Комплекс сандар. Комплекс айналымы

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

1 лекция
Комплекс сандар
1. Лекция мақсаты.
Студенттерді комплекс сандар ұғымымен , оның геометриялық мағынасымен және шығу жағдайымен таныстыру
2. Түйін сөздер.
Комплекс санның модулі, аргументі.
3. Лекцияның қысқаша мазмұны.

Келесі түрдегі өрнекті z = x+iy (I) комплекс сан дейміз. Бұл комплекс санның алгебралық түрі. Мұнда i = -i комплекс санның нақты бөлігін x = Rez деп, жорамал бөлігін mz = y белгілейміз. z = x+iy комплекс санын, z = x+iy санына түйіндес сан дейді.
z = x+iy комплекс санына XOY жазықтығына нүкте болып өрнектеледі.

y

M

s
φ . y
0 x x
S = OM z комплекс санының модулі S = x2+y2 ал φ = Arg z комплекс санның аргументі длеп аталады.
Arg z = arg z + 2kPI (k=0; +-1,+-2...)
Алгебралық түрдегі комплекс сандарға амалдар.
1. Z1 = x1+iy1, z2 = x2+iy2 комплекс сандар қосындысы (айырымы) - комплекс сан болады және келесі түрде анықталады. z1 +- z2 = (x1+-x2) + i (y1+-y2)
2. z1, z2 комплекс сандар көбейтіндісі комплекс сан болады және келесі түрде анықталады, z1 . z2 = (x1x2-y1y2) + (x1 y2 + x2 y1 ) комплекс сандар қатынасы:
3. z1, z2 комплекс сандар қатынасы
z1z2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1-x1y2x22 +y22
Комплекс санның тригонометриялық түрі және оларға амалдар.
Алгебралық түрдегі комплекс z = x+iy сан тригонометриялық түрге келтіреді. Жоғарыдағы суреттен x=cosφ y=sinφ

сонда, z =S (cosφ + sinφ) (2)
келесі комплекс сандарды қарастырайық,
z1 =S1 (cosφ1 + sinφ1) S1=Z1, Arg z1= φ1
z2 =S2 (cosφ2 + sinφ2) S2=Z1, Arg z2= φ2
Сонда,
z1 x z2 = S1 x S2 cosφ1+φ2+ isin (φ1+φ2)
Z1xZ2 = Z1xZ2 Arg (Z1xZ2)=Arg z1-Arg z2
Екі комплекс санның қатынасы келесі формуламен анықталады;
z1z2=S1S2cosφ1-φ2+isinφ1-φ2
z1z2=z1z1 , Arg Z1Z2= Arg z1-Arg z2

4. Бақылау сұрақтары.
1. Комплекс сандардың аргументі, модулі деген не?
2. Комплекс сандардың геометриялық мағынасы не болады?
3. Комплекс сандардың қосындысы, айырымы, қатынасы қандай сан болады?
4. Комплекс санның тригонометриялық түрін жаз және оларға қандай амалдар қолдануға болады?
5. Пайдаланылған әдебиеттер (оқу құралдары)
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. Наука М. 1977 г.
2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного. Изд. Наука М. 1987 г.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики том 3, часть вторая. Изд. Наука
4. Тихонов. А.Н. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной Изд. Наука М. 1974г.
5. Краснов М.Л. Киселев А.И. Макаренко Г.И. Функций комплексного переменного, Операционное исчисление, Теория устойчивости.
6. Волковоский Л.И. Лунц Г.Л. Араманович И.Г. Зборник задач по теорий функций комплексного переменного. Изд. Наука.
7. Привалов И.И. Комплекс айнымалы функция теориясына кіріспе. 1969 жыл.

2 лекция
Комплекс айналымы.
Функциялар.
1. Лекция мақсаты.
Студенттерді комплекс айналымы , функция ұғымы мен және оның екі аймақ арасындағы бейнелеу екендігін түсіндіру
2. Түйін сөздер.
Бейне, түпбейне, жиынның ішкі нүктесі, тұйық жиын.
3. Лекцияның қысқаша мазмұны.
Комплекс сандардан құралған Е жиынын қарастырайық. z = x+iy комплекс саны Е жиынының әрбір нүктесіне сәйкес келсін. Бұл жағдайда, z - айнымалы , ал Е-ні оның өзгеру аймағы дейміз.
Анықтама.
Егер Е аймағында өзгеретін комплекс айнымалы z - тің әрбір мәніне қандайда бір заңдылықпен Q аймағының W= U (x,y)+iv(x,y) айнымалының бір мәніне сәйкес келсе, онда айнымалы W-ні, айнымалы Z - тің функциясы дейді және оны былай белгілейді
W= f (z), немесе W= φ (z), (1)
Тәуелсіз айнымалы W- нің қабылдайтын барлық мәәндерінің жиынын Q деп белгілесек, онда комплекс Z жазықтығында жатқан Е айнымалының әрбәр нүктесіне, комплекс W жазықтығында жатқан Q аймағының белгілі бір нүктесі сәйкес келеді.
y V

Q
. z E W=f(z) W

O X O X

Былайша айтқанда, W= f (z) функциясы Е аймағын Q аймағына түрлендіреді немесе бейнелейді.
f (z) функциясының Е жиынынан қабылдайтын мәндерін, W= f (z) бейнелеуі бойынша, Е жиынының бейнесі дейді, және f (z) деп белгілейді, ал Е жиынын f (z)-тің түп бейнесі дейді. Егер Q аймағының әрбір нүктесіне Е аймағының бір немесе бірнеше нүктесі сәйкес келсе, онда айнымалы Z - ті айнымалы W-нің функциясы дейді және келесі түрде белгілейді
Z = φ (w), (2)
(2) функцияны (1) функцияның кері функяиясы дейді.
Егер центрі Р нүктесіндегі жеткілікті кішкене R дөңгелектің барлық нүктелері Е жиынының ішкі нүктесі дейді.
Е жиынын (область) дейміз, егер келесі екі шарт орындалса:
1) Е жиынының әрбір нүктесі оның ішкі нүктесі болса;
2) Жиынның кезкелген екі нүктесін, сол жиынның ішінде жатқан сынық сыызықтармен қосуға болса;
Аймақ Е берілсе, жазықтықтың бүкіл нүктелерін осы Е аймағына қатысты екі класқа бөлуге болады. Бірінші класқа Е аймағының барлық нүктелерін жатқызамыз, ал екінші класқа Е аймағына жатпайтын нүктелерді енгіземіз. Е аймағында жатпайтын нүкте Q екі типті болуы мүмкін, не центірі осы Q нүктесіндегі жеткілікті кішкене дөңгелектің барлық барлық нүктелері Е аймағында жатпайды, онда Q нүктесін Е аймағының сыртқы нүктесі деп атаймыз, не центрі Q нүктесіндегі мейлінші кішкене дөңгелекте Е жиынының нүктелері де жатады, онда Q нүктесін Е аймағының шекаралық нүктесі деп атайды. Е аймағының барлық шекоралық нүктесінің жиынын осыаймақтың шекарасы дейміз. Е аймағы мен оның шекарасынан тұратын жиын тұйық жиын деп аталады және келесі түрде белгіленеді Е.
4. Бақылау сұрақтары.
1) Комплекс айнымалы функция анықтамасы.
2) Бейне және түпбейне дегеніміз не?
3) Аймақ дегеніміз не және тұйықталған жиын анықтамасы.
4) Бір байланысты және көпбайланысты аймақ.
1) Z нүктесінен Е аймағының сыртқы нүктесі дейміз, егер оның аз Е аймағының Е аймағына кірмейтңн болса
2) Z нүктесін Е аймағына шегараның нүктесің дейміз, егер оның аз Е аймағында Е жиынының нүктелерімен оған (Е жиыны) кірмейтін нүктелер де болса.
3) Жиынға оның барлық шекараларының нүктелерін қоссақ, одан шыққан жиынды тұнықталған дейміз.
4) f(z) функцияларын Е аймағында бірпарақ функция дейміз, егер z - тің әрбір мәніне функцияның әрбір мәні сәйкес келсе.
Үздіксіздігі.

Анықтама.
Е жиынында анықталған f(z) функциясын, z0 Є Е нүктесінде үздіксіз дейміз, егер функцияның z0 нүктесінде шекті мәні болға, ал ақырғы және f(z0) тең болса, онда f(z) - z0 нүтесінде үздіксіз дейміз.
limz--z0 f (z)= f(z0)

3 лекция

Шек және функцияның үздіксіздігі.
Комплекс айнымалы қарапайым функциялар.

1. Лекция мақсаты.
Студенттерді комплекс айналымы функцияларының шек және үздіксіздігімен таныстыру.

2. Түйін сөздер.
Шек, үздіксіздік.

3. Лекцияның қысқаша мазмұны.
W= f (z) функциясы z0 = x0+iy0 нүктесінің аймағында анықталған және бірмәнді болсын.
1. f (z) функциясының z-- z0 шегі болады дейміз, егер
limx--x0y--y0 u (x,y)= u (x0, y0) limx--x0y--y0 v (x,y)= v (x0, y0)
Шектері бар болса, былайша айтқанда
limz--z0 f (z)=u0+iv0= w0 (1)
Нақты айнымалы функциялар шектерінің комплекс айнымалы функциялар шегіне де көшеді.
lim (f+-g )= lim f +- lim g, lim (f,g )= lim f x lim g
lim fg = lim f lim g (егер lim!=0)
2. f (z) функциясын z0 нүктесінде үздіксіз дейміз, егер ол (f (z)) z0 нүктесінің аймағында (және z0 нүктесінде) анықталып және келесі шек болса,
limz--z0 f (z)= f (z0)
Енді комплекс айнымалы қарапайым функцияларға тоқталайық.
ez, sinz, cosz комплекс функциялары, жинақты дәрежелі қатардың қосындысы ретінде анықталады.

ez= 1+z11 + z2 21+ ...
sinz = z - z331 + z551 - z771 + ... . (3)
cosz = 1-z221 + z441 - z661 + ... .

ez қасиеттері 1) ez1+z2= ez1e z2, мұндағы z1, z2 кезкелген комплекс сандар. 2) ez+2PIi= ez (k=0, +-1, +- ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.