Интегралдар және олардың қолданылуларын

Мазмұны

Кіріспе

Мен өзімнің курстық жұмысымда «Интегралдар және олардың қолданылуларын» қарастырамын.

Интеграл ( лат. integer-бүтін) -математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан- туындысы бойынша функцияны іздеу(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т. б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. “Интеграл” сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.

Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9-15 ғғ. Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек 16-17-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. “Интегралдық есептеу” термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді. Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты. 19-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциялдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға 19-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. Жалпы үш еселі интеграл дененің көлемін есептеу және пайдалану жолдары, физикалық және механикалық қолданулары қарастырылады.

Мақсаты: Интегралдар және оның қолданылуларын толық қарастыру

Міндеті: интегралдармен танысу, есептерін шығаруды үйрену, қолданылуларын ажырата білу.

I. Анықталмаған интеграл

Анықтама. Егер кез келген х бір F(х) табылып F'(х) = f(x) тең болып, F(х) -ті берілген аралықта f(x) үшін оның алғашқы функциясы деп айтады.

Анықтама. Барлық алғашқы функцияның жиынтығын F(х) +С, f(x) функция анықталмаған интеграл дейді.

Төмендегі символмен белгіленеді:

$$\int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx = F(x) + C}}$$

$$\int_{}^{}\mathbf{- \ интегралдың\ белгісі}$$

f(x) - интеграл астындағы функция

$$\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx - инт. \ астн. \ өрнек}$$

Қасиеттері:

1) ʃ d F(x) =F(x) +C

2) d(ʃ f(x) dx) =f(x) dx

3) ʃ k f(x) dx=kʃ f(x) dx

4) ʃ (f(x) ±g(x) ) dx=ʃ f(x) ±ʃ g(x) dx

Негізгі кестесі:

1) $\int_{}^{}{dx = x + C}$

2) $\int_{}^{}{x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}} + C, \ \ (n \neq - 1)$

3) $\int_{}^{}\frac{dx}{x} = \lnx + C$

4) $\int_{}^{}{a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna}} + C$ → $\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

5) $\int_{}^{}{sinxdx = - cosx + C}$

6) $\int_{}^{}{cosxdx = sinx + C}$

7) $\int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = tgx + C}$

8) $\int_{}^{}\frac{dx}{\sin^{2}x} = - ctgx + C$

9) $\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \arcsin\frac{x}{a} + C}$ → Дербес түрі $\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = arcsinx + C}$

10) $\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C}$ → $\int_{}^{}\frac{dx}{1{+ x}^{2}} = arctgx + C$

11) $\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\left \frac{x - a}{x + a} \right + C}$ → $\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\ln\left \frac{x - 1}{x + 1} \right + C}$

12) $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a}} = \ln\left x + \sqrt{x^{2} \pm a} \right + C$

Анықтама. Анықталмаған интегралдың негізгі кестесін және оның қасиеттерін қолданатын әдісті тікелей интегралдау әдісі деп айтады.

II. Анықталған интеграл

Қисықсызықты трапецияның ауданы туралы есеп:

1. a=x ₀ $<$ x ₁ $<$ x ₂ …. x _i ˂x _i+1 ˂ … $<$ x _n-1 $<$ ˂x _n =b

2. ξ _i Є[x _i ; x _i+1 ]

3. f(ξ _i )

4. $\delta ᵢ = \sum_{i = 0}^{n - 1}{f(ᶓᵢ) \mathrm{\Delta}}x$ ; (1) -сигма интегралдық қосынды

S $\delta = \sum_{i = 0}^{n - 1}{f(ᶓ) ox}$

ρ = $\sum_{i = 0}^{n - 1}{mᵢ\mathrm{\Delta}xᵢ}$

Р= $\sum_{i = 0}^{n - 1}{Mᵢ\mathrm{\Delta}xᵢ}$

$\lim_{x \rightarrow 0}\rho = \lim_{x \rightarrow 0}{P = P}$

$\lambda = \max\mathrm{\Delta}xᵢ$ P-қисықсызықты трапецияның ауданы

Егер интегралдық қосынды $\delta ᵢ\underset{x \rightarrow 0}{\lbrack lim}{\delta ᵢ} = ($ 2) ] болса, онда ол санды а-дан в-ға дейінгі алынған x→0 f(x) функциясының анықталған интеграл деп атайды.

Және төмендегі символмен белгілейді.

$У = \int_{a}^{b}{f(x) dx}$ a-төменгі шек, b-жоғарғы шек

Қисықсызықты трапецияның ауданы: S $= \int_{a}^{b}{f(x) dx}$

Қасиеттері:

1. $\int_{a}^{b}\begin{array}{r} f(x) dx \\ a < b \end{array} = - \int_{b}^{a}{f(x) dx}$ x _i±1 -x _i =∆x _i

a) ∆xᵢ $\gg 0$

b) xᵢ - x _i+1 ≤0 xᵢ $\leq 0$

2. $\int_{a}^{b}{f(x) dx = \int_{a}^{c}{f(x) dx + \int_{c}^{b}{f(x) dx}}}$ c $\ \in \lbrack a, b\rbrack$

3. $\int_{a}^{b}{k\ f(x) dx = k\ \int_{a}^{b}{f(x) dx}}$ (k=const) ^a

4. $\int_{a}^{b}{\lbrack f(x) \pm g(x}$ ) ] dx= $\int_{a}^{b}{f(x) dx \pm \int_{a}^{b}{g(x) dx}}$

5. f(x) $\leq g(x)$ [a, b], $\int_{a}^{b}{f(x) dx} \leq \int_{a}^{b}{g(x) dx}$

6. $\left \int_{a}^{b}{f(x) dx} \right \leq \int_{a}^{b}\left f(x) \rightdx$

7. m, M [a; b] f(x)

m(b-a) $\leq \int_{a}^{b}{f(x) dx \leq M(b - a) }$

$$\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{dx = x⃒}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{= b - a}$$

Ньютон-Лейбниц формуласы

$\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx = F}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{⃒}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{=}}$ F(b) - F(a)

F’(x) =f(x) F(c) +C= $\int_{}^{}\mathbf{fdx}$

Дәлелдеуі:

Ф(x) = $\int_{a}^{x}{f(t) dt}$ Ф(x) =F(x) +C

Ф’(x) =F’(x) =f(x) Ф’(x) =f(x)

x = a $\mathbf{Ф}\left( \mathbf{a} \right) \mathbf{=}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{a}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{t} \right) \mathbf{dt = 0}}$

0=F(a) +C C= - F(a)

Ф(x) = $\int_{a}^{x}{f(t) dt = F(x) - F(a) }$

x= b $\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx = F}\left( \mathbf{b} \right) \mathbf{- F(a) }}$

Мысалы:

$\int_{- 1}^{1}\frac{dx}{1 + x^{2}} = arctg⃒\frac{1}{- 1} = arctg1 - arctg( - 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

III. Анықталған интегралдың қолданылуы

1. Қисық доғасының ұзындығы.

Егер

$\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x = \varphi(t) } \\ \mathbf{y = \psi(t) } \end{matrix} \right. \ \mathbf{, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a < t < b}$ (1)

теңдеулеріндегі φ мен ψ функциялары [а, b] -да үзіліссіз болса, онда ол теңдеулер t параметрінің көмегімен берілген жазықтағы үзіліссіз қисықты анықтайды. t параметрі өссе, (φ(t), ψ(t) ) нүктесі жазықтықта қозғалып отырады. t- нің әр түрлі мәндеріне, мысалы, t = t ₁ , t=t ₂ (t ₁ ≠t ₂ ) мәндерінде жазықтықтын бiр ғана нүктесі сәйкес келуі де мүмкін:

$$\mathbf{(\varphi}\left( \mathbf{t}_{\mathbf{1}} \right) \mathbf{, \psi}\left( \mathbf{t}_{\mathbf{1}} \right) \mathbf{= \varphi}\left( \mathbf{t}_{\mathbf{2}} \right) \mathbf{, \psi}\left( \mathbf{t}_{\mathbf{2}} \right) \mathbf{) }$$

Егер φ(t) мен ψ(t) функцияларының [а, b] -да үзіліссіз туындылары бар болса және

$\mathbf{\varphi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\psi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{> 0, \ \ \ \ \ \ \ \forall t \in \lbrack a, b\rbrack}$ (2)

орындалса, онда (1) - тегіс қисық деп аталады.

Егер

$\mathbf{Г:\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \mathbf{x = \varphi(t) } \\ \mathbf{y = \psi}\left( \mathbf{t} \right) \end{matrix} \\ \mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{\chi}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) } \end{matrix} \right. \ \mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a \leq t \leq b}$ (3)

теңдеулеріндегі φ, ψ, x функциялары [а, b] - да үзіліссіз болса, онда олар кеңістіктегі үзіліссіз қисықты анықтайды. Ол қисықты Г арқылы белгілейік. Егер φ, ψ, x функцияларының [а, b] - да үзіліссіз туындылары бар және олар бip мезгілде нөлге тең емес, яғни

$\mathbf{\varphi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\psi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\chi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{> 0, \ \ \ \ \ \ \ \forall t \in \lbrack a, b\rbrack}$ (4)

болса, онда Г - тегіс қисық деп аталады.

Теорема.

$$\mathbf{Г:\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \mathbf{x = \varphi(t) } \\ \mathbf{y = \psi}\left( \mathbf{t} \right) \end{matrix} \\ \mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{\chi}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) } \end{matrix} \right. \ \mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a \leq t \leq b}$$

теңдеулерімен берілген тегіс қисық - түзуленетін қисық және оның ұзындығы

$\left \mathbf{Г} \right\mathbf{=}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\sqrt{{\mathbf{\lbrack}\mathbf{\varphi}}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) \rbrack}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \lbrack}\mathbf{\psi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) \rbrack}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{\lbrack}\mathbf{\chi}}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{) \rbrack}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{dt}$ (5)

тең.

Осы доғаның дифференциалы

$\mathbf{dS =}\sqrt{\mathbf{\varphi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\psi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\chi}^{\mathbf{'}}{\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{) }}^{\mathbf{2}}}\mathbf{dt}$ (6)

Г $\subset$ R ₂ қисығы үзіліссіз дифференциалданатын

Г: y = f(x), а≤х≤b (7)

функциясы арқылы берілсе, онда

$$Г:\ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} x = x \\ y = f(x) \end{matrix} \right. \, \ \ \ \ \ \ a \leq x \leq b$$

яғни, қисықты х - параметрі арқылы берілді деп есептеуге болады. Олай болса, (5) бойынша

$\left \mathbf{Г} \right\mathbf{:\ \ \ \ \ }\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\sqrt{\mathbf{1 +}\mathbf{\lbrack f'(x) \rbrack}^{\mathbf{2}}}\mathbf{dx =}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\sqrt{\mathbf{1 +}\left( \frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dx}} \right) ^{\mathbf{2}}}\mathbf{dx}$ (8)

ал доға дифференциалы

$\mathbf{dS =}\sqrt{\mathbf{1 +}\left( \frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dx}} \right) ^{\mathbf{2}}}\mathbf{dx =}\sqrt{\mathbf{dx}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{dy}^{\mathbf{2}}}$ (9)

тең.

Егер Г R ₂ қисығы поляр координаттары арқылы

Г: р = р(φ), α≤φ≤β берілсе, онда

$\left \mathbf{Г} \right\mathbf{=}\int_{\mathbf{\alpha}}^{\mathbf{\beta}}\sqrt{\mathbf{\rho}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\rho}^{\mathbf{'2}}}$ (10)

3. 2. Жазық фигура ауданы.

Егер [а, b] кесіндісінде функция f(x) ≥0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасы бойынша y = f(x) қисығымен, Ох -өсімен және х=а, х=b түзулерімен шенелген қисық сызықты трапеция ауданы

$\mathbf{S =}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx =}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{ydx}}$ (11)

тең.

Егер [а, b] - де f(x) ≤0 болса, онда (11) анықталған интегралда ≤ 0 болады, ал оның абсолют шамасы сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең.

Егер f(x) таңбасы [а, b] - де ақырлы сан рет өзгерсе, онда y = f(x), Ох, х=а, х=b қисықтарымен шенелген жазық фигура ауданы үшін [а, b] кeciндiciн f(x) таңбасы тұрақты болатындай бөліктерге бөліп, осы бөліктер бойынша алынған интегралдардың абсолют шамаларының қосындысын алуға болады немесе

$\mathbf{S =}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{}\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{) }}\mathbf{dx}$ (12)

интегралын есептеу керек (29-сурет)

29-сурет

Егер y=f1(x), y = f ₂ (x), x=a, х=b (f ₁ (x) ≤f ₂ (x), ) қисықтарымен шенелген фигура ауданын табу керек болса, онда

$\mathbf{S =}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}_{\mathbf{2}}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx -}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx =}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{\lbrack}\mathbf{f}_{\mathbf{2}}}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{-}\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{(x) \rbrack dx}$ (13)

аламыз (30-сурет)

30-сурет

Егер қисық x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β (φ(α) =a, φ(β) =b) параметрлік теңдеулермен берілсе, онда (11) -интегралда x=φ(t) айнымалы алмастыруын жасай отырып

$$(dx = \varphi(t) dt, \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = f(x) = f\left\lbrack \varphi(t) \right\rbrack = \psi(t) )$$

$\mathbf{S =}\int_{\mathbf{\alpha}}^{\mathbf{\beta}}{\mathbf{\psi}\left( \mathbf{t} \right) }\mathbf{\varphi}^{\mathbf{'}}\mathbf{(t) dt}$ (14)

31-сурет

О полюстен шығатын φ = α, φ= β сәулелерімен және поляр координаталары бойынша үзіліссіз r = f (φ) функциясымен берілген қисықпен шенелген фигураның S ауданын келесі түрде анықтауға болады (31-сурет) .

$\mathbf{S =}\underset{\mathbf{\max\mathrm{\Delta}\varphi \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{n - 1}}\mathbf{f}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\varphi}_{\mathbf{i}} \right) \mathbf{\mathrm{\Delta}}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\int_{\mathbf{\alpha}}^{\mathbf{\beta}}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{d\varphi =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\int_{\mathbf{\alpha}}^{\mathbf{\beta}}\mathbf{f}^{\mathbf{2}}\mathbf{(\varphi) d\varphi}$ (15)

тең деп саналады

3. 3. Айналу дененің көлемі.

Тік бұрыш х, y координаталар жуйесіне үзіліссіз оң y = f(x), a≤x≤b функциясымен сипатталған Г қисығы берілсін. Г қисығының х өсін айналуынан шыққан бетпен және х = а, х=b жазықтықтарымен шенелген

32-сурет

айналу денесінің V көлемінт есептеу керек болсын (32-сурет) . Айналу денесінің көлемі

$\mathbf{V = \pi}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}^{\mathbf{2}}\mathbf{dx}$ (16)

4. Қос фигуралар және ауданның анықтамасы

Бұл ұғым жазықтықта жатқан көп фигураның ауданы туралы ұғым.

Біз қос интеграл ұғымы мен қолдануларын толыққанды түсіндіре алу үшін ең алдымен квадратталған фигуралар мен ауданының анықтамасын қарастырып кетуді жөн санадық.

Көп бұрышты ұғым деп саны шектелген көпбұрыштардан құралған жиынды түсінеміз.

Көпбұрышты фигураның ауданы теріс емес санмен өрнектеледі.

Көп бұрышты фигураның мынадай қасиеттері бар:

1. Бір сарындылық. Егер көп бұрышты P фигура Q фигурасының ішінде жатса,

... жалғасы

Үш еселі интегралдың қолданылуы

Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі

Үш еселі интеграл

Информатиканы мектепте оқытудың жалпы мәселелері

Эйлерлік графтың кейбір есептерінің теориясы

Меншіксіз интегралдар және олардың бас мәндері

II текті меншіксіз интегралдар. ( Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар)

Еселі интегралдардың қолданулары

Меншіксіз интегралдар

Меншіксіз интегралдар туралы

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс