Екінші ретті қысықтар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Екінші ретті қисықтар
Осы уақытқа дейін біздер х,у,г айнымалыларының тек бірінші дәрежеде
болып келгсн жағдайларды, яғни түзулер мен жазықтықтардың әртүрлі
теңдеулерін қарастырдық. Алдағы уақытарда олардың бірінші дәрежелерімен
қоса, екінші {хг,ху,уг)дәрежелері болып келген жағдайларды қарастырамыз.
Олардың кейбіреулерін мектеп қабырғасында кездестірдік: кіндігі бас
нүктеденемесе тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі кез
келген{ха,у„) нүктесінде жататын радиусы я болатын шеңбердід тсңдсулері— х:
+у- ^й? (^х-х^+іу-уъУ =й'); төбесі бас нүктеде немесе кезкелгсн (^.у)
нүктссінде жататыи парабола теңдеудеріу-ах- [і'-ів =і(х~хл2); гипербола
теңдсулері — у = ~ және олардың сәйкес графиктері құрайық. Ол үшін
жазықтықтағы қиындысына пайда болған тұйық қисық — эллипс; егерде
жазыктық, конустың екі қуысына да карасты жасаушыларды қиып ететін болса
(3.21' д-сурет) — гипербола; ал жазықтық конустардың бір жасаушысына (мысал
үшін, лв) параллель қоятын болса (3.21 т~ сурет), опда қиылысында пайда
болған қисық — парабола деп аталады. Егер жазықтық горизонтқа параллель О
нүктесінен басқа жердең қиятың болса, қиындысына. шсңбер болатындығы
ақиқат.
1. Эллипс. Фокустары дед аталатын екі нүктеден (ҒХ.,Ғ2) ара қашықтығы
тұрақты (2о) шамаға. тең болатын,жазықтықтағы нүктелердің
геометриялық орны эллипс деп аталады.
Ескерту. Дербес жағдайда, Ғу = •;, яши фокустары
уйлескен болса, эллипс — шеңберге айналады. Енді эллипстің каиондьгқ
тевдеуін

Ал күнделікті тіршілікге ондай қисықтардьш, алуан түрлері
іздесетіндігі мөлім. Сапардың кейбіреулсріпс тоқталайық.
Мысал үшін, төбелері бір О нүктесінде үйлескен дөи^елск екі конусты өр
түрлі орналасқан жазықтықтармсн (О нүктесінен басқа) жерінен қиған кездсгі,
қиылысында пайда болатын қисықтардың турлерін қарастырайық (3.21-сурет).
Егер көлбеу жазықтық, конустың бір жақ қуысының барлық жасаушыларын
толығымен қиып отетін болса (3.21 -сурет), онда
Гиперболаның канондық (3.42) теңдеуінің, оның ағымдық нүктелері

үшін, у = ±~-1х~а'- — болатындығы бслгілі, Енді түзу бойындағы
нүктслердің ординаталары мен гипербола ординаталарын бағалайық:

Бұдан х-±со кезде І?"-^* - —-~- монотонды кемімелі шама жене
X + \'Х~ —Л
ол нөлге ұмтылады. Демек, гипербола бойында жатқан Щх.у)
нүктесімен г*±-х гүзуі бойында жатқан м'(х,у") нүктесі арасыидағы

қашықтық нөлге үмтьшатывдығын көреміз. Онда ү = ±-х түзуі (3.42)
а
гипербола асимптотаеы болып табыладьЕ (3.24-сурет).
Ескерту. Келтірілген 3.24-суреттен гипербола тармақтары Оу осімсн
еш жердс қиылыспайды, сондықтан ол жорамал өсь деп
атадады.

3. Парабола. Фокусы деп аталатын ңүктесіне^ және • директриса
деп аталаіын бір түзуден Эзак,ашықтықтары тсң болатын, жазықтықтағы
нүктслердің геометриялық орны парабола дсп аталады.
Параболаның канондық тегщсуін қүру үшін декартты: координаталар
жүйссінің бас нүктесіи Ох өсінде жатқан ғі кссіндісінін ортасына
орналастырайық (3.25-сурет).
Енді анықтама бойынша, мысал үшіп Л~,0[, д-=~— болса
\2 ) 2
сі=ҒМ
Мұндағы
й? = £ + х, РМ = г = Л(х-£у+уя .

Енді (2) өрнектерді (1)-ге апарып қойсақ

- {х ~---)'-Ү у =£— + иг+дс' =
2 4 '
- х2 - рх+ —- + уг --=У=-2рх. (3.43)
- параболаның каноқдык тсндеуін аламыз.
Параболаның канондық
теңдеуінен, М(х,у) нүктесі мен М'(х~у)нүктесі Ох - абсцисса өсіне қарағанда
симметриялы, демек парабола Ох осіне симметриялы болады.
Келтірілген 3.25-суреттсн: О{0,0) —
г ,. Ч
парабола төбесі; Ғ\ --,о I - фокусы; г — фокалдық радиусы, у--- іү^у*
бисектрисасы;парабола фокусынан директрисага дейінгі қашықтык — р ,
параболаның параметр! деп аталады. Егер парабола параметр] ро {р0) болса,
онда парабола тармағы Оу өсінІң он,
(сол) жағына орналасады.
Егерде эллипстің, гяперболаның кіндігі жөне парабола тобесі бас нүктеде
емсс, декарттық координатадар жүйесіндегі М9(ха,у9) нүктесінде орналасқан
болса, онда олардың (3-41), (3.42), (3.43) канондьіқ тевдеулері, сәйкес:
І^ЗіИ + ^--Уо)3 = 1;(3.41 *)
а' Ь2
і£ііі2і„СуіЛІІяі: (3.420
. де.картгак коорди катал ар жүйеаііің бяс нүктесін Қ(-схО) жөне Ғ,(+с$)
нүктелерініц дол ортасыңда жататындай стіп аіайық (3.22-сурет). Суреттс
көрсетілгендей \Р^-'2\ - 2с, \Ғ,м\ - г,, \Ғ2М\= г2.
ЭллипстІд анықтамасы бойьшша
г, + г, = 2л

ЭллипстІд анықтамасы бойьшша
г, + г, = 2л.

Мұңдағы,
; -лі^ +с')? +'5. '"і ~ у(-\'~с)"' -һ_к2 - (2)
Онда (I.) мен (2-ні лайдаланып,
г^^(х--;-с): + у! һ%){х~с'г + у^ -■ 2й^у(лч с)" і-У = 2а--7(*-с)'+У =
-— ^ (д--і г:}' ч-У'~ 4а: ~4а^(х-с)' і-)Г ±(х~с)2 +у2 =? ,— г^. г"
+2+6'" +_у! ~ 4п7 -\а^{у-с)1 + у2 ¥х~ -2сх + е2 + у* =$ У г-^4сх-4а:
--\а-^(х-с)1 -һу2 ~- -(а" -сх) -ауСх-с)1 +2 -^
Осы алынған (3.41) теңдеу, эллйастіи канондық тсндеуі деп аталады.
Эллипстің (3.38; канокдық тендеушеп оның бойьтнда жатқан кез
келген ағымдық ми.у) яуюгесіне, Оу,Ох өсьтеріне қарағанда
си мметриялы Ы'. м \ м - и у ктелері табылатындьігьщ көрсміз (3.23-
сурст). Мұндаіы: ^(0,0) — эллипстің кнщігі;
,(-й,о),Л(п.о), іг,(о,-й). в2(о,ь)—тебелері; 1-Х-сО) жоне
Р"а(+с,О) фокустары; гічг2 — фокалдық раднустары; о, * —сәйкес, үлкен жөне
кіші
жарты өсьтері (2а,г&) — үлкер
және кіші өсьтері).
с \а1 -іг \ 7
г-„= ,-___.__тг і-— -• эксцеігг-
а \ а- X сг

рИСИТСТІ (£]}; х~~±~-~ Қ ЖӘШ е
ь, фокустарына сәйкес
директрисалары дел аталады.
Жоғарьшагы 3.23-суреттен эллипс бойында жататын нүктелер \ц д, у ь
-- тік төрі бұрыш ішіне орналасатындыгын кореміз. Егердс А болса, оіда
эллипстің үлкен осі 2Һ, кіші всі (2я) болады, ал оның фокустары і\,К үлксн
ось — 2Һ -ның бойына орналасады.
Ескерту. Егер (3.41) эллипстің канондық тендеуіндегі улксн жонс кіші
жарты өсьтері өзара тең (а = һ) болса, онда ( ) кіндіп бас нүктсде жататын,
радиусы й-ге тең болатын шеңбердің тендеуін — г: + і--л- аламыз. Будан
эллипстің, шсңберді Оу (немесе Ох) өсі бойынша кысылуынан павда
болатындыгьЕіі көреміз.
2. Гипербола. Фокустары деп аталатын екі нүктсдсн (ғ,,ғ2) ара к:-
ииык,тыктарынын, айырымының абсолют шамасы (модулі) түрақты [2а) шамаға
тең болатьш, жазықтыктағы нүктелердің геометриялық
орны гипербола деп аталады.
Гиперболаның канондық теңдсуің күру үшін, тағы да 3.22-оуретті
карастырып, жоғарьщағы анықтаманы сске алайық, ятни
г,-г3 = 2а. (3)
Енді (2) өрнектерді (З)-кс қойып түрлендіру арқылы,
чііх+с)1 4 у1 ~у](х-с)2 +у3 = 2а-- ^{х + с)2 -і-у2 -^{дг + с): +у2 --
^І{х--сУ'-+у2 г= ±2а =э ^( х + с)г -і- у2 ~±2а+ -ур^- с)2 + у; = :^
(хі-с)1 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.