Классикалық статистикадағы үлестірулер

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Лекция №11 Оқу тобы: 128-17а

Тақырыбы: Классикалық статистикадағы үлестірулер.

0.1. Микроканондық үлестіру. Канондық үлестіру. Гиббстің микроканондық үлестірімдігі. Канондық үлестіру параметрлерінің физикалық мағынасы

0.2. Термодинамикалық ықтималдық. Энтропия жəне оның күйлер ықтималдығымен байланысы. Максвелл-Больцман үлестіруі. Үлкен канондық үлестіру

Микроканондық үлестірімдік.

Статистикалық үлестірімдік функциясының формуласын анықтау үшін статистикалық физика аксиомасын пайдалану керек. Бұл аксиоманың салдары тәжірибе жүзінде дәлелденеді. Оны статистикалық физика постулаты деп атайды.
Бұл 2 тәсілмен қарастырылады:
Бірінші тәсілде энергиялары тең бірдей жүйелер ансамблі қарастырылады. Сол арқылы теңбе- тең өзара тәуелсіз тұйық жүйенің әртүрлі күйлерінің ықтималдықтары қарастырылады. Бұндай ансамбль микроканондық, ал үлестрімдік микроканондық деп аталады.
Екінші тәсілде теңбе тең күйде орналасқан тұйық жүйе квазитәуелсіз бөліктерінен құралған ансамбль деп зерттеледі. Ансамбль мүшелерінің энергиялары бірдей болмауы мүмкін, сол арқылы квазитәуелсіз жүйелердің әртүрлі энергияларға сәйкес келетін микрокүйлерінің ықтималдықтары қарастырылады. Бұндай ансамбль канондық және үлестрімдік канондық деп аталады.
Статистикалық физиканың микроканондық үлестрімдік жайында постулаты:
Теңбе-тең тұйық жүйенің барлық микрокүйлерінің ықтималдықтары бірдей.
Е0 Е
ρ(Е)
1-сурет. Микроканондық үлестірімділіктің графигі.
Е0 Е
ρ(Е)
1-сурет. Микроканондық үлестірімділіктің графигі.
Жүйе өте үлкен уақыт аралықтарында барлық мүмкін микрокүйлерін өтеді делік, онда микроканондық үлестрімдік постулатына сәйкес әрбір микрокүйде жүйенің бөгелу (тұрақтау) уақыты орташа есеппен бірдей болады. Бұл микроканондық үлестрімдіктің ережесі, эргодикалық гипотезаға парапар. Классикалық физикада микроканондық үлестрімдікті математикалық формуламен көрсету үшін фазалық кеңістікте бір Е0 энергия мәніне сәйкес келетін жүйенің мүмкін күйлерін бейнелейтін фазалық нүктелердің геометриялық орнын қарастырайық.

Бұл фигура фазалық кеңістіктегіден өлшем саны біреуге кем кеңістік, яғни гипербет болады. Сонда осы фазалық бетте ықтималдықтың тығыздығы нөлге тең емес, басқа нүктелерде нөлге тең. Статистикалық үлестрімдік функциясы дегеніміз фазалық кеңістікте ықтималдықтың тығыздығы болып табылады. Сонымен:
; (7.1)
мұндағы -Дирак функциясы. Бұл формула Гиббстің микроканондық үлестрімдігі деп аталады. Ол график түрінде 1-суретте көрсетілген.
Гиббстің микроканондық үлестірімділігі 1-тәсілге сәйкес келеді. 2-тәсілге сәйкес келетін үлестірімділік жүйе бөліктерінің энергия бойынша үлестрімдігін сипаттайды. Оны қорыту үшін энергиялардың аддитивтік қасиетін ескеру керек. Яғни жүйе энергиясының оның бөліктерінің энергияларының қосындысына теңдігі. Ал ықтималдықтар мультипликативті, яғни жүйе күйлерінің ықтималдығы оның бөліктерінің күйлерінің ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең. Аддитивтік шартты қанағаттандыру үшін, ықтималдық пен энергияның арасында сызықтық байланыс болу керек.
(7.2)
мұндағы - тұрақты шамалар. Квазитәуелсіз бөліктердің энергиялары Е1,Е2,... болса, тұтас жүйенің энергиясы Е= Е1 +Е2 +... болады, ал үлестірімділік үшін
lnρ=lnρ1+lnρ2+...=ln(ρ1·ρ2·...)
Осы формулалар арқылы жоғарыдағы шарттарды қанағаттандыруға болады. Потенцирлеп, (7.2)-ден табатынымыз:
немесе тұрақтыларды басқаша белгілеп,
; (7.3)
Мұнда І=e[-α] және β=1θ деп белгіленген. Бұл формула Гиббстің классикалық канондық үлестрімдігін бейнелейді. Гиббстің канондық үлестрімдігін микроканондық үлестрімдігінен де қорытып шығаруға да болады. Гиббстің канондық үлестрімдігін қорытудың негізінде де, микроканондық үлестрімдігіндегідей, статистикалық физиканың постулаты бар: Жүйе бөлігінің күйлерінің ықтималдылығының энергияға бірмәнді тәуелді болуы энергиясы бірдей микрокүйлерінің ықтималдығы бірдей болғанда ғана мүмкін
Гиббстің классикалық канондық үлестрімдігінің формуласындағы І-статистикалық интеграл деп аталады. Оның мәні нормалау шартынан табылады.
бұдан
Сонымен, құрамы өзгермейтін жүйелерді Гиббстің микроканондық және канондық үлестрімдік заңдарымен сипаттауға болатынын көрсеттік. Үлестрімдіктің екеуі де қолданылуы мүмкін. Статистикалық физиканың есептерінде олар бірдей нәтиже береді. Тек микроканондық үлестрімдігі үшін энергияның флуктуациясы , ал канондық үлестрімдігі үшін - аз болса да шекті шама.

Термодинамикалық ықтималдық.

Статистикалық теңбе- теңдік күйге тұйық жүйе өздігінен өтеді. Бұл процесс жүйе микробөлшектерінің қозғалысы және өзара әсері нәтижесінде болады. Бұл процесс энергиялары бірдей, бірақ басқа параметрлері әртүрлі болатын теңбе-теңсіз микроскопиялық күйлерден біртіндеп өтуі арқылы іске асады деп есептеуге болады. (Айталық көлемі ішінде тығыздығы немесе температурасы не басқа параметрлері өзгерген кезде) Тұйық жүйенің теңбе - тең күйден ауытқу шамасын сипаттайтын және жүйедегі процесстердің бағытын сипаттайтын шаманы табу қажет.
Ең алдымен макрокүйлер дегеніміз не? Газды алар болсақ, берілген энергия, температура және тағы басқа параметрлермен сипатталатын күйлер жиыны- макрокүй деп аталады. Бұндай макрокүйге сәйкес келетін газдар жүйесінің күйлері көп. Олардың әрқайсысын микрокүй деп атайды. Олардың энергиялары, қысымдары, температуралары, көлемдері бірдей болғанмен, олар бірдей емес, бір- бірінен айырмашылығы молекулалардың орналасуының, жылдамдықтарының әртүрлілігінде. Айталық, газ ыдыстың бір жартысын толтыратын макроскопиялық күйді қарастырсақ, онда оған жарасымды микрокүйлер ішінде бірде - бірінде екінші жартысында молекула бар деп есептемеу керек. Ойша сондай микрокүйлер санын есептеу мүмкін делік. Бұл сан өте үлкен сан болуы керек. Ал газ ыдысты толық толтыратын макроскопиялық күйді қарастырсақ, онда оған сәйкес келетін микрокүйлер саны жарты ыдыс толтыратын микрокүйлер санынан әлдеқайда жоғары болатыны анық. Демек осы макрокүйлердің ықтималдығы микрокүйлер санына байланысты болуы керек. Осындай шаманы макрокүйлердің ықтималдығының сипаттамасы ретінде енгізуге болады. Берілген макрокүйге сәйкес келетін микрокүйлер саны макрокүйдің термодинамикалық ықтималдығы деп аталады.
(8.1)
Сонымен бірге макрокүйдің статистикалық салмағы деп аталады.
Бұл шама өте үлкен. Оның статистикалық ықтималдықтардан айырмашылығы: барлық макрокүйлердің термодинамикалық ықтималдықтарының қосындысы бірге тең емес. Термодинамикалық ықтималдық статистикалық ықтималдыққа кері шама. Барлық микрокүйлердің ықтималдықтары тең болғандықтан, жүйенің берілген макрокүйінің ықтималдығы осы макрокүйге үйлесімді микрокүйлердің санына пропорционал.
Шынында, тұйық жүйе квазитәуелсіз бөліктерге бөлінетін болсын, әрқайсысы жуықтап теңбе-тең күйде болады делік. Постулатқа сәйкес кез- келген бөлігінің барлық микрокүйлерінің ықтималдықтары тең болып есептеледі. Тұтас жүйенің микрокүйін алу үшін бөліктердің белгілі бір микрокүйлеріндегі жиынын қабылдау керек. Бұл микрокүйінің ықтималдығы ρ=ρ1·ρ2 ... ρn бөліктердің микрокүйлердің ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең.
Микрокүйлердің саны көп болғанмен, бұндай көбейтінділер сан жағынан тең, Бұл-жүйе микрокүйлерінің ықтималдықтарының өзара теңдігін білдіреді. Бұдан шығатын салдар: микрокүйлер ауысып тұрғанмен жүйенің қай макрокүйде ұзағырақ болуы оған сәйкес келетін микрокүйлердің санына байланысты. Олар неғұрлым көп болса, соғұрлым ұзағырақ болады. Мүмкін макрокүйлердің кейбіреулері жиі, кейбірі сирек болады. Сондықтан термодинамикалық ықтималдықтардың қатынасы макрокүйлердің іске асу ықтималдықтарын сипатттайды. Бұл қорытындылар дискреттік күйлер, дискреттік энергия деңгейлері туралы айтқанда ғана емес, үздіксіз энергия күйлері туралы айтқанда да дұрыс болады.
(8.2)
Бұдан классикалық салада термодинамикалық ықтималдықтың өлшемі фазалық көлем болатындығы көрінеді. - берілген макрокүймен үйлесетін микрокүйлердің белгілі бір үздіксіз жиынына сәйкес келетін фазалық көлем. Көп бөлшектерден тұратын жүйелердің бір макрокүйі ақиқат болып келеді, ал басқа макрокүйлердің ықтималдықтары нөлге жуық. Сондықтан кез- келген тұйық жүйе берілген күйге орнығады да, өз бетімен бұл күйден шыға алмайды.
Теңбе - тең күйде термодинамикалық ықтималдық максималды.
Бұл макрокүйде жүйе барлық параметрлері бойынша біртекті болады. Теңбе-теңдікте ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.