinity;-3.

2. Модулы бар теңдеулер және олардың жүйесі

2.1 Модулы бар теңдеулерді шешу
Модульмен берілген теңдеулерді шешудің бірнеше әдісі бар. Атап айтар болсақ:
Бастапқы теңдеуді баламалы теңдеуге, жүйеге немесе теңдеулер жиынтығына азайту әдісі
Модуль анықтамасы бойынша;
Жаңа айнымалы енгізу;
Аралықтар әдісі;
Модульдің белгісімен белгісіз элементтер бар теңдеулер жүйесі.
Бастапқы теңдеуді баламалы теңдеуге, жүйеге немесе теңдеулер жиынтығына азайту әдісі.
1-жағдай.Модуль таңбасымен берілген негізгі теңдеулерді шығаруды қарастырсақ.
Алдымен теңдеудің қарапайым түрін қарастырамыз. g(x)=a, a∈R.
Егер a0, онда теңдеудің g(x)=a түбірі болмайды.
Егер a =0, онда g(x)=0 .
Егер a 0 , онда g(x)=a теңдеуі мына жиынтыққа сәйкес: gx=agx=-a

2.1.1 Теңдеуді шешіңіз: y2-2y-4=4
Шешуі: y2-2y-4=4y2-2y-4=-4 ⇒ y2-2y-8=0y2-2y=0 ⇒ y1=-2 ,y2=4y1=0,y2=2
Жауабы: -2;0;2;4.
2.1.2 Теңдеуді шешіңіз: y-1y+3=1.
Шығару жолы: y-1y+3=1 М.М.Ж y!=-3
y-1y+3=1y-1y+3=-1 ⇒ y-1=y+3y-1=-y-3 ⇒ -1!=3y=-1
Жауабы: y=-1.
2-жағдай.Теңдеудің f(x)=g(x) берілген түрін шешуді қарастырайық.
fx=gxfx=-g(x) теңдеулер жиынына мәндес болады.
емесе теңдеудің екі жағын квадраттасақ жеткілікті f2x=g2(x);
2.1.3 Теңдеуді шешіңіз: 2y-3=x+4
Шығару жолы: 2y-3=y+42y-3=-(y+4) ⇒ y=7y=-13
Жауабы: -13;7.
2.1.4 Теңдеуді шешіңіз: x2-4x+5=x2-2x-1
Теңдеуді шығару үшін екі жағын квадраттаймыз:
x2-4x+52=x2-2x-12
Сол жақтағы теңдеуді оң жаққа шығарамыз:
x2-4x+52-x2-2x-12 =0
Екі өрнектің квадраттарының ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.