Скаляр көбейтінді және оның қасиеттері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 17 бет
Таңдаулыға:

15 Скаляр көбейтінді және оның қасиеттері
мен векторларының көбейтіндісі деп тең санды айтады, мұндағы -- мен векторлары арасындағы бұрыш. Белгілеулері: немесе .
Егер векторлардың біреуі нөлдік болса ϕ бұрышының беймәлімдігіне қарамастан көбейтінді нөлге тең боп деп есептеледі.
(a,b)=a*b*cos⁡(a^b)
Векторлардың скаляр көбейтіндісінің қасиеттері:
1. -- коммутативтілік.
2. -- дистрибутивтілік.
3. -- санға көбейтуге қатысты сызықтық қасиеті.
1 α0--(αa^b)= a^b(αa,b)=αa*b*cosφ= α(a,b)
2 α=0 , αa=0--(αa^b)= ⁡(0^b)=0*a,b=α(a,b)
3 α0, αa ^b=PI+φ
Cos(PI+φ)=-cosφ
(αa^b)= αa *b* Cos(PI+φ)=(- α)a *b*(-cosφ)= α(a,b)
4. -- вектор нормасы.
(a,a)=0 , (a,a)=0 -- a=0
(a,a)=a*a*cos0=a2=0
a2=0 -- a=0
5. ∀a үшін a,0=a*0*cos⁡(a^0)=0
Геометриялық түрде алғанда скаляр көбейтінді бір вектордың ұзындығын екінші вектордың біріншісінің бағытына ортогональ проекциясының ұзындығын көбейткенге тең. Кез келген векторының бірлік вектормен скаляр көбейтіндісі векторының сол бірлік векторға ортогональ проекциясы болып табылады.[1]

16 Кесіндіні берілген қатынаста бөлу
Кеңістікте M1 және M2 нүктелерімен шектелген M1 M2 кесіндісі және осы
кесіндіде жататын М нүктесі кесіндіні ℵ (лямбда)қатынасында бөлсін.
M1 M2 =ℵ М нүктесінің радиус векторын,онан әрі оның координаталарын табу керек.r1 , r2 және r арқылы : M1 M2=M1 M2=r-r1
M1 M2=r2-r1
r-r1=ℵ(r2-r1)
r=r1+ℵr21+ℵ x=x1+ℵx21+ℵ y=y1+ℵy21+ℵ z=z1+ℵz21+ℵ бұл формулалар
кесіндіні берілген ℵ қатынаста бөлу формуласы деп аталады.

17 Базис және өлшем.Вектордың координатасы .Аффиндік координаталар жүйесін анықтау.
Х әріпімен бір түзу бойындағы не жазықтықтағы,кеңістіктегі барлық векторлардың жиынын белгілейік.Х тегі реттелген e1,e2,... ,ek векторлар жүйесі сызықсыз тәуелді болып,ал Хтегі кез келген а векторы осы векторлар арқылы сызықтық өрнектелсе:
a=α1e1+α2e2+αkek (1)
Онда e1,e2,... ,ekжүйесі Хтің базисі деп аталады.(1) формула а векторының
e1,e2,... ,ek базисі бойынша жіктеуі,ал α1, α2,... , αk коэффициенттері а векторының e1,e2,... ,ek базисіндегі координаталары деп аталады.Кез келген вектордың берілген базистегі координаталары бірмәнді анықталады.Екі вектордың бір базистегі сәйкес координаталары бірдей болған жағдайда және тек сол жағдайда тең болады.Векторларды қосқанда олардың сәйкес координаталары қосылады.Векторды санға көбейткенде әр координа осы санға көбейтіледі.Екі вектор коллинеар болуы үшін олардың сәйкес координаталары пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.Аффиндік координаталар жүйесі: Теорема1:Берілген түзу бойындағы кез келген екі вектор сызықты тәуелді вектор жүйесін құрайды.Берілген екі вектордың біреуі нөлдік вектор болса,сызықтық тәуелділіктің бірінші қасиеті бойынша бұл вектор сызықтық тәуелді.Егер екі вектор да нолдік вектор болмаса онда олар коллинеар болады.
Егер коллинеар емес а , b және c үш вектор үшін αа+βb+γc=0 теңдігі орындалатын болса,онда α= β= γ=0
Анықтама:үш а , b және c коллинеар емес вектор бір анықталған ретте алынған болса,онда оларды кеңістіктегі базис деп атайды.Әрі а векторын бірінші, bвекторын екінші және c векторын үшінші базистік
векторлар деп атайды.Кеңістіктегі О нүктесі берілсін,ал М нүктесі кеңістіктің ∀ нүктесі болсын.Онда ОМ бағытталған кесіндісі М нүктесінің радиус векторы деп,ал берілген МО нүктесі полюс деп аталады.Радиус вектор дегеніміз бас нүктелері полюсте орналасатын бағытталған кесінділер.L түзуінде бір базис пен О полюс берілген болса,онда Lде аффиндік координаталар жүйесі берілген деп есептеледі.М∈L (сәйкес М ∈Р ,М∈V)нүктесінің аффиндік координаталары деп ОМ радиус векторы берілген базистегі координаталары деп аталады.
18-19 Кеңістіктегі төрт вектордың сызықты тәуелділігі
Кеңістіктегі сызықты қандай да бір екі беттің қиылысынан пайда болған нүктелердің геометриялық орны деп қарастыруға болады.Егер кеңістіктегі екі бет Fx,y,z=0 және Фx,y,z=0 теңдеуі анықталады деп есептесек ,онда олар қандай да бір сызық бойымен қиылысатыны айқын.Олай болса,сол екі беттің теңдеулерін бірге
Fx,y,z=0 Фx,y,z=0 сфералық беттің
x2+y2+z2=R2 және z=C жазықтығының қиылысында шеңбер болатыны белгілі.
x2+y2+z2=R2z=C

20 Кеңістіктегі вектор ұғымы және оларға қолданылатын амалдар.Қасиеттері.
Жазықтықтағы түзу сияқты кеңістіктегі түзудің де орны сол түзуде жататын бекітілген бір M1(x1,y1,z1) нүктесімен сол түзуге параллель бір s=mi+nj+pk векторы арқылы толық түрде анықталған болады.Түзуге параллель осы s векторы оның бағыттаушы векторы деп аталады.Оның координат осьтеріне проекциясы түзудің бағыттаушы коэффициенттері деп аталады.Сонымен l түзуі сол түзуде жатқан M1(x1,y1,z1) нүктесін және бағыттаушы коэффициенттері m,n,p болатын s=mi+nj+pk бағыттаушы векторы арқылы осы l түзуінің теңдеуін табу қажет.
21 Көпмүшеліктің рационал түбірлері
Егер φ∈P мәнін f көпмүшесінің айнымалысына меншіктегенде
fφ=0 болса,онда φ fтің түбірі деп аталады.
Теорема: (Безу теоремасы)
φ fтің түбірі болуы үшін f көпмүшесі х φ көпмүшесіне қалдықсыз бөлінуі қажет.
22. Нақты сандар өрісінде жіктелмейтін көпмүшеліктердің дәрежесі туралы теорема. f(x)=α0+α1x+α2x2+...+αnxn
Кез келген f∈K[X]көпмүше болсын.f көпмүшесінің дәрежесін degf символымен белгілейміз.Барлық коэффиценттері нөлге тең көпмүше нөлдік көпмүше деп аталады да,0 символымен белгіленеді.Нөлдік көпмүшенің дәрежесі анықтама бойынша -infinityке тең деп ұйғарылады,яғниdeg0=-infinity.Егер f-тің кем дегенде бір коэффиценті нөлге теңі емес болып,ал m саны көпмүшенің нөлден өзге коэффиценттерінің ең үлкен индексі болса,онда f көпмүшесі m-дәрежелі,ал αm коэффиценті f-тің бас коэффиценті деп аталады.Бұл жағдайда degf=m деп анықталады.
Көпмүшеліктердің дәрежелері -infinity,0,1,2... мәндерін қабылдайды.Дәрежесі -infinity-ке тең жалғыз ғана көпмүше бар.ол 0 көпмүшесі.Бос мүшесі нөлден өзге,ал басқа коэффиценттері нөлге тең болатын көпмүшелердің дәрежесі 0-ге тең болады.Сонымен K[X]-тағы айнымалысыз көпмүшенің дәрежесі 0-ге тең немесе -infinity-ке тең болады.
К жиынының элементтерін дәрежелері нөлден аспайтын көпмүшелер деп есептейміз.Сонымен К жиынын K[X] көпмүшелер жиынының ішкі жиыны деп қарастыруға болады.Нақты сандар өрісінде жіктелмейтін көпмүшеліктердің дәрежесі 1-ге немесе 2-ге тең болады.f(x)∈Rx, deg f=n

24. Көпмүшеліктің түбірі.Горнер схемасы. Егер γ∈P мәнін f көпм-ң айнымалысына меншіктегенде f(γ)=0 болса γ-f-тің түбірі деп аталады.Әдетте әрбір γ∈P нөлдік көпм-ң түбірі болады.
1-теорема.(Безу теоремасы): γ-f-тің түбірі болуы үшін f көпмүшесі x-γ көпм-е қалдықсыз бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу.f(x)=(x-γ)q(x)+f(γ).Осыдан f(γ) болуы үшін x-γ f қатыстың орындалуы қажетті және жеткілікті.
2-теорема.Көпмүшелердің түбірлерін бөлу амалымен байланыстырады.Оның негізінде түбірдің еселігін енгізуге болады.
f!=0 болсын. Егер (x-γ)kf(x) бірақ (x-γ)k+1 көп-і f көп-н бөлмейтін болса,онда γ түбірі k-еселі түбір,ал k саны γ түбірдің еселігі деп аталады.Егер γ түб-ң к еселігі 1-ге тең болса,онда γ жай түбір,ал к=2 болғанда еселі түбір д.а. 0 нөлдік көпмүшесі үшін түбір еселік ұғымы анықталмаған.Оның себебі айқын. Кез келген к натурал саны үшін (x-γ)k0x.
3-теорема.γ1,γ2,...,γl∈p еселіктері сәйкес k1,k2,...,kl болатын нөлдік емес f - көп-ң түбірлері болсын.Онда бір g көп-і үшін f(x)=(x-γ2)k1(x-γ2)k2...(x-γl)kl∙g( x) және g(γ1)!=0, g(γ2) !=0,...g(γl)!=0
Салдар.Нөлдік емес f көпмүшесінің түбірлерінің саны олардың еселігін қоса есептегенде f көпм-ің дәрежесінен аспайды.
Дәлелдеу. P өріс болғандықтан degf=k1+k2+...kl+degg=k1+k2+...kl қатыстарын аламыз.
Горнер схемасы.f=an∙xn+...+ak∙xk+...a1∙x+a 0
a∙x+b, g=x-c,берілген f көпмүшесін осы екмүшелікке қалдықпен бөлейік;
f=(x-c)*q+r, 0=degrdeg(x-c)=1=degr=0 яғни r=const. degf=n, deg(k-c)=1, degr=0=degq=n-1.
an∙xn+...+ak∙xk+...a1∙x+a0=(x-c)(bn -1*xn-1+...+bk-1*xk-1+...+b1*x+b0)+ a0;
an=bn-2;
an-1=bn-2-bn-1*c;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ;
ak-1=bk-2-bk*c;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ;
a1=b0-b1*c;
a0=a-b0*c;
bn-1=an;
bn-2=an-1+c*bn-1;
... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ;
bk=ak+1+c*bk+1;

24 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ;
b0=a1+b1*c;
a=a0+b0*c;
Осы формулалар арқылы q(k) көпмүшелігінің коэффиценттері мен қалдықтарының барлық мәндері табылады.
f(x)=(x-c)*q(x)+a, x=c болса =a=f(c) осылай есептеу алгоритмі Горнер схемасы деп аталады.

25. Көпмүшеліктер сақинасындағы бөлігіштік қасиеттер.
(1) Егер f g және gh болса, онда fh
(2) Егер f g және fh болса, онда f ( g+- h)
(3) Егер f g және h кез келген көпмүше болса, онда f( g∙h)
(4) Егер f g1, f g2 ... ,f gк және h1,h2 ... .hk - кез келген көпмүшелер болса, онда
f ( h1 g1+h2 g2+ ... +hk gk)
(5) Р өріс болсын, f, g ∈Р[Х], Егер fg және gf болса, онда Р - ның нөлден өзгеше бір α элементі үшін f= α∙g теңдігі орындалады.
(1) - (4) қасиеттерінің дәлелдеулері бір - біріне ұқсас. Мысалы (2) қасиеттің орындалуын көрсетейік. fg, fh болсын. Онда q1 мен q2 табылып, g= f ∙q1, h=f ∙q2 болады. Бұдан ( g+- h).
(5) қасиетті дәлелдейік. fg және gf болсын. Егер f пен g-ның біреуі нөлдік көпмүше болса, онда екіншісі де нөлдік болады да α =1 деп ала саламыз.
f пен g екеуі де нөлдік емес болсын. Онда f = g ∙ q1 және g= f ∙ q2 орындалатындай q1 ∙ q2 ∈Р[Х] көпмүшелері табылады. Осыдан f =f ∙ q1 ∙ q2 Осы теңдіктегі көпмүшелерінің дәрежелерін теңестіріп degf=degf+deg q1+deg q2 , мына deg q1 = deg q2 =0 теңдіктеріне келеміз. Осыдан q1, q2 ∈Р және q1 != 0 Демек, α = q1

26.ЕҮОБ-тің сызықты өрнектелуі туралы теорема. Егер d=(f,g) болса онда ∃U,V∈R[x] және f(x)∙Ux+gx∙Vx=d(x) Мұнда deg U degg-degr, degv degf-degr (*)
Дәлелдеуі: d=rm=rm-2=rm-1*qm-1:=lmrm-2; rm-1=rm-2*1+rm-1-qm-1=lmrm-2, lmrm-3, rm-2=lm-1rm-3; rm-2=...l3r1,r2=l3r1, g-r1q1=l2r1,g=l2f-g*q0,g=l1(f,g)
ЕҮОБ сызықты өрнектелуі.
d=r2=-4g+2t1∙q1=4g+2-37f+17g∙q1∙q1= f-67q1+g27q0q1-4;
U=-67q1=-673x+92=-187x-277=-972x-3;
V=27q0q1+4=273x2+92x+4=176x2+9x-28;
f*U+g*V=(-97)(2x+3)*(x6-7x4+8x3-7x+ 7)+176x2+9x-283x5-7x3+3x2--7=-97*2x 7+3x6-14x5-5x4-24x3-14x2-7x+21+1718 x7+27x6-126x5-15x4+229x3+126x2-63x+ 7*28=x3-9*21+7*28=-189+196=x3+1

27.ЕҮОБ және ЕКОЕ.Оларды табу. f және g көпмүшеліктерінің екеуіне де бөлінетін көпмүшелікті олардың ортақ бөлгіші деп атайды.Ортақ
f gкөпмүшелерінінің ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп келесі екі шартты қанағаттандыратын d көпмүшесін айтамыз:
1) df,dg; яғни d көпмүшесі f пен g-ның ортақ бөлгіші
2) кез келген h көпмүшесі үшін, егер hf жəне hg болса, онда hd,яғни f пен g-ның барлық ортақ бөлгіштерінің арасында d көпмүшесі ең "үлкен" болады.
Тұжырым.Егер d көпмүшесі f пен g-ның ЕҮОБ,ал α!=0, α∈Р болса,онда α∙d көпмүшесі де f пен g-ның ЕҮОБ болады.
Егер d1, d2 көпмүшелері екеуі де f пен g-ның ЕҮОБ болса,онда нөлден өзгеше бір α∈Р үшін d1=α∙d2 теңдігі орындалады.
Дәлелдеу. d1, d2 көпмүшелері екеуі де ЕҮОБ анықтамасының шартын қанағаттандырсын.Егер d1-ді f пен g көпмүшелерінің ортақ бөлгіші,ал d2-ні f пен g-ның ортақ бөлгіштерінің арасындағы ең үлкені деп қарастырсақ,онда d1d2 аламыз.Сонан соң d1мен d2-нің ролдерін ауыстырып алып, d2d1 қатысын аламыз.Ендеше,бөлінгіштіктің қасиеті бойынша Р өрісінің нөлден өзгеше бір α элементі үшін d1=αd2 теңдігі орындалады
f және g көпмүшеліктерінің екеуінеде бөлінетін көп1мүшеліктерді олардың ортақ еселігі деп атаймыз.Ортақ еселіктерінің ішіндегі дәрежесі ЕКОЕ деп аталады.
f g көпмүшелерінің ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп келесі екі шартты қанағаттандыратын m көпмүшесін айтамыз
1) fm,gm,
2) кез келген h көпмүшесі үшін, егер fh жəне gh болса, онда mh.
Егер m көпмүшесі f пен g-ның ЕКОЕ,ал α!=0, α∈Р болса,онда α∙m көпмүшесіде f пен g-ның ЕКОЕ болады.
Егер m1, екеуіде f пен g-ның ЕКОЕ болса,онда нөлден өзгеше бір α∈P үшін m1=α∙m2 теңдігі орындалады.
ЕКОЕ (f,g) арқылы f пен g көпмүшелерінің ең кіші ортақ еселіктер жиынын белгілейміз.
Көпмүшелердің ЕҮОБ-мен ЕКОЕ-нің арасындағы қатыс бүтін сандардың ЕҮОБ-мен ЕКОЕ-нің арасындағы қатысы секілді.

28.Евклид алгоритмі.Мысалдар. ЕҮОБ және ЕКОЕ
f,g∈kx, g!=0
f=g*q0+r1, 0=degr1degg
Егер қалдық 0-ге тең болмаса, бөлгішті қалдыққа бөлеміз.Онда
f=g∙q1+r1, deg r1degg,
g=r1∙q2+r2, deg r2degr1
r1=r2∙q3+r3, deg r3degr2
r2=r3∙q4+r4. deg r4 deg r3
Теорема. Кез келген f g!=0 көпмүшелері үшін Евклид алгоритміндегі соңғы нөлдік емес rk қалдығы ЕҮОБ (f,g) тең болады.
f және g көпмүшеліктеріне қолданылған ең соңғы 0-ге тең емес қалдық табу әдісін-Евклид алгоритмі деп атаймыз.
f және g көп-ң ЕҮОБ осы көп-ге Евклид алгоритмін қолданғандағы ең соңғы 0-ге тең емес қалдыққа тең.
d=(a,b) d\rmжәне rm=d
d\f, d\g d\r1=d\r2=d\rm
d=rm
rm\rm-1=rm\rm-2
= ... = rm\f және rm\g
rm-f және g ортақ бөлгіш
Мысалы:
f=3x6-21x4+24x3...-21x+21 3x5-7x3+3x2-7
3x6- 7x4+ 3x3... -7x

-14x4+21x3-14x+21 x=q0

3f=g*q0+(-7)r1
(-7) l1=-14x4+21x3-14x+21
ƛ1=2x4-3x3+2x-3

2g=*6x5-14x3+6x2-14 2x4-3x3+2x-3
6x5-9x4+6x2-9x 3x+92 = q1

9x4-14x3+9x-14
9x4-272x3+9x-272

-12x3-12=-12(x3+1)=-12r2

2g=r1*q1+(-12)r2 r1r2 r1=2x4-3x3+2x-3 x3+1
2x4+2x 2x-3

-3x3-3
-3x3-3 =0
d=r2=x3+1
r2-EYOБ
58.Қатынастар. Эквиваленттік қатынас. Бөліктеу туралы теоремa.
Қатынастар. Арнайы бинарлық қатынастар. Бос емес А жиыны берiлсiн. Мұндеғы n - оң бүтiн сан, онда An жиынының кез келген iшкi жиынын А жиынында анықталған n-орынды қатынас деп атаймыз.
1-орынды қатынастар унарлық, 2- орынды қатынастар бинарлық, 3-орынды қатынастар тернарлық қатынастар деп аталады. Практикада негiзiнен унарлық жəне бинарлық қатынастармен жұмыс iстеймiз. Əсiресе, төменде келтiрiлетiн арнайы бинарлық қатынастар математикада кеңінен жəне табысты қолданылады.
Осы бөлімде R арқылы А жиынында анықталған бинарлық қатынасты белгiлеуге келіселік. Сонымен бірге, (a, b) парының R қатынасына тиістілігін (а,b)∈ R немесе aRb Бiздiң курсымызда ерекше маңызды жəне жиi кездесетiн арнайы бинарлық қатынастарды анықтаймыз.
1. Егер кез келген x ∈ A элементi үшiн (x,x) ∈R болса, онда R қатынасы рефлексивтi қатынас деп аталады.
2. Егер кез келген x,y∈ A элементтерi үшiн ( x, y) ∈ R -- ( y, x) ∈ R шарты орындалса, онда R қатынасы симметриялы деп аталады.
3. Егер кез келген x, y, z ∈ A элементтерi үшiн ( x, y) ∈ R жəне ( y, z) ∈ R-- ( x, z) ∈ R шарты орындалса, онда R қатынасы транзитивтi деп аталады
4. Кез келген x ∈ A үшiн ( x, x) ∈ R болса, онда R қатынасы иррефлексивтi деп аталады.
5. Кез келген x,y ∈ A үшiн ( x, y) ∈ R жəне ( y, x) ∈ R болғандығынан x=y теңдiгi орындалса, онда R қатынасы антисимметриялы деп аталады.
Анықтама. A жиынында анықталған рефлексивтi, симметриялы жəне транзитивтi қатынас эквиваленттiлiк қатынас деп аталады. Сонымен R қатынасы эквиваленттiлiк қатынас болу үшiн кез келген x, y, z ∈ A элементтері үшін ( x, x) ∈R
( x, y) ∈ R-- ( y.x) ∈ R
( x, y) ∈Rжəне ( y, z) ∈ R-- ( x, z) ∈ R
шарттары орындалуы керек. Əдетте R эквиваленттiлiк қатынас болса, ол арнайы ~ (тилда) белгiсі арқылы таңбаланады. Яғни ( x, y) ∈ R -- x ~ y .
Яғни ~ - A жиынында анықталған эквиваленттiк қатынас болса, онда кез келген x, y, z ∈ A элементтері үшін
x ∈ A-- x ~ x
x ~ y --y ~ х
x ~ y жəне y ~ z -- x ~ z шарттары орындалуы керек
x ={ y y ∈ A , x ~ y } iшкi жиынын x элементiнің эквиваленттiлiк класы дейміз.
Ал x жиынының кез келген элементi x эквиваленттілік класының өкiлi деп аталады.
Бөліктеу туралы теорема.
Егер А жиыны жəне оның iшкi жиындары A1, A2, ..., Am, ...үшiн

1. A=i∈IAi2. i!=j ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.