Жоғары ретті дифференциалдық операторлар қатысқан шеттік есептердің шешілімділігін зерттеу

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 38 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министрлігі

Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық Қазақ-Түрік университеті

Математика кафедрасы

Гаппаров Ибрахим Рахматуллаевич

Жоғары ретті дифференциалдық операторлар қатысқан шеттік есептердің шешілімділігін зерттеу

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В060100 - Математика

Түркістан 2020

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Параболалық тектес теңдеулер үшін жоғарғы ретті туынды қатысқан есептер
1.1 Параболалық теңдеу үшін бастапқы шеттік есептер
1.2.Параболалық теңдеу үшін жоғары жұп ретті туынды қатысқан шеттік есеп
1.3.Параболалық теңдеу үшін жоғары ретті туынды қатысқан шеттік есеп

2 Гиперболалық тектес теңдеулер үшін жоғарғы ретті туынды қатысқан есептер
2.1 Гиперболалық теңдеу үшін бастапқы шеттік есептер
2.2 Гиперболалық теңдеу үшін жоғары ретті туынды қатысқан шеттік есеп.

3 Эллипс тектес теңдеулер үшін жоғарғы ретті туынды қатысқан есептер
3.1 Лаплас теңдеуі үшін екінші ретті туынды қатысқан ішкі шеттік есеп
3.2 Лаплас теңдеуі үшін екінші ретті туынды қатысқан сыртқы шеттік есеп

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ..

КІРІСПЕ

Зерттеу тақырыбынының өзектілігі.Дипломдық жұмыс екінші ретті параболалық, гиперболалық және эллипс тектес теңдеулер үшін жоғары ретті туынды қатысқан бастапқы - шеттік және шеттік есептердің шешілімділігі мәселелерін зерттеуге арналған. Бұл есептер осы аталған теңдеулерге қарастырылатын негізгі есептердің жалпыламасы болып табылады.
Бұл тақырыптағы алғашқы жұмыс А. Н. Тихоновтың [1] мақаласында қарастырылған. Бұл мақалада шексіз аймақта параболалық тектес теңдеуі үшін жоғарғы ретті туынды қатысқан есептің айқын шешімі құрылған және мұндай есептердің термиялық тұрақтыларды анықтауға арналған құрылғыны жасаудағы қолданыстары баяндалған. Гиперболалық және эллипс тектес теңдеулер үшін осы тақырыпта зерттелінген көптеген жұмыстар бар [2-6]. Бұл жұмыстардың талдауы В.В.Карачиктің [7] монографиясында келтірілген.
Диплом жұмысының құрылымы. Жұмыс кіріспе, негізгі бөлім, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.Тұжырымдар мен формулалар нөмірлері үш көрсеткіштен құралған. Бірінші көрсеткіш - бөлім нөмерін, екінші көрсеткіш-бөлімнің ішкі бөлімінің нөмерін, үшінші көрсеткіш - сол ішкі бөлімдегі тұжырымдар мен формулалардың меншікті нөмерін көрсетеді.
Кіріспеде жұмыстың негізгі нәтижелері - лемма және теоремалары келтірілген.
Жұмыстың көлемі 60 бет. Әдебиеттер саны -11.
Жұмыстың негізгі мазмұны.
Бірінші бөлімнің 1.2 - параграфында аймағында келесі есептер қарастырылады
П1-Есеп.

шарттарын қанағаттандыратын функциясын табу қажет. мұнда
П2-Есеп.

шарттарын қанағаттандыратынфункциясын табу қажет. мұнда
П1-есептің шешімі деп П облысында , туындылары үздіксіз, П тұйық облысында функциясының өзі және , яғни - аргумент бойынша - ретті туындысы үздіксіз болатын, есептің шарттарын классикалық мағнада қанағаттандыратын функциясына айтамыз.
П1 және П2 есептерге қатысты келесі нәтижелер орынды.
Теорема 0.1. Егер П1 және П2- есептердің шешімі бар болса ол жалғыз болады.
Теорема 0.2. Егер және шарттары орындалса, онда П1-есептің шешімі бар және

қатар түрінде өрнектеледі.
Бұл жерде тұрақтылар функциясының Фурье коэффиценттері, яғни

Теорема 0.3. Егер және шарттары орындалса, онда П2-есептің шешімі бар және

формуламен беріледі және мұндағы тұрақтылар функциясының Фурье коэффициентері

2-бөлімде гиперболалық теңдеу үшін келесі есептер қарастырылады.
аймақта гиперболалық типтегі есептерді қарастырайық.
Г1-Есеп

шарттарды қанағаттандыратын функциясын анықтау керек. Бұл жердегі k=1,2,...
Г2-Есеп

,

,

,

,

шарттарды қанағаттандыратын функциясын анықтау керек. Бұл жердегі k=1,2,...
Г1-есеп үшін келесі теорема орынды.
Теорема 0.4. Егер , ,
шарттары орындалса, онда Г1-есептің шешімі бар және

(2.3.5)

қатар түрінде өрнектеледі.
Бұл жерде тұрақтылар және функцияларының Фурье коэффиценттері, яғни

.

Г2-есеп үшін негізгі нәтиже келесі теоремада баяндалады.
Теорема 0.5. Егер , ,
шарттары орындалса, онда Г2-есептің шешімі бар және
- жұп болса

.

түрде, ал - тақ болса

қатар түрінде өрнектеледі.
Бұл жерде тұрақтылар және функцияларының Фурье коэффиценттері, яғни

.

3-бөлімнің 1.3 - параграфында Лаплас теңдеуі үшін дөнгелекте, екінші ретті туынды қатысқан ішкі және сыртқы шеттік есептер зертелінеді.қарастырылатын есептердің шешімі бар болу шарттары анықталып, есептің шешімі жалпыланған Пуассон интгералы арқылы өрнектелетіні туралы теоремалар дәлелденеді.
Бірлік дөңгелектің ішінде

∆ U(, ) =0 (0.1)

теңдеуді және оның шекарасында

=f( ) (0.2)

шекаралық шартты қанағаттандыратын u(, )функциясын табу керек.
Теорема 0.6. f() үзіліссіз функциясы болсын. (0.1)-(0.2) есептің шешімі бар болуы үшін

шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.
Егер есептің шешімі бар болса , ол

интегралы түрінде өрнектеледі.
Бұл жерде функциясы

интегралымен анықталады.
Осындай нәтижені сыртқы шеттік есеп үшінде қарастыруға болады.
Мұнда (0.1)- теңдеу дөнгелектің сыртында орындалуы қажет және (0.2) шартқа қосымша

U(, ) M, , M-тұрақты (0.3)

шарттыда талап етеміз
Бұл есеп үшін келесі нәтиже орынды
Теорема 3.2.1. f() үзіліссіз функция болсын. (0.1)-(0.3) есептің шешімі бар болуы үшін

шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.
Егер есептің шешімі бар болса , ол

интегралымен өрнектеледі.
Бұл жерде функциясы

интегралымен анықталады.

1 ПАРАБОЛАЛЫҚ ТЕКТЕС ТЕҢДЕУЛЕР ҮШІН ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ТУЫНДЫ ҚАТЫСҚАН ЕСЕПТЕР

1.1 Параболалық теңдеу үшін бастапқы шеттік есептер

Алдымен параболалық типтегі теңдеуі үшін классикалық бастапқы - шеттік есепке қатысты мәліметтерді келтіреміз.
аймақта параболалық типтегі теңдеуі үшін келесі есепті қарастырайық

(1.1.1)

(1.1.2)

(1.1.3)

(1.1.1) - (1.1.3) есептің шешімі деп П облысында функциялары үздіксіз, болатын және (1.1.1) - (1.1.3) шарттарды классикалық мағнада қанағаттандаратын функциясына айтамыз.

Бұл есептің шешімін

(1.1.4)

түрінде іздейік.(1.1.4) - теңдікпен анықталған функция үшін

болатыны айқын. Егер(1.1.4) функцияны (1.1.1)-теңдікке қойсақ, онда

Демек,

Соңғы теңдікте деп есептеп, теңдіктің оң және сол жақтарын функциясына көбейтсек нәтижеде

(1.1.5)

теңдікке ие боламыз.
(1.1.5)-теңдіктің сол жағында t аргументке, ал оң жағында x аргументке тәуелді функциялар қатысады. Бұл теңдік орынды болуы үшін олар қандайда бір тұрақтыға тең болуы қажет, яғни

(тұрақты).
Сонымен,

Бұл теңдеулерді

түрінде жазып аламыз. Егер (1.1.1) - (1.1.3) есептегі (1.1.3) - шеттік шартты есепке алсақ, онда

Сонымен, белгісіз функциясы үшін келесі

(1.1.6)

спектралдық есепті аламыз.
Бұл есептің түріндегі шешімдері ([8], 198-бет)

функциялар болады.
Ал

теңдеудің шешімі

теңдікпен анықталады. Мұндағы - кез-келген тұрақтылар.
Әрбір мәндерінде

функциялары (1.1.1) теңдеуді және(1.1.3) шеттік шарттарды қанағаттандырады.
Олай болса,(1.1.1) - (1.1.3) есептің шешімін

(1.1.7)

түрінде іздестіреміз.
Есептің шарты бойынша (1.1.7) формуламен анықталған функция (1.1.2) - шартыда қанағаттандыруы қажет, яғни

Демек,

(1.1.8)

(1.1.8) - теңдіктің екі жағын функциясына көбейтіп аралығында интегралдайық:

Егер болса, онда

Бұл жерде біз

теңдігінен пайдаландық.
Егер болса, онда

Сонымен,

Демек, белгісіз коэффициентер

(1.1.9)

теңдікпен анықталады екен. Мұндағы

Бізге кейінгі зерттеулерде(1.1.9) формуладағы формуладағы коэффициентер үшін кейбір бағалаулар керек болады. Осы бағалауларды орындайық.(1.1.9)интегралды бөліктеп интегралдау арқылы төмендегі нәтижеге ие боламыз:

Егер шарттары орындалса, онда

Соңғы интегралды тағы бір рет бөліктеп интегралдасақ, онда

Соңғы теңсіздіктен келесі нәтиже келіп шығады

Егер онда

Лемма 1. Егер және шарттарын қанағаттандырса, онда

(1.1.10)

теңсіздігі орынды, мұнда С - тұрақты.
Теорема 1. Егер және болса, онда (1.1.1) - (1.1.3) есептің шешімі бар және ол

теңдігімен анықталады. Бұл жерде

1.2.Параболалық теңдеу үшін жоғары жұп ретті туынды қатысқан шеттік есеп

аймағында келесі есептерді қарастырамыз.

1-Есеп.

(1.2.1)

(1.2.2)

(1.2.3)

шарттарын қанағаттандыратын функциясын табу қажет. мұнда
1-Есептің шешімін

(1.2.4)

қатар түрінде іздестірейік.
функциясы шарттарды қанағаттандырады. Сол себептен (1.2.4) қатар мен анықталған функция үшін (1.2.2) шарттар орындалады.
Егер (1.2.4) функцияны (1.2.1) теңгеуге қойсақ онда

Бұдан

Демек, кез-келген үшін

(1.2.5)

теңдігі орындалуы қажет.
(1.2.5)теңдеудің шешімі

формуламен анықталады, мұндағы - тұрақтылар. Олай болса, (1.2.1)
теңдеудің шешімі

формуламен анықталады. Бұл функция (1.2.3) шарттыда қанағаттандыру керек. Егер

теңдігін есепке алсақ, онда

Бұдан

(1.2.6)

Айталық, функциясы аралығында

түріндегі Фурье қатарына жіктелсін, мұнда

(1.2.7)

Онда, (1.2.6) және(1.2.7) қатарларды теңестіріп

теңдігін аламыз.
Бұдан белгісіз коэффицентер

теңдіктен анықталады.
Олай болса, (1.2.1)- (1.2.3) есебінің шешімі

(1.2.8)

формуламен беріледі және мұндағы функциясының Фурье коэффициентері

Біз 1-есептің шешімін тапқан кезде бұл шешім, яғни функциясы алдымен П облысында(1.2.1) - теңдеуді қанағаттандыруы керек. Теңдеудің берілуі бойынша табылған функцияның - аргументі бойынша туындысы бар және П облысында үздіксіз. Осы шарт функциясының - аргументі бойынша екінші ретті туындысына да талап етіледі, яғни П облысында үздіксіз болуы қажет.
Егер(1.2.2) назар салсақ онда

шарттары орындалуы қажет. Олай болса, функциясы тұйық облыста үздіксіз болуы қажет. Соңғы (1.2.3) - шарт

түрінде анықталады. Осы шарттан функциясының , яғни - ретті туындысы П тұйық облыста үздіксіз болуын қажет етеді. Сонымен келесі анықтаманы береміз.
Анықтама1. 1-Есептің шешімі деп П облысында , туындылары үздіксіз, П тұйық облысында функциясының өзі және , яғни - аргумент бойынша - ретті туындысы үздіксіз болатын, (1.2.1) - (1.2.3) шарттарды қанағаттандыратын функциясына айтамыз.
Енді (1.2.8) формуламен анықталған функциясы 1-есептің шын мәнісінде шешімі, яғни 1-анықтама шарттарын қанағаттандыратынын көрсетейік.
Алдымен, функциясының - аргумент бойынша - ретті туындысы бар және ол П тұйық облыста үздіксіз болатынын көрсетеміз. Оның үшін (1.2.8) - теңдікпен анықталған функциядан - аргумент бойынша - ретті туындысын табамыз:

(1.2.9)

Бұдан

Егер болса, онда

Сол сиақты үшін осы теңсіздіктерден

нәтижені аламыз.
Демек, біз қатарды жинақтылыққа зерттеуіміз қажет.
Анықтама бойынша

Егер және шарттары орындалса, онда 1-лемманың нәтижесі бойынша

Олай болса

яғни - қатар жинақталады.
Демек, бұл қатар (1.2.9) - теңдіктің оң жағындағы қатар үшін можарант қатар болады. Онда Вейерштрасс теоремасы бойынша [11] бұл қатар П тұйық облыста бірқалыпты жинақталады және оның қосындысы осы облыста үздіксіз функция болады. Сонымен, функциясы П облысында үздіксіз.
Осы сиақты функциясына қатысты

қатарды бағалайтын болсақ, онда

Демек, бұл қатарда П тұйық облыста бірқалыпты жинақталады, сол себептен оның қосындысы болатын функциясы осы облыста үздіксіз функция болады. Осы сиақты және функцияларыныңда үздіксіз болатынын көрсетуге болады. Мысал үшін үшін келесілер орынды:

Бұдан

яғни функциясы П облысында үздіксіз.
Сонымен келесі теореманы дәлелдедік.
Теорема1. Егер және шарттары орындалса, онда 1-Есептің шешімі бар және

қатар түрінде өрнектеледі.
Бұл жерде тұрақтылар функциясының Фурье коэффиценттері, яғни

Келесі теоремада 1-есептің шешімі жалғыз болатыны дәлелденеді.
Теорема2. Егер 1-Есептің шешімі бар болса ол жалғыз болады.
Дәлелдеуі. Айталық, 1-есептің шешімі екеу, яғни және болсын. деп белгілейік. Онда функциясы біртекті (1.2.1) - (1.2.3) шарттарды қанағаттандырады. Есептің шарты бойынша және функциялары П тұйық облыста үздіксіз. Онда функциясыда П тұйық облысында үздіксіз функция болады. Бұл жағдайда функциясыда үздіксіз және ол облысында интегралданатын функция.
Егер жүйесін қарастыратын болсақ бұл жүйе кеңістігінде ортонормал базис құрайды (мысал үшін қараңыз ).
Сондықтан кеңістігіне тиісті болған кез келген функциясы осы жүйе бойынша Фурье қатарына жіктеледі. Біздің жағдайда функциясы кеңістігіне тиісті. Сол себептен

Бұл жерде

Осы теңдіктен t - умент бойынша дифференциалдасақ, онда

Демек,

Бұл теңдеудің шешімі

Егер болатынын ескерсек, онда

онда

Сонда Бұдан
Теорема дәлелденді.

1.3.Параболалық теңдеу үшін жоғары ретті туынды қатысқан шеттік есеп
2-Есеп.

(1.3.1)

(1.3.2)

(1.3.3)

шарттарын қанағаттандыратынфункциясын табу қажет. мұнда

2-Есептің шешімін

(1.3.4)

қатар түрінде іздестірейік.
функциясы шарттарды қанағаттандырады. Сол себептен (1.3.4) қатар мен анықталған функция үшін (1.3.2)шарттар орындалады.
Егер (1.3.4) функцияны(1.3.1) теңгеуге қойсақ онда

Бұдан

Демек, кез-келген үшін

(1.3.5)

теңдігі орындалуы қажет.
(1.3.5)теңдеудің шешімі

формуламен анықталады, мұндағы - тұрақтылар. Олай болса, (1.3.1) теңдеудің шешімі

формуламен анықталады. Бұл функция (1.3.3) шарттыда қанағаттандыру керек. Бұл функцияның ол шартты қанағаттандыруының 2 түрлі жағдайы болады. Егер және болған жағдайлар.Осы ә жағдайды жеке жеке қарастырып шығайық.

1. Егер болса

теңдігін есепке алсақ, онда

Бұдан

(1.3.6)

Айталық, функциясы аралығында

түріндегі Фурье қатарына жіктелсін, мұнда

(1.3.7)

Онда, (1.3.6)және (1.3.7)қатарларды теңестіріп

теңдігін аламыз.
Бұдан белгісіз коэффицентер

теңдіктен анықталады.
Олай болса, - есебінің шешімі

(1.3.8)

формуламен беріледі және мұндағы функциясының Фурье коэффициентері

2. Егер болса

Ал енді жалпы түрін жазайық

(1.3.9)

Бұдан

(1.3.10)

Айталық, функциясы аралығында

түріндегі Фурье қатарына жіктелсін, мұнда

(1.3.11)

Онда,(1.3.10) және(1.3.11) қатарларды теңестіріп

теңдігін аламыз.
Бұдан белгісіз коэффицентер

теңдіктен анықталады.
Олай болса,(1.3.1)- (1.3.3)есебінің шешімі

(1.3.12)

формуламен беріледі және мұндағы коэффициенттері функциясының Фурье коэффициентері

2 ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕКТЕС ТЕҢДЕУЛЕР ҮШІН ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ТУЫНДЫ ҚАТЫСҚАН ЕСЕПТЕР

2.1 Гиперболалық теңдеу үшін бастапқы шеттік есептер

Алдымен гиперболалық типтегі теңдеуі үшін классикалық бастапқы - шеттік есепке қатысты мәліметтерді келтіреміз.
аймақта гиперболалық типтегі теңдеуі үшін келесі есепті қарастырайық

(2.1.1)

(2.1.2)

(2.1.3)

(2.1.4)

Бұл гиперболалық есептің шешімін түрінде іздесек, онда (2.1.1) теңдік бойынша u дан t бойынша 2 рет және x бойынша 2 рет туынды алатын боламыз. Ал енді сол туындыларды төмендегі өрнектер арқылы қарастырамыз.

бұл t бойынша 2 ретті туынды.

бұл x бойынша 2 ретті туынды.

Төбеде алған нәтижелерді (2.1.1) теңдікке апарып қойсақ, онда біз

теңдігіне келеміз.
Соңғы алған теңдіктің екі жағын ға бөлейік, сол бөлуді орындау арқасында біз теңдікке келеміз. Ең соңғы алған теңдігіміздің сол жағы t ға қатысты, ал оң жағы x ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.