Интегралдар және олардың қолданылуларын

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 23 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

Анықталмаған интеграл
4
Анықталған интеграл
5
Анықталған интегралдың қолданылулары
6
Қисық доғасының ұзындығы
6
Жазық фигура ауданы
8
Айналу денесінің көлемі
10
Қос интеграл
10
Квадратталатын фигуралар және ауданның анықтамасы
10
Қос интеграл анықтамасы
12
Қос интегралдың (геометриялық) қолданылуы
14
Жазық фигураның ауданын табу
14
Дененің көлемін есептеу
16
Бет ауданын есептеу
17
Қос интегралды физика және механика есептеріне қолдану
19
Пластинканың массасы
19
Пластинканың ауырлық центрінің координаттары
21
Пластинканың инерция моменттері
23
Үш еселі интеграл
25
Үш еселі интегралдың анықтамасы
25
Үш еселі интегралдың қасиеттері
26
Үш еселі интегралды есептеу
27
Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру
28
Есептер
30
Қорытынды

Пайдалынылған әдебиеттер

Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда Интегралдар және олардың қолданылуларын қарастырамын.
Интеграл (лат.integer-бүтін)-математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан- туындысы бойынша функцияны іздеу(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. "Интеграл" сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.
Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9-15 ғғ. Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек 16-17-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. "Интегралдық есептеу" термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді.Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты. 19-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциялдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға 19-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. Жалпы үш еселі интеграл дененің көлемін есептеу және пайдалану жолдары, физикалық және механикалық қолданулары қарастырылады.
Мақсаты: Интегралдар және оның қолданылуларын толық қарастыру
Міндеті: интегралдармен танысу, есептерін шығаруды үйрену, қолданылуларын ажырата білу.
I. Анықталмаған интеграл
Анықтама. Егер кез келген х бір F(х) табылып F'(х)= f(x) тең болып, F(х) - ті берілген аралықта f(x) үшін оның алғашқы функциясы деп айтады.
Анықтама. Барлық алғашқы функцияның жиынтығын F(х)+С, f(x) функция анықталмаған интеграл дейді.
Төмендегі символмен белгіленеді:
fxdx=F(x)+C
- интегралдың белгісі
f(x) - интеграл астындағы функция
fxdx-инт. астн. өрнек

Қасиеттері:
1) ʃ d F(x)=F(x)+C
2) d(ʃ f(x)dx)=f(x)dx
3) ʃ k f(x)dx=kʃ f(x)dx
4) ʃ (f(x)+-g(x))dx=ʃ f(x)+-ʃ g(x)dx
Негізгі кестесі:
1) dx=x+C
2) xndx=xn+1n+1+C, (n!=-1)
3) dxx=lnx+C
4) axdx=axlna+C -- exdx=ex+C
5) sinxdx=-cosx+C
6) cosxdx=sinx+C
7) dxcos2x=tgx+C
8) dxsin2x=-ctgx+C
9) dxa2-x2=arcsinxa+C -- Дербес түрі dx1-x2=arcsinx+C
10) dxx2+a2=1aarctgxa+C -- dx1+x2=arctgx+C
11) dxx2-a2=12alnx-ax+a+C -- dxx2-1=12lnx-1x+1+C
12) dxx2+-a=lnx+x2+-a+C
Анықтама. Анықталмаған интегралдың негізгі кестесін және оның қасиеттерін қолданатын әдісті тікелей интегралдау әдісі деп айтады.

II. Анықталған интеграл
Қисықсызықты трапецияның ауданы туралы есеп:
1.a=x0x1x2 ... xi˂xi+1˂ ...xn-1 ˂xn=b
2.ξiЄ[xi;xi+1]
3. f(ξi)
4. δᵢ=i=0n-1f(ᶓᵢ)∆x; (1)-сигма интегралдық қосынды
Sδ=i=0n-1f(ᶓ)ox
ρ=i=0n-1mᵢ∆xᵢ
Р=i=0n-1Mᵢ∆xᵢ
limx--0ρ=limx--0P=P
λ=max∆xᵢ P-қисықсызықты трапецияның ауданы
Егер интегралдық қосынды δᵢ[limx--0δᵢ=(2)] болса, онда ол санды а-дан в-ға дейінгі алынған x--0 f(x) функциясының анықталған интеграл деп атайды.
Және төмендегі символмен белгілейді.
У=abfxdx a-төменгі шек, b-жоғарғы шек
Қисықсызықты трапецияның ауданы: S=abfxdx

Қасиеттері:
1. abfxdxab=-bafxdx xi+-1-xi=∆xi
a) ∆xᵢ≫0
b) xᵢ - xi+1=0 xᵢ=0
2. abfxdx=acfxdx+cbfxdx c ∈[a,b]
3. abk fxdx=k abf(x)dx (k=const)a
4. ab[f(x)+-g(x)]dx=abfxdx+-abgxdx
5. f(x)=gx [a,b], abfxdx=abgxdx
6. abfxdx=abf(x)dx
7. m,M [a;b] f(x)
m(b-a)=abfxdx=M(b-a)
abdx=x⃒ba=b-a
Ньютон-Лейбниц формуласы
abfxdx=Fx⃒ba=F(b) - F(a)

F'(x)=f(x) F(c)+C=fdx
Дәлелдеуі:
Ф(x)=axftdt Ф(x)=F(x)+C
Ф'(x)=F'(x)=f(x) Ф'(x)=f(x)
x = a Фa=aaftdt=0
0=F(a)+C C= - F(a)
Ф(x)=axftdt=Fx-Fa
x= b abfxdx=Fb-F(a)

Мысалы:
-11dx1+x2=arctg⃒1-1=arctg1-arctg-1= PI4+PI4=PI2

III. Анықталған интегралдың қолданылуы
Қисық доғасының ұзындығы.
Егер
x=φ(t)y=ψ(t), atb (1)
теңдеулеріндегі φ мен ψ функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда ол теңдеулер t параметрінің көмегімен берілген жазықтағы үзіліссіз қисықты анықтайды. t параметрі өссе, (φ(t),ψ(t)) нүктесі жазықтықта қозғалып отырады. t-нің әр түрлі мәндеріне, мысалы, t=t1, t=t2 (t1!=t2) мәндерінде жазықтықтын бiр ғана нүктесі сәйкес келуі де мүмкін:
(φt1,ψt1=φt2,ψt2)
Егер φ(t) мен ψ(t) функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар болса және
φ'(t)2+ψ'(t)20, ∀t∈[a,b] (2)
орындалса, онда (1) - тегіс қисық деп аталады.
Егер
Г: x=φ(t)y=ψtz=χ(t) a=t=b (3)
теңдеулеріндегі φ,ψ,x функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда олар кеңістіктегі үзіліссіз қисықты анықтайды. Ол қисықты Г арқылы белгілейік. Егер φ,ψ,x функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар және олар бip мезгілде нөлге тең емес, яғни
φ'(t)2+ψ'(t)2+χ'(t)20, ∀t∈[a,b] (4)
болса, онда Г - тегіс қисық деп аталады.
Теорема.
Г: x=φ(t)y=ψtz=χ(t) a=t=b
теңдеулерімен берілген тегіс қисық - түзуленетін қисық және оның ұзындығы
Г=ab[φ'(t)]2+[ψ'(t)]2+[χ'(t)]2dt (5)
тең.
Осы доғаның дифференциалы
dS=φ'(u)2+ψ'(u)2+χ'(u)2dt (6)
Г ⊂ R2 қисығы үзіліссіз дифференциалданатын
Г: y = f(x), а=х=b (7)
функциясы арқылы берілсе, онда
Г: x=xy=f(x), a=x=b
яғни, қисықты х - параметрі арқылы берілді деп есептеуге болады. Олай болса, (5) бойынша
Г: ab1+[f'(x)]2dx=ab1+dydx2dx (8)
ал доға дифференциалы
dS=1+dydx2dx=dx2+dy2 (9)
тең.
Егер Г R2 қисығы поляр координаттары арқылы
Г: р = р(φ), α=φ=β берілсе, онда
Г=αβρ2+ρ'2 (10)
3.2. Жазық фигура ауданы.
Егер [а,b] кесіндісінде функция f(x)=0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасы бойынша y = f(x) қисығымен, Ох-өсімен және х=а, х=b түзулерімен шенелген қисық сызықты трапеция ауданы
S=abfxdx=abydx (11)
тең.
Егер [а,b]-де f(x)=0 болса, онда (11) анықталған интегралда =0 болады, ал оның абсолют шамасы сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең.
Егер f(x) таңбасы [а,b]-де ақырлы сан рет өзгерсе, онда y = f(x), Ох, х=а, х=b қисықтарымен шенелген жазық фигура ауданы үшін [а,b] кeciндiciн f(x) таңбасы тұрақты болатындай бөліктерге бөліп, осы бөліктер бойынша алынған интегралдардың абсолют шамаларының қосындысын алуға болады немесе
S=abf(x)dx (12)
интегралын есептеу керек (29-сурет)

29-сурет
Егер y=f1(x), y = f2(x), x=a, х=b (f1(x)=f2(x), ) қисықтарымен шенелген фигура ауданын табу керек болса, онда
S=abf2xdx-abf1xdx=ab[f2x-f1(x)]dx (13)
аламыз (30-сурет)

30-сурет
Егер қисық x=φ(t), y=ψ(t), α=t=β (φ(α) =a, φ(β) =b) параметрлік теңдеулермен берілсе, онда (11)-интегралда x=φ(t) айнымалы алмастыруын жасай отырып
(dx=φtdt, y=fx=fφt=ψ(t))
S=αβψtφ'(t)dt (14)

31-сурет
О полюстен шығатын φ = α, φ= β сәулелерімен және поляр координаталары бойынша үзіліссіз r = f (φ) функциясымен берілген қисықпен шенелген фигураның S ауданын келесі түрде анықтауға болады (31-сурет).
S=limmax∆φ--012i=0n-1f2φi∆φi=12αβr 2dφ=12αβf2(φ)dφ (15)
тең деп саналады
3.3. Айналу дененің көлемі.
Тік бұрыш х,y координаталар жуйесіне үзіліссіз оң y = f(x), a=x=b функциясымен сипатталған Г қисығы берілсін. Г қисығының х өсін айналуынан шыққан бетпен және х = а, х=b жазықтықтарымен шенелген

32-сурет
айналу денесінің V көлемінт есептеу керек болсын (32-сурет). Айналу денесінің көлемі
V=PIabf2dx (16)

Қос интеграл
Квадратталатын фигуралар және ауданның анықтамасы
Бұл ұғым жазықтықта жатқан көп фигураның ауданы туралы ұғым.
Біз қос интеграл ұғымы мен қолдануларын толыққанды түсіндіре алу үшін ең алдымен квадратталған фигуралар мен ауданының анықтамасын қарастырып кетуді жөн санадық.
Көп бұрышты ұғым деп саны шектелген көпбұрыштардан құралған жиынды түсінеміз.

Көпбұрышты фигураның ауданы теріс емес санмен өрнектеледі.
Көп бұрышты фигураның мынадай қасиеттері бар:
1.Бір сарындылық. Егер көп бұрышты P фигура Q фигурасының ішінде жатса,

2.Аддитивтік. Егер көп бұрышты фигуралар мен -ның ортақ ішкі нүктелері жоқ болып, ал көпбұрышты фигура сол фигуралардың біріктірмесі болса,

3.Инварианттық. Егер көп бұрышты фигуралар мен өзара конгурентті болса,

Көпбұрышты фигураның ауданы туралы төмендегіні айтуға болады. Жоғары үш қасиет сақталатын жазықтықтағы кейбір F фигурасына қолдану төмендегісінше іске асырылады.
Қарастырылатын F фигурасының ішіне бүтіндей жататын барлық мүмкін көпбұрышты P фигураларды тұрғызамыз да, оларды қамтылған P көпбұрышты фигуралар деп атаймыз.
Қамтылған фигуралардың аудандары жоғарыдан шектелгендіктен, дәл жоғары шекара

P Euro F
бар болады.
Сонан кейін фигура F бүтіндей ішінде жататын барлық мүмкін көпбұрышты Q фигуралар тұрғызамыз да, оларды қорғаушы (қамтушы) көпбұрышты фигуралар деп атаймыз.
Қамтушы фигуралардың аудандары төменнен шектелгендіктен, дәл төменгі шекара

Q F
бар болады.
Әрбір қамтылған көпбұрышты фигураның ауданы кез келген қамтушы көпбұрышты фигураның ауданынан артық еместігін ескерсек,

арақатынасы орындалады.
Егер қамтылған және қамтушы фигуралардың аудандары үшін

ендігі орындалса, F-квадратталатын фигура, ал S саны сол F фигурасының ауданы деп аталады.
Қос интеграл анықтамасы
Осы курстың бірінші бөлімінде біреселі интегралды қарастырып, онда физика, механика есептерін шығардық. Осы сияқты екі,үш, т.с.с еселі интегралдардың көмегімен физика, механика есептерін шығаруға болады, мысалы, дененің массасын, атқарылған жұмысты, кез келген беттің ауданын, дене көлемін, пластиналардың механикалық параметірлерін т.с.с. Оларды есептеуге қажетті қос интегралды қарастыратын боламыз.
Қос интеграл анықталған интегралдың интегралдың екі айнымалыға тәуелді функция жағдайының
жалпыламасы болып табылады. XOY жазықтығының тұйық D облысында z=f(x,y) үзіліссіз функциясы берілсін.
D облысын саны n-ге тең элементар Di(i=1,2,...,n)бөліктеріне бөлшектеп, олардың аудандарын ∆Si, ал диаметрлерін (облыс нүктелері арасындағы ең үлкен қашықтықты) di деп белгілейміз. (1.1-сурет).
у

Di
Di

О Х
1.1-сурет

Әрбір Di облысында кез келген Mi(xi,yi) нүктесін алып, сол нүктедегі f(xi,yi) түріндегі функция мәнін ∆Si-ге көбейтіп, барлық осындай көбейтінділерден

fx1,y1∆S1+fx2,y2∆S2+...+fxn,yn∆Sn=i =1nfxi,yi∆Si (17)

қосындысын тұрғызымыз. Мұндай қосынды D облысындағы z=f(x,y) функциясының интегралдық қосындысы деп аталады. n--infinity,maxdi--0 шартында (5.1) интегралдық қосындысының шегін қарастырайық. Егер осы шек бар болып және ол не D облысының бөлшектену тәсіліне, не ондағы нүктелердің қалай алынатынына тәуелсіз болса, онда ол D облысы бойынша f(x,y) функциясынан алынға қос интеграл деп аталады және

Dfx,ydxdy немесе Dfx,ydS

деп белгіленеді. Сонымен, қос интеграл

Dfx,ydxdy=limï--infinity,maxdi--0 i=1nf(xi,yi)∙∆Si (18)

Теңдігімен анықталады. Мұндайда f(x,y) функциясы D облысында интегралданатын функция, D - интегралдау облысы, x және y- интегралдау айырмалары, dxdy (немесе dS)- аудан элементі деп аталады.
Қандай да f(x,y) функциясының қос интегралы бола бере ме? Бұл сұраққа дәлелдеусіз келтіретін төмендегі теорема жауап береді.
Теорема (фунция интегралдануының жеткілікті шарты). Егер f(x,y) функциясы тұйық D облысында үзіліссіз болса, онда ол осы облыста интегралданады.

V. Қос интегралдың (геометриялық) қолданулары
Жазық фигураның ауданын есептеу
Қос интеграл астындағы екі айнымалының функциясы f(x,y)=1 болса, онда қос интеграл (D) жазық фигурасының ауданын беретінін қос интеграл қасиетінен білеміз. Ал енді (D) облысы
теңсіздіктерімен анықталатын болса, онда аудан
(19)

қайталама интеграл бойынша есептелінетін болады.
Ал егер (D) фигурасы поляр координат жүйесінде
теңсіздіктерімен анықталатын болса, онда
(20)

1-МЫСАЛ. және сызықтарымен шектелген (D) фигурасының ауданын табу керек болсын.

y

1

-1 0 x
116-сурет

4 2
117-сурет

,
,
Олай болса
2-МЫСАЛ. және сызықтарының арасындағы (кардиоида сыртындағы) ауданды есептеу керек.
ШЕШУІ.

(кв. өлш.).

Дененің көлемін есептеу
Егер бет теңдеуі 0 болса, онда

Қос интегралы астыңғы жағынан Z=0 жазықтығында (D) облысымен шектелген, жоғарғы жағынан z=f(x,y) бетімен, ал
бүйір жағынан OZ өсіне
параллель цилиндрлік беттер- z
мен шектелген цилиндрдің z=f(x,y)
көлемін беретінін білеміз.
Сонымен,
(21)
1-МЫСАЛ. x=1, y=x, 0
y=3x, z=0 және у
беттерімен шектелген дененің
көлемін есептеу керек.
ШЕШУІ.
(D):
Ендеше,
(куб. өлшем)
Қосымша:
Егер D облысында анықталған және функцияларымен шектелген дененің көлемін табу керек болса, онда мына формуламен есептеуге болады.

Бет ауданын есептеу
Кеңістікте тегіс (S) беті Z=f(x,y) теңдеуімен берілген беп ұйғарайық. Осы беттің ауданын қос интеграл арқылы есептеу керек болсын (S) бетінің XOZ жазықтығындағы проекциясы облысын n кез-келген бөліктерге бөлеміз

Сонан соң табаны болатын цилиндрді құрамыз. Осы цилиндрлер (S) ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.