Екінші ретті қысықтар


Екінші ретті қисықтар
Осы уақытқа дейін біздер х, у, г айнымалыларының тек бірінші дәрежеде болып келгсн жағдайларды, яғни түзулер мен жазықтықтардың әртүрлі теңдеулерін қарастырдық. Алдағы уақытарда олардың бірінші дәрежелерімен қоса, екінші {х г , ху, у г ) дәрежелері болып келген жағдайларды қарастырамыз. Олардың кейбіреулерін мектеп қабырғасында кездестірдік: кіндігі бас нүктеденемесе тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі кез келген {х а , у„) нүктесінде жататын радиусы я болатын шеңбердід тсңдсулері- х : +у- ^й ? (^х-х^+іу-уъУ =й') ; төбесі бас нүктеде немесе кезкелгсн (^. у») нүктссінде жататыи парабола теңдеудері у-ах- [і'-і/ в =<і(х~хл 2 ) ; гипербола теңдсулері - у = ~ және олардың сәйкес графиктері құрайық. Ол үшін жазықтықтағы қиындысына пайда болған тұйық қисық - эллипс; егерде жазыктық, конустың екі қуысына да карасты жасаушыларды қиып ететін болса (3. 21' д-сурет) - гипербола; ал жазықтық конустардың бір жасаушысына (мысал үшін, лв) параллель қоятын болса (3. 21 т~ сурет), опда қиылысында пайда болған қисық - парабола деп аталады. Егер жазықтық горизонтқа параллель О нүктесінен басқа жердең қиятың болса, қиындысына. шсңбер болатындығы ақиқат.
1. Эллипс. Фокустары дед аталатын екі нүктеден (Ғ Х ., Ғ 2 ) ара қашықтығы тұрақты (2о) шамаға. тең болатын, жазықтықтағы нүктелердің
геометриялық орны эллипс деп аталады.
Ескерту. Дербес жағдайда, Ғ у = /•;, яши фокустары уйлескен болса, эллипс - шеңберге айналады. Енді эллипстің каиондьгқ тевдеуін
Ал күнделікті тіршілікге ондай қисықтардьш, алуан түрлері іздесетіндігі мөлім. Сапардың кейбіреулсріпс тоқталайық.
Мысал үшін, төбелері бір О нүктесінде үйлескен дөи^елск екі конусты өр түрлі орналасқан жазықтықтармсн (О нүктесінен басқа) жерінен қиған кездсгі, қиылысында пайда болатын қисықтардың турлерін қарастырайық (3. 21-сурет) .
Егер көлбеу жазықтық, конустың бір жақ қуысының барлық жасаушыларын толығымен қиып отетін болса (3. 21 /-сурет), онда
Гиперболаның канондық (3. 42) теңдеуінің, оның ағымдық нүктелері
![]()
үшін, у = ±~-<1х>~а'- - болатындығы бслгілі, Енді түзу бойындағы нүктслердің ординаталары мен гипербола ординаталарын бағалайық:
Бұдан х->±со кезде І?"-^* -- ~- монотонды кемімелі шама жене
X + \'Х~ -Л
ол нөлге ұмтылады. Демек, гипербола бойында жатқан Щх. у) нүктесімен г*±-х гүзуі бойында жатқан м'(х, у") нүктесі арасыидағы
қашықтық нөлге үмтьшатывдығын көреміз. Онда ү = ±-х түзуі (3. 42)
а
гипербола асимптотаеы болып табыладьЕ (3. 24-сурет) .
Ескерту. Келтірілген 3. 24-суреттен гипербола тармақтары Оу осімсн еш жердс қиылыспайды, сондықтан ол жорамал өсь деп
атадады.
3. Парабола. Фокусы деп аталатын ңүктесіне^ және • директриса деп аталаіын бір түзуден > Э>зак, ашықтықтары тсң болатын, жазықтықтағы нүктслердің геометриялық орны парабола дсп аталады.
Параболаның канондық тегщсуін қүру үшін декартты: координаталар жүйссінің бас нүктесіи Ох өсінде жатқан ғі кссіндісінін ортасына орналастырайық (3. 25-сурет) .
Енді анықтама бойынша, мысал үшіп Л~, 0[, д-=~- болса
\2 ) 2
сі=ҒМ
Мұндағы
й? = £ + х,
РМ = г = Л(х-£у+у
я
.
Енді (2) өрнектерді (1) -ге апарып қойсақ
- {х ~---) '-Ү у =>£- + иг+дс' =
2 4 '
- х 2 - рх+ -- + у г --=> У=-2рх. (3. 43)
- параболаның каноқдык тсндеуін аламыз.
Параболаның канондық
теңдеуінен, М(х, у) нүктесі мен М'(х~у) нүктесі Ох - абсцисса өсіне қарағанда симметриялы, демек парабола Ох осіне симметриялы болады.
Келтірілген 3. 25-суреттсн: О{0, 0) -
г , . Ч
парабола төбесі; Ғ\ --, о I - фокусы; г - фокалдық радиусы, у--- іү^у*
бисектрисасы; парабола фокусынан директрисага дейінгі қашықтык - р , параболаның параметр! деп аталады. Егер парабола параметр] р>о {р<0) болса, онда парабола тармағы Оу өсінІң он,
(сол) жағына орналасады.
Егерде эллипстің, гяперболаның кіндігі жөне парабола тобесі бас нүктеде емсс, декарттық координатадар жүйесіндегі М 9 (х а , у 9 ) нүктесінде орналасқан болса, онда олардың (3-41), (3. 42), (3. 43) канондьіқ тевдеулері, сәйкес:
І^ЗіИ + ^--Уо) 3 = 1; (3. 41 *)
а' Ь 2
і£ііі2і„СуіЛІІ я і : (3. 420
. де. картгак коорди катал ар жүйеаііің бяс нүктесін Қ(-с х О) жөне Ғ, (+с$) нүктелерініц дол ортасыңда жататындай стіп а/іайық (3. 22-сурет) . Суреттс көрсетілгендей \Р^-' 2 \ - 2с, \Ғ, м\ - г, , \Ғ 2 М\= г 2 .
ЭллипстІд анықтамасы бойьшша
г, + г, = 2л
ЭллипстІд анықтамасы бойьшша
г, + г, = 2л.
Мұңдағы,
/; -л/і^ +с ') ? + >' 5 . '"і ~ у(-\'~ с ) "' -һ_к 2 - (2)
Онда (I. ) мен (2>-ні лайдаланып,
<г^^(х--; -с) : + у ! һ % ) {х~с'г + у^ -■ 2й^> у(лч с) " і-У = 2а--7(*-с) '+У => -- ^ (д--і г:}' ч-У'~ 4а : ~4а^(х-с) ' і-) Г ±(х~с) 2 +у 2 =? , - г^. г" +2«+6'" +_у ! ~ 4п 7 -<\а^{у-с) 1 + у 2 ¥х~ -2сх + е 2 + у* =$ У г-^4сх-4а : --\а-^(х- с) 1 -һу 2 ~-> -(а" -сх) -ауСх-с) 1 +> 2 -^
Осы алынған (3. 41) теңдеу, эллйастіи канондық тсндеуі деп аталады.
Эллипстің (3. 38; канокдық тендеушеп оның бойьтнда жатқан кез
келген ағымдық ми. у) яуюгесіне, Оу, Ох өсьтеріне қарағанда
си мметриялы Ы '. м \ м - и у ктелері табылатындьігьщ көрсміз (3. 23-
сурст) . Мұндаіы: ^(0, 0) - эллипстің кнщігі;/, (-й, о), Л(п. о), іг, (о, -й) . в 2 (о, ь) - тебелері; 1-Х-сО) жоне Р" а (+с, О) фокустары; г іч г 2 - фокалдық раднустары; о, * -сәйкес, үлкен жөне кіші
жарты өсьтері (2а, г&) - үлкер
және кіші өсьтері) .с \а 1 -іг \ 7
г -„ = , -___. __ тг і-- -• эксцеігг-
а \ а- X сг
рИСИТСТІ (£<] }; х~~±~-~ Қ ЖӘШ е
ь, фокустарына сәйкес
директрисалары дел аталады.
Жоғарьшагы 3. 23-суреттен эллипс бойында жататын нүктелер \ц < д, у < ь -- тік төрі бұрыш ішіне орналасатындыгын кореміз. Егердс А>« болса, о>іда эллипстің үлкен осі 2Һ, кіші всі (2я) болады, ал оның фокустары і\, К үлксн ось - 2Һ -ның бойына орналасады.
Ескерту. Егер (3. 41) эллипстің канондық тендеуіндегі улксн жонс кіші жарты өсьтері өзара тең (а = һ) болса, онда ( ) кіндіп бас нүктсде жататын, радиусы й-ге тең болатын шеңбердің тендеуін - г : + і--л- аламыз. Будан эллипстің, шсңберді Оу (немесе Ох) өсі бойынша кысылуынан павда болатындыгьЕіі көреміз.
2. Гипербола. Фокустары деп аталатын екі нүктсдсн (ғ,, ғ 2 ) ара к:-ииык, тыктарынын, айырымының абсолют шамасы (модулі) түрақты [2а) шамаға тең болатьш, жазықтыктағы нүктелердің геометриялық
орны гипербола деп аталады.
Гиперболаның канондық теңдсуің күру үшін, тағы да 3. 22-оуретті карастырып, жоғарьщағы анықтаманы сске алайық, ятни
г, -г 3 = 2а. (3)
Енді (2) өрнектерді (З) -кс қойып түрлендіру арқылы,
чііх+с) 1 4 у 1 ~у] (х-с) 2 +у 3 = 2а--> ^{х + с) 2 -і- у 2 -^{дг + с) : +у 2 --^І{х--сУ'-+у 2 г= ±2а =э ^/( х + с) г -і- у 2 ~±2а + - у/р^- с) 2 + у ; => :^> (хі-с) 1 +у 2 =4а 3 ± 4йГд/(х - с) ~ +у 2 +(х-с) ~ +у 2 => -> у- ь2сх + с : л-у 1 =■ 4а ъ ±Аа ^(х-с) 2 л- у 1 +х 1 і -2х с + с 1 +у 7 ' ^> =р>ікд £"4йг = ±Ла^(х-с У + у 2 т^х 1 {сг -ег) -а 1 у г = я г (с^ _- д : ) ^ --> [<:г -а 1 = Ь'\^>һ'х г ~~а*у^ - і7"6' ^>
4-4 = 1 (3, 42)
а- Ь- - гнперболанын канондық тецдеуін аламыз.
Гиперболаның канондық тсндеуіндегі айнымалылар екінші дөрсжелі болғандықтан, өрбір ағьщдьпс, М(х, у) нүктесіне Ох, Оу ; өсьтеріне қарағанда симметриялы м'М'М" нүктелері табъшатындиғілн оцай керугс болады (3. 24-сурст) . Мұңдағы; : О(0, е) - гипербола кішцгі; л, (-а, о), л, (а, о) - ішқты тобелері; Қ{о, ~һ\ в ? (о, ь) -~ жорамал тоб е/ісрі; Қ(-с, 0), Ғ ? (-іс, 0) - фокустары; /;, ?■. - фокалдык ридиустары; Ох ~ накты осі; Оу -жорамал осі; у-±-х -
а
асимптоталары; & « - ■=■ /і + -- ■- эксңеіприситеті {е < 1) ; ү = і:~
а V а" е
лиректрисалары деп аталады. Жогарыдаіъі (3. 42) тендеуден жөне 3. 24-сурсттен, \х\ > а, ятни гипербола гармақтары г = -а тузуінің сол жагына, х = а тү-зуінің оң жагына орналасқан.
бүрыш ішіне орналасатындыгын кореміз. Егердс А>« болса, о>іда эллипстің үлкен осі 2Һ, кіші всі (2я) болады, ал оның фокустары і\, К үлксн ось - 2Һ -ның бойына орналасады.
Ескерту. Егер (3. 41) эллипстің канондық тендеуіндегі улксн жонс кіші жарты өсьтері өзара тең (а = һ) болса, онда ( ) кіндіп бас нүктсде жататын, радиусы й-ге тең болагын шеңбердің тендеуін - г : + і--л- аламыз. Будан эллипстің, шсңберді Оу (немесе Ох) өсі бойынша кысылуынан павда болатындыгьЕіі көреміз.
2. Гипербола. Фокустары деп аталатын екі нүктсдсн (ғ,, ғ 2 ) ара к:-ииык, тыктарынын, айырымыныц абсолют шамасы (модулі) түрақты [2а) шамаға тең болатьш, жазықтыктагы нүктелердің геометриялық
орны гипербола деп аталады.
Гиперболаның канондық теңдсуің күру үшін, тағы да 3. 22-оуретті карастырып, жоғарьщағы анықтаманы сске алайық, ятни
г, -г 3 = 2а. (3)
Енді (2) өрнектерді (З) -кс қойып түрлендіру арқылы,
чііх+с) 1 4 у 1 ~у] (х-с) 2 +у 3 = 2а--> ^{х + с) 2 -і- у 2 -^{дг + с) : +у 2 --^І{х--сУ'-+у 2 г= ±2а =э ^/( х + с) г -і- у 2 ~±2а + - у/р^- с) 2 + у ; => :^> (хі-с) 1 +у 2 =4а 3 ± 4йГд/(х - с) ~ +у 2 +(х-с) ~ +у 2 => -> у- ь2сх + с : л-у 1 =■ 4а ъ ±Аа ^(х-с) 2 л- у 1 +х 1 і -2х с + с 1 +у 7 ' ^> =р>ікд £"4йг = ±Ла^(х-с У + у 2 т^х 1 {сг -ег) -а 1 у г = я г (с^ _- д : ) ^ --> [<:г -а 1 = Ь'\^>һ'х г ~~а*у^ - і7"6' ^>
4-4 = 1 (3, 42)
а- Ь- - гнперболанын канондық тецдеуін аламыз.
Гиперболаның канондық тсндеуіндегі айнымалылар екінші дөрсжелі болғандықтан, өрбір ағьщдьпс, М(х, у) нүктесіне Ох, Оу ; өсьтеріне қарағанда симметриялы м'М'М" нүктелері табъшатындиғілн оцай керугс болады (3. 24-сурст) . Мүкдағы; : О(0, е) - гипербола кішцгі; л, (-а, о), л, (а, о) - ішқты тобелері; Қ{о, ~һ\ в ? (о, ь) -~ жорамал тоб е/ісрі; Қ(-с, 0), Ғ ? (-іс, 0) - фокустары; /;, ?■. - фокалдык ридиустары; Ох ~ накты осі; Оу -жорамал осі; у-±-х -
... жалғасы- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz